第五章 向量空间

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线性代数学习指导 － Unit 3 欧氏空间
r1 + 2 r2 1 0 ⎞ r ⎛1 2 ⎛1 4 − 3 r2 ⎜ ⎟ r× ⎜ r2 − 2 r4 ( −1) ⎜ 0 − 1 − 2 − 4 ⎟ r13 ×( − 13 ) ⎜ 0 r3 − r4 ⎯⎯ ⎯→⎜ ⎯⎯ ⎯ ⎯→⎜ 0 0 − 3 − 9⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 − 3 −1 3 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝
0 − 3 − 8 ⎞ r1 +3r3 ⎛ 1 ⎟ r −2 r ⎜ 1 2 4 ⎟ r24 −5r33 ⎜ 0 ⎯⎯ ⎯→⎜ 0 1 3 ⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎜0 0 5 15 ⎟ ⎠ ⎝
1 ⎞ ⎟ 1 0 − 2⎟ ， 0 1 3 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎠ 0 0
可见秩为 3， α 1 , α 2 , α 3 可取为一个极大无关组，且有表示式 α 4 = α1 − 2α 2 + 3α 3 。
n
二、例题解析
例 5.1 在 R 中，1 就是一个基，所以 R 是一维空间；在 R 中， （1，0） 、 （0，1）是一个基，所
1 1 2
⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 3 3 以 R 是 2 维空间；在 R 中， ⎜ 0 ⎟ 、 ⎜ 1 ⎟ 、 ⎜ 0 ⎟ 是一个基，所以 R 是 3 维空间。 ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
20
⎛ [α1 , α1 ] ⎜ Hs = ⎜ ⎜ [α , α ] ⎝ s 1
⎛α Τ ⎞ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟(α1 Τ ⎜ Τ⎟ αs αs ⎟ ⎠ ⎝α s ⎠
α1Τα s ⎞
α s ) = AΤ A ，
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于是由 s = r ( H s ) ≤ min{r ( AΤ ), r ( A)} = r ( A) ≤ s 推出 r ( A) = s ⇒ α1 ,
α s ) = A, ( β1
β r ) = B, K = (ξ1
ξ r ) ，则有 B = AK 。
必 要 性 ： 设 B 组 线 性 无 关 ， 则 r( B) = r ， 而 K 为 s × r 矩 阵 ， r( K ) ≤ r 。 由
r = r ( B ) ≤ min{r ( A), r ( K )} ≤ r ( K ) ≤ r ，便可推出 r ( K ) = r 。
, α s ，记 hij = [α i , α j ] (i. j = 1,
, s ) 为两个向量之间的内积，并记
⎛ h11 ⎜ Hs = ⎜ ⎜h ⎝ s1
h1s ⎞ ⎟ （ 1 ）向量组 α1 , ⎟ 。试证明： ⎟ hss ⎠
, α s 线性无关当且仅当 H s ≠ 0 ； （ 2 ）向量组
α1 ,
n n
,α r 是 V 中的一组向量，如果满足：
α 1 , ,α r 线性无关；
,α r 线性表示；
(b) V 中的向量都可以由 α 1 , 则说 α 1 ,
,α r 是 V 的一个基，称 r 为 V 的维数，称 V 是 r 维线性空间，记作 dim(V ) = r 。
3) 子空间：设 V 是向量空间 U 的一个子集, 如果关于 U 中的线性运算，V 也能构成向量空间， 则称 V 是 U 的一个子空间。 4) 向量的内积 → 范数 （单位化）→ 距离 → 夹角 → 正交 → 正交组 → 规范正交基 （ → 正交化） → 正交阵 → 正交变换。 5) 生成空间的概念是一个重要的概念。事实上任何一个向量空间都可以表达为它的任一个基的 生成空间，这就使我们有可能以有限的形式来把握一个无限的空间。 2.主要结论 1）定理：向量的内积满足以下运算律: （1） 交换律： 〈 X , Y 〉 = 〈Y , X 〉 ； （2） 对加法的分配律： 〈 X , Y + Z 〉 = 〈 X , Y 〉 + 〈 X , Z 〉 ； （3） 与数引子的结合律： 〈 kX , Y 〉 = 〈 X , kY 〉 = k 〈 X , Y 〉 ；
Τ Τ Τ 分析：注意到 A 正是线性方程组 x1α 1Τ + x 2α 2 的增广矩阵，本方法不过是用初等 + x3α 3 = α4
~
变换解这个方程。 解法二、用行初等变换求行秩：
⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜α ⎟ ⎜ 2 A=⎜ 2 ⎟=⎜ α3 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜α ⎟ ⎜ 0 ⎝ 4⎠ ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜0 →⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
+ hr ξ r = η = 0 推知唯有零解 h1 = = hr = 0 ，从而得 β1 ,
= hr = 0 ，这表明 h1 β1 +
, β r 线性无关，即 B 组线性无关。
注：如果本题附加条件 r = s ，则 K 是方阵，充分性的证明将简单得多： r ( K ) = r ⇒ K 可逆
⇒ BK −1 = A ⇒ 两向量组等价 ⇒ r ( B ) = r ( A) = s = r ⇒ B 组线性无关。
1 4 1 解法三、利用行列式： D4 = A = 0 ，而 D3 = 2 1 − 1 = 22 ≠ 0 是一个 3 阶非零子式，故 1 0 −3
r ( A) = 3 ，从而知向量组的秩为 3，且 D3 所在的前三行线性无关，因此 α 1 ,α 2 , α 3 可取作一个极大
Τ Τ Τ 无关组。至于求表示式，则还需要解方程 x1α 1Τ + x 2α 2 ，等于把解法一再走一遍。 + x3α 3 = α4
充 分 性 ： 设 r ( K ) = r ， 则 K 列 满 秩 ， ξ1 ,
,ξr 线 性 无 关 。 为 证 B 组 线 性 无 关 ， 考 察
h1 β1 +
+ hr β r = 0 ，并记 h1ξ1 +
h1 β1 + + hr β r = ( β1
+ hrξ r = η ，于是有：
⎛ h1 ⎞ ⎜ ⎟ ξ r )⎜ ⎟ = Aη = 0 ， ⎜h ⎟ ⎝ r⎠
⎛ h1 ⎞ ⎜ ⎟ β r )⎜ ⎟ = Bh = AKh = A(ξ1 ⎜h ⎟ ⎝ r⎠
注 意 到 A 组 线 性 无 关 ， 则 A η = 0 唯 有 零 解 η = 0 。 而 由 假 设 ， ξ1 ,
,ξr 线 性 无 关 ， 则 由 + hr β r = 0 唯有零解
h1ξ1 + h1 =
, α s 是标准正交组当且仅当 H s = E s 。
证： （1）记 (α1
α s ) = A ，则 r ( A) ≤ s 。若 H s ≠ 0 ，则 r ( H s ) = s 。注意到
[α1 , α s ] ⎞ ⎛ α1Τα1 ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎜ Τ [α s , α s ] ⎟ ⎠ ⎝ α s α1
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第五章
一、内容提要
n
向 量 空 间
本章首先从 R 中向量的线性关系出发，建立起线性空间的初步概念；然后定义若干基本度量， 建立起度量空间的初步概念，从而构成初步的欧氏空间。本章的讨论仅限于 R 及其子集，所有概念 均是狭义的、初步的。一个较为一般的定义可参见文献 上一章我们讨论过向量组的结构：极大无关组、秩、线性表示等等。但一般的向量组不一定是 完备的，即本组内的向量经过线性运算后未必还在这个向量组内。而更广泛的进一步讨论和应用， 常常需要完备的向量组，这就是本节所要讨论的——向量空间。 1.主要概念 如果 V 满足：V 对向量的加法和数乘运算是封闭的， 1） 向量空间： 设 V 为 R 的一个非空子集， 即 V 中任意两个向量的任意 （实系数） 线性组合仍在 V 中：∀α , β ∈ V , ∀k , l ∈ R , ⇒ kα + lβ ∈ V 。 则称 V 为一向量空间。 2）基与维数：设 V 是一个线性空间， α 1 , (a)
⎛1 ⎜ ⎜0 3 ×( −1) + r4 ⎯r⎯ ⎯ ⎯→⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
化成行阶梯形后可知： （i）矩阵的秩为 3，则其行向量组的秩为 3； （ii）可取 α 1 , α 2 , α 3 为一个极大 无关组； （iii）可由第四行 α 1 − 2α 2 + 3α 3 − α 4 = 0 导出 α 4 = α 1 − 2α 2 + 3α 3 。 注：解法二的要点是：在做行初等变换时，用相应的行向量线性运算把各步变换记录下来。
例 5.2 设 α 、 β ∈ R ,
n
α 、 β 的所有实系数线性组合的集合记作
U = {X = x1α + x 2 β | x i ∈ R, i = 1,2 } ，
试证： U 关于 R 中的线性运算构成线性空间。 证 首先， ∀X , Y ∈ U , ∀k , l ∈ R ，记 X = x1α + x 2 β , Y = y1α + y 2 β ，则 kX + lY =
1 0 ⎞ α1 4 1 0 ⎞ ⎛1 4 ⎟ ⎟ ⎜ 1 − 1 − 3 ⎟ ⎜ 0 − 7 − 3 − 3 ⎟ α 2 − 2α 1 → → 0 − 3 − 1 ⎟ ⎜ 0 − 4 − 4 − 1 ⎟ α 3 − α1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 −6 3 ⎟ ⎠ ⎝0 2 − 6 3 ⎠ α4
பைடு நூலகம்
α1 α1 1 0⎞ 4 1 0⎞ ⎛1 4 ⎟ ⎜ ⎟ 5 1 5 − 1⎟ α 2 − 2α 3 − 1⎟ α 2 − 2α 3 ⎜0 1 → ⎜ 0 0 − 16 5 ⎟ α − α + 2α → 0 − 16 5 ⎟ α 3 − α 1 + 2α 4 3 1 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ α4 2 −6 3 ⎠ ⎝ 0 0 − 16 5 ⎠ α 4 − 2α 2 + 4α 3 α1 4 1 0⎞ ⎟ α 2 − 2α 3 1 5 − 1⎟ ⎟ α 3 − α 1 + 2α 4 0 − 16 5 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎠ α 1 − 2α 2 + 3α 3 − α 4