第二章测试系统的基本特性[1]

第二章测试系统的基本特性

第一节概述

测试的目的是为了准确了解被测物理量，而研究测试系统特性的目的则是为了能使系统尽可能准确真实地反映被测物理量，且为测试系统性能的评价提出一个标准。

1.测试系统能完成对某一物理量进行测取的装置，它即可以是一个单一环节组成的装置，如传感器，又可以是一个由多个功能环节组成的系统，如应变测量中的“传感器－应变仪－记录仪”。

2.对测试系统的基本要求

工程测试的基本传输关系如图示，所要寻求的是

输入x(t)，输出y(t),系统传输性三者的关系，即

1）由已知的系统的输入和输出量，求系统的传递

特性。

2）由已知的输入量和系统的传递特性，推求系统的输出量。

3）由已知系统的传递特性和输出量，来推知系统的输入量。

为使上述三种问题能由已知方便的确定未知，为此提出，对于一个测试来说，应具有的基本特性是：单值的、确定的输入-输出关系，即对应于每一个输入量都应只有单一的输出量与之对应，能满足上述要求的系统一般是线性系统。

3.测试系统的特性的描述

对测试系统特性的描述通常有静态特性、动态特性、负载特性、抗干扰特性。

4.线性系统简介

二、线性系统及其主要性质

当系统的输入x(t)和输出y(t)之间的关系可用常系数线性微分方程(2-1)来描述时，则称该系统为定常线性系统。

线性系统有如下性质（以x(t) y(t)表示系统的输入、输出关系）：

1)叠加性

表明作用于线性系统的各个输人所产生的输出互不影响，这样当分析众多输人同时加在系统上所产生的总效果时，可以先分别分析单个输入(假定其他输入不存往)的效果，然后将这些效果叠加起来以表示总的效果。

2）比例特性

若 x(t)→y(t) 则

3）微分性质 系统对输入导数的响应等于对原输入响应的导数，即

4）积分性质 系统对输入积分的响应等于对原输入响应的积分，即

5）频率保持性 若输入为某一频率的间谐信号，则系统的稳态输出必是、也只是同频率的间谐信号。

由于

按线性系统的比例特性，对于某一已知频率ω有

又根据线性系统的微分特性，有

应用叠加原理，有

现令输人为某一单一频率的简谐信号，记作t

j e X t x ω0)(=，那么其二阶导数应为

由此，得

相应的输出也应为

于是输出y(ｔ)的唯一的可能解只能是

线性系统的这些主要特性，特别是叠加性和频率保持性，在测试工作中具有重要的作用。假如已知系统是线性的和其输入的频率，那么依据频率保持性，可以认为测得信号中只有与输入频率相同的成份才真正是由该输入引超的输出，而其他频率成分都是噪声干扰。进而可以依据这一特性，采用相应的滤波技术，在很强的噪声干扰下，把有用的信息提取出来。

第二节 测量装置的静态特性

测量装置的静态特性是在静态测量情况下描述实际测量装置与理想定常线性系统的接近程度。

理想定常线性系统是指其输出是输入的单调、线性比例函数，即满足方程（2-6）的系统。

x a b y 0

0=

（2-6）

此式是令式（2-1）中各阶微分项全为零得出的，式中Ｓ＝b0/a0 称为比例系数，为常数。

一、 线性度

装置的理想输入－输出特性应为线性的，而实际的输入－输出特性常是非线性的，即为y=S 1x+S 2x 2+S 3x 3+ ，实际系统与理想系统有差异，表示此差异的参数线性度。

静态测量时，常用实验的方法来确定上述关系，即确定被测量的实际值与系统输出值间的函数关系，称此过程为静态校准（标定、定度），静态校准所得曲线并非直线，为应用方便，常以直线来拟合校准曲线，校准曲线与拟合直线的接近程度称为线性度。

线性度在数值上常用最大偏差max ?表示，或以相对误差表示：

拟合直线y=kx+b 常用多种方法确定，其一是端基直线法，该法所得拟合直线为最小与最大数据值的连线，即端点连线，参见图2-24a ；其二是最小二乘法，它是以拟合直线与校准直线间的偏差平方和最小为原则而得的直线。参见图2-24ｂ

二、灵敏度

表示装置对输入量变化的反应能力，其值为输出变化量y

?之比：

?与输入变化量x

理想定常线性系统的灵敏度为常数，通常使用理想直线的斜率作为实际测量装置的灵敏度值，如图2-4b所示，

三、回程误差

回程误差也称为迟滞、滞环，表示测量装置在全量程范围内，输入量由小到大（正行程），或由大到小（反行程），两个静态特性不一致的程度（见图2-5）。其值为全量程范围内两曲线纵标的最大值，如图中的ｈ。

磁性材料的磁化曲线和金属材料的受力一变形曲线常常可以看到这种回程误差。当测量装置存在死区时也可能出现这种现象"

四、分辨力

引起测量装置的输出值产生一个可察觉变化的最小输入量 (被测最)变化值称为分辨力。

五、零点漂移和灵敏度漂移

零点漂移是测量装置的输出零点偏离原始零点的距离，如图2-6所示，它可以是随时间缓慢变化的量。灵敏度漂移则是由于材料性质的变化所引起的输入与输出关系 (斜率)的变化。因此，总误差是零点漂移与灵敏度漂移之和，如图2-6所示。在一般情况下，后者的数值很小，可以略去不计，于是只考虑零点漂移。

第三节 测量装置的动态特性

动态特性反映的是系统测量动态信号时所表现的特性，静态测量时，信号不随时间变，系统有足够的时间去响应被测信号，因之不考虑输入与输出的同步问题，动态测量中，由于系统本身固有的特性（固有频率）及外界因素（阻尼）等的影响，使系统对输入量的响应从时间上、幅值上等均与静态测量有很大差异。有的系统尽管静态特性很好，但因不能很好追随输入量的快速变化而导致严重误差。为了正确控制动态误差，应认真研究系统的动态特性。

动态特性用数学模型来描述，其方法有三种：时域种的微分方程，复频域中的传递函数H(s)，频域中的频率特性H(j ω)，系统相应的输入与输出关系如下示。

对定常线性测试装置，虽可用式（2.1）描述其输出与输入的关系，但使用不便，故常用传递函数和频响函数来描述，以下介绍这两种方式。

一、动态特性的数学描述 1.传递函数

1）数学基础

设函数f(t)当0≥t 时有定义，且积分?∞

-0)(dt e t f st

（ωαj s +=）在ｓ的某一域内收

敛，则由此积分确定的函数dt e

t f s F st

?

∞

-=0

)()(为函数f(t)的拉氏变换，记为

F(s)=L[f(t)].

若F(s)是f(t)是拉氏变换，则称 F(s)为f(t)的拉氏逆变换，记为

)]([)()(1

t F L ds e s F t f j j st -+-==

?ω

βω

β

拉氏变换的微分校性质：若L[f(t)] =F(s) 则

L[f n (t)]=s n F(s)-s n-1f(0)-s n-2f ’(0)-f (n-1)(0))

当f(0)=f’(0)=….=f(n-1)(0)=0时,有L[f’(t)]=sF(s), …L[f n(t)]= s n F(s),

2)传递函数

设x(s)和y(s)分别为输入x(t)、输出y(t)的拉氏变换。对式(2-1)取拉氏变换得

式中，G(s)是与输入和系统初始条件有关的关系式；H(s)与系统初始条件及输入无关，只反映系统本身的特性，被称为系统的传递函数.

对零初始条件，G(s) =0，故

3）传递函数的特点:

(1)H(s)关系式的右端与输入x(t)无关，亦即传递函数H(s)不因输入x(t)的改变而改变，它表达系统的传输特性。

（2）H(s)只反映系统传输特性而不具体于系统的物理结构。同--形式的传递函数可以表征具有相同传输特性的不同物理系统。例如液柱温度计和RC低通滤波器两者的物理性质完全不同但同是一阶系统，具有形式相似的传递函数。这样大大简化了研究对象的类型。

（3）对于实际的物理系统，输入x(t)和输出y(t)都具有各自的量纲。用传递函数描述

系统传输、转换特性理应真实地反映量纲的这种变换关系。这关系正是通过系数a

i 、b

i

来反

映的。不同的物理系统有不同的系数量纲。

（4）H(s)中的分母取决于系统的结构。分母中s的幂次ｎ代表系统微分方程的阶数。分子则和系统同外界之间的关系，如输入(激励)点的位置、输人方式、被测量及测点布置情况有关。

一般测量装置总是稳定系统，其分母中s的幕次总是高于分子中s的幂次，即n>m。

2.频率响应函数

传递函数比在时域中用微分方程来描述系统特性有许多优点。但许多工程系统的微分方程式及其传递函数极难建立，且传递函数的物理概念也很难理解。与传递函数相比较，频率响应函数物理概念明确、易通过实验来建立，利用它和传递函数的关系也可求得传递函数，因此，频率响应函数就成为实验研究系统的重耍工具。

1)幅频特性、相频特性和频率响惋函数根据定常线性系统的频率保持性知，系统

在简谐信号t x t x ωsin )(0=的激励下，其稳态输出也是简谐信号)sin()(0?ω+=t y t y 。此输入和输出虽为同频率的简谐信号，但两者的幅值并不-样，其幅值比A=y 0/x 。、相位差）

（ω?都是ω的函数。称简谐扰力激励下系统稳态输出与输入的幅值比)

()()(ωωωX Y A =为

该系统的幅频特性，稳态输出对输入的相位差）（ω?称为该系统的相频特性，两者统称为系统的频率特性。因此系统的频率特性是指系统在简谐信号激励下，其稳态输出对输入的幅值比、相位差随激励频率变化的特性。

由于任何--个复数z=a+jb ，可以表示为)

(ω?j e

z z =，

它表示可将某个比值（模）和相角两个量组合成一个复数。现用A(ω)为模、）（ω?为幅角来构成如下复数

称此复数H(ω)为系统的频率响应函数。

2)频率响应函数的求法。

(1)利用传递函数求 令式（2-9）中H(s)表达式中的ｓ＝ｊω即得：

（2）用实验的方法求 依次用不同频率ωi 的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值X 0i 、Y oi 和相位差i ?。这样对于某个ωi ，便有一组Y o /i X 0i =Ai 和i ?，全部A i -ωi 和 i ?－ωi 便可表达系统的频率响应函数。

频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验来求取

（3)在初始条件全为零的情况下，同时测得输入x(t)和输出y(t)，由其傅里叶变换X(ω) 和Y(ω)求得频率响应函数

H(ω)=Y(ω)/X(ω). （2-12）

频响函数虽是对简谐激励而言的，但对任何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号输入下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入

信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。

*用传递函数和频率响应函数均可表达系统的传递特性，但两者的含义不同。在推导传递函数时，系统的初始条件设为零。而对于一个从t=0开始所施加的简谐信号激励来说，采用拉氏变换解得的系统输出将由两部分组成:由激励所引起的、反映系统固有特性的瞬态输出以及该激励所对应的系统的稳态输出。如图a)所示，系统在激励开始之后有一段过渡过程，经过一定长的时间以后，系统的瞬态输出趋于定值，亦即进人稳态输出。图 (b)示出的是频率响应函数描述下系统的输人与输出之间的对应关系，当输入为简谐信号时，在观察时系统的瞬态响应已趋近于零，频率响应函数H(ω)表达的仅仅是系统对简谐输入信号的稳态输出。因此用频率响应函数不能反映过渡过程，必须用传递函数才能反映全过程。

但是，频率响应函数直观地反映了系统对不同频率输入信号的响应特性。在实际的工程技术问题中，为获得较好的测量效果，常常在系统处于稳态输出的阶段上进行测试。因此在测试工作中常常用频率响应函数来描述系统的动态特性。而控制技术由于常常要研究典型扰动所引起的系统响应，研究一个过程从起始的瞬态变化过程到最终的稳态过程的全部特性，因此常常要用传递函数来描述。

(3)幅、相频率特性及其图象描述

①一般方法以A(ω)～ω、）

?～ω的关系式作出；

（ω

②伯德图自变量ω取对数，幅值A(ω) 取分贝(dB)数，相角取实数标尺，由此所作的曲线分别称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，总称为伯德图(BOde图)。

③实、虚频图令H(ω)=P(ω)+jQ(ω),其中P、Q均为ω的实函数，以P(ω)～ω、Q(ω)～ω所作出的关系曲线，即所谓的实、虚频特性曲线。

④柰魁斯特图以H(ω)的实部P(ω)为横轴、虚部Q(ω)为纵轴作出的P～Q曲线，

由此曲线，可求出对应ω的A(ω)和）（ω?的大小，方法是从原点作向量与曲线相交，原点到交点的长度即为A(ω)，向量与横轴的交角即为）（ω?。

3.脉冲响应函数

以微分方程来描述系统的特性时，往往不方便，实际中常用两个较简单的时域函数－单位脉冲及阶跃函数作为输入函数，对应的响应叫响应函数。

若输入为单位脉冲，即x(t)=δ(t)，则X(s)=L[δ(t)]=1,由H(s)=Y(s)/X(s)得系统的输出为Y(s) = H(s) X(s)＝H(s)，对此式取拉氏变换，的系统的时域响应

y(t)=L -1

[H(s)]=h(t)，称此h(t)为装置的脉冲响应函数或权函数。并由此作为系统特性的时域描述。

若输入的是阶跃函数 ??

?

?

?><=0

10

)(t t t x ，而输出为g(t),则称g(t)为阶跃响应函数。

至此，系统特性的时域、频域和复数域分别用脉冲响应函数h(t)、频率响应函数H(ω)和传递函数H(s)来描述。三者间存在着一一对应的关系。h(t)和传递函数H(s)是一对拉氏变换对;同时和频响函数H(ω)又是-对傅里叶变换对。 4.环节串联、并联时H(s)和H(ω)的计算 串联：传递函数一个一个顺序相连的连接形式； 并联：输入相同，输出相加减的连接形式。 1）H(s)的计算

设两个环节，传递函数分别为H 1(s)、H 2(s)，则串联后组成的系统(见图2-7)的H(s)在零初始条件下为

类似地，对几个环节串联组成的系统，有

若两个环节并联(见图2-8)，则因

类似的由m个环节并联组成的系统，有

2）H(ω)的计算

由传递函数和频率响应函数的关系，令s=jω,代入式（2-13）得到n个环节串联系统频率响应函数为

其幅频、相频特性分别为

令s=jω,代入式（2-15），得环节并联系统的频率响应函数为

二. 一阶、二阶系统的特性

理论分析表明，任何分母中s高于三次(m>3)的高阶系统都可以看成若干一阶环节和二阶环节的并联或串联而成的。因此分析并了解一、二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、复杂系统传输特性的基础。

1.一阶系统

1）定义、实例

输出、输入关系满足下面一阶微分方程的系统称为一阶系统。

式中，01a a ＝

τ 为时间常数；

0a b s = 系统灵敏度。

为研究简单，令ｓ＝1，得

图2-9为一阶系统的几个实例 a)为简谐系统，其输出、输入关系为

t F kx x c ωsin 0.

=+

b)为RC 积分电路，其输出、输入关系为

c)为液柱式温度计，其输出、输入关系为

dt

dy c

R

t y t x =-)

()(

（R-介质热阻，ｃ－液柱介质热容量）

2）传递函数

3）频响函数

其幅频图、相频图、伯德图、柰氏图如下：

特性总结

（1）当激励频率ω远小τ/1时(约ω<τ/5)，其A(ω)值接近于1（误差不超过2%)，输出输入幅值几乎相等。当ω>(2～3) τ/时，即τω>>1时，ωτ

ωj

H/

(≈，与之相应的微

)

1

分方程式为

即输出和输人的积分成正比，系统相当于一个积分器。其中A(ω)几乎与激励频率成反比，相位滞后近90°。故--阶测最装置适用于测量缓变或低频的被测量。

（2)时间常数τ是反映一阶系统特性的重要参数，实际上决定了该装置适用的频率范围。在ω＝τ/1处，A(ω)为0.707(-3dB)，相角滞后45°；

（3)一阶系统的波德图可以用一条折线来近似描述。这条折线在ω<τ/1段为A(ω)=1的水平线，在ω>τ/1段为-20dB/10倍频程（或-6dB/倍频)斜率的直线。τ/1点称转折频率，在该点折线偏离实际曲线的误差最大(为-3dB)。

4）脉冲响应

其图形如图2-I3所示。

5）阶跃响应

对系统突加、突卸载即属于阶跃输入，此种输入既简

易可行，又能揭示系统的动态特性，故常被采用。

一阶系统的单位阶跃响应为,

响应曲线见图2-20，响应特点为：

1）暂态响应是指数函数；2）稳态响应是输入的阶

跃值，稳态响应在∞

T时完成，3）初始上升斜率

→

为τ/1；4）不同时刻的响应为：

t=τ时，y(t)=0.632, t=4τ时，y(t)=0.982, t=5τ时，

y(t)=0.993,可见，τ越小越好，此时曲线越能快速达

到稳态状态。

2.二阶系统

1）定义、实例

输出、输入关系满足下面二阶微分方程的系统称为二阶系统。

二阶系统的三种实例如图2-14。

a)为振动系统，其输出、输入关系为

)(.

'

t x ky y c my =++

b)为RLC 电路，其输出、输入关系为

('

"

t x y y RC y c =++

c)为动圈式电表，其输出、输入关系为

2）传递函数

3）频响函数

相应的幅频特性和相频特性分别为

幅频、相频特性曲线见图2-15、图2-16、图2-I7为相应的伯德图和奈魁斯特图。

响应特性

（2)n ωω≈时，系统产生共振，其特点是：?ω2/1)(≈A ，90)(-=ω?°，并与阻尼无关；在n ω附近，幅频特性受阻尼影响极大；

（3）n ωω<<段，)(ω?甚小，且和频率近似成正比关系；n ωω>>段，)(ω?趋近于180°

即输出与输入几乎反相，在ω靠近n ω区，)(ω?随频率变化而剧烈变化，且阻尼越小，这种变化月剧烈；

（4）为使系统误差尽可能小，并较快的达到稳态响应，一般应选n ωω）～（8.06.0≤

，）

～＝（7.065.0? （5）伯德图特点：n ωω5.0<，A(ω)可用OdB 水年线近似：n ωω2>段，以斜率为-40dB/10

倍频或-12dB/倍频的直线来近似；n ωω)2~5.0(≈，近似折线偏离实际曲线较大。

4）脉冲响应函数

5）单位阶跃响应

响应曲线见图2-21，响应特点为：

1）稳态误差为零；2）固有频率n ω越高，响应曲线上升越越快；3）阻尼比直接影响超调量和振荡次数：1≥ζ无过冲、无振荡，0＝ζ，超调量100％，无穷振荡。若在稳态响应值上下取±10％的误差带，而定义响应曲线进入这个误差带内不再跃过的时间为建立时间，则当6.0＝ζ时建立时间最短，约

2.4/n ω，若误差带取±5％，则8.07.0～＝ζ最好，建立时间约（5～7）/n ω

第四节 测试装置对任意输人的响应

已在傅里叶变化性质部分做过讨论，结论是：输出y(t)等于输入x(t)和系统的脉冲响应函数h(t)的卷积。即

第五节 实现不失真测量的条件

所谓不失真测试指系统的响应y(t)波形与输入x(t)波形完全相似，即输出曲线保持着原信号的全部特征信息。

下面求不失真测试的条件。

设系统输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，从时域看，若输入与输出满足下列关系

（其图形见图2-22）就认为是不失真测试。

此式的含义是：1. 输出信号是输入信号的常数倍，即输出信号与输入信号图对应点上

的倍数相同；2.输出处处滞后与输入同一时间t 0。 对上式两边作傅立叶变换，得

由系统频响函数)(/)()(ωωωX Y H =得不失

真测试条件下对系统响应函数的要求为：

0)(t j e

A H ωω-=，从而得系统的幅、相频特性为：00)(,)(t A H ωω?ω-==，其响应

曲线如下。

由此知，不失真测试应满足两个条件：1.系统的幅频特性A(ω)在x(t)的频率范围内为一常数，2.系统的相频特性)(ω?是经过原点的直线。

实际测试装置不可能在很宽广的频率范围内都满足不失真测试的条件，称A(ω)不等于常数时引起的失真为幅值失真，)(ω?为非线性时引起的失真为相位失真。一般系统总是既有幅值失真，又有相位失真其例如下。

为尽量满足不失真测试以减小测量误差，可以从如下两方面考虑：

1.选用合适的测量装置，使得在测试的范围内，其幅频、相频特性应接近不失真条件，如对一阶系统，时间常数τ愈小，系统响应愈快，，近于满足不失真测试的条件的通频带愈宽，故一阶系统的时间常数τ应尽量小；对二阶系统，一般在ｎωω3.0<范围内，)(ω?较小，且)(ω?～ω特性曲线接近直线，而A(ω)的变化不超过10％，在ｎωω)3~5.2(>范围内，)(ω?接近180°，且随ω变化甚小，若对此?反相，则其相频特性基本满足不失真测试条件，但此范围A(ω)过小；当ｎ位于ωω)5.2~3.0(范围时，频率特性受ζ的影响较

大，其结论为：ζ＝0.6～0.8，综合特性较好，当ζ＝0.7时，幅频特性A(ω)变化大于5％，

)(ω?也近于直线。

2.对输入信号滤去非信号频带的噪声，可提高信噪比。

第六节 测量装置动态特性的测量

测量装置特性的测量包含静态测量与动态测量两方面，静态特性的测量方法已如静态特性介绍的那样，此处不再介绍。

测量系统的传递函数及频响函数描述了系统的动态特性，已知一阶系统的主要动态特性参数是时间常数τ，二阶系统的主要动态特性参数是ｎω和ζ，因此可以认为求取一、二阶系统动态特性的过程，也就是通过对系统的测试来确定其τ、ｎω和ζ的过程。

动态特性的测量方法一般有频率响应法和阶跃响应法等。 一、频率响应法

通过稳态正弦激励以求取系统的动态特性。方法是，对系统施以正强激励

t x t x ωsin )(0=,当响应达到稳态后，所得到的输出和输入的幅值比和相位差，便是激励频

率为ω时系统的传递特性，若逐点变换激励频率，便可求得幅、相频特性曲线，从而求得系统的动态特性参数。

1.一阶系统特性参数τ的测取

可以通过幅频和相频特性——式（2-21）和（2-22）直接确定。

2.二阶系统ｎω、ζ的确定（欠阻尼情况）

二阶系统的特性参数ｎω、ζ可以直接从相频恃性曲线估计。

1）ｎω的确定 当ζ较小时，因为ｎω≈ｒω，故振幅峰值处的频率既是ｎω； 2）ζ的确定 可利用幅频特性曲线及相频特性曲线求，下面介绍利用幅频特性曲线求取的方法。 （1）由式

知，曲线峰点（ｎω≈ｒω处） ζω2/1)(=A ，得 )2/(1n A ωζ=；若过1/2峰值处

作水平线交幅频曲线于a 、b 两点（见图2-34），对应的频率是1ω、2ω，再由A(1ω)=A(2ω),可得

（2）由共振频率ｒω处幅值与零频时的幅值比求取

其中共振频率

二、阶跃响应法

阶跃响应法指给系统输入阶跃信号，再由所得阶跃响应曲线求取系统τ、ｎω和ζ的实验方法。

1. 一阶系统特性参数τ的测取

1）测得系统的阶跃响应曲线，对应于稳态输出值的63.2％处的时间即为所求的τ。此法求得的τ因仅取决于个别瞬时值，，未涉及响应的全过程，结果的可靠性差。 2）利用一阶系统的阶跃响应式τ

/1)(t e t y --=求

将上式改写成

，再对式两边取对数得：

上式表明ln[1-y u (t)]和ｔ成线性关系，故可由测得的若干对ｔ、ｙ值，作出ln[1-y u (t)]-ｔ曲线，由其斜率可确定出τ。

1.二阶系统ｎω、ζ的确定（欠阻尼情况）

1）由最大超调量求取 二阶系统是一个以2

1ζωω-=n d 为频率的衰减振动，其

运动方程为：

)sin(11)(2

?ωζ

ζω+--

=-t e

t y d t

n （Ａ）

其运动曲线如图

2-25

由图可知，最大超调量Ｍ出现的时间tp 为半周期，即d d p T t ωπ/2/==，代tp 于式（Ａ）中，可求得最大超调量和阻尼比的关系为：

ζ可由上式或以上式所作的Ｍ－ζ图2-26求。

2）由任意两个超调量M i 、M i+n 求 此法用于瞬变过程较长，响应曲线上有多个超调量的情况。

设M i 、M i+n 所对应的时间分别为T i 、T i+n ，则因t i+n ＝t i + t n ＝t i + nT d = t i + n d ωπ/2= t i + n n ωζπ2

1/2-，代t i 、t i+n 于式（Ａ），求得M i 、M i+n ，令

2

)

/2(1/2ln

ln

ζ

ζπδωπζωζω-===+--+n e

e M M d i n i

n n t t n

i i n ，

当3.0≤ζ时，ζπδn n 2≈，由此得