大一高数复习资料
第一章复习
x.1 函数的极限及其连续性 概念：省略
注意事项
1． 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大
量，例如，x x x f y sin )(==是无界变量，但不是无穷大量。因为取
2
2π
π+
==n x x n 时，2
2)(π
π+
=n x f n ，当n 充分大时，)(n x f 可以大于一预
先给定的正数M ；取πn x x n 2==时，0)(=n x f 2． 记住常用的等价形式 当0→x 时，,~arctan ,~tan ,
~arcsin ,
~sin x x x x x x x x x x x x x e x x x αα~1)1(,2
1~
cos 1,
~1,
~)1ln(2-+--+
例1 当0→x 时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小 （1）2
x 。 （2）x cos 1-。 （3）x x tan sin - （4）)1ln(2x +。
（）
解：因为222
~)1ln(,2
1~
cos 1x x x x +-，所以选择C 练习 x
x
e x x cos ln cos lim 2
0-→
解 )]
1(cos 1ln[cos 11lim
cos ln cos lim 2
200-+-+-=-→→x x e x x e x x x x 3
1
cos cos 1lim 1cos lim
)]1(cos 1ln[cos 1lim )]1(cos 1ln[1lim 02
0002
-=--+-=-+-+-+-=→→→→x x
x x x x
x e x x x x x
3． 若函数的表达式中包含有b a +（或b a +），则在运算前通常要在分子分母
乘以其共轭根式b a -（或b a -），反之亦然，然后再做有关分析运算 例2 求)1sin(lim 2
π+∞
→n n 。
解 ])1sin[(lim )1sin(lim 2
2πππn n n n n n +-+=+∞
→∞
→
n
n n n n n n n ++-=-+-=∞
→∞
→1sin
)1(lim )1sin()1(lim 2
2π
π
当∞→n 时，)(,01~
1sin
2
2
∞→→++++n n
n n
n π
π
又 1|)1(|=-n ，故0)1sin(lim 2
=+∞→πn n 练习 求])1(2121[lim -+++-+++∞
→n n n
解 原式＝22
)1()1(221lim 2)1(2)1(lim =-++?=????
?
?--+∞→∞→n n n n n n n n n n n 4． e x x
x =??
?
??+∞
→11lim 该极限的特点：
?
?
?∞与幂互为倒数后的变量（包括符号））括号中（型未定式
121)1(
解题方法
（1） 若极限呈∞
1型，但第二个特点不具备，则通常凑指数幂使（2）成立 （2） 凡是∞
1型未定式，其结果：底必定是e ，幂可这样确定： 设0)(lim =x u ，∞=)(lim x v ，则
)()(lim )]()[(lim ))(1ln()(lim ))(1ln()()(lim ))(1lim(x u x v x u x v x u x v x u x v x v e e e e x u ±±±±====±
这是因为 )(~))(1ln(
x u x u ±±。 例3 求x
x x x ??? ?
?
+∞→1sin 1cos lim 。
解 原式＝22
2
2sin 1lim 1sin 1cos lim x
x x
x x x x ??? ??
+=???
???????? ??+∞→∞→
因为12
2
sin
lim 22sin
lim ==?∞→∞
→x
x x
x x x ，所以原极限＝e 。
练习 求x
nx
x
x
x n e
e e 120lim ???
?
?
?+++→ 。
解 原式＝x
nx
x x x n n e e e 120
1lim ???
?
??-++++
→ ，
因为21)21(11lim 1lim 1lim 1)1()1()1(lim 11lim 02002020+=
+++=??????-++-+-=-++-+-=?-+++→→→→→n n n
x e x e x e n x e e e n x n n e e e nx
x x x x x nx x x x nx x x x 5． 几个常用的极限
1)0(lim =>∞
→ααn n 特别地 1lim =∞
→n n n
2
arctan lim 2
arctan lim π
π
-
==
-∞
→+∞→x x x x
π==-∞
→+∞
→x arc x arc x x cot lim 0
cot lim
∞==+∞
→-∞
→x x x x e e lim 0
lim
1lim 0
=+→x x x
x.2 单调有界原理 单调有界数列必有极限
此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列}{n x 单调有
界；（2）设}{n x 的极限存在，记为l x n n =∞
→lim 代入给定的n x 的表达式中，则该式变为l 的代数方程，解之即得该数列的极限。
例4 已知数列}{n a ： ,11,,11,11
11121--++=++
==n n n a a
a a a a a ，求n n a ∞→lim 。
解 用数学归纳法可证得}{n a 单调增加：
2
3
11,11121=++
==a a a a ，显然21a a <。 假设k k a a <-1成立，于是
0)1)(1(111111111<++-=???
? ??++-???? ??++=-----+k k k
k k k
k k k k a a a a a a a a a a
即 1+ 显然21< →lim 。 由于1 111--++ =n n n a a a ，两遍去极限得：A A A ++=11，即012 =--A A ， 即得出2 5 1±= A 。 根据包号性的推论可知A 非负，所以2 5 1lim += ∞ →n n a 。 X.3 n 项和的极限 求解方法: (1)利用特殊和式求和；（2）利用夹逼定理求极限（n 个项按递增或递减排列）； 例5 求???? ??+?++?+?∞→)1(1 321211lim n n n 解 原式1111lim 1113121211lim =?? ? ?? +-=????????? ??+-++??? ??-+??? ? ? - =∞→∞ →n n n n n 例6 求)12111( lim 2 2 2 n n n n n ++++++∞ → 。 解 因为 1 1 2 1 112 2 2 2 2 +≤ ++ +++ +≤ +n n n n n n n n n ， 而11 lim lim 2 2 =+=+∞→∞ →n n n n n n n ，由夹逼准则有 ???? ? ?+?++?+?∞→)1(1 321211lim n n n ＝1 X.4 n 项积的极限 （1） 分子、分母同乘以一个因子，使之出现连锁反应； （2） 把通项拆开，使各项相乘过程中中间项相消； （3） 夹逼定理 （4） 利用对数恒等式化为n 项和形式。 例7 当1|| 2 n x x x x n ++++∞ → 解 原式＝x x x x x x n n -++++-∞→1) 1()1)(1)(1)(1(lim 24 2 ＝x x x x x n n -+++-∞→1) 1()1)(1)(1(lim 2422 ＝ =-++-∞→x x x x n n 1) 1()1)(1(lim 24 4 ＝x x x x x x n n n n n -=--=-+-+∞→∞→1111lim 1)1)(1(lim 1 222 练习 当0≠x 时，求n n x x x 2cos 4cos 2cos lim ∞→ 解 原极限＝n n n n n n x x x x 2sin 22cos 4cos 2cos 2sin 2lim ?∞→ ＝x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n n n n n n n n n n n sin 2 2sin lim 2sin 2sin lim 2 sin 2) 2sin 2cos 2(4cos 2cos 2lim 2 sin 2) 2sin 2cos 2(4cos 2cos 2lim 1121= ?===?=?=∞→∞ →---∞→-∞→ 例8 求?? ? ??-??? ??-??? ??-∞ →22211311211lim n n 。 解 因为k k k k k k k k 11)1)(1(1122+?-=+-=- ??? ??-??? ??-??? ?? -∞ →22211311211lim n n ??? ??+?-??? ?????? ???=∞→n n n n n 1134322321lim 2 1121lim =+?=∞→n n n X.5 有关闭区间上连续函数的命题的证明 证明方法有两种 1． 直接法 其程序是先利用最值定理，再利用介值定理 例1 设)(x f 在],[b a 上连续，且b d c a <<<，证明：在),(b a 内至少存在一个ξ使 得 )()()()(ξf q p d qf c pf +=+，其中q p ,为任意正常数 证 因为)(x f 在],[b a 上连续 所以)(x f 在],[b a 上有最大值M 与最小值m 由于],[,b a d c ∈，且0.>q p ，于是有 qM d qf qm pM c pf pm ≤≤≤≤)()( 从而 M q p d qf c pf m q p )()()()(+≤+≤+ 即 M q p d qf c pf m ≤++≤ ) ()(。 由介值定理，在],[b a 上至少存在一个ξ，使得 )() ()(ξf q p d qf c pf =++ 2． 间接法（己辅助函数法） 其程序是先作辅助函数)(x F ，验证)(x F 满足玲芝定理 条件，然后由零值定理得出命题的证明。 辅助函数)(x F 的作法： （1）把结论中的ξ（或0x ）该写成x ； （2）移项，使等式右边为零，令左边的式子为)(x F ，此即为所求的辅助函数 例2 设)(x f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =，证明：在],0[a 上至少存在一个ξ，使得 )()(a f f +=ξξ。 证 令)()()(x f a x f x F -+= 显然，)(x F 在],0[a 上连续，注意到)2()0(a f f =， 故 )()0()()2()(),0()()0(a f f a f a f a F f a f F -=-=-= 当0)0()(=-f a f 时，可取ξ为a 或0，而当0)0()(≠-f a f 时，有 0)]0()([)()0(2<--=?f a f a F F 由零值定理可知存在一个ξ),0(a ∈，使得0)(=ξF ，即 )()(a f f +=ξξ X.6 极限的求法 1． 约简分式的方法 求极限s r q p x x s r q p x ,,,(1 1 lim //1--→都是正整数） 2． 有理化分子和分母 求极限)11(lim 22 +-- +++∞ →x x x x x 3． 利用自然数求和 求极限??? ? ?-++++∞→141351151 31lim 2n n 4． 利用基本极限1sin lim 0=→x x x 求极限x x x x x cos 13cos 2cos cos 1lim 0-??-→ 5． 利用基本极限e x x x x x x =+ =+∞→→)11(lim )1(lim 1 求极限x x x 2tan 4 ) (tan lim π → 6． 利用单调有界数列必有极限 求数列 层根号 n n x 111++=的极限 习题课一 例1 试用极限的“N -ε”定义证明：2 1 321lim 22=++∞→n n n n 。 证 0>?ε，要使ε<-||a x n ，只要 =+<+-=+-=-++=-) 32(23)32(223)32(2|32|21321||22222n n n n n n n n n n n n a x n ε<<<+n n n 1 43)32(23，即ε1>n 。 因此0>?ε，可取?? ? ???=ε1N ，那么对一切N n >，恒有ε<-++213212 2n n n 即 2 1 321lim 22=++∞→n n n n 。 例2 设2 sin )11(n n x n π+ =，证明数列}{n x 没有极限。 证 如果数列}{n x 有极限，那么它的任何子列都有相同的极限。因此，若能找出} {n x 的两个具有不同极限的子数列，便知}{n x 没有极限。由于 0lim ,0)sin()21 1(2244==+ =∞→k k k x k k x π； 1lim ,1 41 12)14(sin )141122 )14(14(=++=+++=+∞→+k k k x k k k x π（），因此数列}{n x 没有极限。 例3 用“δε-”定义证明：021 lim 1=-→x x x 。 证 先限制2 1 |1|0<- ||1|1||1)1(|||--≥+-=x x x 2 1 |1|1>--=x ，或1||2>x ，从而 |1|| |2| 1||021-<-=--x x x x x ， 因此，0>?ε，要使 ε<--0| |21 x x ，只要ε<-|1|x ，于是取},21min{εδ=，则当 x 适合不等式δ<-<|1|0x 时，对应函数值x x x f 21)(-= 恒满足不等式ε<--0| |21 x x 所以 021 lim 1 =-→x x x 。 例4 设0)1(lim 2 =--+-+∞ →b ax x x x ，试确定常数a 和b 。 解 左式b ax x x b x ab x a b ax x x b abx x a x x x x +++--++--=+++----+-=+∞ →+∞→11)21()1(lim 121lim 2 2 222 2 222 x b a x x x b ab x a x +++--+ +--=+∞ →22 2 1111)21()1(lim 上式要想极限为0，必须021,012=+=-ab a ，又分母极限为a +1所以1-≠a ，因此2 1 ,1- ==b a 。 例 5 证明：3)321(lim 1=++∞ →n n n n 。 证 n n n n n n 11 132313)321(??? ? ????+??? ??+??? ??=++ 因此 n n n n 1133)321(3?<++<，由333lim 3 1=?∞ →n 及夹逼定理，即得 3)321(lim 1=++∞ →n n n n 例6 设),2,1(11 2,111 =+- ==+n x x x n n ， 证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限。 证 122 3 212x x >=- =，设1->n n x x ，则 n n n n x x x x =+- >+- =-+1 1112112。 按归纳法可知，对任何的n 有n n x x >+1，即}{n x 为单调增加的数列。又按归纳法容易证明 20< 设a x n n =∞ →lim ，则a x n n =-∞ →1lim ，对关系式1 11 2-+- =n n x x 的两边取极限，便有 a a +- =112，即012 =--a a ，解得251±=a ，因为0>n x ，故0≥a ，2 51-=a 不合，因此251+=a ，即2 5 1lim +=∞→n n x 例7 设函数 ?? ? ??>+=-<=)0(1)0(1) 0()(x bx x b x ae x f x 在0=x 处连续，求常数b a ,得值。 解 由于函数)(x f 在0=x 处连续，根据函数在一点连续的充要条件，应有 )0()(lim )(lim 0 0f x f x f x x ==+ - →→ 由于1)0(,1)1(lim )(lim ,lim )(lim 0 -==+===- +--→→→→b f bx x f a ae x f x x x x x ，依上式即有11-==b a ，从而得2,1==b a 。 例8 证明：方程13 +=-x e x 至少有一个不超过4得根。 证 设函数1)(3--=-x e x x f ，则03)4(,01)0(3>-=<--=-e f e f 又函数在闭 区间]4,0[上连续，故由介值定理有在开区间)4,0(内至少存在一点ξ，使得 )4,0(,0)(∈=ξξf 。即方程13+=-x e x 至少有一个不超过4得根。 工科数学分析 1.8 实数的连续性 实数理论是极限的基础。 1.8.1 实数连续性定理 一、闭区间套定理 定理 1-6. (闭区间套定理) 设有闭区间列{[,]}n n a b ，若: （1）1122[,][,][,]n n a b a b a b ???? （2）lim()0n n n b a →∞ -= 则存在唯一数l 属于所有的闭区间(即1 [,])n n n a b l ∞ == ,且 lim lim n n n n a b l →∞ →∞ == 证明 由条件（1），数列{}n a 单调增加有上界1b ，数列{}n b 单调减少由下界1a ，从而 由单调有界原理，数列{}n a ，{}n b 都收敛，设lim n n a l →∞ =，则 lim lim()lim()lim 0n n n n n n n n n n n b b a a b a a l l →∞ →∞ →∞ →∞ =-+=-+=+= 故 lim lim n n n n a b l →∞ →∞ ==。 任取k N + ∈，n k ?>有k n n k a a b b ≤≤≤ 从而 lim lim k n n k n n a a l b b →∞ →∞ ≤==≤，即l 属于所有闭区间。 假设有1l 属于所有闭区间，从而n N + ?∈，有1,[,]n n l l a b ∈，有1||n n l l b a -≤-，由条 件（2），有1l l =，即l 唯一。 从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一一个公共点. 一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立. 二 、确界定理 非空数集E 有上界,则它有无限多个上界,在这无限多个上界之中,有一个上界β与数集E 有一种特殊关系. 定义1-12:设E 是非空数集.若R β?∈,且 （1）x E ?∈，有x β≤； （2）00,x E ε?>?∈，有0x βε-< 则称是β是数集E 的上确界.表为sup E β=。 类似地,可以定义下确界.表为 定义1-13:设E 是非空数集.若R α?∈,且 （1）x E ?∈，有x α≤； （2）00,x E ε?>?∈，有0x αε<+ 则称是α是数集E 的下确界.表为inf E α=。 例如：数集(1)|n E n N n +??-=∈???? ，1 sup 2E =，inf 1E =- 一般来讲有限集一定有上、下确界，它的上、下确界就是它的最大与最小数；无限集 可能有上（下）确界，也可能没有，若有可能属于该集，也可能不属于该集。无上（下）界的数集，不存在上（下）确界。那么有上（下）界的数集是否存在上（下）确界呢？ 定理2（确界定理）若非空数集E 有上界(下界)，则数集E 存在唯一的上确界(下确界). 由数集E 非空，设1a E ∈。又由数集E 有上界，设1b 为其上界，且11a b <，则区间11[,] a b 具有下述性质（称为P ）： （1）右端点是数集E 的上界 （2）11[,]a b 中至少包含有数集E 的一个点（因为1a E ∈） 设11 12 a b c += ，若1c 为E 的上界，则11[,]a c 满足性质P ，设2121,a a b c ==。若1c 不是E 的上界，则存在数c E ∈使1c c >，从而11[,]c b 满足性质P ，设2121,a c b b ==，从而得到具有性质P 的闭区间22[,]a b 。与此类似，我们可以得到具有性质P 的闭区间33[,]a b … [,]n n a b …，且 （1）1122[,][,][,]n n a b a b a b ???? （2）11 1 lim()lim 02n n n n n b a b a -→∞ →∞--== 由区间套定理，存在唯一的数β属于所有的闭区间[,]n n a b ，且lim lim n n n n a b β→∞ →∞ ==。 x E ?∈，由于n b 为E 的上界，故,1,2,...n x b n ≤=，有极限的保号性，我们有x β≤； 0ε?>，由lim n n a β→∞ =，存在m ，使得m a βε-<，由性质P 的（2）0x E ?∈，0[,]m m x a b ∈， 从而0x βε-<，由定义β是数集E 的上确界。 设sup E β'=，ββ'≠，不妨设ββ'<，令 0εββ'=-，则0x E ?∈，使 00x βεβ'-=<，这与β是数集E 的上确界矛盾，从而ββ'=，故上确界唯一。 三 、有限覆盖定理 设I 是一个区间（或开或闭）、并有开区间集S （S 的元素都是开区间、开区间的个数可有限也可无限）. 定义1-14：若x E ?∈，S ??∈，x ∈?，则称开区间集S 覆盖区间I . 例 1 111(,)1,2,2n n S n n n -+?? ==??+?? ，覆盖了1(0,1)I =，但1S 中找不出有限个开区 间将它覆盖。 例2 211199101(,),(,)100100100100S S ? ?=?-???? ，覆盖了2[0,1]I =，且可选出有限个开区间将它覆盖。 定理3(有限覆盖定理）若开区间集S 覆盖闭区间[,]a b ，则S 中存在有限个开区间也覆盖了闭区间[,]a b . 证明：假设S 中任意有限个开区间都不覆盖闭区间[,]a b ，简称[,]a b 没有有限覆盖。 设2 a b c += ，则[,]a c 与[,]c b 至少有一个没有有限覆盖，否则[,]a b 将是有限覆盖。设其中没有有限覆盖的为11[,]a b 。与此类似，我们可以得到具有没有有限覆盖的闭区间 22[,]a b …[,]n n a b …，且 （1）1122[,][,][,]n n a b a b a b ???? （2）11 1 lim()lim 02n n n n n b a b a -→∞ →∞--== 由区间套定理，存在唯一的数β属于所有的闭区间[,]n n a b ，且lim lim n n n n a b β→∞ →∞ ==。 显然[,]a b β∈，由于开区间集S 覆盖[,]a b ，从而S 中必至少存在一个开区间(,)p q ，使得(,)p q β∈，即p q β<<，有极限的保号性，当n 充分大时，有[,](,)n n a b p q ?，这与 [,]n n a b 没有有限覆盖矛盾，从而S 中存在有限个开区间也覆盖了闭区间[,]a b 有限覆盖定理亦称为紧致性定理或海涅-波莱尔定理.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间[,]a b 改为开区间(,)a b 则定理不一定成立. 四、聚点定理 定义：设E 是数轴上的无限点集. ξ是数轴上的一个定点（可以属于E ，也不可以属于E ）.若0ε?>，点ξ的ε邻域(,)U ξε都含有E 的无限多个点，则称ξ是E 的一个聚点。 例如 1(,)E a b =，则[b a ,]中的每一点都是1E 的聚点。 211,2,E n n ?? ==???? ，则0x =是2E 的聚点。 {}31,2,E n n == 无聚点。 定理1-9（聚点定理）数轴上有界无限点集E 至少有一个聚点. 证明：已知无限点集E 有界，设a 和b 分别是E 的下界和上界，从而[,]E a b ?，假设结论不成立，即闭区间[b a ,]的任一点都不是E 的聚点，[,]x a b ?∈，因为x 不是E 的聚点，所以0x ε?>，使(,)x U x ε中只含有E 的有限多个点（或者没有E 的点）。这样就构成了开区间集 {(,)|[,]}S U x a b ξε=∈ 显然，开区间集S 覆盖[b a ,]，根据有限覆盖定理，S 中存在有限个开区间，设有n 个开区间 1212(,),(,),,(,)n x x n x U x U x U x εεε 也覆盖[b a ,]，自然覆盖点集E 。但是每个开区间只含有E 的有限多个点，所以这n 个开区间也只含有E 的有限多个点，这与E 是无限点集 矛盾，于是，E 至少有一个聚点。 五、致密性定理 定理5(致密性定理) 有界数列{}n a 必有收敛的子数列{}k n a 。 证明 若数列{}n a 有无限多项相等，设12k n n n a a a ==== 显然，常数列{}k n a 是 收敛的子数列。 若数列{}n a 没有无限多项相等，则有有界无限点集{|1,2,}n E a n == .根据聚点定 理，E 至少有一个聚点ξ。 按照聚点定义 取1ε=，1(,1)n a U ξ?∈。 取12ε= ，21(,)2 n a U ξ?∈，且12n n <。（因为ξ是聚点所以1(,)2U ξ含有无限多个{}n a 中的点，所以去掉{}n a 中的前1n 个有限点后，1 (,)2 U ξ中仍然含有{}n a 的点，任取一个即 可） … … 取1k ε= ，1 (,)k n a U k ξ?∈，且1k k n n -< … … 如此进行下去，就构造了数列{}n a 的子数列{}k n a 。且k N + ?∈，有1 ||k n a k ξ-< ，当k →∞时，有 1 0k →。所以lim k n k a ξ→∞=，即子数列{}k n a 收敛。 六、柯西收敛准则 定理6(柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛0,,,,n m N N n m N a a εε+??>?∈?>-< 证明: 必要性 若数列{}n a 收敛，设 lim n n a a →∞ =，由极限定义， 0,,,2 k N N k N a a ε ε+?>?∈?>-< ，从而,n m N ?>，分别有2 n a a ε -< 与 2 m a a ε -< ，于是有n m n m n m a a a a a a a a a a ε-=-+-≤-+-< 充分性 取1ε=，1N N +?∈，1n N ?>和01m N >，有01n m a a -<，从而，1n N ?>，有 00000||||||||1||n n m m n m m m a a a a a a a a =-+≤-+<+ 取 1012max{||,||,,||,1||}N m M a a a a =+ ，则有||n a M <，即数列{}n a 有界。 根据致密性定理,数列{}n a 存在一个收敛的子数列{}k n a ，设lim k n k a a →∞ =. 接下来证明lim n n a a →∞ = 由已知有0,,,,2 2 n m N N n m N a a ε ε +? >?∈?>-< 又已知lim k n k a a →∞ =，对上述 02 ε >，k N +?∈，k n k ?>，有2 k n a a ε -< 取max{,}L N k =，从而，,k n L n L ?>>，同时有2 k n n a a ε -< 及2 k n a a ε -< ，从而有 ||k k k k n n n n n n n a a a a a a a a a a ε-=-+-≤-+-<，即lim n n a a →∞ =或数列{}n a 收敛. 1.8.2 闭区间上连续函数性质的证明 1. 性质的证明 定理1-12.(有界性) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 有界,即0,[,]M x a b ?>?∈有|()|f x M ≤ 证法 由已知条件得到函数()f x 在[,]a b 的每一点的某个邻域有界.要将函数()f x 在 每一点的领域有界扩充到在闭区间[,]a b 有界,可应用有限覆盖定理,从而能找到0M >. 证明 已知函数()f x 在[,]a b 连续，根据连续的定义及极限的局部有界性[,]a b α?∈， 0αδ?>，使得(,)[,]x U a b ααδ?∈?，|()|()1f x f α<+。显然，开区间集0{(,)|[,]}U a b αδα∈覆盖闭区间[,]a b ，根据有限覆盖定理，存在有限个开区间 {(,)|[,],1,2,,}k k k U a b k n ααδα∈= 也覆盖[,]a b ，且(,)[,]k k x U a b ααδ?∈?，有|()|()1k f x f α<+，1,2,,k n = ，取12max{|()|,|()|,,|()|}1k M f f f ααα=+ ，于 是[,]x a b ?∈，于是{1,2,,}i n ?∈ ，使得(,)[,]i i x U a b ααδ∈?，有 |()||()|1i f x f M α<+≤。 定理1-13(最值性) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 连续,则函数()f x 在[,]a b 取到最小值 m 与最大值M ,即在[,]a b 上存在1x 与2x ，使1()f x m =与2()f x M =，且[,]x a b ?∈有 |()|n f x M ≤≤。 证法 只给出取到最大值的证明.根据定理1-12,函数()f x 在[,]a b 有界.设 sup{()|[,]}f x x a b M ∈=.只须证明2[,]x a b ?∈,使2()f x M =,即函数()f x 在2x 取到 最大值. 用反证法.假设[,]x a b ?∈，有()f x M <.显然,函数()M f x -在[,]a b 连续,且 ()0M f x ->.于是,函数 1 () M f x -在[,]a b 也连续.根据定理1-12.存在0C >， [,]x a b ?∈有 1 () C M f x <-或1()f x M C <-，则M 不是数集{()|[,]}f x x a b ∈的上确 界,矛盾. 定理3(零点定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 连续,且()()0f a f b <，(即()f a 与 ()f b 异号),则在区间(,)a b 内至少存在一点c ,使()0f c =。 证明 不妨设()0f a <，()0f b >.用反证法和闭区间套定理.假设[,]x a b ?∈,有 ()0f x ≠。将闭区间[,]a b 二等分，分点为 2a b +，若()02a b f +>，取11,2 a b a a b +==， 若( )02a b f +<，取11,2 a b a b b +==。则11[,]a b 使得函数()f x 在端点异号，即1()0f a <，1()0f b >，如此进行得到区间22[,],,[,],n n a b a b ，使得()0n f a <，()0n f b >，且 （1）11[,][,][,]n n a b a b a b ???? （2）lim()lim 02n n n n n b a b a →∞ →∞--== 根据区间套定理，存在唯一数[,],1,2,n n c a b n ∈= ，且lim lim n n n n a b c →∞ →∞ ==，又由假设 ()0f c ≠，不妨设()0f c >，则由极限的保号性存在(,)c c δδ-+，使得(,)x c c δδ?∈-+，() ()02 f c f x > >，有一方面当n 充分大时，有[,](,)n n a b c c δδ?-+，而已知()0n f a <，与(,)x c c δδ?∈-+，()0f x >矛盾，所 以在区间(,)a b 内至少存在一点c ,使()0f c =。 二、 一致连续性 定 义 1-16 设 函 数 () f x 在区间I 上有定义，若 12120,0,,:||x x I x x εδδ?>?>?∈-<有12|()()|f x f x ε-<称函数()f x 在区间I 上 一致连续（或均匀连续）。 非一致连续是说012120,0,,:||x x I x x εδδ?>?>?∈-<有120|()()|f x f x ε-≥ 例1-67 证明函数1 ()f x x = 在[,1]a （01a <<）一致连续，在(0,1]非一致连续。 证明 120,,[,1]x x a ε?>?∈，要使不等式 121221212||11 1||||x x x x x x x x a ε--=≤-< 成立。从不等式 1221||x x a ε-<，解得212||x x a ε-<，取2a δε=即可。 取01110,0(,(0,1]:21n n n εδ= >?>?>?∈+ 21111(1(1)n n n n n n δ-=<<>++ 有0111 ( )()1112 f f n n n n ε-=+-=>=+，即函数1()f x x =在(0,1]非一致连续。 定理4(一致连续性) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，则函数()f x 在闭区间[,]a b 一 致连续 证明 假设函数()f x 在[,]a b 非一致连续，即 00,0,,[,]:||x x a b x x εδδ''''''?>?>?∈-<有120|()()|f x f x ε-≥ 取1 1111,,[,]:||1x x a b x x δ''''''=?∈-<有110|()()|f x f x ε'''-≥ 取2 22211 ,,[,]:||22x x a b x x δ''''''=?∈-<有220|()()|f x f x ε'''-≥ … 取11 ,,[,]:||n n n n x x a b x x n n δ''''''=?∈-<有0|()()|n n f x f x ε'''-≥ … 这样闭区间[,]a b 内构造出两个数列{}n x '与{}n x ''。 根据致密性定理，数列{}n x '存在收敛的子数列{}k n x '，设lim [,]k n k x a b ξ→∞ '=∈，因为1 ||k k n n k x x n '''-<，所以也有lim k n k x ξ→∞''=。 由于函数()f x 在ξ连续，有 lim |()()||()()|0k k n n k f x f x f f ξξ→∞ '''-=-= 即当k 充分大时，有0|()()|k k n n f x f x ε'''-<，但是有我们的构造k N +?∈，有0|()()|k k n n f x f x ε'''-≥矛盾。即函数()f x 在闭区间[,]a b 一致连续。 作业3，4，7，9 高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 华南理工大学网络教育平台-*高等数学B(下)-随堂练习参考答案2013-4-10 1.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 2.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 3.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 4.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.,则的定义域为（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 6.下列函数为同一函数的是（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 7. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 8. （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 9. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 10. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 11. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 12. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 13. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 14. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数 一．本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运 算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v u v u e = ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解 例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2 sin x y e = ⑵.2 1 arctan( )1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解： ⑴.2,,sin u y e u v v x ===⑵.21 arctan ,, 1.y u u v x v == =+ 例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答： cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是 (,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14 arc π = 四．练习题及参考答案 1. ()arctan f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.()arcsin f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；f = . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3 ln(1)y x =- 答案： 1.（-∞ +∞）, (, )2 2 π π - , ,04 π 一、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分） 1、设函数)(x f 的定义域是[0,1]，那么(1)f x +的定义域是( B )。 A. [0,1] B. [1,0]- C. [1,2] D. [0,2] 2、x x x 3sin lim ∞ →= ( D )。 A. 3 B. 1 C. 3 1 D. 0 3、下列为0→x 时的等价无穷小的是（ C ）。 A. x 2sin 与x B. 12 -x e 与x C. )1ln(x +与x D. x cos 1-与2 2x 4、过曲线x x y ln =上0M 点的切线平行于直线x y 2=，则切点0M 的坐标是（ D ）。 A.(1,0) B.(e, 0) C. (e, 1) D. (e, e) 5、设函数)(x f y =二阶可导，如果01)(")('00=+=x f x f ，那么点0x ( A )。 A. 是极大值点 B. 是极小值点 C. 不是极值点 D. 不是驻点 6、在区间),(+∞-∞内，下列曲线为凹的是（ D ）。 A.)1l n(2x y += B .32x x y -= C.x y cos = D.x e y -= 7、设)(x f 为连续函数，则]')2([?dx x f =（ B ）。 A. )2(2 1x f B. )2(x f C. )2(2x f D. )(2x f 8、若C e x dx x f x +=?22)(，则)(x f =（ D ）。 A. x xe 22 B. x e x 222 C. x xe 2 D. )1(22x xe x + 9、下列关系式正确的是（ C ） A. )()(x f dx x f d =? B. )()(x df dx x f d =? C. dx x f dx x f d )()(=? D. C x f dx x f d +=?)()( 10、?-)cos 1(x d =（ C ）。 A. x cos 1- B. C x x +-sin C. C x +-cos D. C x +sin 二、填空题（共10空，每空2分，共20分） 11x x x ) 1 321(lim ++ ∞ →= 32 e 12、 设1)('0=x f ，则h x f h x f h ) ()2(lim 000 -+→= 2 。 第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1．填空题 （1）已知函数22,y f x y x y x ? ?+=- ???，则(),f x y =()() 222 11x y y -+； （2）49 arcsin 222 2-+++=y x y x z 的定义域是(){} 22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+?<<≤+； （4）函数??? ??=≠=0, 0,sin ),(x y x x xy y x f 的连续范围是 全平面 ； （5）函数2222y x z y x +=-在2 2y x =处间断. 2．求下列极限 （1 ）00 x y →→； 解：0000 1 6x t t y →→→→===- （2）2 2 () lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞ +）. 解：3 y x =22()2() lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞ →+∞ →+∞ ??+=+-??）） 由于1lim e lim lim 0t t t t t t t t e e -→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====， 故22() 2()lim (e lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞ →+∞→+∞ →+∞ ??+=+-=??）） 3．讨论极限2630 0lim y x y x y x +→→是否存在. 解：沿着曲线()()3 ,,0,0y kx x y =→,有3 36626262000 lim lim 1x x y kx x y kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26 30 0lim y x y x y x +→→不存在 4．证明?? ???=+≠++=0,00,2),(22222 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续. 解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡ 从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线 ()(),,0,0y kx x y =→,有22 22222000 222lim lim 1x x y kx xy kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0 lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续. 大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020 高数高数重点 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有 可考虑用代换 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列函数为初等函数的是( B ) (B). y = (C).?????=≠--=101112x x x x y (D).???≥<+=001x x x x y 2.当x →0时，与sin x 等价的无穷小是( A ) (A) 2x x + (B) x x sin x 2 3.设)0(f '存在，则0(0)()lim x f f x x →--＝( D ) (A) )0(f '- (B) )0(2f '- (C) )0(2f ' (D) )0(f ' 4. 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D ） (A)函数值 (B)极限 (C) 积分 (D)导数 5.若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ C ） (A) x cos 1+ (B) sin x x + (C) sin x x - (D)x cos 1- 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设函数cos , 0() ,0 x x f x x a x 且210x ->, 所以函数()ln(21)f x x =-的定义域：132 x << 2. 设ln(2)y x =-，求其反函数 大一经典高数复习资料经典最新(经典全面复习) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 １．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） １.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；） ２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子 分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →-- 中国矿业大学部分专业单独招生考试说明（数学） Ⅰ、考试性质 中国矿大单独招生考试是由中等职业学校、技工学校以及职业高中的优秀应届毕业生（简称“三校生”）和煤炭企业优秀青年参加的选拔性考试。我校根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面考核，择优录取。 Ⅱ、考试内容及要求 关于考试内容的知识要求作如下说明： 对考试内容的知识要求分为三个层次：了解：对知识有感性的、初步的认识，能识别它；理解：对概念和规律达到理性的认识，能自述、解释和举例说明；掌握：能够应用知识的概念和方法解决一些相关问题。 一、集合与逻辑用语 1．理解集合及表示法； 2．理解集合之间的关系； 3．掌握集合的运算； 4．了解命题及命题联结词； 5．理解充要条件。 二、不等式 1．了解不等式的性质； 2．掌握一元二次不等式的解法； 3．掌握形如 )0(0><++b ax d cx 的分式不等式的解法； 4．掌握绝对值不等式)(c c b ax ><+的解法。 三、函数 1．了解映射的定义； 2．理解函数定义及记号； 3．了解函数的三种表示法； 4．理解函数的增量及其应用； 5．理解函数的奇偶性和单调性； 6．了解反函数的定义； 7．掌握简单函数的反函数的求法； 8．了解互为反函数的图象间的关系。 四、指数函数与对数函数 1．了解n 次根式； 2．理解分数指数幂； 3．理解有理数幂的运算性质； 4．理解指数函数的定义； 5．掌握指数函数的图象和性质； 6．理解对数的定义（含常用对数、自然对数的记号）； 7．了解两个恒等式：b a N N a b a a ==log ,log ； 8．了解积、商、幂的对数； 9．理解对数函数的定义； 10．掌握对数函数的图象和性质； 五、任意角的三角函数 1．理解角的概念的推广及弧度制； 2．理解正弦、余弦、正切的定义； 3．了解余切、正割、余割的定义； 4．掌握特殊角的正弦、余弦、正切的值，三角函数值的符号； 5．掌握同角三角函数的基本关系式： ;1cot tan ,a cos a sin a tan ,1a cos a sin 22=?= =+αα 6．掌握)sin(a -、)cos(a -、)tan(a -的简化公式； 7．掌握)2/sin(a -π、)2/cos(a -π、)2/tan(a -π的简化公式； 8．掌握)sin(πk a +、)cos(πk a +、)tan(πk a +的简化公式； 9．掌握两角和的正弦、余弦的加法定理； 10．了解两角和正切的加法定理； 11．了解二倍角公式； 12．掌握正弦函数的图象和性质； 13．了解余弦函数的图象和性质； 14．了解正切函数的图象和性质； 15．掌握正弦型函数的图象及其应用； 16．掌握已知三角函数值求指定区间内的角度。 六、数列 1．了解数列的概念； 2．理解等差数列的定义； 3．掌握等差数列的通项公式及等差中项； 4．掌握等差数列前n 项和的公式； 5．掌握等差数列的简单应用； 6．理解等比数列的定义； 7．掌握等比数列的通项公式及等比中项； 高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<- 《高等数学复习》详细教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x （连续性的概念） 中国矿业大学高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3|| -===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+==的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________)0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则 ____________, __________=??=??y z x z 14. 设 ,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________ 大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！ 大学高等数学期末复习资料及答案 课程名称：高等数学 出题教师：岳健民 适用班级：本科多学时（不含职教） 一、 单项选择题（15分，每小题3分） 1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（ ） （A ）x Cosx x - （B ）x Sinx （C ）121-x （D ）x x )11(+ 2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（ ） （A ）无驻点 （B ）无拐点 （C ）无极值点 （D ）0)(>'x f 4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()( （C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -?'=-ξ 5．广义积分)0(>?∞ +a dx a x p 当（ ）时收敛。 （A ）1>p (B)1 + =x x x y 在区间 单减； 在区间 单增； 4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ； 5、若dx x f dx x xf a ??=1 01 02 )()(，则=a ； 三、计算下列极限。（12分，每小题6分） 1、x x x x )1(lim +∞→ 2、 2 00 )1(lim x dt e x t x ?-→ 一．填空题（每小题4分，共24分） 1.设 432z x y x =+，则(1,2) d z =3412dx dy + 2.曲线cos :sin x a t y a t z ct =?? Γ=??=?在点 (,0,0)a 的切线方程为,y z x a a c == 3.已知2222 ()(,)0(,)0(,)0 x y xy x y f x y x y x y ?-≠? =+??=? ，则(0,)x f y =y -. 4.函数22z x y =+在点0(1,2)P 处沿从点0(1,2)P 到点1(2,2 3) P +方向的方向导数是123+ 5.设L 为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分 2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? 18π- 6.设L 为直线y x =上点(0,0)到点(1,1)之间的一段，则曲线积分2d L xy s = ?2 4 . 二. （本题7分） 计算二重积分2 22e d x y D xy σ??，其中D 是由1,, 0y x y x ===所 围成的闭区域. =2 1 200 2y x y dy xy e dx ?? ------4’ =1 (2)2e ----------------4’ 三. （本题7分）计算三重积分???Ω d v z ，其中Ω是由22222 2 x y z z x y ?++≤??≥+??所确定. =22 21 20 r r d rdr zdz πθ-??? -------4’ =712 π ----------------------3’ _____________ ________ 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 603《高等数学》初试自命题科目考试大纲 科目 代码 科目名称参考书目 考试大纲 603 高等数学 《高等数学》（上、 下册）（第六版）， 同济大学数学系 编，高等教育出版 社，2012 一、 考试目的与要求 （一）函数、极限、连续 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． （二）一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数． 4.会求分段函数的一阶、二阶导数． 5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数． 6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理． 7． 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 10．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． （三）一元函数积分学 1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念． 2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分． 《 2020-2021-1高等数学B （下）作业题 》 第 1 页 （共 2 页） 《高等数学（下）》平时作业 2020年下半年华南理工大学网络教育 一、判断题（期末考试只有5小题） 1. （1）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（错） （2）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个线性无关的特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（对） 2.（1）若两个向量 ,a b 平行，则a b ?0.=（错） （2）若两个向量 ,a b 垂直，则a b ?0.=（对） 3.（1）函数(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在，则它在00(,)x y 点全微分存在，反之亦然.（错） （2）函数(,)f x y 在00(,)x y 点全微分存在，则它在00(,)x y 点偏导数存在，反之不成立.（对） 4. （1）设(,) f x y D 在有界闭区域 上连续，，则二重积分 (,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（错） （2）设 2222(,) +(,){(,)|9}=∈=+≤，f x y x y x y D x y x y ，则二重积分(,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（对） 5. （1）lim 0→∞=n n u 是数项级数1 n n u ∞=∑收敛的充分条件.（错） （2）lim 0→∞=n n u 是数项级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件.（对） 二、填空题（期末考试为选择题） 1. 22x y xye x '+= 属于__ ____方程. 2. ,,(9,0,0),(0,2,0),(0,0,3)______________.x y z 已知平面与轴分别交于,则该平面方程为 3. 函数221(,)ln(25)f x y x y =--定义域为______. 4. 224z x y z Ω=+=若是由旋转抛物面与平面所围成的闭区域,则三重积分 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 深圳大学期末考试试卷 开/闭卷 闭 A/B 卷 A 课程编号 课程名称 高等数学B(1) 学分 4 命题人(签字) 审题人(签字) 2006 年 12 月10日 高等数学B （1）21试卷 一.选择与填空题(每题3分，共18分) 1.当0x →时，)sinx x (x +与2x 比较是（ ） A . 同阶但不等价无穷小 B . 等价无穷小 C . 高阶无穷小 D . 低阶无穷小 2.曲线3x x y 3-=上切线平行于x 轴的点有（ ） A .(0,0) B .(1,2) C .(-1,2) D .(1,-2) 3.若c e x dx )x (f -x 2+=? 则=)x (f （ ）。 A . e x x B . x 2e x C . x 2xe D . )x -2x (e 2-x 4.求极限3()1lim x x x x →∞+-=______________________。 5.设x e 是)x (f 的原函数，则?=dx )x (xf __________。 6.曲线2)1(12--=x x y 的铅垂渐近线是____________。 二.计算题：（每题 6分，共48分） 1.求极限4x 23x x lim 222x -+-→ 2.求极限)x 1sinx 1(lim 0x -→ 3 .e sin tan x y x x =+ 求dx dy 。 4. 设y x e x y +=,y 是x 的函数，求'y ； 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 5.设()e f x y = 求y '' ； 6. 322sin , x y x y =设 求d ； 7. 求2ln(1)x dx +?； 8. 求?-dx e x 3 x 2； 三.设f (x )=??? ????>=<0 1sin 0 (0 sin 1x x x x k x x x 常数） 问当k 为何值时，函数在x =0处连续？为什么？（7分） 四、ln(1) 01x x x x x <+<>+ 利用拉格朗日中值定理证明不等式对一切成立．（7分） 五. 判定曲线x x e y -=的单调性、极值、凹向及拐点 （10分） 六. 某厂每批生产某种商品x 单位的费用为 2005x )x (C += （元） 得到的收益是 201x .010x )x (R -= （元） 求:1.生产10个单位时的边际成本和边际收益. 2.每批应生产多少单位时才能使利润最大。 （10分） 附加题：（（每题10分共30分） 1．2lim 1(1)x x x e x →+∞+ （10分） 2. 求L L 中的最大值. 3. 若()f x 的一个原函数是ln(x ，求()xf x dx ''?大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
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