谈齐次线性方程组的基础解系的求法
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1),,,n r -12ξξξ线性无关;(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX =0的基础解系.称=X 齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系【定理】(1)(2)（注：当注：1()n r A -2AX O = （1） 当（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3)写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有(r 解法二：2341A =注：【例题2解：可得()r A 12x x x =⎧⎨=-⎩令31x =令30x =令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.二、非齐次线性方程组的解法 求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()0rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥A b 行其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知1(1)r d +≠1(2)r d +=1(3)r d +=其通解为,,n r k -为任意常数。
线性方程组基础解系
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x2 amn xn 0
线性无关，
所以 n r 个 n 维向量 1 , 2 , , n r 亦线性无关.
( 2)证明解空间的任一解都可由 1 , 2 , , n r 线性表示.
设x 1 r
r 1 n 为上述
T
方程组的一个解 再作 1 , 2 , , n r 的线性组合 , .
其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Am n x 0的全体解所
构成的集合S是一个向量空间当系数矩阵的秩 , R( Am n ) r时, 解空间S的维数为n r . 当R( A) n时, 方程组只有零解 故没有基础解 ,
系(此时解空间只含一个零 向量, 为0维向量空间); 当R( A) r n时, 方程组必有含n r个向量的
也是 Ax 0 的解.
x 1 2
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1 也是 Ax 0 的解． 证明 证毕. 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax 0 的解空间．
如果1 , 2 ,, t 为齐次线性方程组 Ax 0 的一组基础解系 那么, Ax 0 的通解可表示为 ,
解齐次线性方程组基础解系
解齐次线性方程组基础解系
近些年，随着互联网科技的陆续发展，求解齐次线性方程组基础解系的工具在
用户之间广受推崇，取得了不俗的成效。
它是一种共性基础解系，可以帮助研究人员、学者等处理高维空间中的复杂线性方程组，有助搭建理论体系。
求解齐次线性方程组基础解系，主要包括三个步骤：首先，用线性代数的技术
实现把原系数矩阵相减法转化成对等降幂矩阵；其次，当把原系数矩阵变换成一组上三角矩阵之后，便可以得到一个同质基础解系；最后，将同质基础解系转换为非同质基础解系，就能够得到求解齐次线性方程组的最终答案。
由于求极限及其他一些数学计算较复杂，使用求解齐次线性方程组基础解系可
以显著提升工作效率。
同时，也可使用它来分析系统问题与复杂运算，精准推断重要信息。
求解齐次线性方程组基础解系也在逐步完善和积极推广，受到不少用户的称赞。
综上所述，求解齐次线性方程组基础解系是一种用于处理复杂线性方程组的共
性基础解系，有利于搭建理论体系，提升计算效率，分析系统问题，推断重要信息，从而发挥重要作用，受到广泛的好评。
基础解系怎么求 如何计算_1
基础解系怎么求如何计算
基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。
基础解系怎么求
线性代数的基础解系求法：
基础解系针对齐次线性方程组AX = 0而言的.
当r(A)n(n是A的列数)时, 方程组存在基础解系.
基础解系是AX = 0的n-r(A)个线性无关的解向量, 方程组的任一解都可表示为基础解系的线性组合.
以齐次方程组为例：
假如是3阶矩阵r(A)=1
矩阵变换之后不就是只剩一个方程.这时候,可以设x3为1,x2为0,得出x1，然后设x3为0,x2为1,得出x1由于只要(0,1)和（1,0）确定无关,所以所得解就无关,而这个方程基础解系的个数为n-r(A)=2个.假如r(A)=2的话,就剩下来两个方程。
极大线性无关组基本性质
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；
（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；
（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。
（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。
谈齐次线性方程组的基础解系的求法
收稿日期:2003-03-03作者简介:孙学农(1971-),男,山东省东营市人,山东东营职业学院讲师1第24卷第3期济宁师范专科学校学报2003年6月V ol124N o13Journal of Jining T eachers’C ollege Jun12003文章编号:1004-1877(2003)03-0005-02谈齐次线性方程组的基础解系的求法孙学农(东营职业学院,山东东营257091) 摘 要:本文首先陈述求齐次线性方程组的基础解系的简化解法,进一步利用矩阵的初等变换给出了一种很有使用价值的简便方法。
关键词:基础解系;初等变换;线性无关;向量中图分类号: O241.6 文献标识码:A考虑齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1n x n=0a21x1+a22x2+…+a2n x n=0 ………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=0 (1) 定义 设a1,a2,…,a s是方程组(1)的解向量,并且:(1)a1,a2,…,a s线性无关:(2)方程组(1)的任一解向量a都可由向量组a1,a2,…,a s线性表出,则称a1,a2,…,a s是线性方程组(1)的一个基础解系。
定理 若齐次线性方程组(1)中的系数矩阵的秩r<n(r≥0),那么方程组(1)有基础解系,且基础解系所含解向量的个数等于n-r。
算法 先将系数矩阵A进行初等行变换,化成阶梯阵U=3,显然AX=0当且仅当UX=0.然后将矩阵进行列变换,变成T=C113C22ω30C rr00注意此时自变量x1,x2,…,x n的次序有可能发生变化,我们把改变顺序的向量组成新向量Y,因此AX=0当且仅当TY=0。
设Y=(y1,y2,…,y r,y r+1,…,y n),取(y r+1,…y n)分别为(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),(0,0,1,…,0),(0,0,0,…, 1),分别代入TY=0可得n-r组(y1,y2,…,y r),将每组(y1,y2,…,y r)与其对应的组(y r+1,…,y n)合起来,可得TY=0的一个基础解系Y1,Y2,…,Y n-r,将Y1,Y2,…,Y n-r中分量的顺序调整到X的顺序,分别得到a1,a2,…,a n-r,即为AX=0的基础解系。
通解和基础解系的求法
通解和基础解系的求法一、引言在数学中，我们经常遇到需要求解方程或者方程组的问题。
而对于线性方程组来说，通解和基础解系是非常重要的概念。
本文将介绍通解和基础解系的定义及其求法，并给出一些例子来帮助读者更好地理解这两个概念。
二、线性方程组的通解1. 定义首先，我们来看一下什么是线性方程组的通解。
对于一个线性方程组：{a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =b 1a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =b 2…a m1x 1+a m2x 2+⋯+a mn x n =b m其中，a ij 和 b i 是已知系数或常数，x i 是未知变量。
如果一个向量 x 满足上述方程组中的所有等式，则称 x 是该线性方程组的一个解。
而所有满足该线性方程组的向量构成了该方程组的通解。
2. 求法接下来，我们来看一下如何求解线性方程组的通解。
一种常见的方法是使用高斯消元法或矩阵求逆的方法来求解方程组，得到一个特解。
然后，我们可以通过给特解加上一个线性无关的向量组成的向量空间来得到通解。
具体步骤如下：•使用高斯消元法或矩阵求逆的方法将线性方程组转化为行简化阶梯形式。
•找到一个特解 x p 。
•构造一个基础解系 {x 1,x 2,…,x n−r }，其中 n 是未知变量的个数，r 是行简化阶梯形式中非零行的个数。
• 通解为 x =x p +c 1x 1+c 2x 2+⋯+c n−r x n−r ，其中 c 1,c 2,…,c n−r 是任意常数。
三、线性方程组的基础解系1. 定义接下来，我们来看一下什么是线性方程组的基础解系。
对于一个齐次线性方程组：{a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =0a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =0…a m1x 1+a m2x 2+⋯+a mn x n =0其中，a ij 是已知系数，x i 是未知变量。
如果一个向量 x 满足上述方程组中的所有等式，则称 x 是该齐次线性方程组的一个解。
线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法
下面证明 1 , 2 , , n r 是齐次线性方程组(1)的一 个基础解系．
(1)证明 1 , 2 ,, n 线性无关.
1 0 , 0 0 1 , , 0 0 0 1
n 由于
r
个n
r
维向量
线性无关， 所以n r 个n 维向量 1 , 2 , , n r 亦线性无关.
(2)证明 1 , 2 , , n 线性无关.
设 x 1 方程组的一个解
r
r 1
n 为上述
T
. 再作 1 , 2 , , n r 的线性组合
b11 b12 b b r1 r2 r 1 1 r 2 0 n 0 1 0 0 b1 ,n r c 1 b r ,n r c r 0 r 1 0 r2 1 n
~
1 0 0
0 1 0
2 7 5 7 0
3 7 4 7 , 0
便得
2 x1 x 3 7 5 x2 x3 7
3 7 4 7
x4, x4.
x3 1 0 2 7 3 7 令 及 ,对应有 x 1 及 , 0 1 x4 x2 5 7 4 7
解
对系数矩阵施 行初等行变换
1 2 A 1 3
1 1 1 1
1 3 3 5
4 5 2 6
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收稿日期:2003-03-03
作者简介:孙学农(1971-),男,山东省东营市人,山东东营职业学院讲师1
第24卷第3期济宁师范专科学校学报2003年6月V ol124N o13Journal of Jining T eachers’C ollege Jun12003文章编号:1004-1877(2003)03-0005-02
谈齐次线性方程组的基础解系的求法
孙学农
(东营职业学院,山东东营257091)
摘 要:本文首先陈述求齐次线性方程组的基础解系的简化解法,进一步利用矩阵的初等变换给出了一种很有使用价值的简便方法。
关键词:基础解系;初等变换;线性无关;向量
中图分类号: O241.6 文献标识码:A
考虑齐次线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1n x n=0
a21x1+a22x2+…+a2n x n=0
………
a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=0
(1)
定义 设a1,a2,…,a s是方程组(1)的解向量,并且:
(1)a1,a2,…,a s线性无关:
(2)方程组(1)的任一解向量a都可由向量组a1,a2,…,a s线性表出,
则称a1,a2,…,a s是线性方程组(1)的一个基础解系。
定理 若齐次线性方程组(1)中的系数矩阵的秩r<n(r≥0),那么方程组(1)有基础解系,且基础解系所含解向量的个数等于n-r。
算法 先将系数矩阵A进行初等行变换,化成阶梯阵U=
3
,显然AX=0当且仅当UX=0.然后将矩阵进行列变换,变成
T=
C113
C22
ω3
0C rr
00
注意此时自变量x1,x2,…,x n的次序有可能发生变化,我们把改变顺序的向量组成新向量Y,因此AX=0当且仅当TY=0。
设Y=(y1,y2,…,y r,y r+1,…,y n),取(y r+1,…y n)分别为(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),(0,0,1,…,0),(0,0,0,…, 1),分别代入TY=0可得n-r组(y1,y2,…,y r),将每组(y1,y2,…,y r)与其对应的组(y r+1,…,y n)合起来,可得TY=0的一个基础解系Y1,Y2,…,Y n-r,将Y1,Y2,…,Y n-r中分量的顺序调整到X的顺序,分别得到a1,a2,…,a n-r,即为AX=0的基础解系。
例 求齐次线性方程组
x1-x2+5x3-x4=0
x1+x2-2x3+3x4=0
3x1-x2+8x3+x4=0
x1+3x2-9x3+7x4=0
的一个基础解系。
—
5
—
解 A=1 -1 5 -1
1 1 -2 3
3 -1 8 1
1 3 -9 7
———
1 -1 5 -1
0 2 -7 4
0 0 0 0
0 0 0 0
取x3,x4为自由未知量,得方程组为
x1-x2=-5x3+x4 2x2=7x3-4x4
令 x3=1,x4=0,得x1=-3/2,x2=7/2
x3=0,x4=1,得x1=-1,x2=-2
则a1=(-3/2,7/2,1,0),a2=(-1,-2,0,1)为所求的一个基础解系。
下面我们来导出一个求基础解系的简便方法。
为变换上的方便,不妨把线性方程组写成矩阵方程X1×n A n×m=01×m,因n×m矩阵A必有n阶和m阶可逆阵P和
Q,使PAQ=I r 0
0 0
,其中r=秩A,I r为阶单位矩阵,故PA=
I r 0
0 0
Q1=
D r
,这里D r为满秩矩阵。
而n阶可逆矩阵P
的后n-r行必线性无关,且为[0,I n-r]P,这里I n-r为n-r阶单位矩阵。
因[0,I n-r]PA=[0,I n-r]D r
=0。
此示,P的后n
-r行就是(1)的解向量,从而P的后n-r行就是(1)的一个基础解系。
从而我们得到一个求(1)的一个基础解系的简便方法是:
[A n×m,I n]— D r
,P,
其中,D r为一行满秩矩阵,r=秩(A),P为n阶可逆阵,则P的后n-r行即为(1)的一个基础解系。
下面我们用此方法来解上述例题
解: 1 1 3 1 1 0 0 0
-1 1 -1 3 0 1 0 0
5 -2 8 -9 0 0 1 0
-1 3 1 7 0 0 0 1
—
1 1 3 1 1 0 0 0
0 2 2 4 1 1 0 0
0 -7 -7-14 -5 0 1 0
0 4 4 8 1 0 0 1
1 1 3 1 1 0 0 0 0 2 2 4 1 1 0 0
0 0 0 0
-3
2
7
2
1 0 0 0 0 0 -1 -2 0 1
于是,a1=(-3/2,7/2,1,0) a2=(-1,-2,0,1)为所求的一个基础解系。
因可逆矩阵可表示成一系列初等矩阵的乘积,由初等矩阵与初等变换的关系及本文的定理即得上述齐次线性方程组的基础解系的一种简便求法。
参考文献:
[1]北京大学数学系.高等代数[M].高等教育出版社,1988.
[2]刘树利等编.计算机数学基础[M].高等教育出版社,2000.
(责任编辑 庞新琴)—
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—。