四川省南充市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
四川省南充市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．若i 为虚数单位，则234i i i i +++的值为（ ）A ．1-B ．iC ．0D ．1 【答案】C【解析】试题分析：234110i i i i i i +++=--+=,选C 【考点】复数的运算 2．双曲线的渐近线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】依据双曲线性质，即可求出。
【详解】 由双曲线得，，即， 所以双曲线的渐近线方程是，故选D 。
【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地 双曲线的渐近线方程是； 双曲线的渐近线方程是。
3．若离散型随机变量X 的分布列为X1P2a 22a则X 的数学期望()E X =（ ） A ．2 B ．2或12C ．12D ．1【答案】C【解析】由离散型随机变量X 的分布列，列出方程组，能求出实数a ，由此能求出X 的数学期望. 【详解】解：由离散型随机变量X 的分布列，知：22012012122a a a a ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得1a =， ∴X 的数学期望111()01222E X =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量X 的分布列等基础知识，是基础题.4．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应 A ．从东边上山 B ．从西边上山C ．从南边上山D ．从北边上山【答案】D【解析】从东边上山共21020⨯=种;从西边上山共3927⨯=种;从南边上山共3927⨯=种;从北边上山共4832⨯=种;所以应从北边上山.故选D. 5．二项式102x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项 【答案】B【解析】展开式的通项公式T r ＋1＝5202102rrrC x -，令5202r -＝0，得r ＝8.展开式中常数项是第9项.选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.6．若390︒角的终边上有一点(),3P a ，则a 的值是（ ）A ．BC ．-D ．【答案】A【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出a 的值. 【详解】解：若390︒角的终边上有一点(),3P a ，则 3tan 390tan 303a︒︒===，∴a =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.7．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．34A 种 B ．3134A A 种C ．2343C A 种D ．113433C C A 种【答案】C【解析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案. 【详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查； 则必有2名水暖工去同一居民家检查，即要先从4名水暖工中抽取2人，有24C 种方法，再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有33A 种情况，由分步计数原理，可得共2343C A 种不同分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题.8．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3【答案】D 【解析】【详解】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x +2x+b （b 为常数）， ∴f （0）=1+b=0， 解得b=-1∴f （1）=2+2-1=3． ∴f （-1）=-f （1）=-3． 故选D ．9．已知直线:0l x y m --=经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，若||6AB =，则p 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．1D ．2 【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为(,0)2p ，则由题意，得2pm = ①．又由202x y m y px--=⎧⎨=⎩，得222()0x p m x m -++=，所以||6AB == ②，由①②得32p =，故选B ． 【考点】1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．10．已知P 是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为1，则P 到这个四面体各面的距离之和为（ ）A B ．2C D 【答案】A【解析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离.【详解】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和， 设它到四个面的距离分别为,,,a b c d ，由于棱长为1的正四面体，四个面的面积都是111sin 6024︒⨯⨯⨯=又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为1sin 602︒⨯=，3=；此正四面体的体积是13=.所以：1()1234a b c d =⨯+++，解得3a b c d +++=. 故选：A. 【点睛】本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力.11．已知向量()1,1a x =-r ，(),2b y =r ，其中0x >，0y >．若a b ⊥r r ，则xy 的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．14D ．12【答案】D【解析】已知向量()1,1a x =-r ，(),2b y =r ， 根据a b ⊥r r ，得到()210+-=y x ，即22x y +=，再利用基本不等式21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy 求解.【详解】已知向量()1,1a x =-r，(),2b y =r ，因为a b ⊥r r ，所以()210+-=y x ， 即22x y +=， 又因为0x >，0y >，所以2112122222+⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当22x y +=，2x y =，即1,12x y ==时，取等号， 所以xy 的最大值为12. 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-??C ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题13．已知()3,2,5a =-r ，()1,5,1b =-r ，则a b ⋅=r r______.【答案】2【解析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可． 【详解】解：()3,2,5a =-r Q ，()1,5,1b =-r()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=r r g故答案为：2 【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算问题，属于基础题．14．在数列{}n a 中，若11a =，12n n a a +=+，则该数列的通项n a =________. 【答案】21n -【解析】根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式. 【详解】因为12n n a a +=+，所以12n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列且公差2d =，又11a =， 所以()121n a n =+-，所以21n a n =-， 故答案为：21n -. 【点睛】本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两种：定义法、等差中项法.15．已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+在点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数a =______.【答案】21e e- 【解析】由x y ae x =+，求导1'=+x y ae ，再根据点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，有1|12='=+=x y ae e 求解.【详解】因为x y ae x =+， 所以1'=+x y ae ，因为点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行， 所以1|12='=+=x y ae e ， 解得21-=e a e. 故答案为：21e e- 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16．已知F 是双曲线22:14y C x -=的右焦点，C 的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q 满足FP PQ λ=u u u v u u u v，则λ=________________． 【答案】4【解析】试题分析：双曲线的右焦点F （，0），渐近线方程为，点P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P 在直线上，由方程组得，所以，由方程组得，所以，所以由于FP PQ λ=u u u r u u u r，所以．【考点】向量共线的应用，双曲线的方程与简单几何性质． 【方法点晴】要求的值，就得求出P 、Q 两点的坐标，可直接设出P 点坐标用点到直线的距离公式，也可结合双曲线的几何性质发现P 的轨迹，解方程组即得P 、Q 两点坐标，从而求出两个向量的坐标，问题就解决了．三、解答题17．甲，乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下： 甲 66 99乙 7977（1）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率； （2）从甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）13；（2）分布列见解析，103()8E X = 【解析】（1）求出基本事件总数24n C =，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数2222m C C =+.由此能求出这2局的得分恰好相等的概率P ；（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望. 【详解】解：（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局，基本事件总数246n C ==，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数22222m C C =+=. ∴这2局的得分恰好相等的概率2163m p n ===； （2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ， 则X 的可能取值为13，15，16，18，2363(13)44168P X ==⨯==，2121(15)44168P X ==⨯==，2363(16)44168P X ==⨯==，211(18)448P X ==⨯=，∴X 的分布列为：∴X 的数学期望为3131103()1315161888888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，是中档题.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足222sin 3cos ,2c B b C a c b =-=．（Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为213b 的值． 【答案】（1）3C π=;（2）7b =【解析】分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，3 sinBcosC ，进而利用同角三角函数基本关系式可求3，即可得解C 的值；（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a 2+b 2﹣c 2=ab ，又a 2﹣c 2=2b 2，可得a=3b ，利用三角形面积公式即可解得b 的值． 详解：(1)Q 由已知及正弦定理可得，sinCsinB 3sinBcosC =，sinB 0≠Q ，tanC 3∴=，πC .3∴= (2) 由(1)可得，222a b c 1cosC 2ab 2+-==， 222a b c ab ∴+-=，又222a c 2b -=Q ，a 3b ∴=，∴由题意可知，2ABC 133S absinC b 21324===V ， 2b 28∴=，可得：b 27.=点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正形，PD AB =，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PCB ；（2）求二面角E BD P --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】（1）推导出DE ⊥PC ，BC ⊥CD ，BC ⊥PD ，从而BC ⊥平面PCD ，进而DE ⊥BC ，由此能证明DE ⊥平面PCB .（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −DB −P 的余弦值.【详解】解：（1）证明：∵在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ，BC ⊥CD ，BC ⊥PD ，∵PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，∵DE ⊂平面PCD ，∴DE ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PCB ；（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设PD ＝AB ＝2，则E （0，1，1），B （2，2，0），D （0，0，0），P （0，0，2），(2,2,0),(0,1,1),(0,0,2)DB DE DP ===u u u r u u u r u u u r ，设平面BDE 的法向量(,,)n x y z =r， 则2200n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v r u u u v r ，取1x =，得(1,1,1)n =-r ，设平面BDP 的法向量(,,)m x y z =r， 则22020m DB x y m DP z ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩u u u v r u u u v r ，取1x =，得(1,1,0)m =-r ，设二面角E −BD −P 的平面角为θ. 则||6cos ||||32m n m n θ⋅===⋅⋅r r r r . ∴二面角E −BD −P 的余弦值为6.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20．已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF=．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析． 【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得F 22p A =+． 因为F 3A =，即232p +=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上， 所以22m =±(2,22A ． 由(2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)221y x =-． 由)2221{4y x y x =-=，得22520x x -+=， 解得2x =或12x =，从而1,22⎛B - ⎝． 又()G 1,0-， 所以()G 22022213k A ==--，()G 2021312k B ==---，所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x =-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝．又()G 1,0-，故直线G A 的方程为30y -+=，从而r ==．又直线G B 的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B 的距离d r ===．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．【考点】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．21．设函数f （x ）＝x 2+bln （x +1），其中b ≠0．（1）若b ＝﹣12，求f （x ）在[1，3]的最小值；（2）如果f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围．【答案】（1）4﹣12ln 3（2）102b ＜＜ 【解析】（1）当b ＝﹣12时令由()2221201x x f x x ='+-=+得x ＝2则可判断出当x ∈[1，2）时，f （x ）单调递减；当x ∈（2，3]时，f （x ）单调递增故f （x ）在[1，3]的最小值在x ＝2时取得；（2）要使f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值即f （x ）在定义域内与X 轴有三个不同的交点即使()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得()48010b g =-⎧⎨-⎩V ＞＞解之求b 的范围． 【详解】解：（1）由题意知，f （x ）的定义域为（1，+∞）b ＝﹣12时，由()2221201x x f x x ='+-=+，得x ＝2（x ＝﹣3舍去）， 当x ∈[1，2）时f ′（x ）＜0，当x ∈（2，3]时，f ′（x ）＞0，所以当x ∈[1，2）时，f （x ）单调递减；当x ∈（2，3]时，f （x ）单调递增， 所以f （x ）min ＝f （2）＝4﹣12ln 3．（2）由题意()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根， 即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，设g （x ）＝2x 2+2x +b ，则()48010b g =-⎧⎨-⎩V ＞＞，解之得102b ＜＜ 【点睛】本题第一问较基础只需判断f （x ）在定义域的单调性即可求出最小值．而第二问将f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f （x ）在定义域内与X 轴有三个不同的交点即()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根此时可利用一元二次函数根的分布进行求解．22．已知121211151034.z i z i z z z z =+=-=+，，，求 【答案】552i - 【解析】把z 1、z 2代入关系式，化简即可【详解】121212111z z z z z z z +=+=，()()()()()()122212510345510865510555103486862i i i i z z i z i z z i i i +-+-+∴=====-+++-++ 【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设()12,,,,z a bi z c di a b c dR =+=+， 则()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+. 23．用数学归纳法证明：1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++L 【答案】证明见解析【解析】利用数学归纳法的证明标准，验证1n =时成立，假设n k =时成立，证明1n k =+时等式也成立即可.【详解】证明：（1）当1n =时，左边13=，右边13=，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立， 即1111133557(21)(21)21k k k k ++++=⨯⨯⨯-++L ， 那么，当1n k =+时， 左边＝11111+133557(21)(21)(2+1)(2+3)k k k k ++++⨯⨯⨯-+L 11=21(21)(23)23k k k k k k ++=++++， 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++L 对任何*n N ∈都成立.【点睛】本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设。
2020-2021学年四川省南充市高二(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数52+i的共轭复数是()A. 2−iB. −2−iC. −2+iD. 2+i2.双曲线9y2−16x2=144的渐近线方程是()A. y=±169x B. y=±916x C. y=±43x D. y=±34x3.函数f(x)={x 2+1,x≤1lnx,x>1，则f(f(e))(其中e为自然对数的底数)的值为()A. 0B. 1C. 2D. ln(e x+1)4.3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是()A. 53B. 35C. A53D. C535.(x−1x)9的展开式中x3的系数是()A. −84B. −56C. 56D. 846.函数f(x)=sinx−2cosx的最大值为()A. 1B. √3C. √5D. 37.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是()A. 70B. 64C. 60D. 588.设偶函数f(x)满足f(x)=x3−8(x≥0)，则{x|f(x−2)>0}=()A. {x|x<−2或x>4}B. {x|x<0或x>4}C. {x|x<0或x>6}D. {x|x<−2或x>2}9.若a=30.5，b=log32，c=cos2，则()A. c<a<bB. c<b<aC. b<c<aD. a<c<b10.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 25C. √3010D. √2211.以抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|=4√2，|DE|=2√5，则p=()A. 2B. 4C. 6D. 812.已知函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A. (−∞,0)B. (0,12) C. (0,1) D. (0,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(m,−2)，若a⃗//(a⃗+2b⃗ )，则m=______．14.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=−3，2a4+3a7=9，则S7=______．15.若曲线y=e ax−ln(x+1)在x=0处的切线方程为2x−y+1=0，则a=______．16.抛物线x2=2my(m>0)的焦点为F，其准线与双曲线x2m2−y2n2=1(n>0)有两个交点A，B，若∠AFB=120°，则双曲线的离心率为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为X．(1)求X的分布列；(2)求E(X)和D(X)．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=7，b=8，cosB=−17．(1)求A；(2)求AC边上的高．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠BAP=∠BCP=90°．(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若PD =2，求二面角D −PB −C 的正弦值．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的准线与x 轴的交点为A(−1,0)．(1)求C 的方程；(2)若过点M(2,0)的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点．求证：1|PM|2+1|QM|2为定值．21. 已知函数f(x)=ae x −x −1的最小值为0．(1)求a 的值；(2)若m 为整数，且对于任意的正整数n ，(1+12)(1+122)×⋅⋅⋅×(1+12n )<m ，求m 的最小值．22.已知a，b，c>0，a+b+c=1.求证：(Ⅰ)√a+√b+√c≤√3；(Ⅱ)13a+1+13b+1+13c+1≥32．23.已知函数f(x)=a x+sinb−3x+1(a∈R,b∈R,且a>1)的图象过点(0,−1)．(1)求b；(2)用反证法证明：f(x)没有负零点．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i ． ∴复数52+i 的共轭复数是2+i ． 故选：D ．无求出复数52+i ，由此能求出复数52+i 的共轭复数．本题考查复数的运算，考查复数的模、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：把双曲线9y 2−16x 2=144化成标准方程为y 216−x 29=1，∴a =4且b =3，∴双曲线的渐近线方程为y =±ab x ，即y =±43x. 故选：C ．将双曲线化成标准方程，得到a =4且b =3，利用双曲线渐近线方程的公式加以计算，可得答案．本题给出双曲线的方程，求它的渐近线．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={x 2+1,x ≤1lnx,x >1，∴f(e)=lne =1，f(f(e))=f(1)=12+1=2． 故选：C ．先求出f(e)=lne =1，从而f(f(e))=f(1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．【解析】解：∵共3个班，每班从5个风景点中选择一处游览，∴每班都有5种选择，∴不同的选法共有53，故选：A．每班从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，根据乘法原理，即可得到结论本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：(x−1x)9的展开式中的通项T r+1=C9r⋅(−1)r⋅x9−2r，令9−2r=3，得r=3，所以(x−1x)9的展开式中x3的系数为：C93⋅(−1)3=−84，故选：A．求得：(x−1x)9的展开式中的通项T r+1=C9r⋅(−1)r⋅x9−2r，令x的幂指数为3，求得r，从而可得答案．本题考查二项式定理，着重考查其通项公式的应用，考查数学运算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由于函数f(x)=sinx−2cosx=√5sin(x−θ)，当x−θ=2kπ+π2时，即x=2kπ+π2+θ(k∈Z)时，函数的最大值为√5．故选：C．直接利用三角函数的关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．从8个顶点中选4个，共有C 84种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论． 【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有C 84种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，∴满足条件的结果有C 84−6−6=C 84−12=58．故选：D ．8.【答案】B【解析】解：当x <0时，则−x >0，由偶函数f(x)满足f(x)=x 3−8(x ≥0) 可得，f(x)=f(−x)=−x 3−8， 则f(x)={x 3−8,x ≥0−x 3−8,x <0，∴f(x −2)={(x −2)3−8,x ≥2−(x −2)3−8,x <2令f(x −2)>0，当x −2≥0，即x ≥2时，有(x −2)3−8>0可解得x >4， 当x −2<0，即x <2时，有−(x −2)3−8>0，可解得x <0． 即x >4或x <0． 故选B ．先利用偶函数的性质解出函数的解析式，然后再解分段不等式，分段不等式特点是分段求解，再求并集．本题以函数为载体，主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，考查分段函数．9.【答案】B【解析】解：a=30.5>30=1，1=log33>b=log32>log3√3=1，2=0，c=cos2<cosπ2∴c<b<a．故选：B．利用指数、对数函数的单调性直接求解．本题考查了指数和对数、三角函数值的大小比较，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：取BC的中点为O，连结ON，B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角为∠ANO或其补角，MN=//12∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=√5，2=√(√2)2+22=√6，AN=√5，MB=√B1M2+BB1在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=AN2+NO2−AO2 2AN⋅NO=62×√5×√6=√3010．故选：C．11.【答案】B【解析】解：设抛物线为y2=2px，如图|AB|= 4√2，|AM|=2√2，|DE|=2√5，|DN|=√5，|ON|=p2，x A=(2√2)2 2p =4p，∵|OD|=|OA|，∴丨ON丨 2+丨DN丨 2=丨OM丨 2+丨AM丨 2，∴p24+5=16p2+8，解得p=4，故选：B．画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的极值点，属于中档题．先求导函数，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点，等价于函数y=lnx与y=2ax−1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f(x)=x(lnx−ax)，则f′(x)=lnx−ax+x(1x−a)=lnx−2ax+1，令f′(x)=lnx−2ax+1=0得lnx=2ax−1，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点，等价于f′(x)=lnx−2ax+1有两个零点，等价于函数y =lnx 与y =2ax −1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)，当直线y =2ax −1与y =lnx 的图象相切时，设切点为(x 0,y 0)， 对于y =lnx ，y′=1x ，则{y 0=2ax 0−1y 0=lnx 02a =1x 0，解得a =12，由图可知，当0<a <12时，y =lnx 与y =2ax −1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是(0,12). 故选B ．13.【答案】−2【解析】解：a ⃗ +2b ⃗ =(2m +1,−3)，a ⃗ =(1,1)，且a ⃗ //(a ⃗ +2b ⃗ )， ∴2m +1+3=0，解得m =−2． 故答案为：−2．可求出：a ⃗ +2b ⃗ =(2m +1,−3)，然后根据a ⃗ //(a ⃗ +2b ⃗ )可得出2m +1+3=0，从而解出m 的值即可．本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1=−32(a 1+3d)+3(a 1+6d)=9，解得d =1；所以S 7=7a 1+21d =0． 故答案为：0．设公差为d ，利用通项公式将条件转化为d 的方程，求出公差d ，再代入求和公式求S 7． 本题考查等差数列的通项公式，求和公式，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：因为y =e ax −ln(x +1)， 所以y′=ae ax −1x+1，由导数的几何意义可得k 切=f′(0)=a −1， 由于切线的方程为2x −y +1=0， 所以a −1=2， 解得a =3， 故答案为：3．求出f(x)的导数，可得切线的斜率，再由切线方程，解得a ，即可得出答案． 本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：由题意，F(0,m2)，准线方程为y =−m2， 代入双曲线x 2m 2−y 2n 2=1(n >0)，可得x =±√m 2+m 44n 2，∵准线与双曲线x 2m 2−y 2n 2=1(n >0)有两个交点A ，B ，∠AFB =120°，∴√m 2+m 44n 2=√3m ，∴m =2√2n ， ∴双曲线的离心率为√8n 2+n 2m=3．故答案为3．求出，F(0,m2)，准线方程为y =−m2，代入双曲线x 2m2−y2n2=1(n >0)，可得x =±√m 2+m 44n 2，利用准线与双曲线x 2m 2−y 2n 2=1(n >0)有两个交点A ，B ，∠AFB =120°，得出√m 2+m 44n 2=√3m ，求出m ，n 的关系，即可得出结论．本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定m ，n 的关系是关键．17.【答案】解：(1)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5，6，P(X =1)=P(X =2)=P(X =3)=P(X =4)=P(X =5)=P(X =6)=16， ∴X 的分布列为：(2)E(X)=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16=3.5，D(X)=(1−3.5)2×16+(2−3.5)2×16+(3−3.5)2×16+(4−3.5)2×16+(5−3.5)2×16+(6−3.5)2×16=3512．【解析】(1)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．(2)由X 的分布列能求出E(X)和D(X)．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法与应用，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)在△ABC 中，因为cosB =−17，所以sinB =√1−cos 2B =4√37， 由正弦定理得，sinA =asinB b =√32， 因为cosB =−17<0，所以π2<B <π，所以0<A <π2， 所以A =π3．(2)在△ABC 中，sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×(−17)+12×4√37=3√314， 所以AC 边上的高为asinC =7×3√314=3√32．【解析】(1)结合同角三角函数的平方关系与正弦定理，可得sin A 的值，再判断A 的范围，即可得解；(2)先结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求出sin C 的值，再由a sin C ，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：因为ABCD 为正方形，所以BC ⊥CD ，因为∠BCP =90°，所以BC ⊥CP ，又CD ∩CP =C ， 所以BC ⊥平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥PD ，同理BA ⊥PD ，又BA ∩BC =B ， 所以PD ⊥平面ABCD ．(2)以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2) 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y +2z =0，令z =1，得n⃗ =(0,1,1)， 由题意易得，AC ⊥平面PDB ，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PDB 的一个法向量，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0) 所以cos <n ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√8=12， 故二面角D −PB −C 的正弦值为√32．【解析】(1)证明BC ⊥CD ，BC ⊥CP ，推出BC ⊥平面PCD ，即可证明BC ⊥PD ，同理可证BA ⊥PD ，然后证明PD ⊥平面ABCD 即可．(2)以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ，求出平面PBC 的一个法向量，说明AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PDB 的一个法向量，利用空间向量求解二面角D −PB −C 的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理，二面角的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得−p2=−1，所以p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)证明：由题意设直线l 的方程为x =my +2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立{x =my +2y 2=4x ，得y 2−4my −8=0．Δ=16(m 2+2)>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8， 所以|PM|=√1+m 2|y 1|，|QM|=√1+m 2|y 2|． 所以1|PM|2+1|QM|2=1(1+m 2)y 12+1(1+m 2)y 22=y 12+y 22(1+m 2)y 12y 22=16m 2+1664(1+m 2)=1+m 24(1+m 2)=14．所以1|PM|2+1|QM|2为定值．【解析】(1)(1)由已知条件得−p2=−1，可得p ，进而得到抛物线的方程；(2)设M(t,0)，设点M ，P(x 1,y 2)，Q(x 2,y 2)，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x =my +t.联立抛物线方程，消去x ，可得y 的方程，运用韦达定理和弦长公式，即可证明．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=ae x −1．①若a ≤0，则f′(x)<0，f(x)单调递减，无最小值； ②若a >0，则当x >−lna 时，f′(x)>0， 当x <−lna 时，f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,−lna)单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， f(x)的最小值为f(−lna)=0， 所以a =1．(2)由(1)得，当x ∈(0,+∞)时，e x −x −1>0，即e x >x +1，即x >ln(x +1)． 令x =12n 得ln(1+12n )<12n所以ln(1+12)+ln(1+122)+⋅⋅⋅+ln(1+12n )<12+122+⋅⋅⋅+12n =1−12n <1． 故(1+12)(1+122)×⋅⋅⋅×(1+12n )<e 又(1+12)(1+122)(1+123)>2，且m 为整数 所以m 的最小值为3．【解析】(1)求导得f′(x)=ae x −1，分两种情况：①若a ≤0，②若a >0，分析f(x)单调性，最小值，即可得出答案．(2)由(1)得，当x ∈(0,+∞)时，e x −x −1>0，进而可得x >ln(x +1)，令x =12n 得ln(1+12n)<12n ，则ln(1+12)+ln(1+122)+⋅⋅⋅+ln(1+12n )<12+122+⋅⋅⋅+12n =1−12n <1.即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】证明：(Ⅰ)由柯西不等式得：(√a +√b +√c)2≤(12+12+12)[(√a)2+(√b)2+(√c)2]=3， ∴√a +√b +√c ≤√3．(Ⅱ)由柯西不等式得：[(3a +1)+(3b +1)+(3c +1)](13a+1+13b+1+13c+1) ≥(√3a +1√3a+1+√3b +1⋅√3b+1+√3c +1⋅√3c+1)2=9 ∴13a+1+13b+1+13c+1≥32．【解析】(Ⅰ)由柯西不等式得：(√a +√b +√c)2≤(12+12+12)[(√a)2+(√b)2+(√c)2]=3，即可证明结论；(Ⅱ)由柯西不等式得：[(3a +1)+(3b +1)+(3c +1)](13a+1+13b+1+13c+1)≥(√3a +1⋅√3a+1√3b +1√3b+1+√3c +1⋅√3c+1)2，即可证明结论．本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．(a∈R,b∈R,且a>1)的图象过点23.【答案】(1)解：∵函数f(x)=a x+sinb−3x+1(0,−1)．=−1，∴f(0)=−1，即a0+sinb−30+1∴sinb=1，+2kπ(k∈z)．∴b=π2(2)证明：假设函数f(x)有负零点x0，则f(x0)=0，故a x0+1=3x①，0+1∵函数y=a x+1(a>1)在R上是增函数，且a0+1=2，∴a0x+1<2，∴1<a x0+1<2，∵函数y=3在(−1,+∞)上是减函数，x+1>3，∴当x0∈(−1,0)时，3x0+1∴等式①不可能成立，∵函数y=3在(−∞,−1)上是减函数，x+1<0，∴当x0∈(−∞,−1)时，3x0+1∴等式①也不可能成立，综上所述，等式①不可能成立，假设错误，故f(x)=0没有负零点，即得证．【解析】(1)将点(0,−1)代入函数f(x)中，可得sinb=1，即可求解b．(2)假设函数f(x)有负零点x0，则f(x0)=0，故a x0+1=3①，可推得1<a x0+1<2，x0+1当x0∈(−1,0)和x0∈(−∞,−1)时，等式①均不成立，故假设错误，即得证．本题主要考查了运用反证法求证函数无零点，需要学生有分类讨论的思想，属于中档题．。
四川省南充市高级中学2021年高二数学理期末试卷含解析
四川省南充市高级中学2021年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．2. 直线是曲线的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln2－1 D．ln 2参考答案：C∵y＝ln x的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝x＋b得b＝ln 2－1.3. 是定义在上的非负、可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有 ()．A． B．C． D．参考答案：B4. 两个线性相关变量x与y的统计数据如表：其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为（）A. 0.1B. 0.2C. ﹣0.1D. ﹣0.2参考答案：B【分析】求出样本中心，代入回归直线的方程，求得，得出回归直线的方程，令，解得，进而求解相应点的残差，得到答案.【详解】由题意，根据表中的数据，可得，把样本中心代入回归方程，即，解得，即回归直线的方程为，令，解得，所以相应点的残差为，故选B.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中正确求解回归直线的方程，利用回归直线的方程得出预测值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5. 在同一坐标系中，D 是由曲线y=cosx ，x ∈[﹣，]与x轴所围成的封闭区域，E 是由曲线y=cosx，直线x=﹣，x=与x轴所围成的封闭区域，若向D内随机投一点，则该点落入E中的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 已知函数在处的导数为1，则( )A．3 B． C．D．参考答案：B7. 三名医生和六名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配一名医生和二名护士，不同的分配方法共 ( )A 90B 180C 270D 540参考答案：D略8. 已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．B．2 C．D．3参考答案：B【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题9. 在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（）参考答案：C10. 一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒参考答案：C【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】①求出s的导函数s'（t）=2t﹣1②求出s'（3）【解答】解：s'（t）=2t﹣1，s'（3）=2×3﹣1=5．故答案为C【点评】考查求导法则及导数意义二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递减区间为▲.参考答案：（0，2） 略12. 不等式的解集为________.参考答案：略 13. 若抛物线的焦点是，准线是，则经过两点、且与相切的圆共有__________个.参考答案：2略14. 椭圆的准线方程为___________.参考答案：15. 若关于x 的不等式ax 2﹣2x ﹣2﹣a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为 ．参考答案：[，1）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】由题意得到a ＞0，解出二次不等式，根据解的区间端点范围可得a 的范围． 【解答】解：关于x 的不等式ax 2﹣2x ﹣2﹣a ＜0的解集中仅有4个整数解，∴，解得a ＞0， 解不等式得﹣1＜x ＜， 要使不等式的解集中仅有4个整数解， ∴3＜≤4，解得≤a＜1，故答案为：[，1）．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．16. 用红、黄、蓝三种颜色涂四边形ABCD 的四个顶点，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法共有_________种.参考答案：18 【分析】 先对顶点涂色有3种颜色可供选择，接着顶点有2种颜色可供选择，对顶点颜色可供选择2种颜色分类讨论，分为与同色和不同色情况，即可得到顶点涂色情况，即可求解.【详解】如果同色涂色方法有，如果不同色涂色方法有，所以不同的涂色方法有种.故答案为:18.【点睛】本题考查染色问题、分步乘法原理和分类加法原理，注意限制条件，属于基础题.17. 双曲线的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为_________.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省南充市高二数学下学期期末考试试题 理
2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内复数131iz i+=+对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.对具有线性相关关系的两个变量x 和y ，测得一组数据如下表所示：根据表格，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为10.5 1.5y x =+，则m =( ) A ．85.5 B ．80 C ．85 D ．90 3.数学归纳法证明不等式()*1111,22321n n n N n ++++<纬-…时，由()2n k k =?不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数为( )A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k + 4.设()1213sin m x x dx -=+ò，则多项式6x 骣琪琪桫的常数项是( )A ．54- B ．54 C.203 D ．15165.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有( )A ．24种B ．28种 C.32种 D ．16种6.2017年5月30日是我们的传统节日“端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是豆沙馅”，则()P B A =( )A ．14 B ．34 C.110 D ．3107.函数()sin f x x x =+在2x p=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．12B ．24p C.22p D ．214p +8.某一中不生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，则3个人中有2个人成功咨询的概率是( ) A ．164 B ．364 C.2764 D ．9649.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A ．310p B ．320p C.3110p - D ．3120p -10.设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++?，若函数()x y f x e =(e 为自然对数的底数)在1x =-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x =的图象是( )A ．B ． C.D ．11.不等式2313x x a a +--?对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(][),14,-?+? B ．(][),25,-?+? C.[]1,2D ．(][),12,-??12.设函数()f x 是定义在(),0-?上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>，则不等式()()()220172017930x f x f ++-->的解集为( )A ．(),2020-?B ．(),2014-? C.()2014,0- D ．()2020,0-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623=?，所以36的所有正约数之和为()()()()()22222222133223232232312213391++++??+??++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ．14.四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是 ．15.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为 ． 16.已知函数()1ln xf x x x -=+，则()f x 在1,22轾犏犏臌上的最大值等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()()320f x ax bx a =-+>. (1)在1x =时有极值0，试求函数()f x 解析式； (2)求()f x 在2x =处的切线方程.18.某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验，甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[]60,100区间内(满分100分)，并绘制频率分布直方图如图所示，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良.(1)根据以上信息填好22´联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？ (2)以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率. (以下临界值及公式仅供参考)()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19.已知函数()212f x x x =+--，不等式()2f x £的解集为M . (1)求M ；(2)记集合M 的最大元素为m ，若正数,,a b c 满足2232a b c m 2++=，求2ab bc +的最大值. 20.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程是1x y aaé=êêë(a 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2c 的极坐标方程为1r =. (1)分别写出1c 的极坐标方程和2c 的直角坐标方程； (2)若射线l 的极坐标方程()03pq r =?，且l 分别交曲线1c 、2c 于A 、B 两点，求AB . 21.为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分，根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为23；现记“该选手在回答完n 个问题后的总得分为n S ”.(1)求620S =且()01,2,3i S i ?的概率；(2)记5X S =，求X 的分布列，并计算数学期望()E X . 22.已知函数()()2ln 2f x a x a x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意[]4,10a Î，[]12,1,2x x Î，恒有()()121212f x f x x x x x l-£-成立，试求l 的取值范围.南充高中2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试题参考答案一、选择题1-5:ABCDD 6-10:BACDC 11、12：AA 二、填空题13.465 14.12600 15.1+ 16.1ln2- 三、解答题17.解：(1)()2'3f x ax b =-， 因为在1x =时有极值0， 所以2030a b a b ì-+=ïí-=ïî，解得13a b ì=ïí=ïî.所以()332f x x x =-+. (2)()2'33f x x =-，在2x =处切线的斜率：()'29k f ==， ()3223224f =-?=.切线的方程：()492y x -=-即914y x =-. 18.(1)()2212030403020243.43 2.706606050707K 创-?==>创?≈， 则有90%的把握认为学生成绩优良与班级有关.(2)32133235710C C C P C +==. 19.解：(1)由()2122f x x x =+--?， 当12x <-时，得152x -<<-， 当122x -＃时得112x -＃， 当2x >时不等式无解， 故51x -＃，所以集合{}51M x x =-＃.(2)集合M 中最大元素为1m =，所以222321a b c ++=. 2ab bc ab +=，而2222222223212222a b b c a b c ab +++++==.所以2ab bc +的最大值为12.20.解：(1)将1c 的参数方程化为普通方程为()2213x y -+=，即22220x y x +--=， 所以1c 的极坐标方程为22cos 20r r q --=， 将2c 的极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=. (2)将3pq =代入21:2cos 20c r r q --=整理得220r r --=， 解得12r =，即12OA r ==.因为曲线2c 是圆心在原点，半径为1的圆， 所以射线()03pq r =?与2c 相交，即21r =，即21OB r ==. 故12211AB r r =-=-=.21.解：(1)当620S =时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个，又()01,2,3i S i ?前三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确1个. 故所求概率为：21322221163333381P C 骣琪=创创?琪桫.(2)由5X S =可知X 的取值为10，30，50， ()2332235521214010333381P X C C 骣骣骣骣琪琪琪琪==+=琪琪琪琪桫桫桫桫， ()4114415521213030333381P X C C 骣骣骣骣琪琪琪琪==+=琪琪琪琪桫桫桫桫， ()5550552111503381P X C C 骣骣琪琪==+=琪琪桫桫. 故X 的分布列为：()403011185010305080808081E X =???. 22.解：(1)函数的定义域为()0,+?，()()()()()22221'22x a x a x a x af x a x x x x-++--=-++==， 当0a £时，函数在()0,1上单调递减，在()1,+?上单调递增，当02a <<时，函数在0,2a骣琪琪桫，()1,+?上单调递增，在,12a骣琪琪桫上单调递减，当2a =时，函数在()0,+?上单调递增，当2a >时，函数在()0,1，,2a骣琪+?琪桫上单调递增，在1,2a骣琪琪桫上单调递减. (2)()()121212f x f x x x x x l -£-恒成立，即()()121211f x f x x x l -?恒成立， 不妨设21x x >，因为当[]4,10a Î时，()f x 在[]1,2上单调递减， 则()()121211f x f x x x l 骣琪-?琪桫，可得()()1212f x f x x x ll-?， 设()()()2ln 2g x f x a x a x x x xl l=-=-++-， 所以对于任意的[]4,10a Î，[]12,1,2x x Î，21x x >，()()12g x g x £恒成立， 所以()()g x f x xl=-在[]1,2上单调递增，()()()()32222122'0x a x x a x ax g x xx x ll---+++=+=?在[]1,2x Î上恒成立，所以()32220x a x ax l -+++?在[]1,2x Î上恒成立， 即()232220a x x x x l -++-+?在[]1,2x Î上恒成立， 因为当[]1,2x Î时，20x x -+?，所以只需()23210220x x x x l -++-+?在[]1,2x Î上恒成立， 即32212100x x x l -++?在[]1,2x Î上恒成立， 设()3221210h x x x x l =-++，则()2120h l =-+?， 所以12l ³，故实数l 的取值范围为[)12,+?.。
2019-2020学年南充市高二下学期期末数学试卷(理科)
2019-2020学年南充市高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，若向量，则它们之间的关系是()A. B. C. D.2.已知f(x)=a2−32x+1是R上的奇函数，则f(a)的值为()A. 76B. 13C. 25D. 233.已知f(x)=sin2(x+π4)+2若a=f(lg5)，b=f(lg15)，则a+b=()A. 3B. 4C. 5D. 64.某大学毕业生参加2013年教师资格考试，他必须先参加四场不同科目的计算机考试并全部过关(若仅有一科不过关则该科有一次补考的机会)，然后才能参加教育学考试，过关后就可以获得教师资格，该大学毕业生参加每场考试过关的概率均为12，每场考试费用为100元，则他花掉500元考试费的概率是()A. 316B. 332C. 532D. 1165.将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为()A. A43B. C43C. 34D. 436.已知圆C的圆心在双曲线E：x2−y23=1的右支上，圆C过双曲线E的右焦点F，且与直线x=−2相切，则圆C截x轴所得的线段长为()A. 1B. 2C. 4D. 87.已知(1+2x)n=a0+a1x+⋯+a n x n，其中a0+a1+⋯+a n=243，则a01+a12+a23+⋯+a nn+1=()A. 182B. 1823C. 913D. 18298.3名男生和4名女生排在一起做操，要求男生不相邻，则不同的排法有()A. A 53B. A 53A 44C. A 33A 44D. A 43A 449.已知双曲线y2a2−x2b2=1的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为()A. 5y2−54x2=1 B. x 25 − y24=1 C. y25−x24=1 D. 5x2−54y2=110.函数f(x)=cosx⋅log21−x1+x的图象大致为()A. B.C. D.11.已知直线l经过点A(1,3)，B(−2,−5)，则直线l的斜率为()A. 83B. −83C. 2D. −212.定义：如果函数f(x)在[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)满足f′(x1)=f(b)−f(a)b−a，f′(x2)=f(b)−f(a)b−a，则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”，已知函数f(x)=2x3−x2+m是[0,a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是()A. (18,14) B. (116,18) C. (14,12) D. (16,14)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数Z1=1+i，Z2=3−i，则Z2Z1=______ ．14.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S21=63，则a3+a11+a19=______15.直线y=kx+1与曲线y=lnx相切，则k的值为______ ．16.A−BCD是各条棱长都相等的三棱锥，那么AB和CD所成的角等于_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2+b2−c2=ab．(1)求角C的大小；(2)已知a=4，c=2√3，求△ABC的面积．18.18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20∼80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”，[60,80]为“老年人”．(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在20−80年龄段的人口分布的概率．从该城市20−80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．19. 如图，多面体ABCDEFG中，FA⊥平面ABCD，FA//BG//DE，BG=14AF，DE=34AF，四边形ABCD是正方形，AF=AB．(1)求证：GC//平面ADEF；(2)求二面角C−GE−D的余弦值．20. 某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线E：y2=2px，在抛物线上任意画一个点S，度量点S的坐标(x S,y S)，如图．(Ⅰ)拖动点S，发现当x S=4时，y S=4，试求抛物线E的方程；(Ⅱ)设抛物线E的顶点为A，焦点为F，构造直线SF交抛物线E于不同两点S、T，构造直线AS、AT分别交准线于M、N两点，构造直线MT、NS.经观察得：沿着抛物线E，无论怎样拖动点S，恒有MT//NS.请你证明这一结论．(Ⅲ)为进一步研究该抛物线E的性质，某同学进行了下面的尝试：在(Ⅱ)中，把“焦点F”改变为其它“定点G(g,0)(g≠0)”，其余条件不变，发现“MT与NS不再平行”.是否可以适当更改(Ⅱ)中的其它条件，使得仍有“MT//NS”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．21. 已知函数f(x)=ax+blnx+c(a,b，c为常数且a，b，c∈Q)在x=e处的切线方程为(e−1)x+ey−e=0．(I)求常数a，b，c的值；(Ⅱ)若函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；(Ⅲ)求函数ℎ(x)=f(x)−1的单调递减区间，并证明：ln22×ln33×ln44×…lnnn<1n．x+ln(x−1)，设数列{a n}同时满足下列两个条件：①a n>0(n∈N∗)；22. 已知函数f(x)=32②a n+1=f′(a n+1)．(Ⅰ)试用a n表示a n+1；(Ⅱ)记b n=a2n(n∈N∗)，若数列{b n}是递减数列，求a1的取值范围．23. 已知向量a⃗=(k,1)，b⃗ =(−6,k−7)．(1)若a⃗⊥b⃗ ，求k的值；(2)若a⃗//b⃗ ，求|2a⃗−b⃗ |．【答案与解析】1.答案：A解析：试题分析：又因为．考点：本小题主要考查向量关系的判断．点评：两个向量的数量积为零，则两个向量垂直；两个向量满足，则两个向量平行．2.答案：A解析：解：∵函数f(x)是R 上的奇函数， ∴f(0)=0，得f(0)=a2−32=0， 得a =3，则f(x)=32−32x +1，则f(a)=f(3)=32−323+1=32−39=96−26=76， 故选：A ．根据函数奇偶性的性质利用f(0)=0求出a 的值，然后代入即可求解．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质利用f(0)=0是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：由已知f(x)=sin 2(x +π4)+2=52−12cos(2x +π2)=52+12sin2x ，又a =f(lg5)，b =f(lg 15)， 所以a +b =5+12sin(2lg5)+12sin(2lg 15)=5+12sin(2lg5)+12sin(−2lg5)=5； 故选：C ．首先对f(x)利用倍角公式化简为52+12sin2x ，又因为lg 15=−lg5，代入解析式得到所求． 本题考查了三角函数的倍角公式、诱导公式、互为倒数的两个正数的同底数的对数互为相反数；注意符号．4.答案：A解析：解：若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元， 概率为12×12×12×12=116．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，概率为C 41⋅(12)3⋅12(1−12)=18．综上，他116+18=316， 故选：A ．若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元，求得此时的概率．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，求得此时的概率，再把这2个概率相加，即得所求．本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．5.答案：C解析：解：每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3=34． 故选：C ．每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有34种投法．本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：m 个物品放到n 个不同的位置的方法有n m ，属于基础试题．6.答案：B解析：解：由题意，设圆心坐标为(a,b)，则{a 2−b 23=1a +2=√(a −2)2+b 2，∴a =3，b =±2√6，r =5，∴圆C 的方程为(x −3)2+(y ±2√6)2=25， 令y =0，可得x =2或4，∴圆C 截x 轴所得的线段长为4−2=2， 故选：B ．求出圆心坐标与半径，可得圆的方程，即可求出圆C 截x 轴所得的线段长．本题考查圆C 截x 轴所得的线段长，考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的性质，属于中档题．7.答案：B解析：解：(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，令x =1，则3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5．∴(1+2x)5的通项公式T k+1=∁5k (2x)k =2k ∁5k x k ，∴a k =2k ∁5k ，∴a k k+1=2k ∁5k k+1．则a 01+a 12+a 23+⋯+ann+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B．(1+2x)n=a0+a1x+⋯+a n x n，令x=1，可得3n=a0+a1+⋯+a n=243，解得n=5.利用(1+2x)5的通项公式可得a kk+1=2k∁5kk+1.代入即可得出．本题考查了二项式定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：①、先将4名女生排好，有A44种情况，排好后有5个空位，②、在5个空位中，任选3个，安排3名男生，有A53种情况，则共有A44A53种排法，故选：B．根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将4名女生排好，排好后有5个空位，②、在5个空位中，任选3个，安排3名男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步乘法计数原理，排列数公式，需要牢记常见问题的处理方法，如不相邻问题用插空法．9.答案：A解析：解：由于抛物线x2=4y的焦点F(0,1)双曲线y2a2−x2b2=1的一个焦点F(0,1)，从而可得a2+b2=c2=1双曲线的实轴长是虚轴长的一半即a=12bb2=45,a2=15双曲线的方程为：5y2 −54x2=1由于抛物线x2=4y的焦点F(0,1)可得曲线y2a2−x2b2=1的一个焦点F(0,1)，从而可得a2+b2=c2=1，由双曲线的实轴长是虚轴长的一半即a=12b，从而可求a，b，进而可求双曲线的方程．本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，要注意抛物线及双曲线的焦点位置，属于知识的简单运用．10.答案：A解析：解：由1−x1+x>0，解得−1<x<1．∴函数f(x)=cosx⋅log21−x1+x的定义域为(−1,1)．又f(−x)=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数．排除CD．又f(12)=cos 12⋅log 213<0，排除B ． 故选：A ．利用函数的奇偶性、单调性即可得出．本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：因为直线l 经过点A(1,3)，B(−2,−5)， 所以直线l 的斜率为−5−3−2−1=83． 故选：A ．由两点式直接代入求斜率即可． 本题考查两点式求斜率，属于基础题．12.答案：C解析：解：f(x)=2x 3−x 2+m 是[0,a]上的“双中值函数”， ∴f(a)−f(0)a=2a 2−a ，∵f′(x)=6x 2−2x ，∴6x 2−2x =2a 2−a 在[0,a]上有两个根， 令g(x)=6x 2−2x −2a 2+a ， ∴△=4+24(2a 2−a)>0， g(0)>0，即−2a 2+a >0，g(a)>0，即6a 2−2a −2a 2+a >0， a >16， 解得14<a <12． 故选：C ． 根据定义得出f(a)−f(0)a=2a 2−a ，由f′(x)=6x 2−2x ，得6x 2−2x =2a 2−a 在[0,a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a 的范围即可本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，熟练掌握方程根与对应函数零点之间的关系是解答的关键．13.答案：1−2i解析：解：∵Z 1=1+i ，Z 2=3−i ，则Z2Z1=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−4i2=1−2i，故答案为：1−2i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．14.答案：9解析：解：∵S21=63，∴21(a1+a21)2=21a11=63，∴3a11=9，∴a3+a11+a19=3a11=9，故答案为：9．先根据求和公式可得3a11=9，再根据等差数列的性质即可求出．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题．15.答案：1e解析：解：∵y=lnx，∴y′=f′(x)=1x，设切点为(m,lnm)，得切线的斜率为k=f′(m)=1m，即曲线在点(m,lnm)处的切线方程为：y−lnm=1m (x−m).即y=1mx+lnm−1，∵直线y=kx+1与曲线y=lnx相切，∴1m=k，且lnm−1=1，即lnm=2，则m=e2，则k=1e2．故答案为：1e2．欲k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．设出切点坐标是解决本题的关键．16.答案：．解析：试题分析：设A在底面BCD内的射影为O，则O为底面BCD的中心，所以，所以根据三垂线定理可知.所以AB和CD所成的角等于．考点：异面直线所成的角，三垂线定理．点评：因为此三棱锥是正四面体，它的相对棱是垂直的，所以AB与CD所成的角为直角．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵a2+b2−c2=ab，∵cosC=a2+b2−c22ab =12，………………………………………………………(3分)∵C∈(0,π)，∵C=π3..……………………………………………………………(5分)(2)由正弦定理得sinAa =sinCc，即sinA=a⋅sinCc=4√3223=1，∵A∈(0,π)，∴可得A=π2.………………………………………………………(8分)∴b=√42−(2√3)2=2，………………………………………………………(10分)∴S△ABC=12bc=12×2×2√3=2√3.……………………………………………(12分)解析：(1)由已知利用余弦定理可求cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C；(2)由正弦定理得sinA=1，结合范围A∈(0,π)，可得A=π2，利用勾股定理可求b，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，勾股定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解析：19.答案：(1)证明：∵FA//BG，BG⊂平面BGC，FA⊄平面BGC，∴FA//平面BGC，又∵AD//BC ，BC ⊂平面BGC ，AD ⊄平面BGC ， ∴AD//平面BGC ，又∵AF ∩AD =A ，AF 、AD ⊂平面ADEF ， ∴平面BGC//平面ADEF ， 又GC ⊂平面BGC ， ∴GC//平面ADEF ．(2)解：∵FA ⊥平面ABCD ，AB 、AD ⊂平面ABCD ， ∴FA ⊥AB ，FA ⊥AD ， 又∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD ，故以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令AB =AF =4，则BG =1，DE =3，∴G(4,0，1)，C(4,4，0)，E(0,4，3)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,3)， 设平面CGE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ·CG⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−4y +z =0,−4x +3z =0,令y =1，则n⃗ =(3,1,4)． ∵FA//ED,FA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥ED ．∵AC ⊥BD,ED ∩BD =D,ED,BD ⊂平面BDEG ， ∴AC ⊥平面BDEG ．则平面DEG 的一个法向量为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,0)． 设二面角C −GE −D 的大小为θ，由图得θ为锐角，∴cosθ=|n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|AC|=√13=2√1313． ∴二面角C −GE −D 的余弦值为2√1313． 解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于一般题．(1)由已知条件得平面BGC//平面ADEF ，由此能证明GC//平面ADEF ．(2)以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −GE −D 余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)把x S =4，y S =4代入y 2=2px ，得p =2，…(3分)因此，抛物线E 的方程y 2=4x.…(4分)(Ⅱ)因为抛物线E 的焦点为F(1,0)，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)， 依题意可设直线l ：my =x −1， 代入抛物线方程得y 2−4my −4=0， 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4 ①…(6分) 又因为l AS ：y =y 1x 1⋅x ，l AT ：y =y 2x 2⋅x ，所以M(−1,−y 1x 1)，N(−1,−y2x 2)，所以MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2+y 1x 1)，NS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1+y 2x2)，…(7分) 又因为(y 2+y 1x 1)(x 1+1)−(y 1+y2x 2)(x 2+1)，…(8分)=(y 1−y 2)(y 12y 22−164y 1y 2)，②把①代入②，得(y 1−y 2)(y 12y 22−164y 1y 2)=0，…(10分)即(y 2+y 1x 1)(x 1+1)−(y 1+y 2x 2)(x 2+1)=0， 所以MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //NS⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT//NS.…(11分)(Ⅲ)设抛物线E ：y 2=4x 的顶点为A ，定点G(g,0)(g ≠0)，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x =−g 于M 、N 两点，则MT//NS.…(14分) 解析：(Ⅰ)把x S =4，y S =4代入y 2=2px ，得p ，即可求出抛物线E 的方程；(Ⅱ)设直线l ：my =x −1，代入抛物线方程，求出M ，N 的坐标，可得MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、NS ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，证明MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //NS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出结论；(Ⅲ)设抛物线E ：y 2=4x 的顶点为A ，定点G(g,0)(g ≠0)，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x =−g 于M 、N 两点，则MT//NS ．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．21.答案：解：(I)由f(x)=ax +blnx +c 知，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a +bx ，又f(x)在x =e 处的切线方程为(e −1)x +ey −e =0，而切线(e −1)x +ey −e =0的斜率为−e−1e，所以有f′(e)=a +be =−e−1e，即(b −1)+(a +1)e =0，由a ，b ，c ∈Q ，得a =−1，b =1，(否则e =1−b a+1∈Q 矛盾)，又有切线方程知，f(e)=2−e ，得出c =1，∴a =−1，b =1，c =1(Ⅱ)由(1)知f(x)=−x +lnx +1(x >0)，因此，g(x)=x 2+mf(x)=x 2−mx +mlnx +m (x >0)， 所以g′(x)=2x −m +m x=1x(2x 2−mx +m) (x >0)．要使函数g(x)在(1,3)内不是单调函数，则函数g(x)在(1,3)内一定有极值， 而gg′(x)=1x (2x 2−mx +m)，所以函数g(x)最多有两个极值． 令d(x)=2x 2−mx +m (x >0)．(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时，g′(x)=0在(1,3)内有且仅有一个根， 即d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有且仅有一个根，又因为d(1)=2>0，当d(3)=0时，即m =9时，d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有且仅有一个根x =32，当d(3)≠0时，应有d(3)<0，即2×32−3m +m <0，解得m >9.所以有m ≥9． (ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时，g′(x)=0在(1,3)内有两个根， 即二次函数d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有两个不等根，(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时，g′(x)=0在(1,3)内有两个根， 即二次函数d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有两个不等根，所以{△=(−m)2−4×2×m >0d(1)=2−m +m >0d(3)=2×32−3m +m >01<m 4<3，解得：8<m <9．综上，实数m的取值范围是m≥8．(Ⅲ)由ℎ(x)=f(x)−1得：ℎ(x)=−x+lnx(x>0)，所以ℎ′(x)=1−xx，令ℎ′(x)≤0，即1−xx≤0，得：x≥1，即ℎ(x)的单调递减区间为[1,+∞)．事实上，由函数ℎ(x)=−x+lnx(x>0)在[1,+∞)上单调递减可知，当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)<ℎ(1)，即−x+lnx<−1，亦即lnx<x−1对一切x∈(1,+∞)都成立，不等式两边同时除以x，亦即0<lnxx <x−1x对一切x∈(1,+∞)都成立，所以ln22×ln33×ln44×…lnnn<12×23×34×⋅⋅×n−1n=1n解析：(I)题目给出了函数在x=e处的切线方程，则知道了f′(e)，再由切线过切点三个式子联立可求常数a，b，c的值；(Ⅱ)根据函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数，说明该函数在区间(1,3)内一定有极值，求出函数的导函数为g′(x)=1x(2x2−mx+m)，此导函数等于0可转化为二次方程2x2−mx+m=0，然后分该方程有一个实数根和两个实数根分类讨论，对每一种情况结合二次函数的图象列式可求m的范围；(Ⅲ)把f(x)代入后求出函数ℎ(x)的导函数，由导函数小于等于0求得函数ℎ(x)的减区间为[1,+∞)，根据函数在[1,+∞)上是减函数，则lnx<x−1对一切x∈(1,+∞)都成立，两边同时除以x后得0<lnx x <1−xx对一切x∈(1,+∞)都成立，再利用放缩法证明不等式．本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数在某区间(a,b)内存在极值，则函数在该区间内不是单调函数，考查了函数在某点处取得极值的条件，函数在某点处取得极值，则函数在该点处的导数等于0，反之，函数在某点处的导数等于0，该点不一定是极值点，训练了利用放缩法证明不等式．此题具有一定难度22.答案：解：(Ⅰ)求导函数f′(x)=32+1x−1，∵a n+1=f′(a n+1)，∴a n+1=32+1a n．(Ⅱ)a3=32+1a2，a4=32+1a3=32+132+1a2=32+2a23a2+2，令a4<a2，得2a22−3a2−2>0，∴(2a2+1)(a2−2)>0，∵a2>0，∴a2>2，则32+1a1>2，得0<a1<2．以下证明：当0<a1<2时，a2n+2<a2n，且a2n>2．①当n=1时，0<a1<2，则a2=32+1a1>32+12=2，a4−a2=32+1a3−a2=32+132+1a2−a2=13a2+6 2(3a2+2)−a2=−6a22+9a2+62(3a2+2)=−3(2a2+1)(a2−2)2(3a2+2)<0，∴a4<a2．②假设n=k(k∈N∗)时命题成立，即a2k+2<a2k，且a2k>2，当n=k+1时，a2k+2=32+1a2k >32+12=2，a2k+2=32+1a2k+1=32+132+1a2k>2a2k+4−a2k+2=13a2k+2+6 2(3a2k+2+2)−a2k+2=−3(a2k+2+1)(a2k+2−2)2(3a2k+2+2)<0∴a2k+4<a2k+2，即n=k+1时命题成立，综合①②，对于任意n∈N∗，a2n+2<a2n，且a2n>2，从而数列{b n}是递减数列．∴a1的取值范围为(0,2)．说明：数学归纳法第②步也可用下面方法证明：a2k+4−a2k+2=13a2k+2+62(3a2k+2+2)−13a2k+62(3a2k+2)=4(a2k+2−a2k)(3a2k+2+2)(3a2k+2)<0解析：(Ⅰ)求导函数，利用a n+1=f′(a n+1)，可用a n表示a n+1；(Ⅱ)先通过特殊性，猜想0<a1<2，再用数学归纳法进行证明．本题考查数列递推式，考查求参数的范围，解题的关键是先猜后证，属于中档题．23.答案：解：(1)因为向量a⃗=(k,1)，b⃗ =(−6,k−7)，a⃗⊥b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =−6k+k−7=0，解得：k=−75；(2)若a⃗//b⃗ ，则k(k−7)+6=0，解得k=1或k=6；因此k=1时，2a⃗−b⃗ =(2k+6,9−k)=(8,8)，因此|2a⃗−b⃗ |=√64+64=8√2；k=6时，2a⃗−b⃗ =(2k+6,9−k)=(18,3)，所以|2a⃗−b⃗ |=√324+9=3√37．解析：(1)根据两向量垂直时，数量积为0，列方程求得k的值；(2)由平面向量的共线定理，列方程求出k的值，再求向量的模长．本题考查了平面向量的坐标运算与共线和垂直的应用问题，是基础题．。
2015-2016学年四川省南充高中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年四川省南充高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共16个小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知复数z＝，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i2．（4分）设集合A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4} 3．（4分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）＝﹣|x|B．f（x）＝2x+2﹣xC．f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）D．f（x）＝x3﹣14．（4分）函数f（x）＝ln（x2+2）的图象大致是（）A．B．C．D．5．（4分）设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）A．B．C．D．6．（4分）函数f（x）＝2x+x3的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（﹣2，﹣l）7．（4分）dx＝（）A．ln2+B．ln2﹣C．ln2﹣D．ln2﹣8．（4分）已知f（n）＝+++…+，则（）A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f（2）＝+B．f（n）中共有n+1项，当n＝2时，f（2）＝++C．f（n）中共有n2﹣n项，当n＝2时，f（2）＝++D．f（n）中共有n2﹣n+1项，当n＝2时，f（2）＝++9．（4分）一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（）种不同的坐法．A．7200B．3600C．2400D．120010．（4分）若函数f（x）＝x2lnx（x＞0）的极值点为α，函数g（x）＝xlnx2（x＞0）的极值点为β，则有（）A．α＞βB．α＜βC．α＝βD．α与β的大小不确定11．（4分）已知函数f（x）＝x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜12．（4分）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．13．（4分）用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项14．（4分）对于函数f（x）＝x3﹣3x2，给出下列四个命题：①f（x）是增函数，无极值；②f（x）是减函数，有极值；③f（x）在区间（﹣∞，0]及[2，+∞）上是增函数；④f（x）有极大值为0，极小值﹣4；其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．415．（4分）如图所示的是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．16．（4分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）17．（4分）计算（4A84+2A85）÷（A86﹣A95）×0！＝．18．（4分）若复数z＝（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i为纯虚数，则实数a的值等于．19．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值为；最小值为．20．（4分）若函数f（x）＝在区中（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（10分）求值：2log2﹣lg2﹣lg5+．22．（12分）设f（x）＝2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y＝f′（x）的图象关于直线x＝﹣对称，且f′（1）＝0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．23．（12分）对于函数f（x）＝a﹣（a∈R）．（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．24．（12分）设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）＝x3+ax与g（x）＝bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（Ⅰ）用t表示a，b，c；（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣g（x）在（﹣1，3）上单调递减，求t的取值范围．25．（12分）如图，设铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC＝10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小？26．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a+3，g（x）＝mx+5﹣2m．（Ⅰ）若y＝f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年四川省南充高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共16个小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：复数z＝＝所以它的共轭复数为：1﹣i故选：A．2．【解答】解：由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B＝（﹣1，3），∵A＝{﹣2，0，2，4}，∴A∩B＝{0，2}．故选：C．3．【解答】解：f（﹣x）＝﹣|﹣x|＝﹣|x|＝f（x），故A是偶函数．f（﹣x）＝2x+2﹣x＝f（x），故B是偶函数．f（﹣x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）＝﹣[lg（1+x）﹣lg（1﹣x）]＝﹣f（x），故C是奇函数．f（﹣x）＝﹣x3﹣1≠﹣f（x），故D不是奇函数．故选：C．4．【解答】解：因为定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），所以函数为偶函数，排除C项；又f（0）＝ln2＞0，排除A、B两项；只有D项与之相符．故选：D．5．【解答】解：由题意＝故选：C．6．【解答】解：∵连续函数f（x）＝2x+x3，f（﹣1）＝﹣1＝﹣，f（0）＝1+0＝1，∴f（﹣1）•f（0）＝﹣×1＜0，根据函数零点的判定定理，f（x）＝2x+x3的零点所在区间为（﹣1，0），故选：B．7．【解答】解：∵dx＝（lnx﹣﹣）|12＝ln2﹣﹣﹣ln1+1+＝ln2+．故选：A．8．【解答】解：分母n，n+1，n+2…n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列项数为n2﹣n+1故选：D．9．【解答】解：由题意，6个人之间形成5个空，插入3个座位，可得不同的坐法有A66C53＝7200种，故选：A．10．【解答】解：∵f′（x）＝2xlnx+x，g′（x）＝lnx2+2又f（x）＝x2lnx（x＞0）的极值点为α，g（x）＝xlnx2（x＞0）的极值点为β，∴2αlnα+α＝0，lnβ2+2＝0∴∴α＞β故选：A．11．【解答】解：因为函数f（x）＝x4﹣2x3+3m，所以f′（x）＝2x3﹣6x2．令f′（x）＝0得x＝0或x＝3，可知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）＝3m﹣．不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥﹣9恒成立，所以3m﹣≥﹣9，解得m≥．故选：A．12．【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是＝（3x﹣）＝；故选：C．13．【解答】解：，＝故选：C．14．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣3x2，∴f′（x）＝3x2﹣6x，由f′（x）＝0，得x＝0或x＝2，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）的增区间是（﹣∞，0），（2，+∞）；减区间是（0，2）．∴f（x）极大值＝f（0）＝0，f（x）极小值＝f（2）＝﹣4．故①②错误，③④正确．故选：B．15．【解答】解：由图象知f（x）＝0的根为0，1，2，∴d＝0．∴f（x）＝x3+bx2+cx＝x（x2+bx+c）＝0．∴x2+bx+c＝0的两个根为1和2．∴b＝﹣3，c＝2．∴f（x）＝x3﹣3x2+2x．∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2＝0的两根，∴．∴．故选：C．16．【解答】解：当x＝0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）＝，则f′（x）＝＝﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max＝f（1）＝﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）17．【解答】解：（4+2）÷（﹣）×0!＝（4×8×7×6×5+2×8×7×6×5×4）÷（8×7×6×5×4×3﹣9×8×7×6×5）×1＝（3×8×7×6×5×4）÷（8×7×6×5×3）＝4．故答案为：4．18．【解答】解：由纯虚数的定义可知，由方程可解得a＝0，或a＝2，但a＝2时a2﹣a﹣2＝0，矛盾，故答案为：019．【解答】解：因为函数f（x）＝x3﹣3x+1，所以函数f′（x）＝3x2﹣3，令3x2﹣3＝0，解得x＝﹣1，或x＝1∉[﹣3，0]，因为f（﹣3）＝（﹣3）3﹣3×（﹣3）+1＝﹣17，f（﹣1）＝（﹣1）3﹣3×（﹣1）+1＝3，f（0）＝1；所以函数的最大值为：3；最小值为：﹣17．故答案为：3；﹣17．20．【解答】解：∵函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可．画出g（x）的图象：∵解得﹣1＜m≤0故填﹣1＜m≤0．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．【解答】解：＝2×﹣lg10+＝1﹣1+＝．22．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）＝2x3+ax2+bx+1，故f′（x）＝6x2+2ax+b 从而f′（x）＝6y＝f′（x）关于直线x＝﹣对称，从而由条件可知﹣＝﹣，解得a＝3又由于f′（x）＝0，即6+2a+b＝0，解得b＝﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝2x3+3x2﹣12x+1f′（x）＝6x2+6x﹣12＝6（x﹣1）（x+2）令f′（x）＝0，得x＝1或x＝﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x＝﹣2处取到极大值f（﹣2）＝21，在x＝1处取到极小值f（1）＝﹣6．23．【解答】解：∵f（x）＝a﹣（a∈R）．∴f′（x）＝＞0恒成立，∴函数f（x）在R上为增函数（2）由f（0）＝a﹣＝0，得a＝1，∴f（x）＝1﹣＝，∵f（﹣x）＝＝＝﹣＝﹣f（x）所以当a＝1时，f（x）为奇函数．24．【解答】解：（I）因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）＝0，即t3+at＝0．因为t≠0，所以a＝﹣t2．g（t）＝0，即bt2+c＝0，所以c＝ab．又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f'（t）＝g'（t）．而f'（x）＝3x2+a，g'（x）＝2bx，所以3t2+a＝2bt．将a＝﹣t2代入上式得b＝t．因此c＝ab＝﹣t3．故a＝﹣t2，b＝t，c＝﹣t3．（II）y＝f（x）﹣g（x）＝x3﹣tx2﹣t2x+t3，y'＝3x2﹣2tx﹣t2＝（3x+t）（x﹣t）．当y'＝（3x+t）（x﹣t）＜0时，函数y＝f（x）﹣g（x）单调递减．由y'＜0，若t＞0，则﹣＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜﹣．由题意，函数y＝f（x）﹣g（x）在（﹣1，3）上单调递减，则（﹣1，3）⊂（﹣，t）或（﹣1，3）⊂（t，﹣）．所以t≥3或﹣≥3．即t≤﹣9或t≥3．∴t的取值范围为（﹣∞，﹣9]∪[3，+∞）．25．【解答】解：（1）依题中，铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC＝10，将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，且单位距离的铁路运费为2，公路运费为4∴铁路AM上的运费为2（80﹣x），公路MC上的运费为4，则由A到C的总运费为y＝2（80﹣x）+4（0≤x≤80）…（6分）（2）y′＝﹣2+（0≤x≤80），令y′＝0，解得x ＝，或x ＝﹣（舍）…（9分）当0≤x ≤时，y′≤0；当≤x≤80时，y′≥0故当x ＝时，y取得最小值．…（12分）即当在距离点B 为时的点M处修筑公路至C时总运费最省．…（13分）26．【解答】解：（Ⅰ）：因为函数f（x）＝x2﹣4x+a+3的对称轴是x＝2，所以f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，因为函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则必有：即，解得﹣8≤a≤0，故所求实数a的取值范围为[﹣8，0]．（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．f（x）＝x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域为[﹣1，3]，下求g（x）＝mx+5﹣2m的值域．①当m＝0时，g（x）＝5﹣2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g（x）的值域为[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3]⊆[5﹣m，5+2m]，需，解得m≥6；③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3]⊆[5+2m，5﹣m]，需，解得m≤﹣3；综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）．第11页（共11页）。
四川省南充市2018-2019学年高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
南充市2018—2019 学年度下期普通高中二年级教学质量监测数学试题（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，符合题目要求的．A. 1B. i【答案】C【解析】试题分析：i234i i i i 1 i 1 0,选C1.若i 为虚数单位，则i i2 i3 i 4的值为（）考点：复数的运算C. 0D. 1222. 双曲线x y491的渐近线方程是（4）2A. y xB. y x39【答案】D【解析】【分析】依据双曲线性质，即可求出．详解】由双曲线x y 1 得，a24,b29，492 所以双曲线x 2 y1的渐近线方程是y bx49a22点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地93C. y xD. y x42即a 2,b 3 ，3x ，故选 D ．260分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是22双曲线 a x 2 b y2 1的渐近线方程是 yb x ；a 22双曲线 a y 2 b x 2 1的渐近线方程是 y a x ．b3. 若离散型随机变量 X 的分布列为 则 X 的数学期望 E X ( ) 11 A. 2 B. 2 或 C. 22 【答案】 C【解析】 【分析】由离散型随机变量 X 的分布列，列出方程组，能求出实数 a ，由此能求出 【详解】解：由离散型随机变量 X 的分布列，知： D. 1X 的数学期望0 0 a 2 2 a 1 ，解得 a 2 1，∴X 的数学期望 E(X) 故选： C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量 础题. 4.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有 2、3、3、4 条路, 只从一面上山应 A. 从东边上山 B. 从西边上C. 从南边上山X 的分布列等基础知识，是基, 而从任意一面下山的走法最多D. 从北边上山答案】 D 【解析】从东边上山共 2 10 20种;从西边上山共 3 9 27种;从南边上山共 3 9 27种;从北边上山共 4 8 32 种;所以应从北边上山 .故选 D.102 2的展开式中的常数项是x答案】 B 【解析】20 5r5展开式的通项公式 T r ＋1＝ C 1r 02r x 20 2r ，令 20r ＝0，得 r ＝8.展开式中常数项是第 9项.选 B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1) 求展开式中的特定项 . 可依据条件写出第 r 1项，再由特定项的特点求出 r 值即可 .(2) 已知展开式的某项， 求特定项的系数 . 可由某项得出参数项， 再由通项写出第 r 1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数 .6. 若 390 角的终边上有一点 P a,3 ，则 a 的值是( )【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出 a 的值 . 详解】解：若 390 角的终边上有一点 P a,3 ，∴a 3 3 . 故选： A.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题7. 分配 4名工人去 3个不同的居民家里检查管道， 要求 4名工人都分配出去， 并且每名工人只去一个居民家，25. 二项式 x 2 A. 第 10项B. 第9项C. 第8项D. 第 7项A. 3 3【答案】 AB. 3C. 3 3D. 3则tan 390tan303 3，3a且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A. A43种B. A33A41种C. C42A33种D. C14C31A33种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从 4 名水暖工中抽取2人，②再将这 2 人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.【详解】解：根据题意，分配 4 名水暖工去 3 个不同的居民家里，要求 4 名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；则必有 2 名水暖工去同一居民家检查，即要先从 4 名水暖工中抽取 2 人，有C42种方法，再将这 2 人当做一个元素，与其他 2 人，共 3 个元素，分别分配到 3 个不同的居民家里，有A33种情况，由分步计数原理，可得共C42 A33种不同分配方案，故选： C.【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题.8. 设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋2x＋b（b为常数），则f（－1）＝（）A 3 B. 1 C. － 1 D. － 3【答案】D【解析】【详解】∵f（x）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时， f （x）=2 x+2x+b （ b 为常数），∴f （0）=1+b=0，解得b=-1∴f（1）=2+2-1=3．∴f（-1）=-f （1）=-3．故选 D ．33所以底面中心到底面顶点的距离都是3；；9.已知直线 l :x y m 0经过抛物线 C: y 2 2px(p 0)的焦点，与 C 交于 A, B 两点，若 AB 6，则p 的值为( )13 A. B. C. 1D. 222【答案】 B 【解析】p p x y m 0试 题分 析 ：因 为抛 物线的 焦 点 为 ( p ,0) ，则 由题意 ， 得 m p ①．又 由 { 2 ，得2 2 y 2pxx 2 2(p m)x m 2 0，所以 AB 2 [2(p m)]2 4m 2 6②，由①②得 p 3，故选 B ． 考点： 1、直线与抛物线的位置关系； 2 、弦长公式．10.已知 P 是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为 1，则 P 到这个四面体各面的距离之和为( )A. 6B. 6C. 3D. 33223 【答案】 A【解析】【分析】 先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离 . 【详解】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和， 设它到四个面的距离分别为 a,b, c, d ，又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的又高为1 sin60 3 ，2由于棱长为 1 的正四面体，四个面的面积都是11 1 sin602此正四面体的体积是 1 3 6 23 4 3 12所以： 2 1 3 (a b c d)，12 3 4 解得a b c d 6.3故选： A.点睛】本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力答案】D【解析】【分析】已知向量a r 1,x 1 ，b r y,2 ，根据a r b r，得到y 2 x 1 0，即2x y 2 ，再利用基本不2等式xy12xy12x y求解.222【详解】已知向量r a1,x 1 ，b r y,2 ，11. 已知向量a r 1,xrr若则xy 的最大值为（）A. 1B. 2C.1D.所以y 2 x 1 即2x y 2 ，又因为x 0 ，y1所以xy 1 2xy2 当且仅当0，0，21 2x y 1，2 2 22，2x y，即x1,y 1时，取等号2由此知顶点到底面的距离是2 3 6；331 所以xy 的最大值为 1 .2故选： D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档 题.f(x) 0成立的 x 的取值范围是 (故选 A.答案】 212.设函数 f '(x)是奇函数 f (x)( xR ) 的导函数， f( 1) 0，当x 0时， xf '(x) f(x) 0 ，则使得A. ( , 1)U (0,1)B. (- 1,0)? (1, ?)C. ( , 1)U( 1,0)D. (0,1)(1,答案】 解析】详解】 构造新函数g' xxf xfx，2， x当x0时 g' x 0.所以在 0,上gx单减，又 f 1x0 ，即 g 1 0.所以 g0可得 0 x 1, 此时 f x 0，又 f x 为奇函数，所以 f x 0在,00, 上的解集为：, 1 0,1 .点睛： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如 xf x f x ，想到构造.一般：( 1)条件含有 f x f x ，就构造 g x x,( 2)若 f x f x ，就构xx ，( 3 ) 2f x f x ，就构造 g x e x2xe 2xf x ，( 4)2f xx 就构造2xex，等便于给出导数时联想构造函、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．13. 已知 a3,2,5 ，14. 在数列a n 中，若a 答案】2n 1解析】分析】根据条件先判断数列类型，详解】因为a n 1所以a n 1 2 n 1故答案为2n 1.点睛】本题考查等差数列差中项法.求解数列通项公式2 ，所以a n 是等差数列且公差d 2 ，又a1 1 ，.常见的等差数列的判断方法有两种：定义法、等15.已知e为自然对数底数，曲线y ae x x 在点1,ae 1 处的切线与直线2ex y 1 0平行，则实数答案】2e 1解析】分析】由yx aey |x 1 ae详解】因为所以y x ae 1，1 0 平行，有解析】【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可．详解】解：Qa r3,2,5 ，b r 1,5, 1rragb 3 1 2 5 5 1 2故答案为：2 【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算问题，属于基础题．，则该数列的通项a n难度较易2e求解.，求导xy ae因为点 1,ae 1 处的切线与直线 2ex y 1 0 平行， 所以 y |x 1 ae 1 2e ，点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题216.已知 F 是双曲线 C:x 2 y 1的右焦点， C 的右支上一点 P 到一条渐近线的距离为 2，在另一条渐近4uuur uuur线上有一点 Q 满足 FP PQ ，则答案】 4 解析】详解】试题分析：双曲线的右焦点 F （ ，0），渐近线方程为 ，点 P 到渐近线的距离恰好跟焦 点到渐近线的距离相等， 所以 P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，uuur uuur由于 FP PQ ，所以 ．考点：向量共线的应用，双曲线的方程与简单几何性质．方法点晴】要求 的值，就得求出 P 、Q 两点的坐标，可直接设出 P 点坐标用点到直线的距离公式，也可 结合双曲线的几何性质发现 P 的轨迹，解方程组即得 P 、Q 两点坐标，从而求出两个向量的坐标，问题就 解决了．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，每 个试题考生都必需作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分解得 a2e 1 e故答案为：2e 1e不妨设 P 在直线 上，由方程组 uuur uuur ，所以 ，所以 FP所以 ，由方程组2554 5 ,u P u Q ur 55, 5 10 , 517.甲，乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击中目标得1分，未命中目标得0分，两人4（1）若从甲的4 局比赛中，随机选取2 局，求这2 局的得分恰好相等的概率；（2）从甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望．1 103【答案】（1）；（2）分布列见解析，E（X） 38【解析】【分析】（1 ）求出基本事件总数n C42，这 2 局的得分恰好相等包含的基本事件个数m C22 C22.由此能求出这2局的得分恰好相等的概率P ；（2 ）甲，乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为X，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望.详解】解：（1）从甲的4局比赛中，随机选取 22基本事件总数n C42 6 ，这 2 局的得分恰好相等包含的基本事件个数m C22C222.∴这 2 局的得分恰好相等的概率p m 2 1；n63则X 的可能取值为13，15，16，18，P(X13)2363 44168P(X15)2121 441682363P(X16)441682）甲，乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为X ，P(X 18) 2 1 1 ，448∴X 的分布列为：3 13 1103∴X 的数学期望为 E （X ） 13 3 15 1 16318 1 103.8 8 8 88【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率 计算公式等基础知识，是中档题 .18.在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边长分别为 a, b, c ，且满足 csin B 3bcosC , a 2 c 2 2b 2． （Ⅰ）求 C 的大小；（Ⅱ）若 ABC 的面积为 21 3，求 b 的值． 【答案】（ 1） C 3 ;（2）b 2 7.3【解析】分析： （ Ⅰ）由已知及正弦定理可得， sinCsinB= 3 sinBcosC ，进而利用同角三角函数基本关系式可求 tanC=3 ，即可得解 C 的值；（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求 a 2+b 2﹣c 2=ab ，又 a 2﹣c 2=2b 2，可得 a=3b ，利用三角形面积公式即可解得 b 的值． 详解：QsinB 0 ，tanC 3 ， C 3.a 2b 2c 2ab ，a 3b ，（1）Q 由已知及正弦定理可得， s inCsinB3sinBcosC ，(2) 由(1)可得， cosC222abc 2ab又 Q a 2 c 22b 2由题意可知，S V ABC1 absinC 3 3 b2 21 3 ，24b2 28 ，可得：b 2 7. 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab 及b2、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19.如图，在四棱锥P ABCD中，PD 平面ABCD ，底面ABCD是正形，PD AB，E为PC的中点．（1）求证：DE 平面PCB ；（2）求二面角E BD P 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2） 6 3【解析】【分析】（1）推导出DE⊥PC，BC⊥CD ，BC⊥PD，从而BC⊥平面PCD，进而DE ⊥BC，由此能证明DE⊥平面PCB.（2）以 D 为原点，DA为x轴，DC 为y轴，DP 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E- DB- P 的余弦值.【详解】解：（1）证明：∵在四棱锥P- ABCD 中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 是正方形，PD＝AB，E为PC 的中点，∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，∵PD∩CD＝D，∴BC ⊥平面PCD，∵DE? 平面PCD，∴DE⊥BC，∵PC∩BC＝C，∴DE ⊥ 平面PCB；(2)解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD＝AB＝2，则E(0，1，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，P( 0，0，2)，uuur uuur uuurDB (2, 2,0), DE (0,1,1),DP (0,0, 2)，设平面BDE的法向量n(x,y,z) ，ruuuvn DB2x 2y 0r则r uuuv，取x 1 ，得n (1, 1,1)，n DE yz0设平面BDP的法向量m r(x,y,z)，设二面角E- BD- P 的平面角为θ.则|mr n r | 2 6则cos r r.|m| |n| 3 2 320.已知点F 为抛物线E :y2 2px(p 0) 的焦点，点A(2, m)在抛物线E上，且AF 3．1，得m r (1, 1,0) ，x2uvBuvuu面角E- BD- P的余弦值为6.关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题2 2 0 2 2 ，k G2 0，12 13 12Ⅱ）已知点 G （ 1,0） ，延长 AF 交抛物线 E 于点 B ，证明：以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与【答案】（ Ⅰ） y 2 4x ；（Ⅱ）详见解析．【解析】解法一 ：（Ⅰ ）由抛物线的定义得F2 p ． 2 因为 F3 ，即 22 3，解得p22 ，所以抛物线 的方程为 y 2 4x（Ⅱ ）因为点 2, m 在抛物线2y4x 上，由 2,2 2 ，F 1,0 可得直线 F 的方程为由｛y2y22x 4x11，得 2x 25x解得 x 2或x112，从而1, 22．又G 1,0 ，223，所以 k GⅠ ）求抛物线 E 的方程；直线 GB 相切． 2,2 2 ．所以 m 2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设所以 k G k G 0，从而 GF GF ，这表明点 F 到直线 G ， G 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 G 相切的圆必与直线 G 相切． 解法二：（Ⅰ ）同解法一．Ⅱ ）设以点 F 为圆心且与直线 G 相切的圆的半径为 r ． 因为点 2,m 在抛物线 : y 2 4x 上， 所以 m 2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设2,2 2由 2,2 2 ， F 1,0 可得直线 F 的方程为 y 2 2 x 1 y 2 2 x 1 2 由｛ 2，得 2x 2 5x 2 0 ，y 2 4 x11解得 x 2或x 1 ，从而1, 2 ．22又 G 1,0 ，故直线 G 的方程为 2 2x 3y 2 2 0 ，又直线 G 的方程为 2 2x 3y 2 2 0 ，这表明以点 F 为圆心且与直线 G 相切 圆必与直线 G 相切． 考点： 1、抛物线标准方程； 2、直线和圆的位置关系．21. 设函数 f （ x ）＝ x 2+bln （ x+1），其中 b ≠ 0．1）若 b ＝﹣ 12，求 f （x ）在 [1， 3]的最小值；2）如果 f （ x ）在定义域内既有极大值又有极小值，1 答案】（ 1）4﹣12ln3（2） 0<b < 2解析】 分析】所以点 F 到直线 G 的距离 d 2 2 2 2 894217从而r2 2 2 2 4 28 9 17范围．1）当 b ＝﹣ 12时令由 f x 2x 2x 12 0得 x ＝2则可判断出当 x ∈[1，2）时， f （x ）单调递减； x1当 x ∈（ 2，3]时， f （ x ）单调递增故 f （x ）在 [1， 3]的最小值在 x ＝ 2时取得；2）要使 f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值即 f （x ）在定义域内与 X 轴有三个不同的交点即使2 x 2 2x b x0 在（﹣ 1，+∞）有两个不等实根即 2x 2+2x+b ＝ 0在（﹣ 1， +∞）有两个不等实根x1x ）< 0，当 x ∈（ 2，3]时， f ′（ x ）>0，f （x ）单调递减；当 x ∈（2，3]时， f （ x ）单调递增，这可以利用一元二次函数根的分布可得V 4 8b >0 解之求 b 的范围．g 1 >0 详解】 解： 1） 由题意知， f （ x ） 的定义域为（ 1， +∞)b ＝﹣ 12时，由f 2x 22x x120 ，得 x ＝2 x1 x ＝﹣ 3 舍去），所以 f （x ）min ＝f （ 2） ＝ 4﹣12 ln 3． 2 ）由题意 f x2x 22 x b 0 在（﹣ 1， + ∞）有两个不等实根， x1即 2x 2+2x+b ＝ 0 在（﹣ 1， + ∞）有两个不等实根， V 4 8b >0 1 设g （x ）＝ 2x 2+2x+b ，则 V g 1>0 ，解之得 0<b <12 点睛】 本题第一问较基础只需判断 f （ x ）在定义域的单调性即可求出最小值．而第二问将f （x ）在定义 域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为 f （x ）在定义域内与 X 轴有三个不同的交点即 2 x 2 2x b x 0 在（﹣ 1，+∞）有两个不等实根即 2x 2+2x+b ＝ 0在（﹣ 1， +∞）有两个不等实根 x1此时可利用一元二次函数根的分布进行求解．二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 题计分． 22. 已知 z 11 1 1 5 10i ， z23 4i ， ，求 z.z z 1 z 2答案】 解析】当 x ∈[1， 2）所以当 x ∈[1， 2）时，分析】把z1 、z2 代入关系式，化简即可11z1z2z1 z25 10i 3 4i 55 10i5 10i 3 4i 8 6i55 10i 8 6i228262z1 z2点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设z1a bi,z2 di a,b,c,dR则z1z2 a bi c di ac bd ad bci ，z1 a bi a bi c di ac bd z2 c di c di c di bcd2ad i23.用数学归纳法证明：113135157答案】证明见解析解析】分析】利用数学归纳法的证明标准，验证1时成立，详解】证明：1）当n 1 时，左边2 ）假设当n k时，等式成立，11 即1 3 357 (2k 1)(2k 1)那么，当n 1时，左边＝1135157z1 z2z1z2n(2n 1)(2n 1) 2n假设n右边3，k2k 1，(2k 1)(2k 1)k时成立，证明等式成立.+(2k+1)(2k+3)nk 1时等式也成立即可k2k 1这就是说，根据（1）(2k 1)(2k 3) 2k 3当n k 1时等式也成立.和（ 2 ），可知等式 1 1 11 3 3 5 5 7L(2n 1)(2n 1)n2n 1 对任何n N *都成立.点睛】本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设。
四川省南充市2020-2021学年高二下学期期末数学(理)试题
四川省南充市2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若i 为虚数单位，则234i i i i +++的值为（ ）A ．1-B ．iC ．0D ．12．双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ） A ．23y x =± B ．49y x =± C ．94y x =± D ．32y x =± 3．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X =（ ）A ．2B ．2或12C ．12D ．14．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应A ．从东边上山B ．从西边上山C ．从南边上山D ．从北边上山 5．二项式102x⎛ ⎝的展开式中的常数项是 A ．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项 6．若390︒角的终边上有一点(),3P a ，则a 的值是（ ）A ．BC ．-D ．7．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．34A 种 B ．3134A A 种 C ．2343C A 种 D ．113433C C A 种 8．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－39．已知直线:0l x y m --=经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，若6AB =，则p 的值为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．210．已知P 是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为1，则P 到这个四面体各面的距离之和为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．311．已知向量()1,1a x =-，(),2b y =，其中0x >，0y >．若a b ⊥，则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．14D ．12 12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题13．已知()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则a b ⋅=______.14．在数列{}n a 中，若11a =，12n n a a +=+，则该数列的通项n a =________. 15．已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+在点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数a =______.16．已知F 是双曲线22:14y C x -=的右焦点，C 的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q 满足FP PQ λ=，则λ=________________．三、解答题17．甲，乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下：（1）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（2）从甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望．18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足222sin cos ,2c B C a c b =-=．（Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为b 的值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正形，PD AB =，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PCB ；（2）求二面角E BD P --的余弦值．20．已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．21．设函数f （x ）＝x 2+bln （x +1），其中b ≠0．（1）若b ＝﹣12，求f （x ）在[1，3]的最小值；（2）如果f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围．22．已知121211151034.z i z i z z z z =+=-=+，，，求 23．用数学归纳法证明：1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++参考答案1．C【解析】试题分析：234110i i i i i i +++=--+=,选C考点：复数的运算2．D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】 由双曲线22149x y -=得，224,9a b == ，即2,3a b == ， 所以双曲线22149x y -=的渐近线方程是32b y x x a =±=±，故选D ． 【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地 双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是b y x a =±； 双曲线22221y x a b-=的渐近线方程是a y x b =±． 3．C【分析】由离散型随机变量X 的分布列，列出方程组，能求出实数a ，由此能求出X 的数学期望.【详解】解：由离散型随机变量X 的分布列，知：22012012122a a a a ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得1a =，∴X 的数学期望111()01222E X =⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量X 的分布列等基础知识，是基础题.4．D【解析】从东边上山共21020⨯=种;从西边上山共3927⨯=种;从南边上山共3927⨯=种;从北边上山共4832⨯=种;所以应从北边上山.故选D.5．B【解析】展开式的通项公式T r ＋1＝5202102r rr C x -，令5202r -＝0，得r ＝8.展开式中常数项是第9项.选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.6．A【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出a 的值.【详解】解：若390︒角的终边上有一点(),3P a ，则 3tan 390tan 30a︒︒===，∴a =故选：A.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.7．C【分析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.【详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；则必有2名水暖工去同一居民家检查，C种方法，即要先从4名水暖工中抽取2人，有24再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有3A种情况，3C A种不同分配方案，由分步计数原理，可得共2343故选：C.【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题. 8．D【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），∴f（0）=1+b=0，解得b=-1∴f（1）=2+2-1=3．∴f（-1）=-f（1）=-3．故选D．9．B【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为(,0)2p ，则由题意，得2p m =①．又由20{2x y m y px --==，得222()0x p m x m -++=，所以6AB ==②，由①②得32p =，故选B ．考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．10．A【分析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离.【详解】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为,,,a b c d ，由于棱长为1的正四面体，四个面的面积都是111sin 6024︒⨯⨯⨯=； 又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为1sin 602︒⨯=，3=；此正四面体的体积是13=.所以：1()1234a b c d =⨯+++，解得3a b c d +++=. 故选：A.【点睛】本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力.11．D【分析】已知向量()1,1a x =-，(),2b y =， 根据a b ⊥，得到()210+-=y x ，即22x y +=，再利用基本不等式21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy 求解. 【详解】已知向量()1,1a x =-，(),2b y =，因为a b ⊥，所以()210+-=y x ，即22x y +=，又因为0x >，0y >， 所以2112122222+⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭x y xy xy ， 当且仅当22x y +=，2x y =，即1,12x y ==时，取等号， 所以xy 的最大值为12 . 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．A【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f x g x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2x f x g x e =，等便于给出导数时联想构造函数.13．2【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可．【详解】解：()3,2,5a =-，()1,5,1b =-()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=故答案为：2【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算问题，属于基础题．14．21n -【分析】根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式.【详解】因为12n n a a +=+，所以12n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列且公差2d =，又11a =， 所以()121n a n =+-，所以21n a n =-，故答案为：21n -.【点睛】本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两种：定义法、等差中项法.15．21e e- 【分析】由x y ae x =+，求导1'=+xy ae ，再根据点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，有1|12='=+=x y ae e 求解.【详解】因为x y ae x =+，所以1'=+x y ae ，因为点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，所以1|12='=+=x y ae e ， 解得21-=e a e. 故答案为：21e e- 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16．4【详解】试题分析：双曲线的右焦点F （，0），渐近线方程为，点P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P 在直线上，由方程组得，所以，由方程组得，所以，所以25455,,55105FP PQ ⎛⎫⎛=--=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 由于FP PQ λ=，所以．考点：向量共线的应用，双曲线的方程与简单几何性质．【方法点晴】要求的值，就得求出P 、Q 两点的坐标，可直接设出P 点坐标用点到直线的距离公式，也可结合双曲线的几何性质发现P 的轨迹，解方程组即得P 、Q 两点坐标，从而求出两个向量的坐标，问题就解决了．17．（1）13；（2）分布列见解析，103()8E X = 【分析】（1）求出基本事件总数24n C =，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数2222m C C =+.由此能求出这2局的得分恰好相等的概率P ；（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望.【详解】 解：（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局，基本事件总数246n C ==，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数22222m C C =+=. ∴这2局的得分恰好相等的概率2163m p n ===； （2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ， 则X 的可能取值为13，15，16，18，2363(13)44168P X ==⨯==， 2121(15)44168P X ==⨯==，2363(16)44168P X ==⨯==， 211(18)448P X ==⨯=， ∴X 的分布列为：∴X 的数学期望为3131103()1315161888888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，是中档题.18．（1）3C π=;（2）b =【解析】分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，sinBcosC ，进而利用同角三角函数基本关系式可求即可得解C 的值；（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a 2+b 2﹣c 2=ab ，又a 2﹣c 2=2b 2，可得a=3b ，利用三角形面积公式即可解得b 的值．详解：(1)由已知及正弦定理可得，sinCsinB =，sinB 0≠，tanC ∴=，πC .3∴= (2) 由(1)可得，222a b c 1cosC 2ab 2+-==， 222a b c ab ∴+-=，又222a c 2b -=，a 3b ∴=，∴由题意可知，2ABC 1S absinC 2===2b 28∴=，可得：b =点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）推导出DE ⊥PC ，BC ⊥CD ，BC ⊥PD ，从而BC ⊥平面PCD ，进而DE ⊥BC ，由此能证明DE ⊥平面PCB .（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −DB −P 的余弦值.【详解】解：（1）证明：∵在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ，BC ⊥CD ，BC ⊥PD ，∵PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，∵DE ⊂平面PCD ，∴DE ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PCB ；（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设PD ＝AB ＝2，则E （0，1，1），B （2，2，0），D （0，0，0），P （0，0，2）， (2,2,0),(0,1,1),(0,0,2)DB DE DP ===，设平面BDE 的法向量(,,)n x y z =，则2200n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-，设平面BDP 的法向量(,,)m x y z =，则22020m DB x y m DP z ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，取1x =，得(1,1,0)m =-，设二面角E −BD −P 的平面角为θ.则||cos ||||33m n m n θ⋅===⋅⋅.∴二面角E −BD −P 的余弦值为3.【点睛】 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析．【解析】 解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得F 22p A =+． 因为F 3A =，即232p +=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x =-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，所以()G 0213k A ==--，()G 12k B ==-- 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x =-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，故直线G A的方程为30y -+=，从而r ==．又直线G B的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B的距离d r ===．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．21．（1）4﹣12ln 3（2）102b ＜＜【分析】 （1）当b ＝﹣12时令由()2221201x x f x x ='+-=+得x ＝2则可判断出当x ∈[1，2）时，f （x ）单调递减；当x ∈（2，3]时，f （x ）单调递增故f （x ）在[1，3]的最小值在x ＝2时取得； （2）要使f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值即f （x ）在定义域内与X 轴有三个不同的交点即使()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得()48010b g =-⎧⎨-⎩＞＞解之求b 的范围．【详解】解：（1）由题意知，f （x ）的定义域为（1，+∞）b ＝﹣12时，由()2221201x x f x x ='+-=+，得x ＝2（x ＝﹣3舍去）， 当x ∈[1，2）时f ′（x ）＜0，当x ∈（2，3]时，f ′（x ）＞0，所以当x ∈[1，2）时，f （x ）单调递减；当x ∈（2，3]时，f （x ）单调递增，所以f （x ）min ＝f （2）＝4﹣12ln 3．（2）由题意()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根， 即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，设g （x ）＝2x 2+2x +b ，则()48010b g =-⎧⎨-⎩＞＞，解之得102b ＜＜ 【点睛】本题第一问较基础只需判断f （x ）在定义域的单调性即可求出最小值．而第二问将f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f （x ）在定义域内与X 轴有三个不同的交点即()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根此时可利用一元二次函数根的分布进行求解．22．552i - 【分析】把z 1、z 2代入关系式，化简即可【详解】121212111z z z z z z z +=+=， ()()()()()()122212510345510865510555103486862i i i i z z i z i z z i i i +-+-+∴=====-+++-++ 【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设()12,,,,z a bi z c di a b c dR =+=+，则()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+. 23．证明见解析【分析】利用数学归纳法的证明标准，验证1n =时成立，假设n k =时成立，证明1n k =+时等式也成立即可.【详解】证明：（1）当1n =时，左边13=，右边13=，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立， 即1111133557(21)(21)21k k k k ++++=⨯⨯⨯-++， 那么，当1n k =+时，左边＝11111+133557(21)(21)(2+1)(2+3)k k k k ++++⨯⨯⨯-+ 11=21(21)(23)23k k k k k k ++=++++， 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式1111133557(21)(21)21nn n n++++=⨯⨯⨯-++对任何*n N∈都成立.【点睛】本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设。
四川省南充市高二数学下学期期末考试试题 理
2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内复数131iz i+=+对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.对具有线性相关关系的两个变量x 和y ，测得一组数据如下表所示：根据表格，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为10.5 1.5y x =+，则m =( ) A ．85.5 B ．80 C ．85 D ．90 3.数学归纳法证明不等式()*1111,22321n n n N n ++++<纬-…时，由()2n k k =?不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数为( )A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k + 4.设()1213sin m x x dx -=+ò，则多项式6x 骣琪琪桫的常数项是( )A ．54- B ．54 C.203 D ．15165.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有( )A ．24种B ．28种 C.32种 D ．16种6.2017年5月30日是我们的传统节日“端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是豆沙馅”，则()P B A =( )A ．14 B ．34 C.110 D ．3107.函数()sin f x x x =+在2x p=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．12B ．24p C.22p D ．214p +8.某一中不生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，则3个人中有2个人成功咨询的概率是( ) A ．164 B ．364 C.2764 D ．9649.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A ．310p B ．320p C.3110p - D ．3120p -10.设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++?，若函数()x y f x e =(e 为自然对数的底数)在1x =-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x =的图象是( )A ．B ． C.D ．11.不等式2313x x a a +--?对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(][),14,-?+?U B ．(][),25,-?+?U C.[]1,2D ．(][),12,-??U12.设函数()f x 是定义在(),0-?上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>，则不等式()()()220172017930x f x f ++-->的解集为( )A ．(),2020-?B ．(),2014-? C.()2014,0- D ．()2020,0-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623=?，所以36的所有正约数之和为()()()()()22222222133223232232312213391++++??+??++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ．14.四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是 ．15.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为 ． 16.已知函数()1ln xf x x x -=+，则()f x 在1,22轾犏犏臌上的最大值等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()()320f x ax bx a =-+>. (1)在1x =时有极值0，试求函数()f x 解析式； (2)求()f x 在2x =处的切线方程.18.某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验，甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[]60,100区间内(满分100分)，并绘制频率分布直方图如图所示，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良.(1)根据以上信息填好22´联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？ (2)以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率. (以下临界值及公式仅供参考)()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19.已知函数()212f x x x =+--，不等式()2f x £的解集为M . (1)求M ；(2)记集合M 的最大元素为m ，若正数,,a b c 满足2232a b c m 2++=，求2ab bc +的最大值. 20.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程是1x y aaé=êêë(a 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2c 的极坐标方程为1r =. (1)分别写出1c 的极坐标方程和2c 的直角坐标方程； (2)若射线l 的极坐标方程()03pq r =?，且l 分别交曲线1c 、2c 于A 、B 两点，求AB . 21.为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分，根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为23；现记“该选手在回答完n 个问题后的总得分为n S ”.(1)求620S =且()01,2,3i S i ?的概率；(2)记5X S =，求X 的分布列，并计算数学期望()E X . 22.已知函数()()2ln 2f x a x a x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意[]4,10a Î，[]12,1,2x x Î，恒有()()121212f x f x x x x x l-£-成立，试求l 的取值范围.南充高中2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试题参考答案一、选择题1-5:ABCDD 6-10:BACDC 11、12：AA 二、填空题13.465 14.12600 15.1+ 16.1ln2- 三、解答题17.解：(1)()2'3f x ax b =-， 因为在1x =时有极值0， 所以2030a b a b ì-+=ïí-=ïî，解得13a b ì=ïí=ïî.所以()332f x x x =-+. (2)()2'33f x x =-，在2x =处切线的斜率：()'29k f ==， ()3223224f =-?=.切线的方程：()492y x -=-即914y x =-. 18.(1)()2212030403020243.43 2.706606050707K 创-?==>创?≈， 则有90%的把握认为学生成绩优良与班级有关.(2)32133235710C C C P C +==. 19.解：(1)由()2122f x x x =+--?， 当12x <-时，得152x -<<-， 当122x -＃时得112x -＃， 当2x >时不等式无解， 故51x -＃，所以集合{}51M x x =-＃.(2)集合M 中最大元素为1m =，所以222321a b c ++=. 2ab bc ab +=，而2222222223212222a b b c a b c ab +++++==.所以2ab bc +的最大值为12.20.解：(1)将1c 的参数方程化为普通方程为()2213x y -+=，即22220x y x +--=， 所以1c 的极坐标方程为22cos 20r r q --=， 将2c 的极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=. (2)将3pq =代入21:2cos 20c r r q --=整理得220r r --=， 解得12r =，即12OA r ==.因为曲线2c 是圆心在原点，半径为1的圆， 所以射线()03pq r =?与2c 相交，即21r =，即21OB r ==. 故12211AB r r =-=-=.21.解：(1)当620S =时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个，又()01,2,3i S i ?前三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确1个. 故所求概率为：21322221163333381P C 骣琪=创创?琪桫.(2)由5X S =可知X 的取值为10，30，50， ()2332235521214010333381P X C C 骣骣骣骣琪琪琪琪==+=琪琪琪琪桫桫桫桫， ()4114415521213030333381P X C C 骣骣骣骣琪琪琪琪==+=琪琪琪琪桫桫桫桫， ()5550552111503381P X C C 骣骣琪琪==+=琪琪桫桫. 故X 的分布列为：()403011185010305080808081E X =???. 22.解：(1)函数的定义域为()0,+?，()()()()()22221'22x a x a x a x af x a x x x x-++--=-++==， 当0a £时，函数在()0,1上单调递减，在()1,+?上单调递增，当02a <<时，函数在0,2a骣琪琪桫，()1,+?上单调递增，在,12a骣琪琪桫上单调递减，当2a =时，函数在()0,+?上单调递增，当2a >时，函数在()0,1，,2a骣琪+?琪桫上单调递增，在1,2a骣琪琪桫上单调递减. (2)()()121212f x f x x x x x l -£-恒成立，即()()121211f x f x x x l -?恒成立， 不妨设21x x >，因为当[]4,10a Î时，()f x 在[]1,2上单调递减， 则()()121211f x f x x x l 骣琪-?琪桫，可得()()1212f x f x x x ll-?， 设()()()2ln 2g x f x a x a x x x xl l=-=-++-， 所以对于任意的[]4,10a Î，[]12,1,2x x Î，21x x >，()()12g x g x £恒成立， 所以()()g x f x xl=-在[]1,2上单调递增，()()()()32222122'0x a x x a x ax g x xx x ll---+++=+=?在[]1,2x Î上恒成立，所以()32220x a x ax l -+++?在[]1,2x Î上恒成立， 即()232220a x x x x l -++-+?在[]1,2x Î上恒成立， 因为当[]1,2x Î时，20x x -+?，所以只需()23210220x x x x l -++-+?在[]1,2x Î上恒成立， 即32212100x x x l -++?在[]1,2x Î上恒成立， 设()3221210h x x x x l =-++，则()2120h l =-+?， 所以12l ³，故实数l 的取值范围为[)12,+?.。
四川省南充高级中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题 含解析
一、选择题(本大题共16个小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知函数21iz i=+,则z 的共轭复数z 是（ ）A ．1i -B ．1i +C ．iD ．i - 【答案】A考点：复数的运算。
2。
设集合{}{}22,0,2,4,|230A B x xx =-=--<，则A B =（）A ．{}0B ．{}2C ．{}0,2D ．{}0,2,4 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得{}|13B x x =-<<，所以A B ={}0,2，故选C 。
考点：集合的运算。
3。
下列函数是奇函数的是（ ）A ．()f x x =-B ．()22xx f x -=+C ．()()()lg 1lg 1f x x x =+--D ．()31f x x=-【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--的定义域为()1,1-，所以定义域关于原点对称，且()()()()()()lg 1lg 1[lg 1lg 1]f x x x x x f x -=--+=-+--=-,所以函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--是奇函数，故选C.考点：函数的奇偶性的判定与证明. 4。
函数()()2ln 2f x x=+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：因为定义域为R ，且()()f x f x -=，所以函数为偶函数，又()0ln 20f =>，故选D 。
考点：函数的性质与图象. 5.设0a >,将232a a a表示成分数指数幂， 其结果是（ ）A ．12aB ．32a C ．56a D ．76a【答案】D 【解析】试题分析：由题意得1172223632a a aa a --==，故选C.考点:实数指数幂的运算。
6.函数()32xf x x =+的零点所在区间为（ )A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,2D ．()2,1-- 【答案】B考点:零点的存在性定理. 7.2231111dx x xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰（ ）A ．7ln 28+ B ．7ln 22- C ．5ln 28- D ．17ln 28-【答案】A 【解析】试题分析：由题意得2212321111117(ln )|ln 2228dx x x xx x ⎛⎫++=--=+ ⎪⎝⎭⎰，故选A 。
2021-2022学年四川省南充市正源中学高二数学理下学期期末试题含解析
2021-2022学年四川省南充市正源中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在极坐标系中，点(2，)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( )A．2 B． C. D．参考答案：D2. 已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( )A．4 B．5 C．7 D．8参考答案：D3. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐进线的距离等于（）A． B． C．3 D．5参考答案：A4. 某校150名教职工中，有老年人20个，中年人50个，青年人80个，从中抽取30个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；②采用系统抽样法：将教工编号为00，01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；③采用分层抽样法：从老年人，中年人，青年人中抽取30个样本．下列说法中正确的是（）A．无论采用哪种方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的参考答案：A【考点】系统抽样方法；简单随机抽样；分层抽样方法．【分析】根据随机抽样、系统抽样、分层抽样，每个个体被抽到的概率都是解答．【解答】解：∵采用随机抽样、系统抽样、分层抽样，每个个体被抽到的概率都是，∴①②③种抽样方法中，每个教职工被抽到的概率相等．故选：A．5. 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】3O：函数的图象；63：导数的运算．【分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象【解答】解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D．6. 在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）A．4B．C．4D．参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选A．【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用．7. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（）A.（）B.（）C.（）D. （）参考答案：D8. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率．【解答】解：由题，∴即∴，∴，解之得：（负值舍去）．故答案选A．9. 等差数列{a n}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3 B．5 C．7 D．9参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可．【解答】解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项，其和为S奇===（n+1）a n+1=4，①偶数项共n项，其和为S偶===na n+1=3，②得，，解得n=3故选A【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，熟练记忆并灵活运用求和公式是解题的关键，属基础题．10. 已知曲线C：与直线有两个交点，则m的取值范围是 ( )A． B． C． D．参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限．参考答案：四（或者4，Ⅳ）12. 设函数是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则方程在区间上所有根的和为 . .参考答案：13. 设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点的平面组为：面、面、面．正方体内（含表面）有一动点，到共点于的三个面的距离依次为、、．（1）写出一个满足的点坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．参考答案：（1）．（2）．（1）设，则到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，故由得，故任写一个满足的坐标即可，． （2）若点到共顶点的平面组的距离和，则点位于平面上，若点到共顶点的平面组的距离和，则位于正方体除去三棱锥剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积．14. 在△ABC 中,，则角C=参考答案：60°15. 函数y=2x 在[0，1]上的最小值为 ．参考答案：1【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】分析函数y=2x 在[0，1]上单调性，进而可得答案． 【解答】解：函数y=2x 在[0，1]上为增函数， 故当x=0时，函数取最小值1， 故答案为：116. 两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候后到者20分钟，过时就可离开，这两人能会面的概率为____________________________________________。