齐次方程组的基础解系和通解
4.3 齐次线性方程组解的结构
1 2 3
1 2 3 1 2 0
解：
A
3
2
6 5
10
初等行变换
0
7
0
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
1
2
4
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0 0
r A 3 n,
所以只有零解。
例2 求齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0 的基础解系与通解.
其通解为
x k11 k22 knrnr .
其中k1 ,k2 , ,knr是任意常数 .
3.若rA n,则dim N A 0,即N A 0,仅有
零解.Ax 0有非零解 RA n
例1 求下列齐次方程组的基础解系及通解。
(1)2
x1 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
定 理 4 .4: 设m n型齐次线性方程组AX 0的系数矩
阵的秩为rA,则AX 0的解空间N A的维数
dim N A n rA
证 : 设齐次线性方程组的系数矩阵为 A，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1
0
b11
b1,n r
A
~
0
0
1
br1
br ,n r
A k1, B k2, C k1 2 , D k1 2 ,
2、 要使1 1 0 2T ,2 0 1 1T 是齐次线性
方程组AX 0的基础解系，则系数矩阵A可取为
0 1 1
线性代数模拟试题(4套)
模拟试题一一、判断题:（正确：√,错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………（ ）2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆。
……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ）4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ,则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。
…………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分）1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 。
2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 。
3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 。
4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 。
7、()B A R + ()()B R A R +。
8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关。
10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为 . 三、计算:(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+。
2、设矩阵A 和B 满足B AE AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B 。
四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、（10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ, 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解。
第11讲齐次线性方程组解的结构
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
线性方程组的解的结构
例：求线性方程组
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 3 x4 5 的通解．
x1 x2 5 x3 + 7 x4 0
1
解：容易看出
*
1
是方程组的一个特解
．
0
0 其对应的齐次线性方程组为
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 0 x4 0
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②）
(x1 ,x2 ,
b11
b21
,xnr
)
br 1
,1
0
0
b12 b22
br ,2 0 1
0
b1,nr
b2 , n r
br ,nr
0
0
1
n−r列
前r行 后n−r行
故 R(x1, x2 , … , xn-r ) = n − r ， 即 x1, x2 , … , xn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 x1, x2 , … , xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系．
br ,nr xn .
xr+1 1 0
令
xr
+2
0
,
1
,
xn
0 0
0
x1 b11 b12
,
0
，则
x2
,
b21
,
b22
,
1
xr br1 br2
b1,nr
,
b2,nr
方程组解的结构
x5
0 0
1 0
0 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
1
1
,
0
0
13
2
0
,
1
0
2
1
3
0
.
0 1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Amn x 0的全体解所 构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩 R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
2x 73
5 7
x3
x 3
x4
3 7 4 7
x4 x4
2
7
5
7
1
0
x 3
3
7
4
7
0
1
x, 4
2 7
3 7
即得基础解系1
57 1
,
2
47 0
,
0 1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2
x x
3 4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
A
2
1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1
~
0 0
0
1 1 2 2
1 1 2 2
4 3 6 6
3
1
2
2
~
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 0 0
1 3 0 0
2
1
0
0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，
齐次线性方程组的解
14 齐次线性方程组的解一、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系，并写出通解.解 1121112110102111~0131~0131221200340034---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭基础解系为494,3ξ=-T（，，）通解为 ξk x =. (k 为任意实数)二、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++=++++0334503230543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯-+--0000062210511016221062210111111334531123111112153223211312r r r r r r r r r A 则同解方程组为⎩⎨⎧---=++=543254316225x x x x x x x x 令⎪⎩⎪⎨⎧===352413k x k x k x 则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100650102100121321k k k x 三、已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x t x x tx x x x x x 问：（1）t 取何值时，方程组仅有零解?（2）t 取何值时，方程组有无穷多解? 并用基础解系表示其通解.解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2)(1(0011011141211112t t t t t A 行变换要使方程组有零解必有3)(=A R 即0)2)(1(≠--t t 即21≠≠t t 且 要使方程组有非零解必有3)(<A R 则0)2)(1(=--t t 即21==t t 或此时,当1=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010101141121111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧=-=0231x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101ξ通解为ξ1k X = )(1R k ∈当2=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110001441221111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧-==3210x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110ξ通解为ξ2k X = )(2R k ∈四、写出一个以1212(2,1,0)(3,0,1)(,T T x c c c c =-+是常数)为通解的齐次线性方程组． 解 三元齐次线性方程组的基础解系含2个解向量,系数矩阵的秩为1． 所求方程组为 032321=-+x x x。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷7(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A为3阶方阵且，则｜一2A｜= ( )A．一4B．4CC．一1D．1正确答案：A解析：答案为A2．若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C为同阶方阵，则A应满足条件( )A．A≠0B．A=0C．｜A｜=0D．｜A｜≠0正确答案：D解析：若AB=AC,则A(B-C)=0，故当A可逆，即｜A｜≠0时B=C答案为D。
3．设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )A．A的任意m个列向量必线性无关B．A的任意一个m阶子式不等于零C．若矩阵B满足BA=0，则B=0D．A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式正确答案：D解析：矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行满秩，列不满秩，A的m个列向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为(ImO)形式，故选D答案为D。
4．若α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列答案中也是Ax=0的基础解系的为( )A．α1一α2，α2一α3，α3一α1B．α1，α2，α3的任意三个线性组合C．α1，α1一α2，α1一α2一α3D．α1，2α1,3α1正确答案：C解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与α1,α2,α3等价．答案为C。
5．设则A的属于特征值O的特征向量是( ) A．(1，1，2)TB．(1，2，3)TC．(1，0，1)TD．(1，1，1)T正确答案：B解析：用定义Ax=λx来判断，这时λ=0，故计算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的属于特征值0的特征向量．当x=(1，2，3)T时，有Ax=0．答案为B。
齐次线性方程组的基础解系和通解
齐次线性方程组的基础解系和通解
齐次线性方程组是一类形如 Ax=0 的方程组，其中 A 是一个矩阵，x 是一个列向量。
基础解系是指使得方程组有非零解的最小的解系。
对于齐次线性方程组，基础解系的大小等于线性无关的自由变量的个数。
通解是指所有满足齐次线性方程组的解的线性组合的形式。
对于齐次线性方程组，通解可以表示为 x =x0 + k1x1 + k2x2 + ... + kmxm 其中 x0 是基础解系中的任意一个解，k1、k2、...、km 是任意的常数，x1、x2、...、xm 是线性无关的自由变量。
基础解系和通解的求法通常是使用高斯消元法或高斯-约旦消元法，它们是一种用于解决线性方程组的数值解法。
这些方法可以将原方程组转化为等价的三角形方程组，然后从下往上逐步求解。
基础解系和通解在很多领域都有广泛的应用，例如工程计算、线性代数、数学建模等。
它们可以帮助我们找到满足特定条件的解，并且可以方便我们解决各种实际问题。
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矩阵表示形式
Amn X 0
r(A) n r(A) n
齐次线性方程组有非零解 齐次线性方程组仅有零解
线性代数
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
0
0 0
3
0
0 1 1 0
1 2 2 0
1 11Biblioteka 03 04
0
0 1 0 0
1 2 0 0
1
1
1
0
1
0
0
0
0 1 0 0
1 2 0 0
0
0
1
0
x1 x3 0
等价同解的线性方程组为：
x2 2x3 0 x4 0
0 0
1
1
取自由变元x3
1,
得
2 1
为方程组的基础解系. 通解为：X
x1 k1r1xr1 k1r2 xr2 L k1n xn
x2
k2 r 1 xr 1
k2r2 xr2
L
k2n xn
LLLLLL
xr kr r x 1 r1 kr r2 xr2 L krn xn
其中xr+1,xr+2,…,xn为自由未知量， 对nr个自由未知量分别取：
xr1 1 0
LLLLLLLLLLLL
dxrr kkrrrr11xdrr11kkr rrr2x2rdr22 L L krnkxrndn
k1r1dr1 k1r2dr2 L k1ndn
k2
r
1dr
1
k2
r
2dr
2
L
k2ndn
k1r1
k2
r
1
k1r2
k2
r
2
k1n
k2
n
LLLLLL
系数矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
am1
am 2
L
a1n
a2n
L
amn
未知向量
x1
X
x2
M
xn
矩阵表示形式
Amn X 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
例 构造齐次线性方程组的基础解系，并表示出线性 方程组的通解.
x1 2x2 x3 x4 0 3x1 6x2 x3 3x4 0 5x1 10x2 x3 5x4 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
解：
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1
M M
M
即：v
kr
d r1 r1
kr
d r2 r2
L
d r 1
dr2
krndn
ddr r11v1k1rr 1dr 2dvr 22
Lkr r 0
2 dnLvnrd
n
krn 0
0
1
0
O
dn
M
0
M
0
M
1
线性代数
齐次方程组的基础解系
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个A的解向量组成.
定义 一个齐次线性方程组若有非零解，则称其一组解向量
1,2,K ,l , 为该齐次线性方程组的一个基础解系，如果 1) 1,2,K ,l 线性无关； 2) 该齐次线性方程组的任一解向量均可由1,2 ,K ,l线性表出.
线性代数
齐次方程组的基础解系
例. 求线性方程组的通解.
x1 5x2 x3 x4 0
0
0
1
线性代数
齐次方程组的基础解系
其次对于Ax=0的任意一个解向量，
d1
v
d
2
M
d
n
满足等价同 解的方程组：
dx11 kk11rr11xdrr11k1kr1r2x2rdr22 L L k1nkx1ndn
dx22 kk22rr11xdrr11kk2r2r2x2rdr22 L L k2kn x2ndn
3
6
1
3
0
0
4
0
0
0
1
0
5 10 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0
x1 2x2 x4 0
等价同解的线性方程组为：
x3 0
0 0
2
1
取自由变元
x2 x4
1
0
和
x2 x4
0
1
,
得
1
1 0
,
0
2
0
;
0
1
1,2 为方程组的基础解系. 通解为：X k11 k22, k1, k2 R.
0
xr
2
0
,
1
,
L,
0
M M M
M
xn
0
0
1
可得方程组的nr个解向量：
k1r1
k2
r
1
k1r2
k2
r2
k1n
k2
n
M M
M
v1
kr r 1
1
,
v2
kr
r
2
,L
0
, vnr
krn
0
0
1
0
M M
M
线性代数
齐次方程组的基础解系
例 构造齐次线性方程组的基础解系，并表示出线性 方程组的通解.
x1 x3 x4 0
2x1 x2 4x3 3x4 0
3x1 x2 x3
0
7x1 7x3 3x4 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
解：
1
2
3
7
0 1 1 0
1 4 1 7
1 1
3
x1 2x2 x3 3x4 3x1 8x2 x3 x4
0 0
x1 9x2 3x3 7x4 0
6
线性代数
齐次方程组的基础解系
1 5 1 1
1 5 1 1
1 5 1 1
1
2
1
3
r2 r1
0
7
2
4
r3 r2
0
7
2
4
3 8 1
1
9
3
1
7
r3 3r1
r4 r1
k
2
1
, k R.
0
0
线性代数
总结
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个A的解向量组成.
线性代数
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第五章 向量空间和线性方程组解的结构
5.3 齐次线性方程组的基础解系和通解
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
V X Amn X 0,r(A) n
矩阵表示形式
Amn X 0
定义 设V 是向量空间，若 1,2,K ,r V ,满足 1）1,2,K ,r 线性无关； 2） V 中的每个向量都可由 1,2,K ,r 线性表示；
则向量组 1,2,K ,r 就称为向量空间V 的一个基.
线性代数
齐次方程组的基础解系
1 0 L 0 k1r1 k1r2 L k1n
0
1L
0 k2r1 k2r2 L k2n
L L L L L L L L
0
0L
1 kr r1 kr r2 L
krn
0 0 L 0 0 0 L 0
L0
L 0
L L
L 0
L 0
L LL LL0
线性代数
齐次方程组的基础解系
即方程组的等价 同解方程组为：
0 0
7 2 14 4
4
8
r4 2r2
0
0
0 0
0 0
0
0
1
r3 2r2
0
0 7
3 7
2
13 7
4
1 7
r2
1
0
0 1
3 7
2 7
13 7
4 7
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
0 0 0 0
x1
3 7
x3
13 7
x4
0
x2
2 7
x3
4 7
x4
0
00
00
线性代数
齐次方程组的基础解系
x1
3 7
x3
13 7
x4
0
x2
2 7
x3
4 7
x4
0
00
00
通解为：X
x1 x2 x3 x4
3 7
c1
13 7
c2
2 7
c1
4 7
c2
c1
c2
c1
3 7
2 7
1
0
c2
13 7
4
7
0 1
线性代数
齐次方程组的基础解系
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个解向量组成.