勾股定理和二次根式
初三数学知识点梳理
初三数学知识点梳理初三数学学问点梳理第一篇二次根式、勾股定理、四边形、一次函数和数据的分析。
(1)二次根式(2)勾股定理：解直角三角形，解直角三角形的学问是近几年各地中考命题的热点之一，考察题型为选择题，填空题，应用题为主，分值一般8-12分，难易度为难。
【考察内容】①常见锐角的三角函数值的计算②依据图形计算距离，高度，角度的应用题③依据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的学问解决问题。
(3)四边形：初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。
【考察内容】①多边形的内角和，外角和等问题②图形的镶嵌问题③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。
(4)一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。
中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式敏捷，综合应用性强。
甚至有存在探究题目出现。
【考察内容】①会画一次函数的图像，并把握其性质。
②会依据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。
(5)数据的分析二次函数、一元二次方程、旋转、圆和概率初步。
(1)二次函数：二次函数的图像和性质是中考数学命题的热点，难点。
试题难度一般为难。
常见选择，填空题分值为3-5分，综合题分值为10-12分。
【考察内容】①能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
②能用数形结合，归纳等熟识思想，依据二次函数的表达式(图像)确定二次的开口方向，对称轴和顶点的坐标，并获得更多信息。
③综合运用方程，几何图形，函数等学问点解决问题。
(2)一元二次方程：中考分值约为3-5分，题型主要以选择，填空为主，极少出现简答，难易度为易。
【考察内容】①方程及方程解的概念②依据题意列一元一次方程③解一元一次方程。
(3)旋转：图形的平移，旋转是中考题的新题型，热点题型，在试题比重，逐年上升。
二次根式最简定义
二次根式最简定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式也可以表示为a的平方根，它是数学中一个重要的概念。
我们来了解一下什么是根式。
根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
√a读作“根号a”，表示a的非负平方根。
根式在数学中经常出现，它可以简化复杂的运算，并且在解决实际问题中也具有重要的作用。
而二次根式就是根式的一种特殊形式。
它的底数a是一个非负实数，指数是2，表示对a进行平方根运算。
二次根式可以简化为√a，其中a是一个非负实数。
二次根式有一些特殊的性质和运算规律。
首先，二次根式的结果总是非负的，即结果大于等于0。
这是因为二次根式是对非负实数进行平方根运算，所以结果必然是非负的。
二次根式具有乘法和除法的运算规律。
对于两个非负实数a和b，有以下运算规律：1. 乘法规律：√(a*b) = √a * √b。
这意味着两个二次根式的乘积等于它们的底数的乘积的二次根式。
2. 除法规律：√(a/b) = √a / √b。
这意味着一个二次根式除以另一个二次根式等于它们的底数的商的二次根式。
除了乘法和除法规律，二次根式还可以进行加法和减法运算。
对于两个非负实数a和b，有以下运算规律：1. 加法规律：√a + √b 不能再进行简化。
2. 减法规律：√a - √b 也不能再进行简化。
需要注意的是，二次根式的运算结果不一定是二次根式。
例如，√2 + √3 就不能再进行简化，但它不是一个二次根式。
在实际问题中，二次根式经常出现。
例如，在几何学中，勾股定理就涉及到二次根式。
勾股定理表达了直角三角形的边长之间的关系，其中就包括二次根式。
又如，在物理学中，速度、加速度等概念的计算中，也经常会使用到二次根式。
二次根式是数学中一个重要的概念，它可以简化复杂的运算，并在解决实际问题中发挥重要作用。
我们需要熟练掌握二次根式的性质和运算规律，才能更好地应用于实际问题的求解中。
计算100题(勾股定理、二次根式、不等式)
1 _______; 2 _______; 3 _______; 4 _______; 5 _______; 6 _______; 7 _______; 8 _______; 9 _______; 10 ______; 11 _______; 12 _______; 13 _______; 14 _______; 15 _______; 16 _______; 17 _______; 18 _______; 19 _______; 20 _______; 21 _______; 22 _______; 23 _______; 24 _______; 25 _______; 26 _______; 27 _______; 28 _______; 29 _______; 30 _______; 31 _______; 32 _______; 33 _______; 34 _______; 35 _______; 36 _______; 37 _______; 38 _______; 39 _______; 40 _______; 41 _______; 42 _______; 43 _______; 44 _______; 45 _______; 46 _______; 47 _______; 48 _______; 49 _______; 50 _______; 51 _______; 52 _______; 53 _______; 54 _______; 55 _______; 56 _______; 57 _______; 58 _______; 59 _______; 60 _______; 61 _______; 62 _______; 63 _______; 64 _______; 65 _______; 66 _______; 67 _______; 68 _______; 69 _______; 70 _______; 71 _______; 72 _______; 73 _______; 74 _______; 75 _______; 76 _______; 77 _______; 78 _______; 79 _______; 80 _______; 81 _______; 82 _______; 83 _______; 84 _______; 85 _______; 86 _______; 87 _______; 88 _______; 89 _______; 90 _______; 91 _______; 92 _______; 93 _______; 94 _______; 95 _______; 96 _______; 97 _______; 98 _______; 99 _______; 100 _______;
二次根式于勾股定理结合类型
二次根式于勾股定理结合类型
二次根式和勾股定理是高中数学中常见的两个概念，它们之间没有直接的结合类型。
但是在解决一些具体的几何问题时，可能会涉及到同时使用二次根式和勾股定理。
二次根式是指形如√a的数，其中a为正实数。
二次根式在几何中常用于表示长方形或正方形的边长、三角形的边长和高度等。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边长度的平方和。
即在一个直角三角形ABC中，若AB为直角边，AC和BC为其它两边，则有：AB² = AC² + BC²。
结合二次根式与勾股定理的应用通常是通过勾股定理解决直角三角形问题时，其中出现的边长或高度可能包含二次根式，需要对其进行计算。
举例来说，假设在一个直角三角形ABC中，AC = 2√3，BC = √6，求AB的长度。
根据勾股定理，有AB² = AC² + BC²，代入数值得到AB² = (2√3)² + (√6)² = 12 + 6 = 18，因此AB = √18 =
3√2。
在这个例子中，二次根式和勾股定理结合使用，通过勾股定理得到了AB的长度。
第17章勾股定理
勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2。
直角边：a、b斜边：c运算结果：写成最简二次根式的形式1能开方的必须开方2根号里不含分母，分母里不含根号勾股定理的证明：等面积法赵爽外弦图邹元治内弦图总统证法一副三角板勾股定理的应用1设未知数x2用x表示三角形中相关边3根据题意列方程直角边与斜边未定分类讨论1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（）A．3B．25C．23D．25或23 x斜边x直角边美丽的勾股树1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B的面积分别为5、3，则最大正方形C的面积是（）A．15B．13C．11D．82．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．13．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．1694．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．两直角边的正多边形的面积和=斜边正多边形的面积5．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为．尺规画实数：1．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2B．5C．1+2D．62．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间注意起点和方向3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1−5B．1−5C．−5D．﹣1+5注意起点和方向4.尺规作图：在数轴上分别作出表示17，20，−41的点先把被开方数拆成两个完全平方数之和17=1+1620=4+1641=16+25确定两直角边连接斜边以o为圆心，斜边为半径画弧等面积法：求斜边高ch=ab斜边高：h=ab÷c2．已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC 的面积．等腰直角三角形：�：�：�含30°角的直角三角形�：�：�方程的思想：设未知数，根据等量关系列方程1．如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．3．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．1.如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为，；（2）请你参考以上方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形，在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a ＝．（注：小正方形边长都是1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参考图2的画法，在数轴上用M表示数a，图中标出必要线段长．2．阅读下列材料并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，则我们可以量得直角三角形的斜边长为5，并且发现32+42＝52，事实上，在任何个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中两直角边长分别为a，b斜边长为c，则a2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为1，3，那么这个直角三角形的斜边长为．（2）一个直角三角形的两条边分别为2，3，那么这个直角三角形的另一边长为．（3）如图，在数轴上画一个直角三角形OBC，∠OCB＝90°，且两条直角边OC和BC的长分别是2和1，设原点为O，以O为原点，斜边长OB为半径画圆交数轴于点A，则线段AC的长度是．勾股定理的证明：等面积法：整体求法=局部面积和1．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．D完全平方公式勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
二次根式与勾股定理
图5
例 7 如图 6，在 △ABC 中， AB AC 2 ， BC 边上有 100 个不同的点 P1，P2，…，P100 ，
记 mi APi 2 BPi PiC(i 1,2,，100），求 m1 m2 … m100 的值．
A
B Pi D
C
图6
学高为师、身正为范！
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二次根式
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5、勾股定理及其逆定理的应用（重点）
①用于求线段的长；②用于求角的度数；③用于求面积；④用于判定三角
C
形的形状；⑤用于证明两线段垂直；⑥用于证明几条线段间的等量关系；
⑦用于求值 B
6、“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图
DA
形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角
例 5 如图 4，正方形 ABCD中， AE BE，AF 1 AD ，求证： CE EF ． 4
AF
D
E
B
C
图4
用于证明几条线段间的等量关系 例 6 如图 5，在△ABC 中， BAC 90，AB AC ， D 是 BC 上的点． 求证： BD2 CD2 2AD2 ．
A
用于求值
B
E
D
C
60
2
D
1 30
B
C
E
图3
用于判定三角形的形状
例 4 若 三 角 形 的 三 条 边 a，b，c 满 足 关 系 式 a4 b2c2 a2c2 b4 0 ， 则 此 三 角 形 形 状
是
．
学高为师、身正为范！
变式：若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。
二次根式,勾股定理,四边形,一次函数.doc
二次根式，勾股定理，四边形，一次函数知识点：二次根式1、二次根式二次根式必须满足：含有二次根号，被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
第十七章勾股定理知识点：直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余，2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，4、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，知识点：直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
知识点：锐角三角函数的概念1、在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，2、锐角三角函数的概念------锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数，3、各锐角三角函数之间的关系:（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)，（2）倒数关系tanAtan(90°—A)=14、锐角三角函数的增减性:当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），知识点：解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
小学数学教学备课教案二次根式与勾股定理的应用与证明
小学数学教学备课教案二次根式与勾股定理的应用与证明一、二次根式的引入与概念在小学数学教学中，二次根式是一个重要的概念，它与勾股定理有着密切的关系。
在本次备课教案中，我们将重点讨论二次根式的应用与证明。
首先，我们需要引入二次根式的概念。
二次根式是指形如√a的表达式，其中a是非负实数。
它表示的是满足b^2=a的非负实数b。
例如，√9=3，√16=4。
在小学数学教学中，我们通常以一些生动有趣的例子来引入二次根式的概念，使学生能够更好地理解。
二、二次根式的应用（段落内容自行发挥）三、勾股定理的引入与概念经过引入二次根式的概念后，我们将进一步引入勾股定理的概念及其应用。
勾股定理是三角形中最为重要的定理之一，它能够帮助我们求解各种与三角形有关的问题。
勾股定理的概念是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边上的各自长度的平方和。
即在一个直角三角形ABC中，如果AB是直角边，AC和BC是两条其他的边，那么有AB^2=AC^2+BC^2。
这个定理在数学中应用广泛，并且有着许多的证明方法。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明是数学中的一个重要环节。
通过证明勾股定理，我们可以帮助学生理解和掌握这个定理的本质，并且培养他们的证明能力。
在小学数学教学中，我们可以通过几何证明、代数证明等不同的方法来证明勾股定理。
例如，几何证明可以利用平行线、相似三角形等几何性质来证明；代数证明可以利用二次根式的概念、代数运算等方法来证明。
通过多种证明方法的引入，可以让学生在不同的思维方式中灵活运用，提高他们的数学思维能力。
五、二次根式与勾股定理的应用与证明实例在教学中，我们可以选取一些实际问题来应用和证明二次根式与勾股定理。
例如，可以选择一道题目：“甲乘以2的二次根式等于乙，乙的平方加上5等于丙，求丙的值。
”让学生运用二次根式和勾股定理的知识来解答这道问题，并进行证明过程的讲解。
通过这样的实例训练，可以帮助学生将二次根式与勾股定理应用于实际问题中，培养他们的问题解决能力和数学思维能力。
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D C B A 八年级下勾股定理和二次根式综合测试卷 姓名： 得分：
一、选择（24分）
1、下列变形中，正确的是（ ）
（A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2
)52(-＝－5
2（C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-⨯-＝49⨯ 2、若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x ≥21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2
1 （D ）以上都不对
3、以下命题的逆命题是真命题的是（）
（A ）两直线平行，内错角相等； （C ）全等三角形的对应角相等；
（B ）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （D ）等腰三角形的底角相等．
4、在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. a =9，b =41，c =40
B. a =b =5，c = 25
C. a ：b ：c =3：4：5
D. a =11，b =12，c =15
5、当a ＜0，b ＜0时，把b
a 化为最简二次根式，得…………………………………（ ） （A ）a
b b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b
-1 （D ）ab b
6、如图，四边形ABCD 中，AB=3㎝，BC=4㎝，CD=12㎝，DA=13㎝，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是（ ）
A.84
B.36
C. 251
D.无法确定. 二、填空（28分）
7、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6㎝、8㎝，那么这个直角三角形斜边上的高为 .
8、若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_________________．
9、当21＜x ＜1时，122+-x x －241x x +-＝______________．
10、一个RT △，它的两边长分别是3和4，则第三边的长是 。
11、当x ____________时，二次根式32-x 有意义．
12、在△ABC 中,如果b 2＝(c ＋a)(c －a),那么a 是 _____边。
13、如图，已知长方体的长、宽、高分别为4cm 、3cm 、5cm ，则BD ’的长为 。
三、计算：（8分）
14、32－5
12＋618 15、
C D
四、解答
16、（8分）已知：3232a
b ==，，分别求下列代数式的值： （1）22a
b ab -； （2）22a ab b ++．
17、（7分） 一架长5米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．
18、（8分）由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），已知AB 3 （1）四边形ABCD 的周长；
（2）四边形ABCD 的面积．
19、（8分）证明：以m 2－n 2，m 2+n 2，2mn 为边长的三角形(m ﹥n,m,n 都是正整数)是直角三角形。
20、（9分）已知，如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=3, BD=5, 求AC 的长。