第七章量子力学的矩阵形式与表象变换

ak(t)H ˆk
左乘j 再取标积
ihka kt(t)(j,k)kak(t)(j,H ˆk)
(j,k)ij 基矢的正交归一性
(j,H ˆk)Hjk 能量算符在F表象中的矩阵元
ihaj(t)
t
k
Hjkak(t)
或表示为
a 1 t H 11
ih
a
2
t
H
21
M M
H 12 H 22 M
A才能按这组基矢展开（即矢量有了具体表示）：
v A A 1 e ˆ 1 A 2 e ˆ 2 A 3 e ˆ 3
那么，如何建立Hilbert空间的基矢组（表象）以便 任何态矢量都能按此展开（态矢量的具体表示）？
体系的任何一组对易力学量完全集F有完备的
共同的本征函数组{ k } （其本征值谱可离散或连
k
令
Sk (',k)
两个表象的基矢的 标积，反映基矢之
间的关系
反映表象之间的变换关系？
则 a' Skak
k
写成矩阵形式
Sk (',k)
a ' 1 S11
a
'2
S 21
M M
S12 S 22 M
L a1
LM
a2 M
F'表象中 的表示
表象间的 变换矩阵S
F表象中 的表示
变换矩阵S是幺正矩阵
k
k
Ljkak ak jk
k
k
即
(Ljkjk)ak0 (I)
k
或
L11
L21
M
L12
L22
M
L a1
限的，也可无限的，甚至不可数的（基矢k为连
续谱时），同时由于态函数是复数，Hilbert空 间又是一个复空间。
Q表象
任何一个厄米算符Q的本征函数系{ k } 具有正交、
归一、完备性，也可以用来构成Hilbert空间的基矢 从而建立所谓的Q表象。
例如，用坐标算符x的本征函数系 (xx')（本征值
谱x'连续）构成Hilbert空间的基矢，就是坐标表象。 Hilbert空间的任意态矢量在坐标表象下的表示：
§2 力学量算符的矩阵形式 §3 量子力学公式的矩阵形式 §4 Dirac符号
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与幺正变换
（一）例子
同同 表一 象个 下状 的态 表在 示不
Ψ(r,t) (p,t)
以坐标为自变量—坐标表象中 的波函数表示
以动量为自变量—动量表象中 的波函数表示
表象=“坐标 系”
问题：量子态在其他力学量表象下的表示？
L a1
L
M
a2 M
此为薛定谔方程在F表象中的矩阵形式
（二）本征值方程的矩阵形式
力学量算符 Lˆ 的本征值方程
Lˆ （本征值 ）
在F 表象中，本征函数
akk
k
akL ˆkakk
k
k
左乘j 再取标积
ak(j,L ˆk) ak(j,k)
k
k
ak(j,L ˆk) ak(j,k)
一旦在Hilbert空间建立具体的表象，力学量算符 （线性映射）就有了具体的数学表示：
F 表象 基矢{k}
bkk
akk
k
k
bkk akL ˆk
k
k
bkk akLˆk
k
k
左乘j 再取标积
bk(j,k) ak(j,L ˆk)
k
k
bj ak(j,L ˆk)
k
令
Ljk (j,Lˆk)
（基矢k是算符L的本征态，对应本征值Lk）
因此，算符在其自身表象中是一个对角矩阵，即
L11 0 L
0
L 22

M M M
且由(*)式，对角元就是其本征值。
§3 量子力学公式的矩阵表示
（一）薛定谔方程的矩阵形式
ih Hˆ
t
在F 表象中
(t) ak(t)k
k
ih
k
a kt(t)kk
续），可以用来构成该态空间的一组正交、归一 完备的基矢（称为F表象）。
(k,j )kj
因为体系的任何量子态（对应Hilbert空间的一个
抽象矢量）可以按 { k } 展开
akk; ak (k,)
k
这组数（a1, a2 , …）就是量子态在F表象下的表示。
k是F表象的基矢。
可见，态函数张成的Hilbert空间的维数可以是有
则有
bj Ljkak
k
写成矩阵形式：
bj Ljkak
k
b 1 L11
b2 M
L21
M
L12 L22 M
L a 1
L
M
a2 M
相应的矩阵元
算符Lˆ 在F表象中
的矩阵表示
Ljk (j,Lˆk)
特别地，在算符L的自身表象中
Ljk (j,Lˆk)(j, Lkk) Lk jk （*）
表象之间的联系或变换关系？
（二）希尔伯特（Hilbert）空间
一个微观体系所有可能的量子态的态函数张成 一个抽象的函数空间，称为希耳伯特空间，每一个 量子态（不涉及表象）看成希耳伯特空间的一个 “矢量”，称为态矢量。
如同三维实空间需要建立一组正交、归一的基
矢 {eˆ1, eˆ2, eˆ3}，即建立坐标系，空间中的任何矢量
(k ,) ( x x ')d x ( x ') ( x )
常用的表象：坐标表象，动量表象，能量表象。
（三）量子态在不同表象中的矩阵表示
在F表象(或Q表象)中，任意量子态的具体表示
可以写成一个列矩阵：
a1
ak (k,)
a
2
M
考虑另一力学量完全集F' ( 或者另一力学量算符
Q' )，其正交、归一完备的共同本征态 { ' } 构成
新的基矢组：
(',') —F ' 表象或Q'表象
任意态矢量
a'';
在F' 表象下的矩阵表示
a'(',)
a'(',)
a '1
a
'2
M
F'表象下的 具体表示
（四）表象之间的变换—幺正变换
F表象： akk; F'表象： a''
k
a''akk
k
左乘' 再取标积
a' (',k)ak
SSSSI S S1
相应的表象变换称为幺正变换。
幺正变换的特点：变换后不改变矢量的长度(模)。 因此态矢量（波函数）在表象变换下不改变模的 大小，即相应的概率不变。
§2 力学量算符的矩阵表示
力学量算符 Lˆ 作用于量子态后变成另一态
Lˆ (不涉及表象)
因此，在Hilbert空间力学量算符相当于一个线性映射。
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
本章要求
1. 了解量子态在不同表象下的矩阵表示以 及表象之间的幺正变换（幺正矩阵）。
2.了解力学量算符的矩阵表示；了解量子 力学公式(如薛定谔方程、本征方程、平均 值等)的矩阵形式；
3.了解Dirac符号
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
教学内容
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与 幺正变换