等比性质
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍1.1 教学目标：了解合比性质的概念。
学会运用合比性质进行比例计算。
1.2 教学内容：合比性质的表示方法：a:b = c:d = e:f 表示a/b = c/d = e/f。
1.3 教学步骤：1. 引入合比性质的概念，引导学生理解合比性质的意义。
2. 通过示例讲解合比性质的应用，让学生学会如何运用合比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质的练习题，巩固所学知识。
章节二：等比性质介绍2.1 教学目标：了解等比性质的概念。
学会运用等比性质进行比例计算。
2.2 教学内容：等比性质定义：如果有两个比例相等，它们可以组成一个新的比例。
等比性质的表示方法：a:b = c:d 表示a/b = c/d。
2.3 教学步骤：1. 引入等比性质的概念，引导学生理解等比性质的意义。
2. 通过示例讲解等比性质的应用，让学生学会如何运用等比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些等比性质的练习题，巩固所学知识。
章节三：合比性质和等比性质的应用3.1 教学目标：学会运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3.2 教学内容：合比性质和等比性质的应用场景：如商业、工程等领域中的比例计算问题。
3.3 教学步骤：1. 引入合比性质和等比性质的应用场景，让学生了解合比性质和等比性质在实际问题中的应用。
2. 通过示例讲解合比性质和等比性质在实际问题中的应用，让学生学会如何运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质和等比性质的应用题，巩固所学知识。
章节四：比例计算练习4.1 教学目标：巩固比例计算的知识。
4.2 教学内容：比例计算的方法和技巧。
4.3 教学步骤：1. 复习比例计算的基本概念和公式。
2. 通过示例讲解比例计算的方法和技巧，让学生学会如何进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些比例计算的练习题，巩固所学知识。
章节五：比例应用题5.1 教学目标：学会解决实际问题中的比例应用题。
第2课时 等比的性质及其应用
第2课时等比的性质及其应用【学习目标】1．进一步了解成比例线段的概念、巩固并掌握比例的基本性质．2．能推导并理解比例的等比性质和合比性质．3．能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题．【学习重点】巩固并掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解比例的等比性和合比性．【学习难点】运用比例的基本性质解决有关问题．一、情景导入生成问题1．已知点C为线段AB上一点，AB＝25cm，AC＝5cm，则ACBC＝14．2．已知线段a＝2，b＝3，d＝6且线段a，c，b，d成比例，则c＝4．3．如图，△ABC中，ADAB＝DEBC，DE＝1，AD＝2，BD＝3，则BC的长是(C)A.32B.23C.52D.72二、自学互研生成能力知识模块一探索比例的性质先阅读材料P79－80页的内容，然后完成下面的问题：1．比例的基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc．2．等比性质：若ab＝cd＝ef＝…＝mn，且b＋d＋f＋…＋n≠0，则a＋c＋e＋…＋mb＋d＋f＋…＋n＝ab．3．合(分)比性质：若ab＝cd，则a±bb＝c±dd．1．证明等比性质：若ab＝cd＝ef＝…＝mn＝k，且b＋d＋f＋…＋n≠0.则a＝kb，c＝kd，e＝kf，…，m＝kn.∴a＋c＋e＋…＋mb＋d＋f＋…＋n＝kb＋kd＋kf＋…＋knb＋d＋f＋…＋n＝k（b＋d＋f＋…＋n）b＋d＋f＋…＋n＝k＝mn.2.证明合(分)比性质：(1)∵ab＝cd，∴ab＋1＝cd＋1，∴ab＋bb＝cd＋dd，∴a＋bb＝c＋dd；(2)∵ab＝cd，∴ab－1＝cd－1，∴ab－bb＝cd－dd，∴a－bb＝c－dd.归纳：合(分)比性质的证明用到了等式的性质1，同分母分式的加减法法则．知识模块二比例性质的应用1．自学自研教材P80页例2.2．目的：学到的知识要会应用升华，在这个环节中让学生灵活应用比例的等比性质，解决实际问题、师生互动，主要还是学生的动，要体现教师的主导作用，学生的主体作用，让学生会主动学习，遇到问题要善于分析思考．典例讲解：1．已知k＝a＋bc＝b＋ca＝c＋ab，求k的值．分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a＋b＋c＝0这种情况漏掉．解：当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，k＝－cc＝－1；当a＋b＋c≠0时，可以用等比性质k＝2（a＋b＋c）a＋b＋c＝2；所以当a＋b＋c＝0时，k＝－1，当a＋b＋c≠0时，k＝2.2．在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝15cm，AC＝10cm，且BD∶DC＝AB∶AC，BD－DC＝2cm，求BC.解：∵AB＝15cm，AC＝10cm，∴BDDC＝ABAC＝1510＝32.设BD＝3k，DC＝2k，∵BD－DC＝2cm，∴k＝2cm.∴BC＝3k＋2k＝5k＝10cm.对应练习：1．教材P80随堂练习．解：已知ab＝cd＝23(b＋d≠0)，则a＋bb＋d＝23b＋23db＋d＝23.2．教材P81习题4.2第1题．解：已知a b ＝c d ＝e f ＝23(b ＋d ＋f ≠0)，则a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝23b ＋23d ＋23f b ＋d ＋f ＝23.3．教材P 81习题4.2第2题．解：AB ＝22＋42＝25；DE ＝12＋22＝5；BC ＝22＋62＝210；DC＝12＋32＝10；AC ＝42＋62＝213；EC ＝22＋32＝13；△ABC 与△EDC 的周长比为25＋210＋2135＋10＋13＝2.三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索比例的性质知识模块二 比例性质的应用四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：___________________________________________________ 2．存在困惑：_______________________________________________。
等比性质知识点总结归纳
等比性质知识点总结归纳一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
即对于数列{a1, a2, a3, ..., an}，若对任意的n≥2，都有an/an-1=an-1/an-2=...=a2/a1=q（q≠0），则称该数列是等比数列，其中q为等比数列的公比。
二、等比数列的性质1.通项公式：对于等比数列{a1, a2, a3, ..., an}，其通项公式为an=a1*q^(n-1)（n≥1），其中a1为首项，q为公比。
2.前n项和公式：等比数列前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)（n≥1），其中a1为首项，q为公比。
3.角标和公式：等比数列角标和公式为Sn=a1*(1-q)/1-q^(n)（n≥1），其中a1为首项，q为公比。
4.性质1：等比数列的首项、公比、通项、前n项和、角标和满足一定关系。
5.性质2：等比数列的前两项确定了整个数列，即已知首项和公比就可以唯一确定一个等比数列。
6.性质3：等比数列的任意相邻两项的比值都等于公比，即an/an-1=q（n≥2）。
7.性质4：等比数列的任意三项都满足一个比值关系，即an/an-1=an-1/an-2=an/an-2=q^2（n≥3）。
8.性质5：等比数列中，如果公比大于1，则数列是递增的；如果公比小于1且大于-1，则数列是递减的；如果公比小于-1或等于-1，则数列不变号。
9.性质6：等比数列的各项满足乘法法则，即连续三项的乘积等于它们中间一项的平方。
10.性质7：等比数列中，如果公比大于1，则数列无上界；如果公比小于1且大于-1，则数列有上界，上界为a1/(1-q)；如果公比小于-1或等于-1，则数列不收敛。
三、等比数列的计算方法1.已知首项和公比求通项公式：对于等比数列{a1, a2, a3, ..., an}，若已知首项a1和公比q，其通项公式可求得为an=a1*q^(n-1)（n≥1）。
数列的等差与等比性质
数列的等差与等比性质数列是数学中一个有序的数的集合，其中每个数都被称为该数列的项。
数列在许多数学和实际应用中起着关键的作用。
在数列中，有两个重要的性质，即等差性质和等比性质，它们在数列的定义、特征和应用中都具有重要意义。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值相等的数列。
设数列为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中相邻两项之间的差值为d，则该数列为等差数列。
可以表示为：a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ = ... = d等差数列的常用表示方法是使用通项公式 an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以方便地求得等差数列的任意一项。
例如，对于等差数列{2, 5, 8, 11, ...}，首项a₁=2，公差d=3，第n项可以通过an = 2 + (n - 1)3来计算。
等差数列在数学和实际生活中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，等差数列可以用于定义等差数列的基本概念，如等差中项、等差均分、等差数列的前n项和等等。
在经济学中，等差数列可以用于描述某种现象的增长或减少规律，如某种商品的价格随时间的变化等。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值相等的数列。
设数列为{b₁, b₂, b₃, ...}，其中相邻两项之间的比值为r，则该数列为等比数列。
可以表示为：b₂ / b₁ = b₃ / b₂ = b₄ / b₃ = ... = r等比数列的常用表示方法是使用通项公式 bn = b₁ * r^(n - 1)，其中b₁为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以方便地求得等比数列的任意一项。
例如，对于等比数列{3, 6, 12, 24, ...}，首项b₁=3，公比r=2，第n项可以通过bn = 3 * 2^(n - 1)来计算。
等比数列也在数学和实际生活中扮演着重要角色。
在几何学中，等比数列可以用于定义等比数列的基本概念，如等比中项、等比比例、等比数列的前n项和等等。
合比性质和等比性质合比性质课件
通过这个课程，学习者可以掌握合比 性质和等比性质的基本概念、性质和 应用。
此外，该课程还注重培养学习者的逻 辑思维和数学素养，为进一步学习其 他数学课程打下坚实的基础。
展望
随着数学理论和应用的不断发 展，合比性质和等比性质的相 关知识也将不断更新和完善。
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定义
合比性质和等比性质的定义不同，合 比性质是指两个比值的和或差与另一 个比值之间存在一定的关系，而等比 性质则是两个比值相等。
性质
应用
合比性质在数学、物理等领域有广泛 应用，如几何、代数等，而等比性质 则主要应用于比例、百分数等问题。
合比性质涉及到两个比值的和或差与 另一个比值之间的关系，而等比性质 则是两个比值相等。
应用场景
等比性质在几何学中有着广泛的应用，如相似三角形、相似多边形的判定和性质等 。
等比性质在函数和数列中也经常出现，如等差数列和等比数列的判定和性质等。
等比性质在解决实际问题中也有应用，如测量、工程设计等领域中经常需要用到等 比性质来计算比例和比例关系。
03 合比性质和等比性质的比 较和联系
比较
练习题
设计一系列与合比性质和等比性 质相关的练习题，难度适中，覆
盖面广。
练习题应包括选择题、填空题、 计算题等多种题型，以便全面考 查学生对合比性质和等比性质的
理解和掌握程度。
对于难度较大的题目，可以给出 提示或解题思路，帮助学生更好 地理解和掌握合比性质和等比性
质。
06 总结和展望
总结
合比性质和等比性质合比性质课件是 一个全面、深入的课程，涵盖了合比 性质和等比性质的相关知识。
4.1比例的等比性质
则 a=2k,
b=5k,
c=6k,
2a+5b–c 4k+25k–6k 23 = . ∴ 3a–2b+c = 6k–10k+6k 2
本节课学习了什么内容？
成比例线段的意义， 主要内容： 比例的2个主要性质及其应用.
能力要求：通过本课的学习， 形成比例变形的能力， 要做一定量的习题，达到熟练.
比例性质
本节课学习目标
• 1.掌握比例的基本性质定理、等比性质， 会运用比例的性质进行简单的比例变换
自学检测：
两条线段的比是它们的长度的比，
也就是两个数的比.
关于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式，
因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
a c 比例的内项乘积等于外项乘积 . 因为 a：b=c：d， 即 b = d ， 两边同乘以 bd，得 ad=bc； 上述性质反过来也对，就是
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
(1)比例的基本性质
综合地说：
a：b=c：d ad=bc.
特殊地说：
a：b=b：c
2 b =ac.
说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式
练习3—5：
A
F C
Байду номын сангаас
基础练习：
x+y 5 x 例1、已知 3y = 4 ，求 y . x+y 5 解： ∵ 3y = 4 ， x+y 15 ∴ y = 4 ， x+y–y 15–4 ∴ y = 4 ， x 11 ∴ y=4 .
基础练习：
初中数学等比性质的推广和压缩
初中数学等比性质的推广和压缩
等比性质：如果。
那么。
因为在等比性质中，每个比的分子、分母的系数都是1，所以在初中几何课本中直接利用等比性质的题很少，如果根据分式的基本性质把等比性质推广，或者是把等比性质压缩，使用推广或压缩后的等比性质做题，就可以简化做题过程。
一、等比性质的推广
如果（）
那么
其中均为非零整数
且
证明：根据分式的基本性质，得
因为
所以
由等比性质，得
例1、已知，求的值。
分析：因为所求代数式中，每一项的系数都不是1，所以不能直接使用等比性质，又因为所给代数式与所求代数式对应项的系数相同，因此可以使用等比性质的推广。
解：因为
由等比性质的推广，得
因为
所以
所以
例2、已知，求的值。
分析：①此题条件的书写形式与等比性质条件的书写形式不同，所以要先改变条件的书写形式。
②所求代数式的分子、分母中相同字母的系数不同，所以需两次使用等比性质的推广。
解：由，得
设
由等比性质的推广，得
所以
所以
二、等比性质的压缩
等比性质的压缩，也可以说是等比性质部分条件的应用，即根据题中所求代数式的需要，选择条件中的部分等比作为新的条件，然后利用等比性质或等比性质的推广求解。
例3、已知，其中a，b，c，d，e，f，g，h都是整数，求证：
证明：设
所以
所以
所以
所以
例4、若，求的值。
解：由，得
由等比性质的推广和压缩，得
所以。
4.1.2等比性质教案
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“4.1.2等比性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过类似银行利息递增、细胞分裂这样的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等比数列的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对等比数列的概念和性质的理解普遍较好，大多数同学能够快速掌握等比数列的通项公式和求和公式。但在实际应用方面，部分学生还是显得有些吃力。我觉得这可能是因为我们在教学过程中，对实际案例的分析和讲解还不够充分，导致学生们在遇到实际问题时，不知道如何运用所学知识去解决。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性。他们通过讨论和实验操作，加深了对等比数列的理解。但同时我也发现，部分学生在讨论过程中过于依赖同学，缺乏独立思考。针对这一问题，我将在接下来的教学中，鼓励学生们独立思考，培养他们解决问题的能力。
此外，我还注意到，在课堂总结环节，有些学生对等比数列的应用仍然存在疑问。为了帮助他们更好地消化和吸收所学知识，我计划在课后加强个别辅导，针对学生的疑问进行有针对性的解答。
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用等比数列的定义和性质进行推理；
2.提升学生的数学建模能力，通过等比数列的通项公式和求和公式的推导与应用，解决实际问题；
3.培养学生的数据分析能力，让学生能够从实际问题中抽象出等比数列模型，并进行求解；
4.增强学生的数学运算能力，熟练掌握等比数列的计算方法和技巧；
4.1.2等比性质教案
一、教学内容
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则 a=kb, c=kd, e=kf
那么
kb kd kf bd f
=
Hale Waihona Puke k (b d f ) bd f
a = k= b
故原等式成立
常用法“设k法” 设 =k ， b d f ，
a c m (b d n 0) a c m a b d n b d n b
比例的性质
等比性质
复习 用数学语言默写出比例的三个性质
基本性质：如果
反比性质：如果
合比性质：如果
a c = b d c a = d b a = c d b
那么，ad=bc
b 那么 a
d = c
=
ab 那么 b
cd d
a c e ace a 如果 , 那么 成立吗? 为什么? b d f bd f b
2 探索： 当a b c 0时，k _______
当a b c 0时，k
-1 _________
a c e 2 3、 已知 b d f 3
，
2 2 2 质和等比的性质结合 2 a b d,e f a c 5 e ,c 2 3 3 (分式的基本性质 ） 3 起来解题非常方便。 2b d 5 f 3 2 2 2 2 a c 5e 2 b d 5 f 2a c 5 e 2 3 3 3 (等比的性质） 2 bd 5f 3 2 ( 2b d 5 f ) 3 2 a c 5e 2 2 18 点拨：遇到等比问题时，常设 1 8 31 2 3 辅助未知数比值K，题中的比
12×0.618≈7.5小时
年龄黄金分割点
0岁 100岁
100×（1－0.618）＝38.2岁
100－ 38.2 ＝61.8岁
快乐黄金分割点
宣泄 忍耐
＝ 0.618
四份宣泄，六份忍耐。
健康、快乐、魅力无限
一部分
另一部分
且2b-d+5f=18， 求2a—c+5e。 a c e 2 点拨：在处理等比问 解法一：∵ 题时将分式的基本性 b d f 3 解法二：由已知得：
3(2a c 5e) 18 2 2a c 5e 12
值为
2 ，利用这种方法思 3
路简捷。
面部黄金分割点
睡眠黄金分割点
a
c
e
──比例的等比性质.
x yz 1、已知 x : y : z 3: 5 : 7，求 x yz
2、已知 求
a c e 1 b d f 2
，且 b d f 0 。 的值。
ace bd f
bc ac ab 3、已知： k , 求k的值. a b c