山西省太原市2018届高三3月模拟考试(一)数学理试题
太原市2018年高三模拟试题（一）
数学试卷（理工类）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知集合{21|log ,,|,02x
A y y x x
B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B ⋂=
A. ()1,+∞
B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D. 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
2.若复数11mi
z i
+=+在复平面内对应点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）
A. ()1,1-
B. ()1,0-
C. ()1,+∞
D. (),1-∞-
3.已知命题2
000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则
11
a b
>，则下列为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ∧⌝
C. p q ⌝∧
D. p q ⌝∧⌝
4.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）
A. 21
3log 32
+
B. 2log 3
C. 3
D. 2
5.已知等比数列{}n a 中，2583218,3a a a S a a =-=+，则1a =（ ） A.
12
B. 12-
C. 29
-
D. 19
-
6.函数2ln x y x x
=+
的图象大致为
的
A. B.
C. D.
7.已知不等式22ax by -≤在平面区域
(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，若a b +的最大值和最小值分别为
M 和m ，则Mm 的值为（ ）
A. 4
B. 2
C. -4
D. -2
8.已知抛物线()
2
20=>y px p 焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足060AFB ∠=．设
线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则 （ ） A. 2AB MN ≥
B. 23AB MN ≥
C. 3AB MN ≥
D. AB MN ≥
9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.
4
3
B.
83
C. 2
D. 4
10.已知函数()()()=2sin ,0f x x ωφω+＞，若()2,04f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上具有单调性，那么ω的取值共有（ ） A. 6个
B. 7个
C. 8个
D. 9个
11.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱
的
锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ）
B.
27
C.
203
π 12.设函数()2
ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭
a b ，使()f x 在[],a b 上的值域为
()()2,2k a k b ⎡⎤++⎣⎦，则k 的取值范围是（ ）
A. 92ln 21,
4+⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 92ln 21,
4+⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 92ln 21,
10+⎛⎤
⎥⎝⎦
D. 92ln 21,
10+⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．
13.在多项式()()6
5
121x y ++的展开式中，3xy 项的系数为__________．
14.已知双曲线C ：22
221x y a b
-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一
条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率__________．
15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．
16.数列{}n a 中，()()*
110,121,2n n a a a n n N n -=--=-∈≥，若数列{}n b 满足811n
n b n ⎫=⎪
⎭
，
则数列{}n b 的最大项为第__________项．
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b c
C B B C
=+
． （1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-最大值；
（2）若b =
ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；
18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一箱矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金. （1）若售出水量箱数x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？ （2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为
25，获二等奖学金的概率均为13，不获得奖学金的概率均为4
15
，
已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望.
附：回归直线方程y bx a =+，其中1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==
--=
-∑∑，a y bx =-.
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD PA BD ⊥． （1）求证：PB PD =；
（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．
20.【2018山西太原市高三3月模拟】已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为12A A ，，右
焦点为()21
0F ，，点312B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，在椭圆C 上． （I ）求椭圆方程；
（II ）若直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于M N ，两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程． 21.
()()()()1,1,x
f x a x
g x ax e a R =-=-∈．
（1）证明：存在唯一实数a ，使得直线()y f x =和曲线()y g x =相切； （2）若不等式()()f x g x >有且只有两个整数解，求a
范围．
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ），以O
为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
cos 4cos 0r q q r +-=．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()21f x x m x =++-．
（1）当01x ≠时，求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求m 的取值范围．
的的。
【省会检测】2018年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)
2018年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩∁R B=（）A．B． C． D．2．若（﹣1+2i）z=﹣5i，则|z|的值为（）A．3 B．5 C．D．3．a2+b2=1是asinθ+bcosθ≤1恒成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若0＜a＜b＜1，则的大小关系为（）A．B．C．D．5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．246．已知（x﹣1）（ax+1）6展开式中x2的系数为0，则正实数a=（）A．1 B．C．D．27．已知数列{a n}的前n项和S n，若，则a7=（）A．47B．3×45C．3×46D．46+18．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①DE与MN平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则|MN|=（）A．B．8 C．16 D．10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．11．下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．41πD．31π12．设函数f（x）满足，则x≥2时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．由曲线与直线y=x所围成的图形的面积是．14．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为16，左焦点为F，M=16，则是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF双曲线C的离心率为15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有种（用数字作答）．16．已知数列{a n}与{b n}满足，且a1=2，则a2n=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知△ABC的内切圆面积为π，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A；（2）当的值最小时，求△ABC的面积．18．（12.00分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=120°，四边形ACFE为矩形，CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF，点M是线段EF的中点．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）求平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的余弦值．19．（12.00分）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该车在第四年续保时的费用，求X的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值．20．（12.00分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．不过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列．（1）求k1•k2的值；（2）若点D在椭圆C上，满足的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（12.00分）已知函数f（x）=ln（x+2a）﹣ax（a＞0）的最大值为M（a）．（1）若关于a的方程M（a）=m的两个实数根为a1，a2，求证：4a1a2＜1；（2）当a＞2时，证明函数g（x）=|f（x）|+x在函数f（x）的最小零点x0处取得极小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．2018年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩∁R B=（）A．B． C． D．【分析】先求出集合A，B，从而求出C R B，由此能求出A∩∁R B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B={x|2x﹣3＞0}={x|x＞}，∴C R B={x|x}，∴A∩∁R B={x|1＜x}=（1，]．故选：C．【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等相关知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．若（﹣1+2i）z=﹣5i，则|z|的值为（）A．3 B．5 C．D．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（﹣1+2i）z=﹣5i，得，则|z|的值为．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．a2+b2=1是asinθ+bcosθ≤1恒成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由asinθ+bcosθ=sin（θ+φ）≤，即可判断出结论．【解答】解：∵asinθ+bcosθ=sin（θ+φ）≤，asinθ+bcosθ≤1恒成立．∴a2+b2=1是asinθ+bcosθ≤1恒成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若0＜a＜b＜1，则的大小关系为（）A．B．C．D．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵0＜a＜b＜1，取a=，b=，得：=2，a0=1＞＞（）=＞0，＜=0，∴的大小关系为：log b a＞．故选：D．【点评】本题考查四个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．24【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．6．已知（x﹣1）（ax+1）6展开式中x2的系数为0，则正实数a=（）A．1 B．C．D．2【分析】分别写出（ax+1）6的展开式中含x，x2的项，再由多项式乘多项式列式求解．【解答】解：∵（ax+1）6的展开式中含x，x2的项分别为，，∴（x﹣1）（ax+1）6展开式中x2的系数为6a﹣15a2=0，解得：（a＞0）．故选：B．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．已知数列{a n}的前n项和S n，若，则a7=（）A．47B．3×45C．3×46D．46+1【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n，，当n≥2时，则：，两式相减得：，=4a n，所以：a n+1即：（常数），故：，当n=1时，首项不符合通项，故：．所以：，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．8．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①DE与MN平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据正四面体的性质可知，异面直线的定义可判断：①DE与MN平行显然错误；②BD与MN为异面直线；③由三角形GMN为等边三角形，可判断，④过EH垂直于AF，显然可证AF垂直于平面EHD，可得AF与ED垂直，进而得出DE与MN垂直．【解答】解：根据正四面体的性质可知：①DE与MN平行显然错误；②BD与MN为异面直线，由异面直线的定义可判断正确；③由三角形GMN为等边三角形，故GH与MN成60°角，故正确；④过EH垂直于AF，显然可证AF垂直于平面EHD，可得AF与ED垂直，进而得出DE与MN垂直，故正确．故选：C．【点评】本题考查了正四面体的定义和线线，线面垂直的判断，属于基础题型，应熟练掌握．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则|MN|=（）A．B．8 C．16 D．【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为d M，d N，由抛物线的定义可知|MF|=d M=x1+1，|NF|=d N=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．∵，∴直线MN的斜率为±，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=±（x﹣1），将y=±（x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，∴x1+x2=，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=+2=故选：A．【点评】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．【分析】由题意求得φ、ω的值，写出函数f（x）的解析式，求图象的对称轴，得x1+x2的值，再求f（x1+x2）的值．【解答】解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（ωx﹣）；又f（x）的图象向左平移π个单位之后为g（x）=2sin[ω（x+π）﹣]=2sin（ωx+ωπ﹣），由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z；又﹣≤=，∴ω≤，∴ω=2；∴f（x）=2sin（2x﹣），其图象的对称轴为x=+，k∈Z；当x1，x2∈（﹣，﹣），其对称轴为x=﹣3×+=﹣，∴x1+x2=2×（﹣）=﹣，∴f（x1+x2）=f（﹣）=2sin[2×（﹣）﹣]=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1．应选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11．下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．41πD．31π【分析】由三视图得原到几何体，判断原几何体的形状，从而求得该四棱锥的外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．【解答】解：根据三视图可得此棱锥是正方体的一部分，正方体的棱长为4，可得AB=BC=DF=4，DE=CD=2，A=4，AD=6，外接球的球心在平面ABC外心的中垂线与△ABE的外心的中垂线的交点，三角形ABE的边长：4，2，2，外接圆的半径为：r==，外接球的半径为R==．故选：C．【点评】本题主要考查三视图的应用，由三视图得原到几何体，判断原几何体的形状，是解题的关键，属于中档题．12．设函数f（x）满足，则x≥2时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，构造辅助函数，求导，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=e x，当x＞0时，故此等式可化为：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，f'（x）==0，令g（x）=e x﹣2x2f（x），g（2）=0，求导g′（x）=e x﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e x﹣=（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故选：D．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，考查构造法求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．由曲线与直线y=x所围成的图形的面积是．【分析】首先求出交点，然后利用定积分表示曲边梯形的面积，计算求面积．【解答】解：曲线和直线y=x交点为：（1，1），所以围成的图形面积为=（）|=；故答案为：．【点评】本题考查了定积分的意义求曲边梯形，关键是正确利用定积分表示面积．14．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为16，左焦点为F，M 是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S=16，则△OMF双曲线C的离心率为【分析】求得双曲线C一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4，进而得到双曲线的离心率．【解答】解：设F（﹣c，0），双曲线C一条渐近线方程为y=x，可得|FM|==b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，△OMF∵2a=16，∴a=8∴b=4∴c2=a2+b2=64+16=80，∴c=4，∴e==故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有120种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，在住甲乙之外的6人中选出1人，安排在甲乙2人之间，安排好之后，将3人看成一个整体；②，在剩下的5人选出1人，将这个整体全排列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在住甲乙之外的6人中选出1人，安排在甲乙2人之间，有C61A22=12种情况，安排好之后，将3人看成一个整体；②，在剩下的5人选出1人，将这个整体全排列，有C51A22=10种情况，则不同的发言顺序共有12×10=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是根据题意，分步分析解决问题．16．已知数列{a n}与{b n}满足，且a1=2，则a2n=．【分析】数列{a n}与{b n}满足，可得b2n=1，b2n+1=2．由a1=2，可得2+2a2=﹣1，解得a2．又b2n+1a2n+b2n a2n+1=4n+1，即2a2n+a2n+1=4n+1．同理可得：a2n+1+2a2n+2=﹣2×4n+1．可得a2n+2﹣a2n=﹣．利用累加求和方法与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}与{b n}满足，∴b2n=1，b2n+1=2．∵a1=2，∴2+2a2=﹣1，解得a2=﹣．又b2n+1a2n+b2n a2n+1=4n+1，即2a2n+a2n+1=4n+1．b2n+2a2n+1+b2n+1a2n+2=（﹣2）2n+1+1=﹣2×4n+1．即a2n+1+2a2n+2=﹣2×4n+1．∴a2n+2﹣a2n=﹣．∴a2n=（a2n﹣a2n﹣2）+（a2n﹣2﹣a2n﹣4）+……+（a4﹣a2）+a2=﹣（4n﹣1+4n﹣2+……+4）﹣=﹣﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知△ABC的内切圆面积为π，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A；（2）当的值最小时，求△ABC的面积．【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用余弦定理，向量的数量积，基本不等式和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）由正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB，∵sinB≠0，∴2cosA=1，∴；（2）由余弦定理得a2=b2+c2﹣bc，由题意可知△ABC的内切圆半径为1，如图，设圆I为三角形ABC的内切圆，D，E为切点，可得，则，于是，化简得，所以bc≥12或，又，所以bc≥12，即，当且仅当b=c时，的最小值为6，此时三角形ABC的面积=．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，向量的数量积的应用，三角形面积公式的应用．18．（12.00分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=120°，四边形ACFE为矩形，CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF，点M是线段EF的中点．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）求平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）通过证明BC⊥AC．AC⊥CF，转化证明AC⊥平面BCF，然后推出EF ⊥平面BCF；（2）建立空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，求出相关点的坐标，求出平面MAB的一个法向量，平面FCB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（1）证明：在梯形中ABCD，∵AB∥CD，AD=BC，∠BCD=120°，∴∠DAB=∠ABC=60°，∠ADC=120°，又∵AD=CD，∴∠DAC=30°，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF，∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）建立如图所示空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，则，∴，设为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则，∵是平面FCB的一个法向量，∴．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12.00分）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该车在第四年续保时的费用，求X的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值．【分析】（1）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，由统计数据即可得出概率及其分布列．（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，利用相互独立事件概率计算公式可得：三辆车中至少有2辆事故车的概率．②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣4000，8000．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，由统计数据可知：，所以X的分布列为（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有2辆事故车的概率为；②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣4000，8000．所以的分布列为：所以，所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为100×E（Y）=50万元．【点评】本题考查了互斥件概率计算公式、相互对立事件概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12.00分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．不过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列．（1）求k1•k2的值；（2）若点D在椭圆C上，满足的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知得，求出a2=4，b2=1，得到椭圆C的方程，设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可．（2）假设存在直线l满足题设条件，且设D（x0，y0），由，得x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2，代入椭圆方程，推出2m2=1+4k2，而，则m=±1，推出k1，k，k2成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在．【解答】解：（1）由已知得，则a2=4，b2=1，故椭圆C的方程为；设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，△＞0，则，由已知，则，即，所以；（2）假设存在直线l满足题设条件，且设D（x0，y0），由，得x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2，代入椭圆方程得：，即，则x1x2+4y1y2=0，即x1x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，则，所以，化简得：2m2=1+4k2，而，则m=±1，此时，点M，N中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与k1，k，k2成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在．【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是难题．21．（12.00分）已知函数f（x）=ln（x+2a）﹣ax（a＞0）的最大值为M（a）．（1）若关于a的方程M（a）=m的两个实数根为a1，a2，求证：4a1a2＜1；（2）当a＞2时，证明函数g（x）=|f（x）|+x在函数f（x）的最小零点x0处取得极小值．【分析】（1）由导数求出原函数的单调区间，得到最大值，不妨设a1＜a2，可得，整理得到，设，则，可得h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）=0，则，由此可得，即4a1a2＜1；（2）由（1）可知，f（x）在区间单调递增，得到在（2，+∞）递增，可得M（a）＞M（2）=7﹣ln2＞0，得到，且﹣2a＜x＜x0时，f（x）＜0；时，f（x）＞0，由此可得当时g（x）的分段解析式，然后利用导数证明函数g（x）=|f（x）|+x在函数f（x）的最小零点x0处取得极小值．【解答】证明：（1），由f'（x）＞0，得；由f'（x）＜0，得．∴f（x）的增区间为，减区间为，∴，不妨设a1＜a2，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）=0，则，∵，∴，∴4a1a2＜1；（2）由（1）可知，f（x）在区间单调递增，又x→﹣2a时，f（x）→﹣∞，知在（2，+∞）递增，∴M（a）＞M（2）=7﹣ln2＞0，∴，且﹣2a＜x＜x0时，f（x）＜0；时，f（x）＞0，∴当时，，于是﹣2a＜x＜x0时，，∴若能证明，便能证明，记，则，∵a＞2，∴，∴H（a）在（2，+∞）内单调递增，∴H（a）＞H（2）=＞0，∵，∴f（x）在内单调递减，∴，于是﹣2a＜x＜x0时，g′（x）=a+1﹣＜a+1﹣．∴g（x）在（﹣2a，x0）上单调递减，当x0＜x＜时，相应的g′（x）=﹣（a﹣1）＞＞0．∴g（x）在（）上递增，∴函数g（x）=|f（x）|+x在函数f（x）的最小零点x0处取得极小值．【点评】本题考查利用导数求极值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】（1）圆C的参数方程消去参数，能求出圆C的普通方程．（2）圆C的普通方程化为极坐标方程得ρ=6sinθ，设P（ρ1，θ1），由，解得，设Q（ρ2，θ2），由，解得，由此能求出|PQ|．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（ϕ为参数）∴圆C的普通方程为x2+（y﹣3）2=9；（2）化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ=6sinθ，设P（ρ1，θ1），则由，解得，设Q（ρ2，θ2），则由，解得，∴|PQ|=ρ2﹣ρ1=1．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围．（2）当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函数f （x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3，此时，﹣2≤x≤1．（2）函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|=，而函数y=﹣ax+1表示过点（0，1），斜率为﹣a的一条直线，如图所示：当直线y=﹣ax+1过点A（1，3）时，3=﹣a+1，∴a=﹣2，当直线y=﹣ax+1过点B（﹣2，3）时，3=2a+1，∴a=1，故当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合可得要求的a的范围为（﹣2，1）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，属于中档题．。
2018届高三第三次统一考试数学试题(理)及答案
2017-2018学年高中三年级第三次统一考试**数学试卷（理） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x Z x =∈≤，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ． 8C ． 16D ．32 2.已知复数534iz i=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3.“lg lg m n >”是“11()()22m n<”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设随机变量(1,1)XN ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A ．6038B ．6587 C.7028 D ．75395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ） A ．133升 B ．176升 C.199 升 D ．2512升 6.将函数()cos(2)4f x x π=-的图像向平移8π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．1()62g π=B ．()g x 在区间57(,)88ππ上是增函数 C.2x π=是()g x 图像的一条对称轴 D ．(,0)8π-是()g x 图像的一个对称中心7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3π的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若11()2OA OB OF =+，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 28.在ABC △中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，(0,0)AN nAC m n =>>，则2m n +的最小值为（ ）A ．3B ．4 C.83 D ．1039.若2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++()x R ∈，则2017122017201820182018a a a+++的值为（ ）A ．20172018B ．1 C. 0 D ．1-10.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45π B ．57π C. 63π D ．84π11.记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，1()2()n n n n S S a n N *+-=∈，则2018S =（ ） A ．10093(21)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183(21)2-12.已知函数2()22ln x f x x e x=-与()2ln g x e x mx =+的图像有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(4,0)-B ．1(,2)2 C. 1(0,)2D ．(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为 ．14.设x ，y 满足约束条件1020330x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则||3y z x =+的最大值为 ． 15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16.已知椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c，其中40cos c xdx π=，直线l 与椭圆相切于第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当AOB △的面积最小时，1260F PF ∠=︒，则此椭圆的方程为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为a . 18. 如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 内的摄影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值.19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和X 的期望. 20. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）求直线AP 斜率k 的取值范围； （2）求|||PA PQ ⋅的最大值.21. 已知函数2()(1)2x t f x x e x =--，其中t R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当3t =时，证明：不等式1122()()2t f x x f x x x +-->-恒成立（其中1x R ∈，10x >）. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为(2,2)，求||||AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC二、填空题13. 4 14. 1 15.1123π+ 16.221159x y+=三、解答题17.（1）由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=. （2）由正弦定理simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a Cc A=， 所以1sin 2ABCS bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A =⋅⋅2sin sin 2sin a B C A==又3sin sin 8B C =，sin A =2=4a =. 18.（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，∴DE BC ⊥.∵四边形ABCD 是矩形，∴A B B C ⊥，∴BC ⊥平面ABD ，∴B C A D ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD .（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，∴(0,2,0)A a ，(,0,0)C a . 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，∴30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ∴cos AE AD DAB =⋅∠12a =，32BE AB AE a =-=，sin DE AD DAB =⋅∠=，∴3(0,)2D a，∴1(0,)2AD a =-，(,2,0)AC a a =-. 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102220ay az ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩， 不妨取1z =，则y =x =(23,m =. 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， ∴cos ,m n ||||m nm n ⋅==14=.故二面角D AC B --的余弦值为14.19.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率12224233621()()33C C P C C =⋅2112423361()3C C C C +⋅30343362131()()33135C C C +⋅=. （2）m 的所有取值有1，2，3.1242361(1)5C C P m C ===，2142363(2)5C C P m C ===，34361(3)5C P m C ===，故131()1232555E m =⨯+⨯+⨯=.由题意可知2(3,)3n B ，故2()323E n =⨯=.而1510X m n =+，所以()15()10()50E X E m E n =+=.20.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-. （2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q 的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x =+)k =-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716.21.（1）由于'()()x xf x xe tx x e t =-=-.1）当0t ≤时，0xe t ->，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当0x <时，'()0f x <，()f x 递减；2）当0t >时，由'()0f x =得0x =或ln x t =.① 当01t <<时，ln 0t <，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当ln 0t x <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当ln x t <时，'()0f x >，()f x 递增； ② 当1t =时，'()0f x >，()f x 递增； ③当1t >时，ln 0t >.当ln x t >时，'()0f x >，()f x 递增， 当0ln x t <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当0x <时，'()0f x >，()f x 递增.综上，当0t ≤时，()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数； 当01t <<时，()f x 在(,ln )t -∞，(0,)+∞上是增函数，在(ln ,0)t 上是减函数； 当1t =时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当1t >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)t +∞上是增函数，在(0,ln )t 上是减函数. （2）依题意1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+，1212()()f x x x x ⇔+++1212()()f x x x x >-+-恒成立.设()()g x f x x =+，则上式等价于1212()()g x x g x x +>-， 要证明1212()()g x x g x x +>-对任意1x R ∈，2(0,)x ∈+∞恒成立，即证明23()(1)2xg x x e x x =--+在R 上单调递增，又'()31x g x xe x =-+， 只需证明310x xe x -+≥即可.令()1x h x e x =--，则'()1xh x e =-，当0x <时，'()0h x <，当0x >时，'()0h x >，∴min ()(0)0h x h ==，即x R ∀∈，1x e x ≥+，那么，当0x ≥时，2x xe x x ≥+，所以31x xe x -+≥2221(1)0x x x -+=-≥；当0x <时，1x e <，31x xe x x -+=1(3)0x e x-+>，∴310xxe x -+≥恒成立.从而原不等式成立.22.解：（1）∵sin()4πρθ+=sin cos θρθ= 即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；∵12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为22(1)(2)4x y +++=.（2）∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，||AP 的最小值与||BP 的最小值相等. 曲线1C 是以(1,2)--为圆心，半径2r =的圆. ∴min 1||||AP PC r =-23==.所以||||AP BP +的最小值为236⨯=.23.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解.当124x -<≤时，516x --<，解得75x >-，即7154x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7{|3}5x x -<<. （2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅.又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+， 由（1）可知9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞.所以9|31|4a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135[,]1212-.。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
山西省太原市2018届高三数学3月模拟考试试题(一) 理
山西省太原市2018届高三数学3月模拟考试试题(一) 理一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。
已知集合{}21|log ,2,|,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B =（ ）A ． ()1,+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2。
若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()1,0- C ．()1,+∞ D ．(),1-∞-3. 已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ) A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3C 。
3D ．2 5。
已知等比数列{}n a 中，2583218,S 3a a a a a =-=+，则1a =（ ） A ．12 B ．12- C 。
29- D ．19- 6. 函数2ln x y x x=+的图像大致为（ )A ．B ．C. D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，若a b +的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为（ ）A ． 4B ． 2 C. —4 D ．—28.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足060AFB ∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则 ( ）A ．2AB MN ≥ B ．23AB MN ≥C 。
3AB MN ≥D ．AB MN ≥ 9. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43 B ．83C 。
2018届山西省太原市高三模拟考试(一)文科数学试题及答案
山西省太原市2018届高三模拟考试（一）数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x |-1＜x ＜1}, N={x |3x ＞1}, 则M ∩N= A ．∅B ．{x |x ＞0}C ．{x |x ＜1}D ．{x |0＜x ＜1} 2．复数2＋i1－2i 等于A ．- 35iB ．35iC ．-iD ．i3．已知函数()f x =sin(2 x +α) 在x =π12 时有极大值，则α的一个可能值是A ．π3B ．- π3C ．π6D ．- π64．下列命题中，真命题的是 A ．∃0[0,],2x π∈ sin x +cos x ≥2B ．∀2(3,),31x x x ∈+∞>-C ．∃0,x R ∈ 21x x +=-D ．∀(,),tan sin 2x x x ππ∈>5．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是 A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.66．已知数列{}n a ，若点（n ，n a ）(n N *∈) 在经过点（8,4）的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和S 15= A ．12 B ．32C ．60D ．1207．右图是一算法的程序框图，若输出结果为S=720， 则在判断框中应填入的条件是 A ．k ≤6? B ．k ≤7? C ．k ≤8?D ．k ≤9?8．下图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是A ．8B ．20+8 2C ．16D ．24+8 29．设00(,)M x y 为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是 A ．（0，2）B ．[0，2]C ．(2,+∞)D ．[2,+∞)10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F （-c ，0）(c ＞0),作圆2224x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若→OE =12(→OF +→OP ), 则双曲线的离心率为 A ．10B ．105C ．102D ． 211．已知球的直径SC=4，A 、B 是该球球面上的两点，AB= 3 ,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S ―ABC 的体积为 A ． 3 B ．2 3C ．3 3D ．112．已知方程sin xk x=在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是 A ．sin α=αcos βB ．sin α=-αcos βC ．cos α=βsin βD ．sin β=-βsin α二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin α+cos α=12,则cos4α= .14．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，C 是圆222210x y x y +--+=的圆心，那么|PC|的最小值是 .15．已知点P (,)x y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0y ≤x 2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若3z x y =+的最大值为8，则实数k= . 16．在数列{}n a 中，已知1211,,1n n a a a +==+ 10096a a = ，则910a a += . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为,,a b c, 若△ABC的外接圆的半径为 2 ，且sin sin()sin.-=-a A c C ab B（I）求∠C；（Ⅱ）求△ABC的面积S的最大值．18．（本小题满分12分）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如下茎叶图（单位：cm）:若树高在175cm以上(包括175cm)定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm)定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售.(Ⅰ)对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？(II)若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都能出售的概率.19．（本题满分12分）如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（I）求证：AB1⊥A l C；（Ⅱ）求点C到平面AA1B1的距离.20．（本小题满分12分）已知函数()(2)2(1ln)f x a x x a=--++.（I）当a=1时，求()f x的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x在区间（0，12）无零点，求a的最小值．21．（本小题满分12分）已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为63,焦距为2 2 ，A，B是椭圆上两点.（I ）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA ⊥OB,求此圆的方程； （Ⅱ）动点P 满足：→OP =→OA +3→OB ，直线OA 与OB 的斜率的乘积为- 13,求动点P 的轨迹方程.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，已知PA 与⊙O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为cos (0,)sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数，且曲线C 1上的点M （2，3）对应的参数ϕ=π3 .且以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=π4与曲线C 2交于点D （ 2 ,π4）.（I ）求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π2)是曲线C 1上的两点，求221211ρρ+的值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21||3|.f x x x =+-- （I ）解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若存在x 使得()0f x a +≤成立，求实数a 的取值范围.。
山西省太原市2018届高三3月模拟考试(一)数学理试题Word版含解析
太原市2018年高三模拟试题（一）
数学试卷（理工类）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,所以，选
A.
2. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，所以，选A.
3. 已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以命题为真；命题为假，所以为真，选 B.
4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A. B. C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】，所以，选 D.
5. 已知等比数列中，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以因为，所以
因此选B.
6. 函数的图像大致为（）
A. B.。
山西省太原市2018届高三3月模拟考试(一)数学理试题(解析版)
太原市2018年高三模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{21|log ,,|,02xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂=A. ()1,+∞B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】{}()211log ,21,,|,1,22xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫===+∞==<=+∞⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭,所以()1,A B ⋂=+∞，选A.2.若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()1,1- B. ()1,0-C. ()1,+∞D. (),1-∞-【答案】A 【解析】11mi z i +=+(1)(1)11222mi i m m i +-+-==+ ，所以10211102mm m +⎧>⎪⎪∴-<<⎨-⎪<⎪⎩，选A.3.已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ∧⌝ C. p q ⌝∧ D. p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--∴ 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，选B.4.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 213log 32+B. 2log 3C. 3D. 2【答案】D 【解析】222223log log log 3log 3log 24S =+=+=+= ， 所以22log log 42S == ，选D.5.已知等比数列{}n a 中，2583218,3a a a S a a =-=+，则1a =（ ） A.12B. 12-C. 29-D. 19-【答案】B 【解析】 因为2588a a a =-，所以3558,2,a a =-=- 因为323S a a =+，所以21232131322,a a a a a a a q ++=+∴=∴=因此4112212,.22a q a -=-==- 选B.6.函数2ln x y x x=+的图象大致为AB.C.D.【答案】C 【解析】令()2ln x f x x x=+,因()110f -=>,故排除选项A 、B,因为211e 0e ef ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭,故排除选项D;故选C.7.已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，若a b +的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为（ ）A. 4B. 2C. -4D. -2【答案】C 【解析】 当11,2x y ==-时，2a b +≤；当11,2x y =-=时，22;a b a b --≤+≥-，因此2,2 4.M m Mm ==-∴=- 选C.8.已知抛物线()220=>y px p 的焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足060AFB ∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则 （ ） A. 2AB MN ≥ B. 23AB MN ≥C. 3AB MN ≥D. AB MN ≥【答案】D.【解析】 由抛物线定义得2A F B FM N += ,在三角形AFB 中222022|||2cos60|||AB AF BF AF BF AF BF AF BF =+-⋅=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅2222()()3()||24AF BFAF BF AF BF MN ++≥+-⨯== ，所以AB MN ≥，选D.9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.43B.83C. 2D. 4【答案】A 【解析】几何体如图，体积为1142(22),323⨯⨯⨯⨯=选A. 点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10.已知函数()()()=2sin ,0f x x ωφω+＞，若()2,04f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，那么ω的取值共有（ ） A. 6个 B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D 【解析】 因为()2,04f f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以2,,(,).42k m k m Z ππωϕππωϕπ+=++=∈ 因此41[(2)]32m k ω=-- ，因为()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，所以2012.23466T T πππππωω≥-∴≥∴≥∴<≤ 因此21,2,3,4,5,6,7,8,9m k -= ，即ω的取值共有9个，选D.点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间11.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ）A.B.C.203π D.【答案】B 【解析】设AD CE O ⋂= ，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分为三棱锥O ABC -,设三棱锥O ABC -外接球的半径为R 241,3R R =-==, 体积为343R π=，选B. 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12.设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭a b ，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ⎡⎤++⎣⎦，则k 的取值范围是（ ）A. 92ln 21,4+⎛⎫⎪⎝⎭B. 92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 92ln 21,10+⎛⎤⎥⎝⎦ D. 92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 因为11()2ln 1,()20()2f x x x f x x x '''=--=-≥≥ ，所以1()()l n20()(2f x f fa ka fb ≥=>∴=+=+''因此()(2)f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不同的零点，由()(2)f x k x =+得2ln 2()2x x x k g x x -+==+ ，所以22342ln (),(2)x x x g x x +--=+' 令2342ln t x x x =+-- ，则2(21)(2)230x x t x x x-'+=+-=≥，所以1342ln 242t ≥+-+ ，又10x t ==时，所以当1[,1)2x ∈时()0g x '< ，当1x ≥ 时 ()0g x '≥ ，要使方程有两个不同的零点，需192ln 2(1)()1210g k g k +<≤∴<≤，选C.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13.在多项式()()65121x y ++的展开式中，3xy 项的系数为__________． 【答案】120 【解析】根据二项式展开式可知，3xy 的系数应为13652120C C ⋅⨯=.14.已知双曲线C ：22221x y a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率__________．. 【解析】 如图所示渐近线OM 的方程为0,bx ay += 右焦点为(,0)F c ，因此FM b == ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则FP FM b ==.又因为2MF FN =，所以2FN b =，在直角三角形FPN 中，1sin 22PF b FNP FNb ∠===，所以6FNP π∠=，故在三角形OMN 中，3MON π∠=，所以6FON π∠=,所以b a =，即,2.a c b ===所以双曲线的离心率为cea=== .15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．【答案】25【解析】由题意得共有(1,1,5),(1,5,1),(5,1,1);(1,2,4),(1,4,2),(2,1,4),(2,4,1),(4,1,2),(4,2,1);(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1);(2,2,3),(2,3,2),(3,2,2)这15种，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有(5,1,1);(4,1,2),(4,2,1);(3,1,3),(3,3,1);(3,2,2)这6种，所以概率为62.155=点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16.数列{}n a中，()()*110,121,2n na a a n n N n-=--=-∈≥，若数列{}n b满足811nnb n⎫=⎪⎭，则数列{}n b的最大项为第__________项．【答案】6【解析】因为()()*1121,2n na a n n N n---=-∈≥，所以根据叠加法得21(21)(23)31na n n a n=-+-+++=-，所以188(2)(1)()1111n nnnb nb n nb n++=+=∴当5n≤时，1n nb b+≥，当6n≥时，1n nb b+≤，因此数列{}nb的最大项为第6项.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+． （1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值；（2）若b =ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；【答案】（1）52；（2）L a b c =++=【解析】试题分析：(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，在根据三角形内角关系利用诱导公式化简得cos sin B B = ，解得B,代入()()sin sin cos cos A B A A A B +++- )sin cos sin cos A A A A ++，根据三角函数同角关系转化为二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法，(2)先根据余弦定理得222a c =+，再根据基本不等式求ac 最大值，此时ABC ∆的面积取最大，根据最大值等号取法确定a c ，值，即得三角形周长. 试题解析： （1）由cos sin sin cos a b c C B B C =+得：cos sin cos sin sin cos a b C c BC B B C+=， cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4B π=；由()())sin sin cos cos sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-++，令sin cos t A A =+，原式21122t =-， 当且仅当4A π=时，上式的最大值为52．（2）2221sin ,2cos 24S ac B ac b a c ac B ===+-，即(2222,2a c ac ac =+≥≤当且仅当a c ==12MAX S =，周长L a b c =++=点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一箱矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金. （1）若售出水量箱数x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？ （2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为13，不获得奖学金的概率均为415，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望.附：回归直线方程y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）206；（2）见解析 【解析】试题分析：(1)先求出君子，代入公式求ˆb，ˆa ，再求线性回归方程自变量为9的函数值，(2)先确定随机变量取法，在利用概率乘法求对应概率，列表可得分布列，根据数学期望公式求期望. 试题解析：（1）6,146x y ==，经计算20,26ˆˆba ==，所以线性回归方程为2026ˆy x =+， 当9x =时，y 的估计值为206元；（2）X 的可能取值为0，300，500，600，800，1000；()441601515225P X ==⨯=；()418300215345P X ==⨯⨯=；()2416500251575P X ==⨯⨯=；()111600P X ==⨯=；()2148002P X==⨯⨯=；()2241000P X ==⨯=；所以X 的数学期望()600E X =．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 正方形，PA BD ⊥．（1）求证：PB PD =；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）6π. 【解析】试题分析：本题主要考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定定理，先证出平面PAC ，利用线面垂直的性质定理得BD PO ⊥，在PBD ∆中再证明；第二问，先证明,,AB AP AD 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量，再求直线与平面所成角的正弦值，最后确定角. 试题解析：（1）连接，，，交于点，因为底面是正方形， 所以且为的中点.的又,,PA BD PA AC A ⊥⋂= 所以平面PAC ， 由于平面PAC ,故.又,故.解法1：设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,EQ ∥=12CD , 所以AFEQ 为平行四边形，EF ∥AQ ， 因为平面， 所以AQ ⊥平面，所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q ,所以AP AD ==由AQ ⊥平面，又可得AQ CD ⊥，又AD CD ⊥，又AQ AD A ⋂=所以CD ⊥平面PAD 所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥, 所以PA ⊥平面ABCD（注意：没有证明出PA ⊥平面ABCD ，直接运用这一结论的，后续过程不给分）由题意,,,AB AP AD 两两垂直，,以A 为坐标原点,向量ˆ,,ˆˆA A A 的方向为轴轴z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则())()(0,0,0,,0,,,22A BQ D P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭0,,22ˆˆA P ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭ˆA为平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为，ˆ12ˆˆˆP A sin PA θ⋅==⋅所以直线与平面所成角为.解法2：设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,则EQ ∥=12CD ,所以AFEQ 平行四边形，EF ∥AQ ，因为平面， 所以AQ ⊥平面，所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q ,所以AP AD ==同理AQ CD ⊥，又AD CD ⊥，又AQ AD A ⋂= 所以CD ⊥平面PAD 所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥, 所以PA ⊥平面ABCD 连接AC 、BD ，设交点为，连接CQ ，设CQ 的中点为H ，连接OH ，则在三角形ACQ 中，OH ∥AQ ，所以OH ⊥平面，又在三角形PBD 中，OQ ∥BP ， 所以OQH ∠即为直线与平面PCD 所成的角.又1122OH AQ AD ===,122OQ PB ==,所以在直角三角形OQH 中,12OH sin OQH OQ ∠==, 所以030OQH ∠=,直线与平面PCD 所成的角为030.考点：本题主要考查：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解.20.【2018山西太原市高三3月模拟】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12A A ，，右焦点为()210F ，，点312B ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C 上． （I ）求椭圆方程；（II ）若直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于M N ，两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程．【答案】（I ）22143x y +=；（II ）定直线1x =．【解析】试题分析：(1)将点B 坐标代入椭圆方程，解方程组可得,a b (2)先根据特殊位置计算交点G 在定直线1x =上，再设()()1122,,,M x y N x y ，解方程组可得交点横坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得定值1. 试题解析：（1）()21,0F ，∴1c =，由题目已知条件知222219141a b a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2,a b ==，所以22143x y +=； （2）由椭圆对称性知G 在0x x =上，假设直线l过椭圆上顶点，则(M ，∴8,455k N ⎛=- ⎝⎭，())12:2,:222A M A N l y x l y x =+=--，∴1,2G ⎛ ⎝⎭，所以G 在定直线1x =上．当M 不椭圆顶点时，设()()1122,,,M x y N x y ，()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222343264120k xk x k +-+-=，所以22121222326412,?3434k k x x x x k k -+==++， ()()121212:2,:222A M A N y y l y x l y x x x =+=-+-，当1x =时，1212322y y x x -=+-得()12122580x x x x -++=，所以()222222834641232250343434k k k k k k+--+=+++显然成立，所以G 在定直线1x =上． 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.()()()()1,1,xf x a xg x ax e a R =-=-∈．（1）证明：存在唯一实数a ，使得直线()y f x =和曲线()y g x =相切；（2）若不等式()()f x g x >有且只有两个整数解，求a 的范围．【答案】（1）详见解析；（2）22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭. 【解析】试题分析：(1)先设切点坐标，根据导数几何意义得切线斜率，根据切点既在切线上也在曲线上，联立方程组可得0020xe x +-=．再利用导数研究()2xh x e x =+- 单调性，并根据零点存在定理确定零点唯一性，即得证结论，(2)先化简不等式为11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，再分析函数()1xx m x x e -=-单调性及其值域，结合图形确定讨论a 的取法，根据整数解个数确定a 满足条件，解得a 的范围． 试题解析：（1）设切点为()00,x y ，则()()()0000000011,1xxxy a x ax e a x e x e =-=--+= ①，()y f x =和()y g x =相切，则()()()00000001,1x x x x a g x a ax e a x e e e ==+-+-=' ②，所以00000011xxxx e x x e e -+=+-，即0020xe x +-=．令()()2,10x xh x e x h x e '=+-=+>，所以()h x 单增．又因为()()010,110h h e =-=-，所以，存在唯一实数0x ，使得0020x e x +-=，且()00,1x ∈．所以只存在唯一实数a ，使①②成立，即存在唯一实数a 使得()y f x =和()y g x =相切． （2）令()()f x g x >，即()()11xa x ax e ->-，所以11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 令()1x x m x x e -=-，则()2x xe x m x e+-'=，由（1）可知，()m x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞单增，且()00,1x ∈，故当0x ≤时，()()01m x m ≥=，当1x ≥时，()()11m x m ≥=，当0a <时，因为要求整数解，所以()m x 在x Z ∈时，()1m x ≥，所以()1am x <有无穷多整数解，舍去；当01a <<时，()1m x a <，又()()11,011m m a >==，所以两个整数解为0，1，即()()1211m am a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，所以2221e a e ≥-，即22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭， 当1a ≥时，()1m x a <，因为()11,m x a≤在x Z ∈内大于或等于1， 所以()1m x a <无整数解，舍去，综上，22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ），以O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）10x y a --+=,24y x =；（2）136a =或94. 【解析】试题分析：(1)先根据加减消元法得曲线1C 的普通方程，再根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)将直线参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程，由2PA PB =得122t t =，再利用韦达定理列方程解得实数a 的值．试题解析：解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；（2）将曲线1C的参数方程标准化为1x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =得211402t a +-=，由(()214?1402D a =->，得0a >， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，当122t t =时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =， 当122t t =-时，()1212122214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =，综上：136a =或94．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当01x ≠时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．【答案】（1）4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：(1)根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)根据不等式解集化简绝对值得2x m +≤，解得22x m x --≤≤-，再根据不等式恒成立得()()max min 22x m x --≤≤-，即得m 的取值范围． 试题解析：解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤；综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。
山西省太原市2018届高考第三次模拟考试数学试题(理)含答案
2b c cos A a cos C .
（1）求角 A ； （2）当 AB AC 的值最小时，求 ABC 的面积. 18. 如图，在梯形 ABCD 中， AB / /CD , BCD 120 ，四边形 ACFE 为矩形， CF 平
0
面 ABCD, AD CD BC CF ，点 M 是线段 EF 的中点. （1）求证： EF 平面 BCF ； （2）求平面 MAB 与平面 FCB 所成的锐二面角的余弦值.
A． 3 B． -1 C. 1 D． 2
）
11. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该四棱锥的外接球的表面积 为（ ）
A．
51 4
B．
41 2
C.
41
D． 31
2 3 x 12. 设函数 f x 满足 2 x f x x f x e , f 2
19.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的 险种，若普通 7 座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 a 元，在下一年续 保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相 关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 投保类 型 浮动因素 浮动比率
A．21
B． 22
6
C.
23
2
D．24 ）
6. 已知 x 1 ax 1 展开式中 x 的系数为 0，则正实数 a （ A．1 B．
2 5
C.
2 3
D．2
7. 已知数列 an 的前 n 项和 S n ，若 a1 1, S n A． 4
太原市2018年高三年级模拟考试题(一)理数
太原市2021年高三模拟试题〔一〕数学试卷〔理工类〕、选择题：本大题共 12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项 符合题目要求的.1 .集合 A = {y | y =log2 x,x >xxIi ,x<R,那么 A P|B=()1JA.」「—1 mi2 .假设复数z= --------- 在复平面内对应的点在第四象限,那么实数 m 的取值范围是〔1 iA. (—1,1) B . (—1,0) C . (1,~) D . (-«,—1)21 1 3 .命题p:二% = R,x 0—x 0+1之0；命题q:右a <b ,那么一 >一,那么以下为真命题的是〔 〕a b,12.,,B= y|y=-2A. C . 「p^q4. 执行如下图的程序框图,输出S的值为〔A. c 1 . c3 ^log23 . log 2 3 C. 3 D5. 等比数列GJ中,a2a5a8 = -8,& = a2 ' 3a 1,而出彳3ErC.6.函数y 2二xln x+——x的图像大致为―p _q27 .不等式ax-2by <2在平面区域｛(x,y )| x E 1且y E 1)上恒成立,假设a+b 的最大值和最 小值分别为 M 和m ,那么Mm 的值为( )A. 4 B . 2 C. -4 D. -28 .抛物线y 2 =2px(p >0户勺焦点为F ,准线为l,A, B 是抛物线上的两个动点,且满足 /AFB =60° .设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,那么 A. AB >2 MN B. 2 AB >3 MNC. AB >3 MND . AB > MN9.某空间几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积是( A. 4 B . 8 C. 2 D. 43 3的取值共有 ( )A. 6个B.7个C. 8 个 D.9个 11.三棱锥D - ABC 中,CD _L 底面ABC,AABC 为正三角形,E-ABC 的公共局部构成的几何体的外接球的体积为(1k (a +2),k (b +2)],那么k 的取值范围是()10.函数f (x ) = 2sin (®x 十中),假设 f'n ) r-=2 f 14」2 I(n n ),在.-,-|上具有单调性,那么©4,3假设 AE//CD, AB = CD = AE = 2 ,那么三棱锥D-ABC 与三棱锥 A.32J 二 27C.20 ——H312.设函数f (x )=x 2—xln x+2 ,假设存在区间1a, b 忆f ,使f(x m la,b ］上的值域为T 交另一条渐近线于 N ,假设2MF =FN ,那么双曲线的离心率 e15.某人在微信群中发了一个 7元“拼手气〞红包,被甲、乙、丙三人抢完,假设三人均领到整数元, 且每人至少领到1元,那么甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是 16.数列 以｝中,a 1 =0,a n —1 =2(n —1加乏N ,n >2),假设数列三、解做题：本大题共 70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤求 sin (A +B )+sin Acos A +cos( A -B )的最大值; 假设b =应,当AABC 的面积最大时, AABC 的周长;18 .某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购置一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投 入一元钱.现统计了连续 5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:9 2ln 2A |1, ------------4C.d 9 2ln 2 .’10口d 9 2ln 21-一 10二、填空题：本大题共 4道,每题5分, 20分.13.在多项式〔1+2x 〕 〔1+y 〕的展开式中, 3xy 的系数为2 (X)14.双曲线C : -2ab 2=1的右焦点为 F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线, 垂足为M ,｛灯｝满足b n =n |_,an 1TJ'181 j ,那么数列｛b n ｝的最大项为第项.17.△ABC 的内角为A,B,C 的对边分别为a,b,c,cosC sin B sin B cosC(1) (2)收入y (单位：元)165 142 148 125 150学校方案将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定：特困生综合考核前20名,获等奖学金500元；综合考核21-50名,获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金.(1)假设x与y成线性相关,那么某天售出9箱水时,预计收入为多少元？一,…… 2 _…、…… 1 ………(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为一,获二等奖学金的概率均为-,不获得奖学金的概5 34率均为一,甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之15和X的分布列及数学期望;n _ _' x -X V i -y附：回归方程？ = bX+?,其中b = ±J -------------- -一,？=1—bX.工X -xi 119 .如图,在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD是边长为J2的正方形,PA_LBD.(1)求证：PB = PD;⑵假设E,F分别为PC, AB的中点,EF _L平面PCD , 求直线PB与平面PCD所成角的大小.2 2____ _ x V .......................... ............................20 .椭圆Uxy+^ngAbAO)的左、右顶点分别为A,A2,右焦点为F2(1,0 ),点a bB ,1,3 i在椭圆C上.2(1)求椭圆方程；⑵假设直线l : y =k(x—4 # =0)与椭圆C交于M, N两点,直线AM与A2N相交于点G , 证实：点G在定直线上,并求出定直线的方程.21 . f (x )=a (x-1 ) g (x ) = (ax-1 )e x,a w R .(1)证实：存在唯一实数a ,使得直线y = f(x)和曲线y = g (x)相切；(2)假设不等式f (xg (x)有且只有两个整数解,求a的范围.x a 2t22 .在平面直角坐标系xOy中,曲线C I过点P(a,1 ),其参数方程为? 厂(t为参数,a?R), y = 1 2t以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2r cos q + 4cos q - r = 0 .(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C1和曲线C2交于A, B两点,且PA =2 PB ,求实数a的值.23 .选彳4-5 :不等式选讲函数 f (x )=|x+m + 2x —1 .(1)当m =—1时,求不等式f(x)E2的解集；什……人一3 /I -⑵ 右f (x 闫2x+1的解集包含|—, 2j ,求m 的取值氾围.太原市2021年高三模拟试题(一)理数试卷答案、选择题1-5: AABDB 6-10: CCDAD 11二、填空题由 sin A B sin AcosA cos A .B = 2 sin A cosA sin AcosA,1.2二,1令 t =sin A + cos A ,原式=一t 2t -- ,2 2、12: BC13. 12014.2、3 315. 16. 6三、解做题17.解：(1)cosCsin B b c----- + ------ 得:sin B cosCbcosC csin Ba = bcosC cosC sin Bsin BcosC+csin B ,即 sin A =sin B cosC +sin C sin B ,cosB =sin B ,冗当且仅当A=一时,上式的最大值为41 2 2 2 2(2) S =-acsinB = -ac,b =a +c -2accosB ,即+c 2—J2ac 之(2-J 2 Rc,ac W 2+J 2 ,当且仅当 a = c = J 2+J 2 等号成立;(1)x=6,y=146,经计算t? = 20,a=26,所以线性回归方程为 夕=20x + 26,当x = 9时,y 的估计值为206元;(2) X 的可能取值为 0, 300, 500, 600, 800, 1000;所以X 的数学期望19.解:(1) Pgy ---------------------------连接AC,BD 交于点O,连接PO,二•底面ABCD 是正方形,,AC _L BD,OB = OD ,2 =a 2 S MAX,2 1周长L =a b c = 2、22 .2 .18.解:4 4 P X =0 =15 15 16225 4；P X =300 =2 —15—；P X = 500 = 2 45165 15 75,1P X =6001 2 —；P(X =800) = 2父-父 —；P X =1000 =-5 25'又PA_LBD,PA二平面PAC,AC 二平面PAC, PAp AC = A , BD _L平面PAC , PO u 平面PAC , BD _L PO ,又OB =OD , . . PB =PD ；⑵…,…一一…一一… 一一一1 一设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,那么EQ//CD,EQ=-CD,八 1 1八八八又AF//CD, AF =—AB= —CD,.- EQ//AF, EQ = AF , 2 2 .•・四边形AQEF为平行四边形,, EF//AQ,••• EF _L 平面PCD , AQ_L 平面PCD ,AQ_LPD, Q 是PD 的中点, AP=AD=J2,. AQ_L 平面PCD , AQ -L CD ,又AD _L CD, AQn AD = A,CD _L 平面 PAD , CD _L PA ,又 BD _LPA,BDnCD = D , . . PA_L 平面 ABCD ,以A 为坐标原点,以 AB, AD, AP 为坐标轴建立如下图的空间直角坐标系,那么 B (拒,0,0 ),P(0,0,⑶ A(0,0,0 ),Q 0,手,手I 22)・•・直线PB 与平面PCD 所成角为a 2 = 1b 2|2220.解：(1) F 2(1,0c=1,由题目条件知 99, a = 2 b=3/-,所以工+L=1；工.4=1 43a 2b 2 1(2)由椭圆对称性知 G 在x = x o 上,假设直线l 过椭圆上顶点,那么 M (0,J 3),3 3.3 33,I A IM :y= —(X + 2),1A 2N :y = ——(x -2), .. G |1,-- 所以 2 2 2G 在定直线x = 1上.y = k x-4当M 不在椭圆顶点时,设 M (x 1,y 1 JN(x 2,y 2 ), < x 2 y 2 得4322223 4k x -32k x 64k -12 =0,AQ = AQ = 10, —,— , PB =(v2,0, -V2 ), AQ _L平面PCD , AQ 为平面PCD 的一个法向量.设直线PB 与平面PCD 所成角为8 ,那么 sin 8 = cos( AQ, PBPB • . cos ： AQ, PB PB12__ 2 _ 2 _ 32 k , 64 k -12所以 x1 x 2 = --------- 7 , x1 x2 = ------ - - h ,3 4k 2 3 4k 22x 1x 2 -5(x 1 +x 2 )+8=0 ,- 64k -12 _ 32k 8 3 4k .所以264k —? —5 32k 2+ ----------------- 1 =0显然成立,所以G 在定直线x=1上. 3 4k 2 3 4k 2 3 4k 221.解：(1)设切点为(x 0, y 0),那么 y0 =a(x0-1 )=(ax0-1 把'e (乂032—x0+1 )=e "①, =f (x )和 y = g (x )相切,那么 a = g '(凡)=(a +a% -1 )e 〞, a(x0e" +e - -1 )=e x ° ②, 所以 x 0e x 0 -x 0 1 = x 0e" - e x 0-1, 即 e" +% -2 = 0 .令 h (x )=e x +x - 2, h '(x )= e x +1 a 0,所以 h(x )单增.又由于 h (0 )=—1 <0, h (1 ) = e-1 >0 ,所以,存在唯一实数 x0 ,使得 e"+/ 一2 = 0 ,且 x0w (01 ).所 以只存在唯一实数 a ,使①②成立,即存在唯一实数 a 使得y = f (x )和y = g (x )相切.x -1(2)令 f (x )>g (x ),即 a(x -1 )>(ax -1 )e ,所以 a x , xT-. e x —2. .. ............. 令m(x ) = x ------ —,那么m (x 户 ----- x ----- ,由(1)可知,m(x 族(-^x .)上单减,在(x O ,收e e单增,且 x 0 W (0,1 ),故当 xW0 时,m (x )之 m (0) = 1,当 x 之1 时,m (x )之 m (1)=1, 当a<0时,由于要求整数解,所以 m(x )在x ^Z 时,m(x )至1,所以am(x 产1有无穷多整数 解,舍去;1 m2 - - ,又一下1m0尸m ( 1=,所以两个整数解为0,1,即? a a m -1 --1A l M - y = y i V 2 (x +2) 1A 2M ：y =— (x —2), 当 x=1 时, x 2 -2 3y 1 一、2 x 1 2 x 2 - 21 当 0 <a <1 时,m(x )< 一 a2〜, e r 所以a至「一,即a W2e -1 2e2 -1 ,1,…- 1 一. 1当a至1时,m(x )<—,由于一<1,m(x )在x三Z内大于或等于1, a a… 1 ……人e2所以m(x)<一无整数解,舍去,综上, a w ]—2一a 2e2 -1,1 •22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线的参数方程中t的几何意义.力x = a . 2t解：(1) C1的参数方程«_ ,消参得普通方程为x-y-a+1 = 0,y =1 、, 2t2 2 2. 2C2的极坐标万程为rcos q+4cosq-r =0两边同乘r得r cos q+4rcosq-r =0即2y =4x ；x =a + ——t⑵ 将曲线C1的参数方程标准化为22(t为参数,a?R)代入曲线C2: y2=4x得y=1 二t21 2 2 1 .—t - ^y2t +1-4a=0,由D=( _\/2 ) -4?— (1 4a )> 0,得a > 0 ,设A,B对应的参数为t1,t2,由题意得t1 =2t2即t1 =2t2或t1 =—2t2,G = 2t2当t1 =2t2时,t t1 +t2= 2衣,解得a =工, 1 23611t 2 =2(1 -4a ) J't1 = -2t2当t1 = —2t2时, t1 +t2 =2%/2 解得a =9 ,, 411t2 =2(1-4a )…1,9综上：a =——或一.36 423.考点：绝对值不等式4① x 之 1 时,f (x ) = 3x —2M2 ,解得 1 WxW —；3一,1 1 ②当一 <x<1 时,f(x)=xW2,解得 一 <x <1 ； 2 2 一, 1 _ .一一 1③当 xW —时,f (x ) = 2—3xW2,解得 0 W x M —； 2 2 ……一 「 ——,二 4综合①②③可知,原不等式的解集为 ^x|0<x<-3f(x)=x+m +2x —1 = x+ m +2x —1W2x+l| = 2x+1,从而可得 x + m < 2 ,即 c 11 -2 <x+m <2^ —2 —x Em 92 — x ,且(—2 — x*a* = . 1 , (2-x^i n =0 , 因此m 解：(1)当 m = —1 时,f(x )= x -1 +|2x-1 ,(2)由题意可知 f (x )< 2x +1 在。
山西省太原市2018届高考数学模拟考试(一)试题 理 精品
太原市2018年高三年级模拟考试（一）数学 试 题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。
2．回答第I 卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试题上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，须用0,5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内，写在本试题上无效。
5．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数1ii+的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞内单调递减的函数是（ ）A ．2y x =B ．||1y x =+C ．lg ||y x =-D ．||2x y =3．若右边表示的程序框图输出的S 是126，则条件①可以是（ ） A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤4．甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是2334和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （ ）A ．12B ．14C ．16D ．5125．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和。