齐次线性方程组基础解系讲课比赛教案
初中数学教案如何教授线性方程组的解法与应用
初中数学教案如何教授线性方程组的解法与应用线性方程组是初中数学中的重要内容之一，它是培养学生逻辑思维和分析问题能力的有效工具。
本文将介绍如何编写一份教案，以教授线性方程组的解法与应用。
一、教学目标1. 理解线性方程组的概念和基本解法。
2. 掌握使用消元法解线性方程组的方法。
3. 学会应用线性方程组解决实际问题。
二、教学准备1. 教师准备：掌握线性方程组的解法，准备示例题和练习题。
2. 学生准备：课前预习线性方程组的基本概念和解法。
三、教学过程1. 导入：通过一个生活实例引出线性方程组的概念，例如汽车租赁费用的计算就可以使用线性方程组。
2. 理解线性方程组：与学生共同探讨线性方程组的定义、特点和解的概念。
解释线性方程组的解集是满足所有方程的公共解。
3. 消元法解法：介绍基本的消元法解法步骤，包括主元列、初等行变换和高斯消元法。
通过示例演示解法步骤，并让学生跟随做练习。
4. 讲解消元法的原理：通过实际案例分析，解释为什么消元法能够得到方程组的解。
5. 解决实际问题：给出一些实际问题，引导学生将问题转化为线性方程组，并利用消元法求解。
例如：图书馆借书证费用的计算。
6. 综合应用：让学生通过解决一些综合应用题，将线性方程组的解法运用到实际问题中，培养学生灵活运用数学知识的能力。
7. 总结归纳：与学生共同总结线性方程组的解法和应用，并强调解题方法的灵活性和实用性。
8. 作业布置：布置相关的练习题目，巩固学生所学知识。
四、教学评价1. 教师可通过课堂练习、小组合作解题、个人答辩等方式，对学生的学习情况进行评价。
2. 给予学生详细的评价，并指出他们在解题过程中的错误和不足之处，提供改进建议。
五、教学反思1. 教案的内容编排是否合理？2. 教学目标是否达到？3. 学生的学习表现如何？4. 是否需要调整教学方法和步骤？5. 如何进一步激发学生的学习兴趣和动力？以上是一份初中数学教案，用于教授线性方程组的解法与应用。
线性方程组的求解省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
x0 x
xR n
又 : E AE A 1 E E A 1 AE A 1 E E A 1 E AE A 1
E A 1 1 AE A 1 1 A E A 1
E A 1 1
1 A
4）Rnn 上旳范数均等价,即对Rnn上旳两个范数
及
s
t ,存在常数
C1>0,C2>0.使 C1
阵P使P•A=L•U。
③Gauss消元法旳改善 Gauss消元法旳缺陷：
对给定的Ax b, A 0, 欲求Ax b x ?
1)为使主元
a
k
kk
0, 需Dk
0k
1,2,, n 1, 但前提条件
只有Dn 0， A 0.
2)在Dn 0的条件下，可通过交换 两个方程使主元非零， 但仍
有问题存在：可能违反 运算规则（除法） 非常小的数做分母。
n 1 n 2n 1 n n 1
6
1 n3 1 n2 5 n 326
回代：N回 1 2
n n 1
n
2
N总
N消
N回
1 3
n3
1 2
n2
5 6
n
n n 1
2
1 3
n3
n2
1 3
n
o
1 3
n3
§3 三角求解求法
一、基本思想
已知：Ax b, 且A的顺序主子式Dk 0(k 1,2,..., n). 则A有D分解A LU；L为单位矩阵，U为上三角阵. 于是Ax b即为LUx b, 令Ux y，Ly b. 先求Ly b y Ux y x. 即先求解Ly b，得y，再求解Ux y，得x. 此即为LU分解法的基本思路.
(单位下三角矩阵旳逆为单位下三角矩阵，乘积也为单位下三角矩阵) 由此引进如下更一般旳三角分解旳概念：
线性方程组的解法教案
线性方程组的解法教案一、引言线性方程组是数学中常见的一个重要概念，解决线性方程组问题是解析几何、线性代数等学科的核心内容。
本文将介绍线性方程组的基本概念和解法，帮助读者更好地理解和应用线性方程组。
二、线性方程组的基本概念1. 定义：线性方程组由一组线性方程组成，每个方程中的未知数的最高次数都为1，且系数皆为实数或复数。
线性方程组可以表示为以下形式：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，a₁、a₂、...、aₙ分别为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
2. 解的概念：对于线性方程组，找到一组使得所有方程都成立的值，即为其解。
如果线性方程组存在解，则称其为相容的；如果不存在解，则称其为不相容的。
三、线性方程组的解法1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法之一。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为增广矩阵形式，写成增广矩阵[A|B]的形式。
(2) 对增广矩阵进行初等行变换，化简成上三角形矩阵[U|C]的形式，即上面的元素都为0。
(3) 从最后一行开始，按列主元所在的列进行回代求解，得到每个未知数的值。
2. 矩阵的逆和逆的应用矩阵的逆是解决线性方程组的另一种有效方法。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为矩阵形式，即AX = B。
(2) 若矩阵A可逆，即存在逆矩阵A⁻¹，则方程组的解可以表示为X = A⁻¹B。
3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法，适用于方程组的系数矩阵为方阵的情况。
具体步骤如下：(1) 将方程组的系数矩阵记为A，常数项矩阵记为B。
(2) 分别计算方程组系数矩阵的行列式D和将常数项矩阵替换为方程组系数矩阵第i列后的新矩阵Di的行列式Di，并计算比值di = Di / D。
数学学科解线性方程组
数学学科解线性方程组教案主题：数学学科解线性方程组教学目标：1. 理解线性方程组的概念和性质；2. 掌握解线性方程组的基本方法；3. 能够运用解线性方程组的方法解决实际问题。
教学重点：1. 掌握利用消元法求解线性方程组的步骤；2. 能够通过代入法和加减法求解线性方程组；3. 理解线性方程组的解的唯一性和无解的情况。
教学难点：1. 理解解线性方程组的多解情况；2. 能够将实际问题转化为线性方程组，并求解。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、多媒体设备；2. 学生准备：课本、笔记本、计算器。
教学过程：一、导入（引发学生兴趣，激发学习动力）（200字左右）通过一个小问题引入线性方程组的概念：小明和小红一起去买水果，小明买了2个苹果和3个橙子，花费8元；小红买了3个苹果和4个橙子，花费11元。
请问，苹果和橙子分别的价格是多少？二、呈现问题（介绍线性方程组的概念和性质）（200字左右）以解决买水果问题为例，引导学生思考什么是线性方程组，并通过数学符号表示。
三、解决线性方程组的基本方法（500字）1. 消元法：通过消去某个未知数的系数，进而求解其他未知数的值。
例题：3x + 2y = 142x - y = 1步骤分析：a) 将第二个方程乘以3，得到 6x - 3y = 3；b) 将第一个方程乘以2，得到 6x + 4y = 28；c) 将第一个方程减去第二个方程，消去x的系数，得到 7y = 25；d) 求解y的值，代入第一个方程求解x的值；e) 最终得到方程组的解为 x = 3，y = 25/7。
2. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程，从而求解未知数的值。
例题：2x + y = 10x - y = 2步骤分析：a) 将第二个方程的x的值代入第一个方程，得到 2(2 + y) + y = 10；b) 求解y的值，代入第一个方程求解x的值；c) 最终得到方程组的解为 x = 3，y = -1。
3. 加减法：通过加减两个方程，消去一个未知数，再求解另一个未知数的值。
齐次线性方程组解的结构问题的教学设计
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７齐次线性方程组解的结构问题的教学设计齐次线性方程组解的结构问题的教学设计Һ裴慧敏㊀（江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了齐次线性方程组解的结构问题的教学设计．首先，从具体例子出发，引出基础解系的定义．接着给出结构式通解的概念．最后，从秩的角度出发给出了基础解系的求解方法，进而得到了齐次线性方程组的结构式通解．而且在课堂教学中融入课堂思政，真正做到教书育人．ʌ关键词ɔ齐次线性方程组；解的结构；基础解系；教学设计ʌ基金项目ɔ江苏师范大学博士学位教师科研基金项目（１８ＸＬＲＸ０１９）；江苏省高等学校自然科学研究面上项目（２０ＫＪＢ１１００２６）；江苏省高等教育教学改革课题（２０２１ＪＳＪＧ２３５）．１㊀引㊀言在中学数学中，对于给定的线性方程组，一般只需要求出它的解即可，这对于线性方程组的研究是远远不够的．对于给定的线性方程组，它可能无解㊁有唯一解或者有无穷多解．当线性方程组无解或者有唯一解的时候，都很容易表示出来．但是，当线性方程组有无穷多解的时候，不可能将所有的解都一一表示出来．那么，如何将这无穷多解以一种比较简洁的形式表示出来呢？本文主要是关于齐次线性方程组解的结构问题的教学设计．首先，通过问题引入，引出齐次线性方程组的解的结构问题．再通过不断引导学生，给出基础解系㊁结构式通解的相关概念．最后，给出求结构式通解的方法．本文结尾，也结合本节课知识点，融合课堂思政，做到教书育人相结合．２㊀教学过程２．１㊀问题引入首先，我们来回顾一下，对于给定的齐次线性方程组，如何求出它的解．例２．１㊀解齐次线性方程组２ｘ１＋４ｘ２＋ｘ３＋ｘ５＝０，３ｘ１＋６ｘ２＋２ｘ３＋ｘ４＝０，４ｘ１＋８ｘ２＋３ｘ３＋２ｘ４－ｘ５＝０．ìîíïïï（２．１）解析㊀记Ａ＝２４１０１３６２１０４８３２－１æèççöø÷÷，ｘ＝ｘ１︙ｘ５æèççöø÷÷，则齐次线性方程组（２．１）可以表示成矩阵形式Ａｘ＝０．（２．２）其中，ｘ就是要求的齐次线性方程组的解．通过前面的学习我们知道，要求ｘ，首先就要对方程组的系数矩阵Ａ施行初等行变换将其化为行最简形矩阵：Ａ＝２４１０１３６２１０４８３２－１æèççöø÷÷ｒ３＋（－２）ｒ１ｒ１－ｒ２ｒ２＋３ｒ１ң－１－２－１－１１００－１－２３００１２－３æèççöø÷÷ｒ３＋ｒ２ｒ１－ｒ２（－１）ｒ２ң－１－２０１－２００１２－３０００００æèççöø÷÷（－１）ｒ１ң１２０－１２００１２－３０００００æèççöø÷÷，显然，Ｒ（Ａ）＝２＜５，所以，原齐次线性方程组有无穷多个解，其通解为ｘ１＝－２ｘ２＋ｘ４－２ｘ５，ｘ３＝－２ｘ４＋３ｘ５，{（２．３）其中ｘ２，ｘ４，ｘ５是自由未知量．把自由未知量ｘ２，ｘ４，ｘ５依次取为任意常数ｋ１，ｋ２，ｋ３，则方程组Ａｘ＝０的通解还可表示为ｘ１＝－２ｋ１＋ｋ２－２ｋ３，ｘ２＝ｋ１，ｘ３＝－２ｋ２＋３ｋ３，ｘ４＝ｋ２，ｘ５＝ｋ３，ìîíïïïïïï即ｘ＝－２ｋ１＋ｋ２－２ｋ３ｋ１－２ｋ２＋３ｋ３ｋ２ｋ３æèçççççöø÷÷÷÷÷（２．４）显然，当未知量的个数比较多且自由未知量的个数比较少时，如果继续用（２．４）式来表示齐次线性方程组Ａｘ＝０的解，就会比较烦琐．对于一般的齐次线性方程组Ａｘ＝０，当它有无穷多解时，如何以一种比较简洁的形式将这无穷多解表示出来呢？这一问题值得我们去研究，这就是齐次线性方程组解的结构问题．２．２㊀研究问题给定ｎ元齐次线性方程组ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋ ＋ａ１ｎｘｎ＝０，ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋ ＋ａ２ｎｘｎ＝０， ａｍ１ｘ１＋ａｍ２ｘ２＋ ＋ａｍｎｘｎ＝０，ìîíïïïï（２．５）㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７若记Ａ＝ａ１１ａ１２ ａ１ｎａ２１ａ２２ ａ２ｎ︙︙︙ａｍ１ａｍ２ ａｍｎæèçççöø÷÷÷，ｘ＝ｘ１ｘ２︙ｘｎæèçççöø÷÷÷，则齐次线性方程组（２．５）可以表示成矩阵形式Ａｘ＝０．（２．６）其中，Ａ是系数矩阵，ｘ是齐次线性方程组（２．６）的一个解向量或者解．注意到，当齐次线性方程组Ａｘ＝０有无穷多解时，它的所有解向量就可以组成一个集合，记为解集Ｕ．那么，根据向量组的极大无关组的定义，如果我们能够找到解集Ｕ的极大无关组，那么，解集Ｕ中的任何一个解向量都可以由该极大无关组线性表示，即齐次线性方程组Ａｘ＝０的无穷多解可以由该极大无关组线性表示．将解集Ｕ的极大无关组记为α１，α２， ，αｔ，显然，它需要满足如下三个条件：（１）α１，α２， ，αｔ是解集Ｕ的一个部分组；（２）α１，α２， ，αｔ线性无关；（３）解集Ｕ中的任一向量都可由α１，α２， ，αｔ线性表示．对于这个极大无关组，我们将它称为齐次线性方程组Ａｘ＝０的基础解系．下面，我们具体给出基础解系的概念．定义２．１［１］㊀齐次线性方程组Ａｘ＝０的一组解α１，α２， ，αｔ称为它的一个基础解系，如果（１）α１，α２， ，αｔ线性无关；（２）方程组Ａｘ＝０的任一解都可由α１，α２， ，αｔ线性表示．显然，如果α１，α２， ，αｔ是方程组Ａｘ＝０的一个基础解系，那么方程组Ａｘ＝０的任意一个解α都可以表示成如下形式：α＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋ ＋ｋｔαｔ，（２．７）其中ｋ１，ｋ２， ，ｋｔ是一组常数．反之，对于任意一组数ｋ１，ｋ２， ，ｋｔ，α也都是方程组Ａｘ＝０的一个解，因为Ａα＝Ａ（ｋ１α１＋ｋ２α２＋ ＋ｋｔαｔ）＝ｋ１Ａα１＋ｋ２Ａα２＋ ＋ｋｔＡαｔ＝０．我们将式（２．７）称为齐次线性方程组Ａｘ＝０的结构式通解．对于一般的齐次线性方程组Ａｘ＝０，当它有无穷多解时，我们就可以用结构式通解将它的无穷多解简洁地表示出来．那么，对于给定的齐次线性方程组Ａｘ＝０，如何求出它的结构式通解呢？要求齐次线性方程组Ａｘ＝０的结构式通解，首先就要求出它的基础解系．根据基础解系的定义，我们思考：（１）什么样的齐次线性方程组Ａｘ＝０存在基础解系？（２）若存在，如何求出齐次线性方程组Ａｘ＝０的基础解系？下面，我们将围绕这两个问题进行讨论．首先，我们来看第一个问题．由前面的学习，我们知道只含零向量的向量组不存在极大无关组，也就是说，只有当齐次线性方程组Ａｘ＝０有非零解（无穷解）时，即Ｒ（Ａ）＜ｎ时，它才存在基础解系．接下来，我们从秩的角度出发，对第二个问题进行研究．设Ｒ（Ａ）＝ｒ，Ａ的行最简形矩阵为Ｆ．当ｒ＝０时，Ｆ为零矩阵，即Ｆ＝０．此时，任一ｎ维列向量都是方程组Ｆｘ＝０的解．由于Ａｘ＝０与Ｆｘ＝０同解，所以，任一ｎ维列向量都是方程组Ａｘ＝０的解．也就是说，Ａｘ＝０的解集Ｕ是由所有的ｎ维列向量构成的．通过前面的学习知道，ｎ维单位向量组ε１，ε２， ，εｎ是解集Ｕ的一个极大无关组，所以，任意ｎ个线性无关的ｎ维列向量都是方程组Ａｘ＝０的一个基础解系．当０＜ｒ＜ｎ时，不妨设Ａ的前ｒ个列向量线性无关，由于Ｆ的列向量组与Ａ的列向量组具有完全相同的线性关系，所以，矩阵Ｆ可设为Ｆ＝１０ ０ｃ１，ｒ＋１ｃ１，ｒ＋２ ｃ１ｎ０１ ０ｃ２，ｒ＋１ｃ２，ｒ＋２ ｃ２ｎ００ １ｃｒ，ｒ＋１ｃｒ，ｒ＋２ｃｒｎ００ ０００ ０ ００ ００００æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷，得方程组Ａｘ＝０的通解为ｘ１＝－ｃ１，ｒ＋１ｘｒ＋１－ｃ１，ｒ＋２ｘｒ＋２－ －ｃ１ｎｘｎ，ｘ２＝－ｃ２，ｒ＋１ｘｒ＋１－ｃ２，ｒ＋２ｘｒ＋２－ －ｃ２ｎｘｎ，㊀㊀㊀㊀ｘｒ＝－ｃｒ，ｒ＋１ｘｒ＋１－ｃｒ，ｒ＋２ｘｒ＋２－ －ｃｒｎｘｎ，ìîíïïïï（２．８）其中ｘｒ＋１，ｘｒ＋２， ，ｘｎ为自由未知量．若把ｘｒ＋１，ｘｒ＋２， ，ｘｎ依次取为任意常数ｋ１，ｋ２． ，ｋｎ－ｒ，则方程组Ａｘ＝０的通解可表示为ｘ１＝－ｃ１，ｒ＋１ｋ１－ｃ１，ｒ＋２ｋ２－ －ｃ１ｎｋｎ－ｒ，ｘ２＝－ｃ２，ｒ＋１ｋ１－ｃ２，ｒ＋２ｋ２－ －ｃ２ｎｋｎ－ｒ，ｘｒ＝－ｃｒ，ｒ＋１ｋ１－ｃｒ，ｒ＋２ｋ２－ －ｃｒｎｋｎ－ｒ，ìîíïïïï即ｘ１︙ｘｒｘｒ＋１ｘｒ＋２︙ｘｎæèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＝－ｃ１，ｒ＋１ｋ１－ｃ１，ｒ＋２ｋ２－ －ｃ１ｎｋｎ－ｒ︙－ｃｒ，ｒ＋１ｋ１－ｃｒ，ｒ＋２ｋ２－ －ｃｒｎｋｎ－ｒｋ１ｋ２︙ｋｎ－ｒæèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷，也就是ｘ１︙ｘｒｘｒ＋１ｘｒ＋２︙ｘｎæèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＝ｋ１－ｃ１，ｒ＋１︙－ｃｒ，ｒ＋１１０︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＋ｋ２－ｃ１，ｒ＋２︙－ｃｒ，ｒ＋２０１︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＋ ＋ｋｎ－ｒ－ｃ１ｎ︙－ｃｒｎ００︙１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷．记α１＝－ｃ１，ｒ＋１︙－ｃｒ，ｒ＋１１０︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷，α２＝－ｃ１，ｒ＋２︙－ｃｒ，ｒ＋２０１︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷， ，αｎ－ｒ＝－ｃ１ｎ︙－ｃｒｎ００︙１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷，㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７则方程组Ａｘ＝０的通解可表示为ｘ＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋ ＋ｋｎ－ｒαｎ－ｒ，即Ａｘ＝０的任一解都可由α１，α２， ，αｎ－ｒ线性表示．如果α１，α２， ，αｎ－ｒ又是方程组Ａｘ＝０的ｎ－ｒ个线性无关的解，那么，α１，α２， ，αｎ－ｒ就是方程组Ａｘ＝０的基础解系．接下来，我们只需证α１，α２， ，αｎ－ｒ是方程组Ａｘ＝０的ｎ－ｒ个线性无关的解即可．通过观察我们发现：在方程组Ａｘ＝０的通解（２．８）中把自由未知量ｘｒ＋１，ｘｒ＋２， ，ｘｎ依次取ｎ－ｒ组值：ｘｒ＋１＝１，ｘｒ＋２＝０， ，ｘｎ＝０；ｘｒ＋１＝０，ｘｒ＋２＝１， ，ｘｎ＝０；ｘｒ＋１＝０，ｘｒ＋２＝０， ，ｘｎ＝１，就得到了α１，α２， ，αｎ－ｒ，也就是说α１，α２， ，αｎ－ｒ是方程组Ａｘ＝０的ｎ－ｒ个解．接下来，我们只需证明α１，α２， ，αｎ－ｒ线性无关即可．为此，建立向量方程ｔ１α１＋ｔ２α２＋ ＋ｔｎ－ｒαｎ－ｒ＝０，即ｔ１－ｃ１，ｒ＋１︙－ｃｒ，ｒ＋１１０︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＋ｔ２－ｃ１，ｒ＋２︙－ｃｒ，ｒ＋２０１︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＋ ＋ｔｎ－ｒ－ｃ１ｎ︙－ｃｒｎ００︙１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＝０，解得ｔ１＝ｔ２＝ ＝ｔｎ－ｒ＝０，也就是α１，α２， ，αｎ－ｒ线性无关．结合上述分析可得，α１，α２， ，αｎ－ｒ是方程组Ａｘ＝０的基础解系．进而，可以得到下面的定理：定理２．１［１］㊀设Ａ是ｍˑｎ矩阵，若齐次线性方程组Ａｘ＝０有非零解，即Ｒ（Ａ）＜ｎ，则它的基础解系存在，且基础解系所含的向量个数等于ｎ－Ｒ（Ａ）．上述分析还给出了求基础解系的方法：第１步㊀用初等行变换把系数矩阵Ａ化成行最简形矩阵．第２步㊀写出方程组Ａｘ＝０的通解，然后在通解中把自由未知量ｘｒ＋１，ｘｒ＋２， ，ｘｎ依次取ｎ－ｒ组值：ｘｒ＋１＝１，ｘｒ＋２＝０， ，ｘｎ＝０；ｘｒ＋１＝０，ｘｒ＋２＝１， ，ｘｎ＝０；ｘｒ＋１＝０，ｘｒ＋２＝０， ，ｘｎ＝１，就可得到方程组Ａｘ＝０的ｎ－ｒ个线性无关的解α１，α２， ，αｎ－ｒ，也就是Ａｘ＝０的一个基础解系．第３步㊀写出齐次线性方程组Ａｘ＝０的结构式通解：ｋ１α１＋ｋ２α２＋ ＋ｋｎ－ｒαｎ－ｒ，其中ｋ１，ｋ２， ，ｋｎ－ｒ为任意常数．下面，我们通过例题来看一下具体如何求出齐次线性方程组的结构式通解．例２．２㊀求齐次线性方程组２ｘ１＋４ｘ２＋ｘ３＋ｘ５＝０，３ｘ１＋６ｘ２＋２ｘ３＋ｘ４＝０，４ｘ１＋８ｘ２＋３ｘ３＋２ｘ４－ｘ５＝０，{的结构式通解．分析㊀要想得到齐次线性方程组的结构式通解，首先就要求出它的基础解系．解㊀由２．１节可知，齐次线性方程组的通解为ｘ１＝－２ｘ２＋ｘ４－２ｘ５，ｘ３＝－２ｘ４＋３ｘ５，{其中ｘ２，ｘ４，ｘ５是自由未知量．令ｘ２＝１，ｘ４＝０，ｘ５＝０，求得方程组的一个解为α１＝（－２，１，０，０，０）ᶄ；令ｘ２＝０，ｘ４＝１，ｘ５＝０，求得方程组的一个解为α２＝（１，０，－２，１，０）ᶄ；令ｘ２＝０，ｘ４＝０，ｘ５＝１，求得方程组的一个解为α３＝（－２，０，３，０，１）ᶄ，则α１，α２，α３是原方程组的一个基础解系，所以原方程组的结构式通解为ｋ１α１＋ｋ２α２＋ｋ３α３，其中ｋ１，ｋ２，ｋ３为任意常数．课后思考：齐次线性方程组Ａｘ＝０可以看成是一种比较简单的线性方程组．那么，对于一般的线性方程组Ａｘ＝β，当它有无穷多解时，如何求出它的结构式通解呢？容易看出，当一般的线性方程组Ａｘ＝β有无穷多个解时，与其对应的齐次线性方程组Ａｘ＝０也有无穷多个解．那么，可否借用齐次线性方程组Ａｘ＝０的基础解系给出Ａｘ＝β的结构式通解呢？这个问题，我们将在下节课与大家一起探讨．２．３㊀内容小结本次课程通过具体的例子引入了基础解系的概念．并在此基础上，引导学生得到了结构式通解的概念．然后，从秩的角度出发，得到了基础解系的求解方法，进而得到了齐次线性方程组的结构式通解．最后，结合具体的例题，给出了求解齐次线性方程组的结构式通解的方法．本次课程从简单问题入手，通过一步步引导学生，结合学生之前所学知识一步步达到教学目的．这种教学设计思路，不仅能够吸引学生的注意力，提高他们的学习兴趣，而且还能引发他们的思考，培养他们发现问题㊁分析问题和解决问题的能力［３］．３㊀课堂思政本次课程我们主要学习了齐次线性方程组的基础解系，借助基础解系，我们研究了齐次线性方程组的结构式通解．通过本节课的学习，我们能够发现，结构式通解能够使齐次线性方程组的解的表示变得更加简洁优美．数学中有解的结构，我们在人生的道路上能否取得成功也有解的结构，伟大的科学家爱迪生说过： 成功等于１％的灵感加９９％的汗水． ９９％的汗水能够使我们的人生变得更加完美．所以，不管是在求学过程中，还是在以后的工作中，想要成功就要付出努力．只要坚定信心，勇往直前，就终将会实现人生理想和目标．ʌ参考文献ɔ［１］蒋永泉，贾志刚，黄建红．线性代数：［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，２０１８：１１２－１１９．［２］北京大学数学系前代数小组．高等代数：第五版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：１３６－１４０．［３］刘烁，马丽娜，吴克坚，等．浅谈高等数学微课教学设计：以 函数最值的求法 为例［Ｊ］．高等数学研究，２０１９（５）：５５－５７．。
第11讲齐次线性方程组解的结构
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
数学教案线性方程组的解法
数学教案线性方程组的解法数学教案：线性方程组的解法一、引言数学是一门理科学科，它的基础知识被广泛应用于各个领域。
其中，线性方程组作为数学的重要内容之一，具有较广泛的应用背景。
本教案将围绕线性方程组的解法展开，通过分析实际生活中的问题，引导学生理解和应用线性方程组的求解方法。
二、知识概述1. 线性方程组的定义：线性方程组是由一组线性方程构成的方程组，其中每个方程都是形如a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ=b的线性方程。
2. 解的概念：线性方程组的解是使得方程组中所有方程都成立的数值组合，也就是使得所有方程的左边等于右边的组合。
3. 解的形式：线性方程组的解可以有无穷个，也可能没有解，还可能只有唯一解。
4. 解的表示方式：线性方程组的解可以用数学符号表示，也可以用文字描述。
三、解法一：代入法1. 基本思想：选取方程组中的一个方程，将其它方程中的变量用这个方程中的变量表示，然后得到一个只含有一个变量的方程，通过求解这个方程得到一个解，再将这个解代入到其它方程中，验证是否满足。
2. 解题示例：解方程组2x + 3y = 8x - 2y = -1选取第一个方程，得到x = (8 - 3y) / 2，然后将x代入第二个方程中，得到(8 - 3y) / 2 - 2y = -1，通过求解这个方程可以得到y = 2，将y的值代入x的表达式中，可得到x = 1。
3. 优缺点：代入法操作简单，容易理解，但当方程较多时，计算量较大。
四、解法二：消元法1. 基本思想：利用多个方程之间的等价变换，将方程组转化为简化的三角形方程组，然后通过逐步求解，得到方程组的解。
2. 解题示例：解方程组x + 3y = 52x - y = 4通过第一个方程的乘以2，得到2x + 6y = 10，并将其与第二个方程相减，得到7y = 6，解得y = 6 / 7，将y的值代入第一个方程，可得到x = 5 - 3 * (6 / 7)。
3. 优缺点：消元法能够准确快速地求得解，并且适用于任意行列数的方程组，但需要较强的计算能力。
初中数学教案：《线性方程组的解法》教学设计与实施
初中数学教案：《线性方程组的解法》教学设计与实施教案名称：线性方程组的解法教学设计与实施一、引言线性方程组是初中数学中的重要内容，解决线性方程组问题是培养学生的逻辑思维、推理能力和解决实际问题的能力的关键。
本次教学旨在通过设计合理的教学活动，帮助学生掌握解线性方程组的基本方法和技巧，培养他们解决实际问题的数学建模能力。
二、教学目标1. 知识与能力目标：a. 掌握线性方程组的定义和基本概念。
b. 熟悉线性方程组的解的概念和解的判定方法。
c. 掌握线性方程组的解的唯一性、无解和无穷多解的情况，能够准确地判断解的情况。
d. 学会应用代入法、消元法等解决线性方程组问题。
2. 过程与方法目标：a. 学会分析问题，运用数学工具解决实际问题。
b. 运用逻辑思维和推理能力，培养学生的数学思维能力。
c. 培养学生的合作学习意识，提高他们的团队合作能力。
三、教学内容与方法1. 线性方程组的定义与解法a. 通过引入线性方程组的概念，让学生了解方程组的基本结构和解的含义。
b. 简要介绍了线性方程组的两种基本解法：代入法和消元法。
c. 利用例题演示解法的步骤和要点，让学生明确解题思路。
2. 代入法解线性方程组a. 设计一组简单的线性方程组，引导学生通过代入法解题。
b. 提供实际问题，让学生通过建立方程组和代入法求解实际问题。
c. 引导学生总结代入法解题的步骤和技巧。
3. 消元法解线性方程组a. 通过具体例题，引导学生学习消元法解题的基本步骤。
b. 引导学生运用消元法解决实际问题，培养他们理解问题、分析问题和解决问题的能力。
c. 结合习题进行巩固练习，确保学生掌握消元法解题的要点。
4. 解的唯一性、无解和无穷多解的判定a. 通过例题和讨论，帮助学生理解解的唯一性、无解和无穷多解的概念。
b. 给出问题，让学生运用所学知识判断解的情况。
c. 通过实例分析，让学生探究解的情况与方程组的性质之间的关系。
四、教学过程1. 导入：通过与学生的互动，调研学生对线性方程组的基本概念和解法的了解程度，引发学生对本课内容的兴趣。
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学生课后
思考
1.齐次线性方程组的基础解系定义中的第1个条件能否去掉，为什么？
2.齐次线性方程组的基础解系是不是唯一？若不唯一，则不同的基础解系之间有什么关系？
3.如何取自由未知量的值才能使得：解形如（3）的方程组的解成为其基础解系？
只需证明 线性无关和方程组（3）的任意一个解都可以由 线性表示即可证明 是方程组（3）的一个基础解系，当然也是方程组（1）的基础解系。
巩固新课
求一个具体的齐次线性方程组的基础解系的例题去加深如何求齐次线性方程组的基础解系。
求方程组 的一个基础解系。
小结
1.当齐次线性方程组有非零解时，它有无穷多个解。这无穷多个解可用其中有限个线性无关的解表示，也就是用齐次线性方程组的基础解系来线性表示；
参考
文献
1.高等代数北京大学数学系编高等教育出版社
2.高等代数张禾瑞编高等教育出版社
3.高等代数姚慕生编复旦大学出版社
教学过程
备注
导入新课
齐次线性方程组有无穷多个解时解之间是否有内在联系？能否用其中的有限个解表示它的无穷多个解？怎么表示？
提前5分钟到教室把ppt复制到电脑上
新课讲授
1.齐次线性方程组的基础解系的定义
设齐次线性方程组的系数矩阵 的秩为 。
(1)当 时，该方程组只有零解。因此此时没有基础解系。
(1)当 时，该方程组有非零解，且有无穷多个解。不妨设 的左上角的 阶子式不为0。
。这就相当于原方程组同解于
新课讲授
（2）
把方程组（2）中含有 项移到方程的右边得 （3）
因此，方程组（1）（2）（3）同解。
方程组（3）中令 得 。分别记以上解为 。
3.6齐次线性方程组的基础解系
教学目的
通过本节内容的教学，使学生：
1.掌握齐次线性方程组的基础解系的定义；
2.会求齐次线性方程组的基础解系。
教学重点
1.齐次线性方程组的基础解系的定义；
2.如何求齐次线性方程组的基础解系。
教学难点
求齐次线性方程组的基础解系。
授课方法
讲授法
教学仪器
电脑，投影仪，电子教鞭，多媒体课件。
齐次线性方程组 的解 满足：
(1) 线性无关；
(2) 的任意一个解都可由 线性表示则称 是齐次线性方程组 的一个基础解系。
2.若已知齐次线性方程组的基础解系，则该方程组的所有解如何表示？
设齐次线性方程组 的所有解作成的集合为 ， 是它的一个基础解系，则