信号与系统(北邮课件)第四章§4-04-第二种情况：极点为共轭复数例题.ppt
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信号与系统第4章s域分析
a1x1(t) a2 x2 (t) x(t t0 )u(t t0 )
LT
a1X1(s) a2 X 2 (s) LT X (s)est0
注意：因果信号 x(t)u(t) 的延时
x(t) 1
1 x(t t0 )
为 x(t-t0)u(t-t0)，而非 x(t-t0)u(t) 0
t 0 t0
t
例：u(t 1) LT 1 es
x(t) (2) (1)
L x(t) 2es 3e2s e4s
2
x(t)是因果信号
t 01
4t
(3)
© DMU.BGX
2es 3e2s e4s
X (s)
s2
17
7. s 域微分
推广：
tx(t) LT dX (s) ds
t n x(t)
LT
1n
dn X (s) ds n
例： etu(t) LT 1 s
• N (s) szi 0 , zi 称为零点，s平面上用符号“○”标注
• D(s) s pi 0 , pi 称为极点，s平面符号“×”,重根加注数字
• 除比例因子bM/aN 外，X(s) 可由零极点完全确定
• 当NM，X(s) 为假分式，在s=∞有M-N 阶极点
• 当N>M，X(s) 为真分式，在s=∞有N-M 阶零点
1 e(s )t 0 1 1 e(s )
s
s
X (s) 1 , ROC: Res
s
x(t)
0
0t
1
收敛轴 j
收 敛
域 0
收敛域不含jΩ 轴，Fourier变换不存在
x(t)
j
0 收
0t
1
信号与系统北邮课件第四章4.06系统函数网络函数HS
1.定义
一．系统函数
et
h(t )
r t
Es
H s
Rs
rt et ht Rs Es Hs
H (s) R(s) E(s)
响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
其中 R(s) L[r(t)], E(s) L[e(t)]
当e(t) (t)时, 系统的零状态响应
R(s) H(s) r(t) h(t) 则L[h(t)] H(s)
二．LTIS互联的系统函数
1．LTI系统的并联
H1s
Es
Rs
H 2 s
ht h1 t h2 t H(s) H1(s) H2 (s) 2．LTI系统的级联
Es
H1s
H 2 s
Rs
时域: h(t) h1(t) h2(t) 频域: H(s) H1(s) H2(s)
3．LTI系统的反馈连接
Es E1s H1s
2.H(s)的几种情况
策动点函数：激励与响应在同一端口时
1 I1s V1 s
1
单端口 网络
策动点导纳
转移函数：激励和响应不在同一端口
1 I1s
2 I2s
V1 s
双端口 网络
1
H(s) I2(s) 转移导纳V1 (s)
2
H(s) V2 (s)
I
转移阻抗
1
(
s)
V2 s
H (s) V2(s) 电压比V1 ( s )
Rs
E2s
H 2 s
E1(s) E(s) E2 (s)
E2 (s) R(s) H2 (s)
R(s) H1(s) E(s) E2 (s)
H1(s)E(s) H1(s)E2(s)
一．系统函数
et
h(t )
r t
Es
H s
Rs
rt et ht Rs Es Hs
H (s) R(s) E(s)
响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
其中 R(s) L[r(t)], E(s) L[e(t)]
当e(t) (t)时, 系统的零状态响应
R(s) H(s) r(t) h(t) 则L[h(t)] H(s)
二．LTIS互联的系统函数
1．LTI系统的并联
H1s
Es
Rs
H 2 s
ht h1 t h2 t H(s) H1(s) H2 (s) 2．LTI系统的级联
Es
H1s
H 2 s
Rs
时域: h(t) h1(t) h2(t) 频域: H(s) H1(s) H2(s)
3．LTI系统的反馈连接
Es E1s H1s
2.H(s)的几种情况
策动点函数：激励与响应在同一端口时
1 I1s V1 s
1
单端口 网络
策动点导纳
转移函数：激励和响应不在同一端口
1 I1s
2 I2s
V1 s
双端口 网络
1
H(s) I2(s) 转移导纳V1 (s)
2
H(s) V2 (s)
I
转移阻抗
1
(
s)
V2 s
H (s) V2(s) 电压比V1 ( s )
Rs
E2s
H 2 s
E1(s) E(s) E2 (s)
E2 (s) R(s) H2 (s)
R(s) H1(s) E(s) E2 (s)
H1(s)E(s) H1(s)E2(s)
《信号与系统》第4章 连续系统的复频域分析 PPT课件
eat (t)estdt
例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-βtε(-t)(β＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。
j
j
j
－ o
－ o
o
(a)
(b)
(c)
图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域 (a) F2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域
4.1.3 单边拉普拉斯变换
信号f(t)的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换(或反变换)分别为
与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足
f (t) etdt 0
则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为F(s)的 收敛域。因为f(t)的单边拉普拉斯变换等于f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉 普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉普拉斯 变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边区域，可表示为
f (t) F (s), f1(t) f (at b) (at b),
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解 因为
5. 时域卷积
证 根据信号卷积的定义，并且f1(t)和f2(t)是因果信号，则
例 4.2-6 已知图 4.2-1(a)所示信号f(t)与图(b)所示信号fτ(t)的关系为f(t)=fτ(t)*fτ(t)， 求f(t)的单边拉氏变换。
0
1
t
(b)
f ′(t)
(2 )
1
0
t
(－ 1)
(c)
图 4.2-3 例 4.2-9 图
方法二 f(0-)=-1，f(t)的一阶导数为
信号与系统4教学ppt
上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为
f (t) F (s)
拉氏变换扩大了信号的变换范围。
变换域的内在联系
时域函数 f (t)傅氏变换 频域函数 F ()
时域函数 f (t)拉氏变换 复频域函数 F (s)
4.1.2 单边拉普拉斯变换
考虑到：1. 实际信号都是有始信号，即 t 0时，f (t) 0
作业
连续信号与系统的复频域分析概述
傅里叶变换（频域）分析法
– 在信号分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频 率响应、波形失真、取样、滤波等
– 要求信号满足狄里赫勒条件 – 只能求零状态响应 – 反变换有时不太容易
拉普拉斯变换（复频域）分析法
– 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
但反变换的积分限并不改变。
以后只讨论单边拉氏变换：
（1）f (t) 和 f (t) (t) 的拉氏正变换 F(s) 是一样的。
（2）反之，当已知 F(s) ，求原函数时，也无法得 到 t < 0 时的 f (t) 表达式。
例如，常数 1 和 (t) 的（单边）拉普拉斯变换是一
样的。
单边拉氏变换的优点：
0
可见： L[tn (t)] n L[tn1 (t)]
s
依次类推：
L[tn (t)]
n s
n
1 s
n
s
22 s
1 s
1 s
n! sn1
特别是 n=1 时，有
L[t (t)]
1 s2
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
1. 0 0 ：只有拉氏变换而无傅氏变换
《信号与系统第四章》PPT课件
1 ） 系 统 函 数 的 零 、 极 点 分 布 确 定 系 统 冲 激 响 应 的 模 式
①
h t
单阶减 ea极t幅 sin 点振 荡 0tth a t 0 L 1 H js L h s1 tin i 0 n t1 s t k ，ip 正i弦 振荡i n 1 等k i 幅e e p a i t ts i n t0 tta 0
系 统 函 数 的 零 、 极 点 分 布 图
系 统 函 数 必 定 是 复 变 量 s 的 实 有 理 函 数 ， 零 、 极 点 一 定 是 实 数 或 成 对 共 轭 复 数 。
极 点 是 对 应 系 统 输 入 输 出 微 分 方 程 的
特 征 根 自 然 频 率 、 固 有 频 率 。
1
2 、 系 统 零 、 极 点 分 布 对 系 统 时 域 响 应 特 性 的 影 响
14
课堂小结
拉氏变换及其性质 S域分析法 系统函数H(s)〔零、极点〕 系统稳定性的判断
15
作业
4.5(2) 4.11(1) 4.16 4.22
16
m
jzr
F ht HHssjH 0rn 1jpi
k1
H()一般为复数，可表示为：
H H ej
m
j z r
m
n
H H 0 r n 1
幅 频 特 性 ， a r g j z r a r g j p i相 频 特 性 。
j p i
r 1
i 1
i 1 结 论 ： 零 极 点 分 布 决 定 了 H 的 大 小 ！
yzs
t
h
f
t
d
因为|f(t)| Me，所以
yzs t
Me
信号与系统第四章概论
第四章 连续系统的复频域分析
学习重点：
• 单边拉氏变换及其重要性质； • 拉氏反变换的方法（部分分式展开）； • 微分方程的S域求解； • 电路的S域模型及分析方法。
本章目录
4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉氏变换的性质 4.3 拉氏反变换 4.4 系统的S域分析
4.1 拉普拉斯变换
➢ 信号f( t )的单边拉氏变换定义：
（有理真分式）
可以分解为许多简单分式之和的形式。
1. D( s ) = 0的根均为单实根
式中
F (s) K1 K2 Kn
s s1 s s2
s sn
ki (s si )F (s) ssi
( i = 1，2，n )
则
f (t) K1es1t K2es2t Knesnt
例
设
F
(s)
(s
s 1)( s
2)
，求f
(
t
)。
解 其中
F(s)
s
K1 K2
(s 1)(s 2) s 1 s 1
所以 则
K1 (s 1)F(s) s1 1 K2 (s 2)F(s) s2 2
F(s) 1 2 s 1 s 1
f (t) et 2e2t
2. D( s ) = 0有共轭复根
0
0
s
(t) 1
s
➢正弦信号：
s in t
s2
2
➢余弦信号：
cost
s2
s
2
➢斜坡信号：
f (t) t (t)
F (s)
1 s2
end
4.2 拉氏变换的性质
线性性质
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2 (s) 则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
学习重点：
• 单边拉氏变换及其重要性质； • 拉氏反变换的方法（部分分式展开）； • 微分方程的S域求解； • 电路的S域模型及分析方法。
本章目录
4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉氏变换的性质 4.3 拉氏反变换 4.4 系统的S域分析
4.1 拉普拉斯变换
➢ 信号f( t )的单边拉氏变换定义：
（有理真分式）
可以分解为许多简单分式之和的形式。
1. D( s ) = 0的根均为单实根
式中
F (s) K1 K2 Kn
s s1 s s2
s sn
ki (s si )F (s) ssi
( i = 1，2，n )
则
f (t) K1es1t K2es2t Knesnt
例
设
F
(s)
(s
s 1)( s
2)
，求f
(
t
)。
解 其中
F(s)
s
K1 K2
(s 1)(s 2) s 1 s 1
所以 则
K1 (s 1)F(s) s1 1 K2 (s 2)F(s) s2 2
F(s) 1 2 s 1 s 1
f (t) et 2e2t
2. D( s ) = 0有共轭复根
0
0
s
(t) 1
s
➢正弦信号：
s in t
s2
2
➢余弦信号：
cost
s2
s
2
➢斜坡信号：
f (t) t (t)
F (s)
1 s2
end
4.2 拉氏变换的性质
线性性质
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2 (s) 则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
《信号与系统》课程讲义4-4
1
j 2
j1
j
0
1
复数极点 复数零点
j1
成对出现
j 2
§4.4 系统函数零极点∽时域特 性和稳定性
s( s 2)(s 3) [例1]： ② H ( s) ( s 1) 2
解： ② 极点： s = -1 （二阶） s = ∞ （一阶） 零点： s = 0 （一阶） s = -2（一阶） s = -3（一阶）
§4.4 系统函数零极点∽时域特 性和稳定性
s[( s 1)2 1] [例1]： ① H ( s) ( s 1)2 ( s 2 4)
解：
极点：s = -1 （二阶） s = j2 （一阶） s = -j2（一阶） 零点：s = 0 （一阶） s = 1+j1（一阶） s = 1-j1 （一阶） s = ∞ （一阶）
r (0 ) 1 ，r(0 ) 1 ，e(t ) u(t )
解：
s 1 1 H ( s) 2 s 3s 2 s 2 全部
固有频率
零、极点相消 丢失固有频率
1 1 1 1 1 1 Rzs ( s ) ( ) rzs (t ) (1 e 2t )u (t ) s2 s 2 s s2 2
10 40 10 t 10 t 10 v2 (t ) [ cos 4t sin 4t e ]u (t ) [ e cos(4t 76 )]u (t ) 17 17 17 17 17
自由响应 强迫响应
§4.4 系统函数零极点∽时域特 性和稳定性
三、H(s)极点与系统稳定性关系
n
pi t
K e
k 1 k
v
pk t
自由响应 强迫响应 (系统函数极点形成) (激励函数极点形成)
j 2
j1
j
0
1
复数极点 复数零点
j1
成对出现
j 2
§4.4 系统函数零极点∽时域特 性和稳定性
s( s 2)(s 3) [例1]： ② H ( s) ( s 1) 2
解： ② 极点： s = -1 （二阶） s = ∞ （一阶） 零点： s = 0 （一阶） s = -2（一阶） s = -3（一阶）
§4.4 系统函数零极点∽时域特 性和稳定性
s[( s 1)2 1] [例1]： ① H ( s) ( s 1)2 ( s 2 4)
解：
极点：s = -1 （二阶） s = j2 （一阶） s = -j2（一阶） 零点：s = 0 （一阶） s = 1+j1（一阶） s = 1-j1 （一阶） s = ∞ （一阶）
r (0 ) 1 ，r(0 ) 1 ，e(t ) u(t )
解：
s 1 1 H ( s) 2 s 3s 2 s 2 全部
固有频率
零、极点相消 丢失固有频率
1 1 1 1 1 1 Rzs ( s ) ( ) rzs (t ) (1 e 2t )u (t ) s2 s 2 s s2 2
10 40 10 t 10 t 10 v2 (t ) [ cos 4t sin 4t e ]u (t ) [ e cos(4t 76 )]u (t ) 17 17 17 17 17
自由响应 强迫响应
§4.4 系统函数零极点∽时域特 性和稳定性
三、H(s)极点与系统稳定性关系
n
pi t
K e
k 1 k
v
pk t
自由响应 强迫响应 (系统函数极点形成) (激励函数极点形成)
信号与系统第4章
T
2 T
2
f
(t) cos(nt) d t
j1 T
T
2 T
2
f (t) sin(nt) d t
1 T
T
2 T
f (t) e d jnt t
2
f (t) Fn e jnt n
Fn
1 T
T
2 T
f (t) e jntd t
2 n = 0, ±1, ±2，…
第4-13页
■
信号与系统
4.2 傅里叶级数
可从三角形式推出指数形式的傅里叶级数：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
f (t)
A0 2
n1
An
cos(nt
n)
A0 An [e j(ntn ) e j(ntn ) ]
2 n1 2
第4-8页
Ki
t2 t1
i2
(t
)
d
t
■
信号与系统
4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数
f (t)
a0 2
1 T
2
e
jnt
dt
2
1 e jnt
T jn
2
2
2
sin( n
2
)
T n
T
sin n
信号与系统PPT 第4章
第4章 周期信号的频域分析4.1连续时间信号的Fourier 级数 4.1.1指数形式的Fourier 级数 周期信号f(t)的定义： 对：T R t 使得存在一个大于零的,,0∈∀，)()(0t f T t f =+ R t ∈∀T 0-基波周期(Fundamental Period)基波角频率（Fundamental Angular Frequency ）基波频率（Fundamental Frequency ）信号分解∑⎰∞-∞=∞∞--==-==m m n m x n n x n x d t x t t x t x ][][][*][][)()()(*)()(δδττδτδ即任意一个信号都可以分解为单位冲激信号的加权积分或者加权和。
除了单位冲激信号外，是否还有其他信号可以构成这种基本信号？nj jst t j re z e e )(Ω---变换拉普拉斯傅立叶ω傅立叶于1768年生于法国,1807年提出著名论断.① 任意一个周期信号都可以表示为互成谐波关系的正弦函数的级数和。
② 任意一个非周期信号都可以表示为不是谐波关系的正弦信号)(t j e ω的加权积分。
具体含义的解释见ppt⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧DT FT )ansform,Fourier tr time -(discrete 立叶变 离散时间→离散时间非周期信号FT )]ransform,(Fourier t 立叶变 →连续时间非周期信号DT FS)series,Fourier time -(discrete 立叶级 离散时间→离散时间周期信号Fs) series (Fourier立叶级 →连续时间周期信号换傅换傅数数傅连续时间周期信号的Fourier 级数：∑∞-∞==n tjn nec t f 0)(ω傅立叶系数n C 表示构成一个信号的频率的分部情况。
例子14.1.2 三角形式的Fourier 级数若f(t)的实函数，则*n n c C -=狄里赫利条件：狄里赫利认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。
《信号与系统 》课件第4章
解 (1) 求f1(t)和f2(t)的拉氏变换。 f1(t)为矩形脉冲(τ=1)，根据式(4.2-5)，得
图4.2-5 例4.2-7用图
由于单边拉氏变换的积分是从t=0－开始的，故f2(t)的单 边拉氏变换应从t=0－开始积分计时。因此，f2(t)的象函数 F2(s)与F1(s)相同，即
(2) 求f1′ (t)和f2′ (t)的拉氏变换。 由于f1(t)可表示为
例4.2-3 求图4.2-1所示矩形脉冲的象函数。 解 图示矩形脉冲可看作两个阶跃函数之差，即
由于
图4.2-1 例4.2-3用图
根据延时特性 故
(4.2-5)
例4.2-4 若f(t)为图4.2-1所示矩形脉冲(τ>1)。试画出下列 函数的波形，并求其象函数。
(1) f(t－1)ε(t－1)； (2) f(t)ε(t－1)。 解 (1) 函数f(t－1)ε(t－1)的波形如图4.2-2(a)所示。 根据延时特性，由式(4.2-5)，得
图4.2-4 例4.2-6用图
解 应用线性、时移性质及常用函数变换对容易求得f(t) 的象函数为
电路的系统函数为
根据式(4.2-11)，该电路的零状态响应的象函数为 (4.2-13)
上式等号右边的第一项可分解为 故
式(4.2-13)右端的第二项比第一项多了因子e－s，它表示相应 的时间函数在时间上要延迟1，即
图4.2-2 例4.2-4用图
(2) 函数f(t)ε(t－1)的波形如图4.2-2(b)所示。其表达式可 以写做
故
4.2.3 复频移性质 若
证明 根据定义
(4.2-6)
该特性表明，信号f(t)在时域乘以因子 数F(s)在复频域右移s0。
相当于其象函
例4.2-5 求函数e－αtsin(ω0t)和余弦函数e－αtcos(ω0t)的象 函数。
图4.2-5 例4.2-7用图
由于单边拉氏变换的积分是从t=0－开始的，故f2(t)的单 边拉氏变换应从t=0－开始积分计时。因此，f2(t)的象函数 F2(s)与F1(s)相同，即
(2) 求f1′ (t)和f2′ (t)的拉氏变换。 由于f1(t)可表示为
例4.2-3 求图4.2-1所示矩形脉冲的象函数。 解 图示矩形脉冲可看作两个阶跃函数之差，即
由于
图4.2-1 例4.2-3用图
根据延时特性 故
(4.2-5)
例4.2-4 若f(t)为图4.2-1所示矩形脉冲(τ>1)。试画出下列 函数的波形，并求其象函数。
(1) f(t－1)ε(t－1)； (2) f(t)ε(t－1)。 解 (1) 函数f(t－1)ε(t－1)的波形如图4.2-2(a)所示。 根据延时特性，由式(4.2-5)，得
图4.2-4 例4.2-6用图
解 应用线性、时移性质及常用函数变换对容易求得f(t) 的象函数为
电路的系统函数为
根据式(4.2-11)，该电路的零状态响应的象函数为 (4.2-13)
上式等号右边的第一项可分解为 故
式(4.2-13)右端的第二项比第一项多了因子e－s，它表示相应 的时间函数在时间上要延迟1，即
图4.2-2 例4.2-4用图
(2) 函数f(t)ε(t－1)的波形如图4.2-2(b)所示。其表达式可 以写做
故
4.2.3 复频移性质 若
证明 根据定义
(4.2-6)
该特性表明，信号f(t)在时域乘以因子 数F(s)在复频域右移s0。
相当于其象函
例4.2-5 求函数e－αtsin(ω0t)和余弦函数e－αtcos(ω0t)的象 函数。