1.1.2余弦定理
四平市第一高级中学 2013级高一年级数学学科学案
学案类型： 新课 材料序号： 2 编稿教师： 刘强 审稿教师： 朱立梅
课题：1.1.2余弦定理
一、学习目标：
1、掌握并熟记余弦定理及其变形，能运用余弦定理及推论解三角形。
2、余弦定理揭示了任意三角形的边角关系，其证明方法有向量法，解析法和几 何法。
提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、学习重、难点：
教学重点：余弦定理及其变形。
教学难点：能运用余弦定理及其推论解三角形。
三、知识导学： 1、余弦定理
三角形任意一边的平方等于__________________________________。
即：①=2a ____________________。
②=2b ____________________。
③=2c ____________________。
2、余弦定理推论：
即：=A cos ____________________。
=B cos ____________________。
=C cos ____________________。
3、利用余弦定理解决两类三角形问题 （1）___________________________。
（2）___________________________。
四、典型例题：
1、已知两边及夹角解三角形
【例1】在△ABC 中，已知︒=120C ，边a 与边b 是方程0232=+-x x 的两个根，则c 的值为。
2、已知三边解三角形
【例2】在△ABC 中，已知1=a ，3=b ，2=c ，解三角形。
3、余弦定理的简单应用
【例3】设△ABC 的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，且满足bc a c b 24333222=-+。
求A sin 的值。
五、课堂练习：
1、已知1=b ，2=c ，︒=30A ，求a 的值。
2、已知4=a ，5=b ，6=c ，求A sin 的值。
3、在△ABC 中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，且4
1
c os =A ，4=a ，
6=+c b ，且c b <，求c b ,的值。
2013级高一年级数学学科学案
参考答案
【例1】因为边a 与边b 是方程0232=+-x x 的两个根，所以3=+b a ，2=ab 。
所以在△ABC 中由余弦定理知：
72
1
22229cos 22)(cos 22222=⨯⨯-⨯-=--+=-+=C ab ab b a C ab b a c ，
所以7=c 。
【例2】在△ABC 中，应用余弦定理得：
︒=⇒=⨯⨯-+=-+=3023
2321432cos 222A bc a c b A
︒=⇒=⨯⨯-+=-+=
6021
2123412cos 222B ac b c a B ︒=⇒=⨯⨯-+=-+=9003
124
312cos 222C ab c b a C 。
【例3】在△ABC 中，由余弦定理得：bc a c b A 2cos 2
22-+=，
又bc a c b 24333222=-+，所以322232
4cos =
=bc bc
A ， 因为π<<A 0，所以0sin >A ，即3
1
)322(
1cos 1sin 32=-=-=A A 。
即A sin 的值为3
1。
【课堂练习】
1、在△ABC 中，由余弦定理得：
331033102
3
31291cos 2222-=⇒-=⨯⨯⨯-+=-+=a A bc c b a ， 所以a 的值为3310-。
2、在△ABC 中，由余弦定理得：4
3
6521636252cos 222=⨯⨯-+=-+=
bc a c b A ， 因为π<<A 0，所以0sin >A ，即4
7
)43(1cos 1sin 22=-=-=A A 。
即A sin 的值为4
7。
3、在△ABC 中，由余弦定理得：
A bc bc c b A bc c b a cos 22)(cos 22222--+=-+=。
所以bc bc c b 2
1
2)(162--+=，又6=+c b ，所以8=bc 。
解方程组⎩
⎨⎧==+86
bc c b 得：⎩⎨⎧==42c b 或⎩⎨⎧==24c b 。
又c b <，所以2=b ，4=c 。
1.1.2余弦定理课件人教新课标
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出 第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
全优第7页能力提升
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2
人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理
,
B=45°，求b和A。
3.在△ABC中，已知
,
A=45°，求边长c，B，C。
, ,
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解： a b c C为最小角
cos C a2 b2 c2 2ab
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
3 2
C 300
六、作业
1.在△ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。
2.在△ABC中，已知
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有
什么利弊呢？
余弦定理 正弦定理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。
㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知 a 3 3, c 2, B 150°求b
解：
=31+18 =49
1.1.2 余弦定理
一、实际应用问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利 用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC。
B
C
A
二、转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A 求：a（即BC）.
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
Cbaຫໍສະໝຸດ AcB四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)
1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理 课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
1.1.2余弦定理黑底白字
变式训练3 如图所示,在△ABC中,已知BC=15 4 3 AB:AC=7:8,sinB= , 求BC边上的高AD的长. 7
思悟升华
1.解斜三角形时,要注意将正弦定理与余弦定 理有机结合起来,要根据条件灵活选用正,余弦 定理. 2.要注意三角形中常见的结论: (1)A+B+C=π; (2)大边对大角,反之亦然; (3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
余弦定理习题
1.在△ABC中, 角B, C的对边分别是a ,b,c,则 下列等式不成立的是( A.a =b +c -2bccosA B.b =c +a -2acosB b +c -a C.cosA= 2bc 2 2 2 a +b +c D.cosC= 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2 2
)
2.已知△ABC满足B 60 , AB=3,AC= 7, BC的长等于( ) A.2 B.1 C.1或2 D.无解
3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .
3 4.在△ABC中, AB 2, BC 1, cos C , 4 则AC .
5.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角 形为 .
6.在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大 角和sinC.
典例导语
类型一 例1 利用余弦定理解三角形 在 ABC中,已知b=3,c=2 3,A =30 ,
求边a, 角C和角B.
变式训练1 已知在 ABC中,a:b:c=2: 6:( 3+1), 求 ABC的各角度数.
类型二
判断三角形的形状
例2 在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=2bc且 sinA=2sinBcosC,是确定△ABC的形状.
1.1.2余弦定理(二)课件人教新课标
讲授范例：
例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.
(1) A＝30o，a＝10，b＝20； (2) A＝30o，a＝10，b＝6； (3) A＝30o，a＝10，b＝15；
一解
(4) A＝120o，a＝10，b＝5； (5) A＝120o，a＝10，b＝15.
讲授范例：
例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.
讲授范例：
例2.在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3， 判断△ABC的类型.
练习：
(1)在△ABC中, 已知sinA:sinB:sinC＝1:2:3, 判断此△ABC的类型. (2)已知△ABC满足条件acosA＝bcosB, 判 断△ABC的类型.
讲授范例：
例3.在△ABC中，A＝60o，b＝1，面积 为
余弦定理及基本作用 ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
练习：
在△ABC中，若a2＝b2 ＋c2 ＋bc， 求角A.
思考:
解三角形问题可以分为几种类型？ 分别怎样求解的？
思考:
解三角形问题可以分为几种类型？ 分别怎样求解的？
(1)已知三角形的任意两边与其中一边的 对角，例如a＝12， b＝5， A＝120o；
练习：
(1) 在△ABC中, a＝80, b＝100, ∠A＝45o, 试判断此三角形的解的情况.
(2) 在△ABC中, 若a＝1, c＝ ∠C＝40o, 则符合题意的b的值有_____个.
(3) 在△ABC中, a＝xcm,b＝2cm,∠B＝45o, 如果利用正弦定理解三角形有两解, 求x的 取值范围.
归纳：
1. 如果已知的A是直角或钝角，a＞b， 只有一解；
2. 如果已知的A是锐角，a＞b，或a=b， 只有一解；
高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A版必修5
课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。
1.1.2余弦定理
知识导图
学法指导 1.重点掌握余弦定理及其推论，并能通过向量法证明此定理． 2．注意弄清楚正、余弦定理的作用，在解三角形中灵活选择， 实现边和角的相互转化.
知识点一 余弦定理及其推论
文字 三角形中任意一边的平__方__等于其他两边的平__方__的_和___
三边(a，b，c)
余弦定理
由余__弦___定__理_求出角___A_，_；B再利用 A＋B＋ C＝180°求出角 C，在有解时只有一解
两边和其中 一边的对角 (如 a，b，A)
由 正__弦__定__理__ 求 出 角 B ； 由
正弦定理、__A_＋__B_＋__C__＝__1_8_0_°_求出角 C；再利用 余弦定理 正__弦__定__理__或_余__弦__定__理_求 c，可有两解、
状元随笔 (1)已知两边和夹角可直接用余弦定理求解．
(2)已知两边和其中一边的对角，求解时既可以先由正弦定理求 另一边对角，也可以由余弦定理得第三边 a 的方程，先求出 a.
(3)由余弦定理可建立 b＋c 与 bc 的关系，从而求出 b、c.
方法归纳
1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 (1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定 理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况． (2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方 程的方法求出此边长．
2．已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角． 特别提醒：解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以 用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，用正弦定理 方便，若只求边，用余弦定理方便．
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教A版必修5)
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C
A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题.
A
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b
C B
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知 a 2 3 ,
c 6 2 , B 60 , 求b及A.
o
思考5：
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
1.1.2余弦定理
§1.1.2. 余弦定理学习目标1.通过对余弦定理的探究与证明，学会用向量法.几何法.坐标法证明余弦定理，并能利用余定理解决两类解三角形问题2.体会数学与实际生活的应用，以及在定理推导的过程中用到的数学思想方法学习重点用余弦定理解三角形学习难点余弦定理的灵活运用解三角形学习过程一、复习引入1正弦定理：2正弦定理的应用：正弦定理可解决两类问题：（1）．已知，求其它两边和一角；（2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．在Rt△ABC中(若C=90︒)有：（勾股定理）4.在ABC∆中，(1) 已知2a=，b=045C=，求c(2) 已知5a=，7b=，8c=，求B 用正弦定理还能解出来吗？二、自阅课本P5～P6认真理解余弦定理的推导过程并分析其结构1．用向量法探索余弦定理a2=_____________________________c2=_____________________________b2=_____________________________2.余弦定理的变形运用cosA=_________________________________ cosB=_________________________________ cosC=_________________________________思考：1、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？2、在△ABC中，若222cba+<，则A为________角，反之亦成立；若222cba+=，则A为________角，反之亦成立；若222cba+>，则A为_______角，反之亦成立3、利用余弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知三边，求_______.（2）已知两边和它们的夹角，求________和________.三、尝试运用（尝试解决”复习引入4”中两个问题）例、在ΔABC中，（1）a＝1,b＝1,C＝1200,求c.（2）a＝3,b＝4,c＝37,求最大角的余弦值.（3）a:b:c＝1:3:2, 求角A,B,C.四、课堂练习1.在ABC∆中，已知8c=，3b=，060A=,求a2、在ABC∆中，已知3b=，c=030A=,求a,B,C3.在ABC∆中，2b ac=，且2c a=，求cos B五、课堂小结六、作业布置赢在课堂：P5自我检查1、2、3、4P8演练提升1、3、6。
高中数学人教A版必修五教学课件：第一章 《解三角形》 1.1.2 余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和 减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的 二 倍 在△ABC 中，
符号 语言
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B，
2 2 c2＝ a ＋b －2abcos C ．
在△ABC 中， 推论 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac
)
a2＋c2－b2 1 解析：由题意知，cos B＝ ＝cos 120° ＝－ ，∴a2＋c2－b2 2ac 2 ＝－ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝－ac＋ac＝0.
答案：C
1 3．在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝ . 4 若 a＝4，b＋c＝6，且 b<c，求 b，c 的值．
[解]
设 BD＝x.在△ABD 中， 根据余弦定理， AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos
∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10×xcos 60° ，………………………………3 分 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ………………………6 分 ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ，∴∠CDB＝30° . ……………………9 分 在△BCD 中，由正弦定理， BC BD ＝ ， sin∠CDB sin ∠BCD
答案：120°
探究三
利用正余弦定理判断三角形的形状
[典例 3] 在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
[解析] ∵B＝60° ， ∴b2＝a2＋c2－2accos 60° ， 1 ∴ (a＋c)2＝a2＋c2－ac， 4 ∴(a－c)2＝0， ∴a＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC 为等边三角形．