基本不等式的实际应用

基本不等式定理的实际应用 习题课1．用一段长为lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园。

问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大值是多少？【解】依题意设矩形的两边长分别为,(2)xm l x m -，（其中2lx <）则矩形的面积为2(2)x l x m -，由均值不等式定理可知：222(2)1(2)(2)[]2228x l x x l x l x l x -+--=≤=当且仅当22x l x =-即4l x =时，矩形面积取得最大值28l 。

2．已知直角三角形的周长为l （定值），求它的面积的最大值。

【解】设直角三角形的两直角边为,a b，则l a b =++，即22≤=，当且仅当a b =时等号成立。

212S ab ∴=≤ 此时该三角形为等腰直角三角形。

故当a b =时，2max S =3．一批救灾物资随26辆汽车从某市以/vkm h 的速度直达灾区，已知两地公路长为400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2()20v km ，那么这批物资全部运到灾区，至少需要多少时间？并指出此时汽车的速度。

【解】设两车之间的间距为2(())20v d d ≤其中，最后一辆车到达灾区所用时间为t ，则225()40025400400201016v d v t vv v ++=≥=+≥=当且仅当40080/16v v km h v==即时，min 10t h =4．南海中学为了解决教师住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为2am 的宿舍楼。

已知土地的征用费为2388元2/m ，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同，费用为455元2/m ，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元2/m 。

试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求其最少总费用（总费用为建筑费用和征地费用之和） 【解】设楼高为n 层，总费用为y ，则每层面积为2a m n ，征地面积为22.5a m n， 征地费用为2.559702388a a n n⨯=元， 建筑费用为30{445445(44530)[44530(2)]}(15400)a n n a n n+++++-⋅=++元 从而5970306000(15400)(15400)y a n a n a n n n=+++=++400)1000a a ≥= 等号当且仅当60001520n n n==即时成立，从而可知总费用的最小值为1000a 元。

5．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每12m 造价20元。

计算：（1）仓库底面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 【解】设铁栅长为xm ，一堵砖墙长为ym ，则有S xy =，依题意，可得：320040245202020x y xy xy S =+⨯+≥=160,10)0S ∴+≤≤160,100,100S S +>≤≤从而因此S 的最大允许值是1002m ，取得此最大值的条件是4090,100,x y xy ==而由此求得15x =，即铁栅的长应是15m6．某农场有毁坏的猪圈一座，留有旧墙一面长12m ，现准备在该地重建猪圈，平面图形为矩形，面积为1122m ，工程条件是：（1）修1m 旧墙的费用是造1m 新墙费用的25%；（2）拆去1m 旧墙用所得材料建1m 新墙的费用是造1m 新墙费用的50%，问施工人员如何利用旧墙最节省？【解】设旧墙保留xm ，则拆去旧墙为(12)x m -，还应另造新墙为112[2(12)]x x m x+⨯-- 设每米新墙造价为1个单位价格，则重新建猪圈的总造价为 11225%(12)50%[2(12)]1y x x x x x =⋅+-⋅++⨯--⋅＝722464x x+-66≥=，当722411.34x x m x==≈即时，最节省。

7．某种汽车，购买时费用为10万元；每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元；汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增。

问这种汽车使用多少年报废最合算（及使用多少年的年平均费用最少）？ 【解】设汽车使用年限为n 年，()f n 为使用该类汽车的年平均费用，则：110.2(1)()[100.9(0.20.40.2)][100.9]2n n f n n n n n n +=+++++=++ 10121310n n ≥++≥+=，当且仅当1010nn =即n ＝10时等号成立 即使用10年，其年平均费用最少，为3万元。

8．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米ABab2的无盖长方体沉淀箱.污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流 出.设箱体长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中杂质的 质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米，问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)(98(22)12分)【解法一】设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝kab ，其中k ＞0为比例系数.依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小.根据题意有 4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0) 4' 即 b ＝30－a2＋a (0＜a ＜30) ①于是 y ＝k ab ＝……＝k34－(a ＋2＋64a ＋2)≥k34－2(a ＋2)64a ＋2 8' 当 a ＋2＝642＋a时取等号，y 达到最小值. 这时a ＝6，a ＝－10(舍去) 将a ＝6代入①式得 b ＝3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 12' 【解法二】依题意，即所求的a ，b 值使ab 最大.由题设知 4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0) 4' 即 a ＋2b ＋ab ＝30(a ＞0，b ＞0)∵ a ＋2b ≥22ab ∴ 22ab ＋ab ≤30当且仅当a ＝2b 时上式取等号. 7' 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18即当a ＝2b 时，ab 取最大值，其最大值为18. 10' ∴2b 2＝18，解得b ＝3，a ＝6故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 12' 9．（本题满分12分）据市场分析,粤西某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y （万元）可 以看成月产量x （吨）的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.（Ⅰ）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数关系;（Ⅱ）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润; （Ⅲ）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元? 解：（Ⅰ）()5.17152+-=x a y （0,≠∈a R a ）将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得101=a ()5.17151012+-=∴x y （ 2510≤≤x ） （Ⅱ）设最大利润为()x Q 则()⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=4031016.16.12x x x y x x Q()9.12231012+--=x ()2510≤≤x 因为[]25,1023∈=x ，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.（Ⅲ）13401023401014031012=-⋅≥-+=+-=xx x x x x x x y 当且仅当xx 4010=，即[]25,1020∈=x 时上式“=”成立. 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.10．(本小题满分12分)某厂为适应市场需求,投入98万元引进世界先进设备,并马上投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元.而每年因引入该设备可获得年利润为50万元.请你根据以上数据,解决以下问题: (1)引进该设备多少年后,开始盈利? (2)引进该设备若干年后.有两面种处理方案:第一种:年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出.第二种:盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出. 问哪种方案较为合算? 【解】(1)设引进该设备x 年后开始盈利.盈利额为y 万元.则()984024211298502-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--=x x x x x x y , 令y>0,得173,,51105110≤≤∴∈+<<-+x N x x即引进该设备三年后开始盈利 6分(2)第一种:年平均盈利为xy ,1240982240982=+⋅-≤+--=x x x x x y, 当且仅当xx 982=,即7=x 时,年平均利润最大,共盈利11026712=+⨯万元. 第二种:盈利总额()1021022+--=x y ，当10=x 时,取得最大值102,即经过10年盈利总额最大,共计盈利1108102=+万元两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合算. 12分11．一辆出租车的营运总利润．．．y (单位：万元)与营运年数x )(*∈N x 的变化关系如下表所示，则客车的运输年数为（ ）时，该客车的年平均．．．利润最大(A) 3 (B) √ (C) (D)12．（本小题满分12分）某工厂统计资料显示，一种产品次品率p 与日产量x （件）)1000,(≤<∈x N x 之间的已知生产一件正品盈利a 元，生产一件次品损失3元. （I ）试将该厂的日盈利额y （元）表示为日生产量x （件）的函数； （II ）为获取最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 【解】由已知可得，次品率.1081xp -=（I ）a x x x a x p a x p y ])108(34[3)1(--=⋅⋅-⋅⋅-=…………………………………4分定义域为N x x ∈≤<,1000…………………………………………………………6分（II ）设.,1088,108N t t x t ∈<≤-=则,3185)144(31109]3)108(4108[a a t t a a t t t y ≤+-=---=当且仅当9612108,12,144==-==x x t tt 即此时时即时上式取等号，所以，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为96件. 13．（本小题满分12分）已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB 成等比数列，求（1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BA BC 的取值范围。