实用一维下料问题模型与求解算法
一维优化下料问题
第24卷 第1期 桂林工学院学报 V ol.24N o.1 2004年1月 JOURNA L OF G UI LI N I NSTIT UTE OF TECH NO LOGY Jan12004文章编号:1006-544X(2004)01-0103-04一维优化下料问题张春玲,崔耀东(广西师范大学数学与计算机科学学院,广西桂林 541004)摘 要:下料问题在生产中普遍存在,优化下料可以提高原材料利用率,是企业增加经济效益的途径之一.对一维下料问题进行了探讨,给出一维下料问题的一些概念和数学模型,讨论解决一维下料问题的常用算法以及算法的适用情况,分析与之相关的一些问题和具体的实际应用.关键词:下料;最优化;整数规划中图分类号:T B11411;O224 文献标识码:A 随着全球资源的日益匮乏,人们对资源利用问题的研究愈来愈重视,下料问题就是其中之一[1-3].最大限度的节约原材料,提高原材料利用率是生产中提高效益的一个重要手段,在机械行业、造纸、服装、木材等行业,下料问题都有广泛的实际应用.下料问题就是研究怎样在客观条件和可以接受的时间下优化排样得到最优解或近似理论最优解.下料问题根据维数一般可分为一维下料和二维下料,本文主要对一维下料问题进行讨论.1 一维下料问题的概念和数学模型 一维下料问题(one2dimensional cutting stock problem,简称1CSP)是在已知原材料和顾客需求坯料的情况下优化下料使原材料的使用率达到最大或废料达到最小.根据原材料长度是否相等,一维优化下料可以分为单一型材的优化下料和多型材的优化下料.单一型材的优化下料很多文献中都已有讨论,而多型材的优化下料在型材类型比较多的时候,可以将型材按长度相近进行分组,先选组,再从组中选择型材下料,由此引发出分组问题.分组有利于节约原材料,但是如果分组太细,会导致增加库存管理的负担. Dyckoff[3]提出下料问题可以根据4种特征来分类:维度、分配类型、大物件的分类和小项的分类.Dyckoff描述一维下料问题为1/V/D/M:1指的是一维问题,V指的是所有的小项必须从一大物件中产生,D的意思是所有大物件是不同的,M 是指小项之间不同. 如果原材料是同一长度或只有少数的组(组中长度相近),可得到标准一维下料问题(S1D-CSP),对于S1D-CSP给出切割方案的概念,切割方案是用1根原材料切割各种不同规格的坯料时,保持坯料规格的种类不变,只改变切割数量.将有效的切割方案集中起来就是最后的下料方式. S1D-CSP问题可以描述如下: l i—坯料长度,i=1,…,n; d i—每种坯料的需求数量,i=1,…,n; L k—原材料长度,k=1,…,P.切割方案c可以用如下一个向量a ck来表示:a1ck,a2ck,…,a nck;(1) 满足∑ni=1l i a ick≤L k,且a1ck≥0,是整数.(2) a ick表示l i在特定的切割方案中出现的次数,x ck表收稿日期:2003-05-12基金项目:广西自然科学基金资助项目(桂科基0236017).作者简介:张春玲(1978-),女,硕士研究生,研究方向:C AD/C AM.示切割方案c 在原材料k 上使用的次数,t k 表示在原材料k 上满足(2)式的切割方案的总数,那么将会有如下的整数规划模型:min∑pk =1∑t kc =1x ck L k ,(3)s 1t 1∑pk =1∑t kc =1a 1ck x ck L k ≥d i ,i =1,…,n ;(4)x ck ≥0且为整数,c =1,…t k ;k =1,…,p.(5) 从S1D -CSP 所对应的数学模型中可知S1D -CSP 所优化的目标是最小化被切割的原材料数量.当原材料的长度全都不同时所建立的数学模型与上述模型是有所不同的.如G radisar 等人[4]提出的G 1D 2CSP (generation one 2dimensional cutting stock prob 2lem ),其数学模型中优化的目标是最小化废料,而且这一模型中原材料的长度全都不同. Dyckoff [3]将优化下料过程分为2类:以需求项为导向(item 2oriented )和以方案为导向(pattern 2oriented )的方法.以需求项为导向的方法是对顾客的每一需求项进行单独的处理,直到一需求项处理完才处理下一需求项;以方案为导向的方法是把几种坯料组合进行下料,一次切割可得到不同规格的坯料.以方案为导向的方法只能对原材料长度是单一的或者原材料分为少数的组时有效,对于原材料的长度都不相同的情况只能用以需求项为导向的方法(表1).表1 原材料与坯料[5]T able 1 S tock and item顾客需求坯料原 材 料需求编号需求长度/cm 需求量/根原材料编号原材料长度/cm 130412113535231938211301339714394084415344934153627 以需求项为导向的方法是先选择第1种需求坯料进行处理,第1种坯料在原材料2上切割6根,在原材料1上切割6根,这样就得到12根304cm 长的坯料,再选择第2种坯料处理,在原材料4上切割21根,在原材料3切割4根,在原材料2上切割6根,在原材料1上切割7根,共得到38根长度为319cm 的坯料,其它情况类似.若是以方案为导向的方法,首先将坯料进行组合,如(5,7,10,14,0)方案表示在第1种长度为13535cm 的原材料上切割5根长度为304cm 的坯料,7根长度为319cm 的坯料,10根长度为397cm 的坯料,14根长度为415cm 的坯料,不切割长度为366cm 的坯料(为0表示不切割). 以需求为导向方法得到的切割量会出现比需求量少的情况,其方法一般是基于启发式算法;以方案为导向方法得到的切割量则会出现比需求量多的情况,其方法一般是基于线性规划的.两种方法有各自的优缺点,可进行适当的组合得到良好的下料效果. 一维下料的数学模型早在1939年就已由K an 2torovich 提出.下料问题的求解很大程度上依赖于模型的建立,可根据具体情况进行模型的补充和修改.一维下料问题所建立的数学模型是一个整数规划问题,求解整数规划问题一般使用分支定界法或割平面法.分支定界法是一种隐枚举法,效果的好坏取决于分支的模式和界的确定,但下料问题的求解有其自身的特点,下面讨论一维下料问题的常用算法.2 一维下料问题的常用算法 一维下料问题是组合优化中的一个经典问题,从计算的复杂性理论上看,优化下料问题属于NP难问题,即至今还不存在多项式界算法.NP 难问题的求解通常使用接近最优解的近似算法实现.求解一维下料问题的算法[1]有基于线性规划的方法、分支定界法、动态规划法、启发式算法、模拟退火算法、演化算法等.211 基于线性规划的方法 以方案为导向的方法大多是基于线性规划的方法(LP M ).此类方法可以减少废料,但是会产生多于需求量的切割量,只适用于单一型材或者是只有少量组的下料.基于线性规划的方法是将建立的整数规划问题进行松弛,按照线性规划进行求解,对得到的解取整.基于线性规划的方法可以追溯到G ilm ore 和G om ory 的列生成(columngeneration )方法[6-7\〗.当原材料和需求的坯料的种类相当多或者是坯料的长度特别短而原材料的长度特别长时,将导致切割方案太多,一次性将所有的切割方案全部枚举出来是不可能的,文献[6]中通过初始化部分切割方案,进而利用迭代401桂 林 工 学 院 学 报 2004年的方式在每一步背包子规划中用特定的方法和动态规划求解得到进入基的列,最后对主规划的解取整.Haessler[8]对G ilm ore2G om ory的算法进行了改进,修改了初始解,利用更强的约束条件控制切割方案的产生以减少切割方案的变更.Valerio[9]将列生成算法与分支定界法相结合,利用弧流模型, 1种切割方案对应于1条路径,在弧流的变量上进行分支.分支价值算法(branch2and2price)又称整数规划列生成算法,它是在分支定界树的每个结点上使用column generation算法.Vanderbeck[10]介绍了一种基于列生成的算法,对分支定界法进行扩展,讨论分支模式,提出了一种伪多项式启发式,并在整数规划列生成算法中应用.212 基于启发式算法的方法 当原材料的长度都不相同的时候只能用以需求项为导向的方法求解,这有2种可能:用确切的方法(分支定界或动态规划)或者是用形式为SHP(Sequence Heuristic Procedure)的近似算法.启发式算法所使用的启发式一般只适用于特定的问题,无通用性,有效的启发式对问题的求解是很有用的,但是有时寻找一个有效的启发式比解决问题本身还要困难.启发式算法得到的结果一般不会太差,通常也可将启发式进行组合.G radis2 ar[5]将一种字典排序的方法应用于多型材下料问题,以需求项为导向,用启发式(SHP)最小化约束条件的影响,并设置参数Y来调整废料与下料方案的复杂度之间的权.将基于线性规划的方法和基于启发式的方法相结合[11],用2个阶段求解:首先将问题转换成可用LP M求解的模式,然后将切割方案中包含比需求量多的解删除,最后的结果是两部分的解之和:S=S LP M+S SHP,这样既能减少废料又能得到确切的需求量.213 其它算法 遗传算法和模拟退火算法用于优化下料问题中效果良好:遗传算法是基于自然选择和基因遗传的搜索算法,具有很好的鲁棒性,在解决复杂问题的优化方面非常适用.前面已提到,当切割方案特别多时一次性枚举是不可能的,利用遗传算法,先随机的生成一些切割方案,形成初始种群,然后经过选择、杂交、变异的遗传操作,计算个体适应度,将适应度高的个体保留到下一代,而适应度低的个体被淘汰,经过个体的优选最终得到近似的最优解;模拟退火算法是基于金属退火的机理建立起来的一种全局最优化方法,它能够以随机搜索技术从概率的意义上找出目标函数的全局最小点.Waugner[12]利用遗传算法解决一维下料问题并考虑了废料、库存使用和最后存货等问题.Liang[13]用只使用变异算子的演化规划同时对2个目标进行优化,采用了3PS和SRI两个变异算子.刘道海等[14]从蚁群算法中信息素的概念得到启示,将信息素的观点引入道变异算子中,用与适应值联系在一起的信息素的变化来引导每个基因位的变异,并把这一算法运用到优化下料中.李元香、张进波、徐静雯等[15]提出一种基于变长编码求解一维下料问题的演化算法,收到了比较好的结果,材料平均利用率可达到97%.3 相关问题 研究中发现[16-18]对于1CSP的很多实例,下料问题所建立的整数规划问题的最优解与利用松弛后线性规划问题求得的最优解具有一定的性质.这些性质有利于确定下料实例所属类别,简化计算量,对高维下料问题的研究也有帮助.引用文献[18]中的四元组E=(m,l,b,L)来描述一维下料问题的实例,其中l=(l1,l2,…,l m),b =(b1,b2,…,b m)T,m是坯料种类,L是原材料长度,l和b分别是每种坯料的长度和对应的需求量,非负整数向量a j=(a1j,a2j,…,a mj)T,a≠0且满足∑mi=1l i a ij≤L,(j=1,2,…,n),n是切割方案的总数,x j是切割方案a j的使用次数,则所建立的数学模型如下: min z=∑nj=1x j, s.t.∑nj=1a ij x j≥b i,i=1,…,m, x j≥0,x j是整数,j=1,…,n.(6) 与式(6)相应的松驰模型为 min z=∑nj=1x j, s.t.∑nj=1a ij x j≥b i,i=1,…,m, x j≥0,j=1,…,n.(7) 设Z3=Z3(E),Z c=Z c(E)分别表示(6)和(7)的最佳解,Δ(E)∶=Z3(E)-Z c(E). Δ(E)<1,实例E具有整数上界取整性质(IRUP,integer round2up property) Δ(E)≥1,实例E具有非整数上界取整性质(non2IRUP)501第24卷 第1期 张春玲等:一维优化下料问题 Δ(E)<2,实例E具有可修改的上界取整性质(MIRUP,modified integer round2up property) 文献[16]中对具有MIRUP的实例的定义为Z3(E)≤[Z c(E)]+1,猜想标准一维下料问题都具有MIRUP.non2IRUP的实例相对出现的较少一些,文献[19]中给出了有效构造non2IRUP实例的方法,对于MIRUP的猜想还未证明.4 结 论 讨论了一维下料问题的概念、模型、算法,而与下料问题类似的问题如装货、背包等问题,其模型和算法与下料问题的模型与算法都有相似之处,两者可以互相借鉴.高维下料问题,特别是二维不规则图形的下料问题是目前研究的热点,也是难度较大的一个问题.研究一维下料为研究高维下料问题提供了一定的理论基础.另外,由于下料问题与生产实践密切相关,这方面的研究结果有助于提高工厂经济效益.参考文献[1]H inxman A I.The trim-loss and ass ortment problems:A survey[J].European Journal of Operational Research,1980,(5):8 -18.[2]Cheng C H,Feiring B R,Cheng T C E.The cutting stock prob2lem2A survey[J].International Journal of Production econom ics, 1994,(36):291-305.[3]Dyck off H.A ty pology of cutting and packing problems[J].EuropeanJournal of O perational Research,1990,(44):145-159.[4]G radisar M,Resinovic G,K ljajic M.Evaluation of alg orithms forone2dimensional cutting[J].C om puters&Operations Research, 2002,(29):1207-1220.[5]G radisar M,K ljajic M,Resinovic G,et al.A sequential heuristicprocedure for one2dimensional cutting[J].European Journal of Op2 erational Research,1999,(114):557-568.[6]G ilm ore P C,G om ory R E.A linear programm ing approach to thecutting2stock problem[J].Operations Research,1961,(9): 849-859.[7]G ilm ore P C,G om ory R E.A linear programm ing approach to thecutting2stock problem:partⅡ[J].Operations Research,1963,(11):863-888.[8]Haessler R W.A note on com putational m odification to theG ilm ore2G om ory cutting stock alg orithm[J].Operations Re2search,1980,28(4):1001-1005.[9]Valerio DE Carvalho J M.Exact s olution of cutting stock problemsusing column generation and branch and bound[J].Int.T rans.Opl Res,1998,5(1):35-44.[10]Vanderbeck F.C om putational study of a column generation alg o2rithm for bin packing and cutting stock problems[J].M ath.Program,1999,(86):565-594.[11]G radisar M,Resinovic G,K ljajic M.A hybrid approach for op2tim ization of one2dimensional cutting[J].European Journal of Operational Research,1999,(119):719-728.[12]W augner Bret J.A genetic alg orithm s olution for one2dimensionalbundled stock cutting[J].European Journal of Operational Re2 search,1999,(117):368-381.[13]Liang K o2Hsin,Y ao X in,Newton C,et al.A new ev olutionaryapproach to cutting stock problems with and without contiguity [J].C om puter&Operations Research,2002,(29):1641-1659.[14]刘道海,方 毅,黄樟灿.一种求解组合优化问题的演化算法[J].武汉大学学报(理学版),2002,48(3):315-318. [15]李元香,张进波,徐静雯,等.基于变长编码求解一维下料问题的演化算法[J].武汉大学学报(理学版), 2001,47(3):289-293.[16]S cheithauer G,T ern o J.T he m odified integer round2up property of theone2dim ensional cutting stock problem[J].E uropean Journal of O per2 ational R esearch,1995,(84):562-571.[17]Nitsche Ch,Scheithauer G,T erno J.New case of the cuttingstock problem having MIRUP[J].M athematical M ethods of Op2 erations Research,1998,(48):105-115.[18]Nitsche Ch,Scheithauer G,T erno J.T ighter relaxations for thecutting stock problem[J].European Journal of Operational Re2 search,1999,(112):654-663.[19]Rietz J,Scheithauer G,T erno J.Fam ilies of non2IRUP instances ofthe one2dimensional cutting stock problem[J].Discrete Applied M athematics,2002,(121):229-245.Optimization of one2dimensional cutting stock problemZHANG Chun2ling,C UI Y ao2dong(Institute o f Mathematics and Computer Science,Guangxi Normal Univer sity,Guilin541004,China)Abstract:Cutting stock problem exits widely in production.Optimizing cutting stock is a method to im prove the using rate of materials and to increase the benefit of industry.It is significant for cutting stock problem research.The survey of one2dimensional cutting stock problem presents the general mathematic m odel of cutting stock problem with the dis2 cussion of the comm on method of one dimensional cutting stock problem and the alg orithm situation used.Related problems and application are als o discussed.K ey w ords:cutting stock;optimization;integer programming601桂 林 工 学 院 学 报 2004年。
1B-实用下料优化问题模型建立及解法
第35卷第7期2005年7月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l135 N o17 July,2005 实用下料优化问题模型建立及解法李丹俊, 曾 锐, 孙 伟指导教师:唐建宁(解放军理工大学工程兵工程学院,南京 210007)摘要: “下料问题(cutting stock p roblem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题,此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用.本文首先以材料最省为原则建立模型,采用分层基因算法模型求解出模型的解,若此结果不符合时间限制条件,则通过以客户时间需求为第一目标的分组抽样模型处理后,再借助分层基因算法给出该模型的最优解.关键词: 下料;基因算法;二维下料问题;分组抽样1 问题的提出(省略)2 问题的分析这是一个典型的多目标决策优化问题.首先,一个好的下料方案应该使原材料的利用率最大,从而减少损失,降低成本,提高经济效益.其次,要求所采用的不同下料方式尽可能少,即希望用最少的下料方式来完成任务.因为在生产中转换下料方式需要费用和时间,既提高成本,又降低效率.此外,由题意知每种零件有各自的交货时间,每天下料的数量又受到企业生产能力的限制.因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下,以最少数量的原材料,尽可能按时完成需求任务,同时下料方式数也尽量地少.为顺利解决该下料问题,根据该问题的特点,我们先从最基本的单目标决策问题入手,以材料损耗最少为目标,通过不同的数学原理建立多个单目标决策的最优化模型,得出最初的结果,并加以比较分析.然后逐步增加其约束条件——最小的下料方式数,并根据该约束条件进一步完善我们的最优化模型,得到损耗最少,下料方式数又小的结果.接下来检验在所得下料方式的排列中,是否存在可以满足时间条件限制的排列方式.若存在,则该结果即为最优解;若不存在,则这个结果就不符合题意,必须重新构建多目标决策的最优化模型,在新模型中以客户时间需求为第一目标,材料损耗最少,下料方式最少为第二目标.因此,在下料时就应该优先生产那些有时间限制要求的零件,并且求出在需求的时间段内下料方式和损耗的最优结果,紧接着再求出剩余板材下料方式和损耗的最优结果,从而最终得出既满足时间条件限制又满足损耗少、下料方式数小的最优结果.具体流程图如下:3 符号的约定11L——原材料的长度21W——原材料的宽度31I——板料用量图1 总体流程图41J ——加工零件的种类51K ——下料方式种类61l j ——第j 种零件的长度(j =1,…,J )71w j ——第j 种零件的宽度(j =1,…,J )81d j ——第j 种零件的加工个数(j =1,…,J )91M ——以向量形式表示问题中所要求各种零件的个数,即M (j )=d j101b ——锯缝宽度111∆i ——第i 块板料利用率121x ij ——第i 根的板材上截取长度规格为l j 的根数(i =1,…,I ;j =1,…,J )131a jk ——第k 种下料方式下第j 种零件的个数(j =1,…,J ;k =1,…,K )131b k ——第k 种下料方式产生的余料141x k ——使用第k 种下料方案需要切割原材料的数目4 模型的假设11切割时的锯缝可以是直的也可以是弯的,切割所引起的锯缝损耗忽略不计.21零件非定向:这里的‘定向’是指在有纹路的面板上下料时是否允许将零件既能横着排又可转个方向竖着排,对于定向取材的零件,零件的长度与宽度尺寸不能随便互换,等到下料图出来后还应该仔细检查一下这零件的纹路方向是否正确.而对于本题,我们假设不存在这个问题,即零件非定向.31除了要求在四天和六天内完成所需零件外,不要求其余零件加工排列顺序.41切割时零件的长和宽要与原材料的长或宽平行.51增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0108◊.5 模型的建立与求解实用下料问题模型的建立,从计算的复杂性上来讲,这是一个N P (N ondeter m in istic Po lynom ial )难题,很难精确求解.通常所用的近似算法有3种:①FF (F irst F it )近似算法,即:将m 种零件顺次加工,对于任一个零件,它总是按顺序从第一块能加工它的板材中切割下来.②B F (B est F it )近似算法,即:把零件顺次加工,要求板材加工完零件后,所剩下的材料最小.③FFD (F irst F it D ecreasing )或BFD (B est F irst D ecreasing )近似算法,即:在加44数 学 的 实 践 与 认 识35卷工零件之前先把零件按大小降次排列,然后再利用FF (或B F )近似算法.我们经过先期的尝试性试验,发现这些近似算法的求解结果与给定的数据有很大的关系,效果不理想.于是我们采用先进的优化算法:E P F F 算法和遗传基因算法来计算我们的模型,虽然过程较为复杂,而且处理的数据相当庞大,但是结果却十分理想.(一)一维实用下料问题的模型按照前面的分析,我们先考虑用料最省的单目标决策优化模型,然后讨论时间限制问题.这里我们采用了分别采用了两种算法即E P F F 算法和遗传算法来对模型进行求解.模型 用料最省模型:11基本模型假设有K 种下料方式,再根据每种零件的需求量,可求得每种零件应用的次数.这样在第1种方式下第1种零件的个数为a 11个,以此类推,则a jk 表示用第k 种下料方式所能得到的第j 种零件的个数.由以上模型得到如下对应关系矩阵 A =a 11a 12…a 1K a 21a 22…a 2Ka J 1a J 2…a J K(121)则使用k 种不同下料方式所使用原材料的根数为 X =(x 1,x 2…,x K )T(122)而每种下料方式产生的废料长度为 b k =L -(a 1k l 1+a 2k l 2+…+a J k l J ), k =1,2,3,…,K根据对所用板材剩下的余料最省这一目标,则可得优化下料方式的模型为目标函数 m in ∑K k =1b k x k(123)约束条件 ∑K k =1a jk x k =d j (j =1,2,…,J )x k ≥0(k =1,2,…,K )(124)但往往在进行加工切割下料时会产生部分切缝b ,这样我们的废料长度就变为 b ′k =L +b -(a 1k (l 1+b )+a 2k (l 2+b )+…+a jk (l j +b ))相应的目标函数为 m in ∑Kk =1b ′k x k(125)21求解方法211 EPFF 算法通过建立下料问题模型我们可以将此问题转化为装箱问题,而装箱问题是个典型的N P (N ondeterm in istic Po lynom ial )难题,如果使用传统的算法编写程序,在零件数量较大的情况下,将会使传统的搜索算法有相当大的数据空间,为此我们采用EPFF 算法[8]来对零件进行分类组合.通过分类组合,零件可以划分成八类,从而就使程序搜索的数据空间明显减小,这样我们就能先找出这些零件的所有的1级产品向量,即所有的零件组合后使所用原材料的547期李丹俊,等:实用下料优化问题模型建立及解法余料最小.在使用EPFF 进行搜索时我们结合以上的目标函数和约束条件来找出最优解.调整的目标是使下料矩阵满足目标函数而且是最优解,也就是说使得新的下料矩阵逐渐向最优产品下料矩阵逼近.为此在调整中我们考虑以下因素:a 1当∑Kk =1ajk x k ≥M (j )时,换入向量的第j 分量应当小于换出向量的第j 分量,并尽可能使换入向量在相应下料矩阵中的位置靠前;b 1当∑K k =1ajk x k ≤M (j )时,换入向量的第j 分量应当大于换出向量的第j 分量,并尽可能使换入向量在相应下料矩阵中的位置靠前.根据该算法编写M atlab 程序,得到多种结果的序列.考虑到增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0108%的约束条件,我们最终筛选出此模型在EPFF 算法下的最优解:板材的用量为801块,板材利用率为99155%,下料方式为57种,详细的零件加工清单、下料方式,板材用量的分布见附录 的表格.212 遗传算法本问题由于约束条件和目标函数的特点,如用线性规划的方法求解,目标函数一般都会取得相同的最小值,从而分枝界定的方法失效.所以我们决定采用基因遗传算法.遗传算法是一种基于自然选择和群体遗传机理的搜索算法,它有5个基本组件:染色体编码、适应度函数、初始化群体、在两个连续染色体群体之间进行进化的一组操作符以及工作参数.Hoffm eister 和Back 把遗传算法作为一个9组实体提出:GA =(p 0,I ′,Κ,L ′,f ,s ,c ,m ′,T ″)p 0——初始化群体I ′=(0,1)L ——染色体编码Κ′——群体规模L ′——染色体长度f ∶I ′R ——适合函数s ∶I ′ΚI ′——父本选择c ∶I ′2I ′2——交叉操作m ∶I ′I ′——变异操作T ′∶I ′Κ{0,1}——终止条件该算法具有以下特点:(1)遗传算法以决策变量的编码作为运算对象;(2)遗传算法直接以目标函数作为搜索信息.把搜索范围集中到适应度较高的部分搜索空间中,从而提高了搜索效率;(3)遗传算法同时使用多个搜索点的搜索信息;(4)遗传算法是用概率搜索技术.实践和理论都已证明了在一定条件下遗传算法总是以概率1收敛于问题的最优解.另一方面,与其他一些算法相比,遗传算法的鲁棒性又会使得参数对其搜索效果的影响会尽可能的低.21211 编码解码采用等长的十进制编码:将每一种零件进行编号:i =1,2,…n t ,n t =∑53j =1n j,把零件编号64数 学 的 实 践 与 认 识35卷作为染色体编码[p 1,p 2,…,p i ,…,p nt ].每一种编码表示一种下料方案.如[1,4,5…]表示下料顺序为:1号,4号,5号,….得到码长为3970的十进制染色体编码.针对编码产生的个体,可按零件的序号i =1,2,…n t 依次取零件长度累加,即求得所需原材料数I .21212 适应度函数用适应度函数来评价遗传算法时,适应度越大,解的质量越好.最优解的目标是使下料根数最少.但我们注意到,在两种下料方式下料根数相等的情况下,能使最后一根板材产生浪费最少的方式更优.所以适应度函数定义如下: f (p )=∑ni =1l i n i(L (I m -1)+L ′)(229)式中:I m 为该考虑下料方式后个体p 所需原材料的总数I m =I 实(1+0.08k ),k 为下料方式总数L ′为最后一根材料用去的长度.21213 初始种群对零件进行编码,随机产生由子辈群体,且长度为p nt 的编码构成的初始种群.并计算每一个个体的适应度.21214 遗传算子(1)选择算子采用比例选择方式:第一步:先计算出群体中所有个体的适应度的总和;第二步:其次计算出每个个体的相对适应度的大小,它即为各个个体被遗传到下一代群体中的概率.第三步:最后再使用模拟赌盘操作(即0到1之间的随机数)来确定各个个体被选中的次数.(2)交叉算子采用单点交叉算子:第一步:对群体中的个体进行两两随机配对.第二步:对每一对相互配对的个体,随机设置某一基因座之后的位置为交叉点.第三步:对每一对相互配对的个体,依设定的交叉概率p c 在其交叉点处相互交换两个个体的部分染色体,从而产生出两个新的个体.(3)变异算子采用基本位变异:第一步:对个体的每一个基因座,依变异概率p m 指定其为变异点.第二步:对每一个指定的变异点,对其基因值做取反运算或用其他等位基因值来代替,从而产生出一个新的个体.21215 运行参数(1)群体大小M :为避免遗传算法的早熟现象,取M =50.(2)交叉概率p c :用自适应的方式,初始值取019随着遗传算法在线性能调整交叉概率.取值范围为:014<p c <0199747期李丹俊,等:实用下料优化问题模型建立及解法(3)变异概率p m :取变异概率为p m =011.随着遗传算法在线性能的下降,可以减小变异概率p m 的值.取值范围为:010001<p m <011.(4)终止代数T :取T 为100.21216 最优保存策略在遗传算法的运行过程中,通过对个体进行交叉、变异等遗传操作而不断地产生出新的个体.虽然随着群体的进化过程会产生出越来越多的优良个体,但由于选择、交叉、变异等遗传操作的随机性,他们也有可能破坏掉当前群体的平均适应度,并且对遗传算法的运行效率、收敛性都有不利的影响.所以我们希望适应度最好的个体要尽可能地保留到下一代群体中.为达到这个目的,我们采用最优保存策略化模型(Elitist M odel )来进行优胜劣汰操作,即当前群体中适应度最高的个体不参与交叉和变异运算,而是用它来替换掉末代群体中经过交叉、变异等遗传操作所产生的适应度最低的个体.最优保存策略进化模型的具体过程是:(1)找出当前群体中适应度最高的个体和适应度最低的个体.(2)若当前群体中最佳个体的适应度比总的迄今为止最好个体的适应度还要高,则以当前群体中的最佳个体作为新的迄今为止得到的最好个体.(3)用迄今为止最好的个体替换掉当前群体中最佳的个体.21217 满足时间要求问题中对下料的时间要求如下:企业每天最大的下料能力是一百块要求在4天内完成的零件标号(i )为:5,7,9,12,15,18,20,25,28,36,48;要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50.在遗传算法中加入时间约束,若所求得的最优解不满足时间要求则抛弃该解,在剩余的个体中求最优解.21218 遗传算法流程图:图2 遗传算法流程图21219 求解结果经过编程调试试算,遗传算法具有较好的收敛性.但由于编码长度很长,算法很难收敛84数 学 的 实 践 与 认 识35卷于全局最优解.故我们采用进行多次试算的方法.经过2000次试算,求出板材用料最少而且下料方式最少的最优方案.最后结果为板材用料I =798,下料方式的数目为56和总的材料利用率为99190◊.显然遗传算法求得的结果比E P F F 算法更优.理想情况下,既没有任何浪费,所需板材的最小值为797(在实际中是不可能达到的).而我们的结果只增加了一块板,所以可以认为我们的结果一定是全局最优解.详细的零件加工清单、下料方式,板材用量的分布见附录 .按照题目要求,需要在4天内完成的零件标号(j )为:5,7,9,12,15,18,20,25,28,36,48;需要在6天完成的零件标号(j )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50.我们把这些有时间需求的零件提前生产,并根据所耗费的板材总数除以企业每天最大下料数来判断完成时间.根据附录 的表格,经过简单的排序,按以下方式序号顺序下料:4,5,6,7,9,12,13,14,18,19,21,22,24,27,28,29,30,32,37,38,39,43,44,46,51,52,55,1,15,16,17,25,26,31,36,42,47,48,49,54,56.这时,需要在4天内完成的零件3天就可以完成,而需要在6天完成的零件也只需要5天半的时间,所以我们得到的这个最优方案完全可以满足时间限制要求,不需要改变决策目标,重新构建模型.因此本方案即为最终结果.(二)二维实用下料问题的模型对于二维下料问题,虽然也能够采用第一个问题的模型 向二维问题的扩展,但是由于问题条件的所需要的数目很多,尤其是采用类似装箱问题的模型时,在放置操作,在确定了放置次序后,该如何确定下一个矩形的放置位置,即在矩形大小不同的条件下,如何在有限的空间里与当前矩形放置位置达到最好组合是解决装箱问题的关键,在选择位置上共有两到四种位置可选,这就加大了程序的运算量,而且在考虑矩形的长度的同时还要考虑矩形的宽,这在程序的实现上也是需要很大的时间,所以我们在解决二维下料问题时,不采用E P F F 算法.从模型 的求解过程中我们还注意到遗传基因算法在组合优化中的操作直观、表现力强,因而我们尝试利用遗传基因算法来处理二维下料问题:模型 二维约定下的遗传基因算法模型11基本模型在第二问中涉及到了长和宽同时改变,也就是说不是单纯的一个变量,而是两个变量在变,所以在建立模型时以剩余原材料的余量面积最小和使用的原材料的数量最少为其目标.我们仍然假设有m 种下料方式,再根据每种零件的需求量,求得每种零件应用的次数.这样在第1种方式下第1种零件的个数为a 11个,以此类推,则a jk 表示用第k 种下料方式所能得到的第j 种零件的个数.由以上模型得到如下对应关系矩阵 A =a 11a 12…a 1K a 21a 22…a 2Ka J 1a J 2…a J K(321)则使用k 种不同下料方式所使用原材料的根数为 X =(x 1,x 2…,x K )T(322)而每种下料方式产生的废料面积为947期李丹俊,等:实用下料优化问题模型建立及解法 S k =LW -(a 1k l 1w 1+a 2k l 2w 2+…+a J k l J w J ), k =1,2,3,…,K对于所有搜索到的余料最省的下料方式,我们有以下模型用来筛选:目标函数: m in ∑K k =1S k x k(323)基本算法与约束条件: ∑Kk =1ajk x k =d j ∑K k =1a jk l k ≤L ∑K k =1ajk w k ≤W(j =1,2,…,J )(324)要解决的问题:要在固定长宽的矩形原材料里,放置大小不一样但固定的下料件,如何使得原材料所用的件数最少及产生的废料面积最少.不妨将所要切割的下料件编成一个序列T (i ),其中i =1,2,…,n ,则算法的基本思想是按从下到上、从左到右的顺序下料规则,也就是说将从一块原材料的左下角开始切割T (1)零件,记录下当前位置,接着再从左下角切割T (2)零件,看能否切割,不能的话向上移动,以此类推,当切割到原材料的顶端时,继续从余料件左下角切割,示意如下图(图中i ,j ,k 为已切割部分,m 为待下料切割的零件形状):图3 下料过程示意图当切割到一定数量的零件后,判断是否还能再进行切割,如能,则继续下去直至此板料所余部分无法按所需尺寸下料为止.将剩下的零件继续按照此方法在新板料上进行下料,继续这样的步骤直至所要加工零件全部下料完毕.这样一个完整的下料方案其实就是一个排序,以最后余料的大小作为每个排序的评价标准,于是该问题就转化为最优排序问题.21求解方法方法是将原材料被零件切割后所得余料一起作为一个区间段,将要进行下料的零件与这所有可能的区间段进行长度比较,选择可以切割的位置,对选出的位置进行宽度比较,选择最佳切割区,切割完后,再对区间段进行重新计算,调整其参数.我们这里为了实现这个算法,采用的是遗传基因法,对于染色体的编码采用整数模式.由于最短的零件长度也大于原料件的宽度,所以我们不用考虑存在切割时零件的旋转,具体操作步骤如下:(1)编码方法采用随机键表达来产生一串(0,1)之间的随机数.比如,一个10个矩形的染色体为[0111,0114,0143,0118,0153,0128,0147,0173,0164,0167]我们将随机数按照升序排列,得到如下放置顺序:8-10-9-5-7-3-6-4-2-1这条染色体表示先后经过编号为8,10,9,5,7,3,6,4,2,1城市,即表示把编号为8,10,05数 学 的 实 践 与 认 识35卷9,5,7,3,6,4,2,1的下料件按前述顺序依次在原料件上进行切割.(2)杂交将选出杂交的两个个体进行顺时针或逆时针旋转排列[]比如被选中的2个个体分别为:P 1:9-1-2-3-4-5-6-7-8P 2:5-3-4-9-7-2-8-1-6按照上述方法杂交后得到:P 11:1-2-3-4-5-6-7-8-9P 22:3-4-5-9-7-2-8-1-6这种杂交方法保证了不生成致死染色体,又保证了前一代的性质遗传性.(3)变异我们考虑采用互换变异,也就是在染色体中选择两个基因,将其互换:P 3:9-1-2-3-4-5-67-8编译后的染色体:P 33:9-7-2-3-4-5-6-1-8(4)求解结果经过编程调试计算,以此遗传变异算法进化若干代后,我们得出了最优解I =458块.同样地,在顺序随机产生的上千个可行方案中,在增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0108◊的约束条件下,得出的最优方案结果仍为I =458块,由此得出总的材料利用率为97183◊,而且我们得出该方案下料方式的数目为50,详细的零件加工清单、下料方式,板材用量的分布见附录 的表格.紧接着我们来讨论二维下料模型的时间限制问题.按照题目要求,需要在4天内完成的零件标号(i )为:3,7,9,12,15,18,20,25,28,36.同一维下料模型的时间限制讨论方法一样,我们把这些有时间需求的零件提前生产,并根据所耗费的板材总数除以企业每天最大下料数来判断完成时间.根据附录 的表格,不论怎么排序,都无法满足时间限制的需求,所以我们得到的这个材料最优方案不能满足时间条件,需要改变决策目标,重新构建模型.根据以上的模型和算法,我们注意到如果该企业只加工那些有时间限制要求的零件,则三天内便可以完成,但是材料的利用率并不是很高.因此我们下面要做的工作是:在满足时间限制的条件下,如何使得材料的利用率最高.模型 分组抽样模型由题意,这批零件需要在4天之内完成,而且企业每天的下料能力为20块,也就是说在80块原料之内必须加工完所有.但是80块原料在加工完这批有时间限制要求的零件后还有很多剩余,由此就带来一个问题,如何合理安排前4天生产的零件,使得最终的结果为最优呢?我们知道在加工零件的种类和数量繁多的时候,零件越小,材料的利用率越趋于增大.因此,在安排前4天生产的零件时,加工的小零件越多,其材料的利用率越趋于增大,但是同时也使得后期生产的大批零件的利用率越趋于减小,得不偿失;若是在安排前4天生产的零件时,加工较多的大零件,也会造成总体的材料利用率降低,因为在加工零件的种类和数量157期李丹俊,等:实用下料优化问题模型建立及解法25数 学 的 实 践 与 认 识35卷较少的时候,加工大零件会造成更大的浪费.因此最好的情况是使得前后两个生产阶段加工的零件形状趋于平衡,为此我们仿效数理统计中的抽样检验的方法,把没有时间限制要求的33种零件按种类依次平均分成11个样本,这样可使得每个样本中的样本值较为接近.每个样本各出一个样本值和有时间限制要求的零件(共21种类型)一起加工,采取这种形式可使得在两个时间段中加工零件的大小形状趋于平衡,从而对两个时间段里的材料利用率的影响降到最低.考虑到这21种类型零件的总面积要尽量接近80块原料的总面积,我们编程对所有的样本值组合进行筛选,得到最适合的11个样本值(零件种类编号)为2,6,13,14,21, 26,30,32,37,40,43,(程序得到的结果是所选样本值在样本中的位置).利用上面的模型和算法,我们对这21种类型零件进行材料最优的优化处理,得到如下结果:板材数量88,材料利用率91163◊,下料方式24.然后对剩余的零件进行同样的处理,得到结果如下:板材数量376,材料利用率95168◊,下料方式25在进行了局部微调之后,再把两个时间段生产的最后一块材料合并为一个,这样做很有必要,因为最后一块材料的利用率很低,相互合并后可以提高总体的材料利用率,使得总体的利用率分别高于这两个时间段,也就是我们常说的“1+1〉2”效应.我们最终得到板材数量463,材料利用率96111◊,下料方式48.全部零件的生产清单、下料方式和板材用量的分布见附录 的表格.经过简单的排序,优先按以下方式序号下料:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,15,16,17,19,20,22,23,24即可满足时间限制条件.6 模型的优缺点及其推广板材下料是许多企业的生产实际问题.不同规格、数量零件的合理套裁可以有效地减少废料,提高材料的利用率,直接关系到产品成本和企业的经济效益.在生产实际问题中,由于不同尺寸规格、不同数量的零件套裁具有成千上万种的排列组合,想用人工思考方法寻求合符要求的最佳方案是不可能的.许多企业都存在批量下料问题,如家具木器厂、电梯厂、装璜公司等不同品种、尺寸规格的板材、型材用量很大,千百万的材料费中省其一二,经济效益就十分可观了.我们所建立的数学模型有效地解决了特定的有时间限制的一维、二维多目标决策下料问题,比起一般的计算方法,我们建立的数学模型有以下优点:11对于问题一模型:E P F F代换算法,采用了分组配对的方法,有效地缩小了可行解空间的搜索范围.因此其特点是速度很快,可以在较短时间内找到比较令人满意的解.其缺点是分组配对有可能会漏掉最优解.而利用遗传基因算法可以随机搜索所有解空间,虽然效率比模型一低,但经过反复多次搜索可以得到比模型一更优的解.本文的结果也说明了这一事实.但是遗传算法求得最优解所耗的时间较长.21明显提高材料的利用率,使得方案最大限度的趋于最优化,有着巨大的经济效益.与人工设计方案和计算机简易编程算法相比较,一个中型家具厂一年就能节省几十万到几百万元的材料成本费用.31提高工作效率,而且可以根据用户需求排出带有时间限制条件的最优方案.一个由50多种不同规格的零件、成千上万块板料组成的下料工艺设计方案,在很短的时间内即得到成最优的生产计划表.在生产用料管理、原材料的采购定量预算、成本核算、对市场的反应速度等方面大大增强了企业的竞争能力.。
一维下料模型
解得:X=(0,10,5,0,10,0,0)T, f=25, 即方案2用10根, 方案3用5根, 方案5用10根,共耗用25根原料, 余料总长35m.
结论: 余料总长最短并不等价于耗用原材料总 数最少. 即使余料总长为0, 耗用原材 料总数也未必是最少的. 即要求余料总长最短并不一定能省料.
五．以产品利润最大为目标的模型
目标的模型为：
min f x j
j 1
n
n uij x j bi (i 1, 2,..., m) j 1 m L T 1 l u L (i 1, 2,..., m) s.t. i ij i 1 x j 0 , 整数 ( j 1, 2,..., n) uij 0 , 整数 (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
一维下料模型
一. 问题 设有一维下料问题：某类线形钢材其原 材料长度为L，现要为m种零件的毛坯下 料，共有n个下料方案，其中第j个方案使 得每根原材料可获得第i种零件的毛坯aij 个，第i种零件的毛坯长度为li，共需bi个. 问应如何下料？
这类问题因目标不同，而所建模型就有所不同。
二．需求约束的表达
19 2u1 3u2 4u3 5u4 20
有51组非负整数解.其中uj表示在一根原料上截得的第j种零件数量. 往往切割方案太多时,我们只取较好的n个方案,设uij表示第i种零件用第j种切割方案在一
根原料上截得的数量,最短的零件长度，T min{li } 其余符号同前, 则以耗用原材料总数最少为
解: 截管方案有
截管方案 4m 6m 余料长度
1 2 3 4
4 3 1 0
0 1 2 3
2 0 2 0
一维型材合理下料的数学模型
１ 相关研究背景及问题的提出
所 谓 “ 料 问 题 ” 就 是 把 规 格 相 同 的一 些原 材 料 下
目前 ， 国 内外 在 优 化 下 料 问题 的研 究上 ， 较 多 是
从算法改进的角度上进行的。如文献 ｌ 针对原材料利 ｌ ２
用 率 最 高 的 切 割 方 式 优 先 选 择 策 略 ， 设 计 了 贪 心 算
进 行 合理 分 割 后 再 组 合 ， 确 定 切 割 下 来材 料 的 排 样 方 案 ， 以 达到 材 料 利用 率 最 高。 这 类 问题 可分 为 三大 类 ：
切 割 问题 （ ｕ ｔ ｎ Ｓ Ｏ ｋ Ｐ ０ １ ｍ 、排 样 问题 Ｃ ｔ ｉ ｇ ｔ Ｃ ｒ ｂ ） ｅ （ ｓ Ｏ ｔ ｍ ｎ Ｐ ｏ ｌ ｍ Ａ Ｓ ｒ ｅ ｅ ｔ ｒ ｂ ｅ ）和 装箱 问题 （ ｉ Ｐ ｃ ｉ ｇ Ｂ ｎ ａ ｋ ｎ
院【 Ａ ｂｓ ｒ ｃｔ Ｔｈ ｏｕｉｎｏ ｈ ａｉｎ ｌ ｕｔｎ ｆｏ ｅｄｍｅ ｓｏ ａ ｒ ｆｌ ａ ｓｔｅｆ ｕ ｄ ｔｏ ｏ ｏｖｎ ｈｅ 兰 ｔ ａ ： ｅｓ ｌｔｏ ｆｔｅｒ ｔｏ ａ ｔｉｇ ｏ ｎ ｉ ｎ ｉｎ ｌｐ ｏ ｉ ｌｙ ｈ ｎ ａｉｎ ｆｒｓ ｌｉｇｔ ｃ ｅ ｏ ｉｓ ｓ ｔ ｄｉ ｉ ｌ ｃ ｔｎ Ｆｒ ｔ ｅ ｏ ｌ ｂｕ ｌ ｎ ｈ ｓａ ｔｃｅ ｅｔｎ ａｇ ｌｏ ８ ｅ ｉｌ 学．ｕｅｏｆｍ ｕｌｉ ｍ ｅｎｓｏｎａ ｕｔｉ ｇ． ｏｍ ｈｅ ｖｉｗ ｆｍ ｏｄｅ ｉｄｉ ｇ．ｔ ｉ ｒｉｌ ．ｓ ｔｉ ｇ ｏａ ｆ９７．４％ ｏｆｍ ａｔｒａ 兰
ｅ ｏ ａ 唱ｇ ｐ ｒ ｍ ｍ ｉ ｇｍ ｏ ｌＩ ｐ ｉ ｉ ｅ ｈ ｓ ｕ ｆｍ ｕ ｔｄ ｍ ｅ ｉ ｎａ ｕ ｔｎ ｎ ｎｅ ｐ ｉｅ ａ ａ ｎｔ ｅｈ ｇ ｅ ｔ ｏ ｉ． ｒ ｎ ｄｅ Ｉｏ ｔｍ ｚ ｓｔ ｅｉｓ ｅｏ ｌｉ ｉ ｎｓｏ ｌ ｔｉ ｇ ａ ｄ ｅ ｔｒ ｒｓ ｓｃ ｎ ｇ ｉ ｈ ｉ ｈ ｓ ｆｔ ｃ ｐｒ
实用下料问题讲解
实用下料问题摘要本文是关于如何从下料方式，下料时间和所用原料块数这三个角度去考虑下料方案的优化问题，需要建立多目标整数规划模型进行求解。
针对问题一，首先采用贪心算法对4天内要完成和6天内要完成的零件单独分配，贪心策略为在下料方式最少的基础上尽可能的减少余料，这样得到四天内要完成的零件需要151块原料，原料利用率为98.3%，下料方式数为12，具体下料方式见表2；六天内要完成的零件需要121块原料，原料利用率为97.98%，下料方式数为12，具体下料方式见表10。
对于其他零件首先以方式最少和原料使用最少为目标函数，以每种下料方式不得超过原料长度和余料长度不得超过最短的零件长度为约束条件，从而尽力多目标整数规划模型，然后对模型求解得到：其他零件需要原料525块，原料利用率为98.1%。
因此问题一总共需要原料797块。
针对问题二，首先采用问题一的方法二同样利用贪心算法对4天内要完成的零件进行分配，得到需要零件361块，原料利用率为87%，下料方式为16种。
“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<. m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。
这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。
特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。
一维下料问题数学模型的计算机自动生成与优化计算
第21卷 第3期1998年6月鞍山钢铁学院学报Journal of Anshan Institute of I.&S.Technology Vol.21No.3J un.1998一维下料问题数学模型的计算机自动生成与优化计算潘晓宇 李海燕(鞍山钢铁学校) (鞍山钢铁学院)摘 要 介绍了一维下料问题的下料方式,采用计算机自动生成相应的线性规划数学模型,给出了最优下料方案的求解方法。
关键词 一维下料问题,数学模型,最优下料方案分类号 O221111 问题的提出 在某些以条型材为原材料的生产部门,经常遇到如下形式的下料问题:已知t 种性能相同仅长度不同的直条材A 1,A 2,…,A t ;每种原料长度为L 1,L 2,…,L t ;数量为S 1,S 2,…,S t ;要求截成m 种长度不同并满足需求量的构件B 1,B 2,…,B m ;成品长度为G 1,G 2,…,G m ;需求量为D 1,D 2,…,D m .问应采取什么样的下料方案,使得既满足需要,又使下料后的剩余边料总长最小,从而使材料利用率最大,达到减少材料损失,降低成本,提高经济效益的目的,这就是所谓一维最优下料问题。
以往有不少人研究过这个问题,当不同长度的原料品种较少,下出的成品品种数也较少的时候,问题不难解决。
但当原料品种数和成品品种数均较大时,建立本问题的线性规划模型的工作是相当复杂的,人工建模更是不可思议的,本文着重探讨了上述一维下料问题的线性规划模型的计算机自动生成的办法,及自动求解最优下料方案的具体做法,同时分析了其中遇到的困难,提出了解决思路。
2 模型的计算机自动生成 设对原料A k ,存在n k 种不同的下料方式Z (k )1,Z (k )2,…,Z (k )n k ,则所有的可能下料方式为n =∑tk =1n k种,按原料顺序用Y j (j =1,2,…,n )表示第j 种下料方式,若用第j 种下料方式Y j 可以得到第i 种构件的个数为a ij (i =1,2,…,m ,j =1,2,…,n ),边料为c j (j =1,2,…,n ),设用Y j 方式下料的原料有X j 根,则这一问题的线性规划数学模型为如下形式收稿日期:1998-01-06.第一作者:女,34,讲师.o.b. min∑nj =1c j x js.t. ∑n j =1a ij x j =D i (i =1,2,…,m )∑n 1j =1x j ≤S 1∑n 2j =n 1+1xj ≤S 2 …∑n j =n -n t +1x j ≤S t 在这个问题中,如果原料的种类t 与成品的规格m 的值都比较小,且最短成品长度值较大时,可能的下料方式的种数n 不会很多,可以用人工试算的方法求出a ij 及其相应边料c j ,从而建立线性规划问题的目标函数和约束条件,再用线性规划解法求出模型的最优解,即得最优下料方案。
下料优化计算方法(一)
下料优化计算方法(一)下料优化计算1. 简介•下料优化计算是指通过计算和算法来优化材料的使用，减少浪费，提高生产效率的过程。
•本文将介绍下料优化计算的基本概念和常用方法。
2. 基本概念•下料：指将原材料按照设计要求切割成特定尺寸的过程。
•材料利用率：指在下料过程中，有效利用原材料的比例。
•下料浪费：指在下料过程中，未能有效利用原材料的部分。
3. 常用方法3.1. 一维下料优化计算•一维下料优化计算主要针对直线切割的情况，通过算法来确定切割方案，使得材料的利用率最高。
3.2. 二维下料优化计算•二维下料优化计算主要针对平面切割的情况，通过算法来确定切割方案，使得材料的利用率最高。
•常用的算法包括：矩形递归、最佳动态规划、最优旋转递归等。
3.3. 三维下料优化计算•三维下料优化计算主要针对立体切割的情况，通过算法来确定切割方案，使得材料的利用率最高。
•常用的算法包括：三维装箱问题求解、分支界定法、副高搜索法等。
4. 应用领域•下料优化计算广泛应用于各个行业，如木工、金属加工、纺织、塑料加工等。
•运用下料优化计算可以有效减少原材料的浪费，降低生产成本，提高生产效率。
5. 结论•下料优化计算是一种能够有效提高材料利用率的方法，具有重要的实际应用价值。
•随着计算机技术的不断发展，下料优化计算的方法和算法也逐渐完善，将在未来得到更广泛的应用。
6. 注意事项•在进行下料优化计算时，需要考虑以下几个方面：–材料的规格和特性；–切割模式和切割工艺；–切割顺序和切割方向；–批量和生产时间；–设备和工具的限制。
7. 优化效果评估•在进行下料优化计算之后，需要对优化效果进行评估，以确定方案的可行性和效率。
•常用的评估指标包括：材料利用率、切割效率、生产成本、工时等。
8. 优化案例•下面是一个简单的下料优化案例，以一维下料为例：–原材料长度：10米–待加工工件尺寸：2米–切割模式：直线切割•切割方案：–第一段：2米–第二段：2米–第三段：2米–第四段：2米–第五段：2米•材料利用率：100%•切割效率：100%•生产成本：最小化•工时：最小化9. 总结•下料优化计算是一项重要的生产优化技术，可以帮助企业减少浪费，提高生产效率。
人工鱼群算法及其在一维下料问题中的运用
Y=f(X)，其中Y为目标函数值；人工鱼个体的距离表示为di,j=//Xi-Xj//；
Visual表示人工鱼的感知距离；Step表示人工鱼的最大步长；δ为拥挤 度因子。 ② 觅食行为 设人工鱼的当前状态为Xi在其感知范围内随机选择一个状态Xj， 如果在求极大问题中，Yi<Yj(或在求极小问题中， Yi>Yj ，因极大 和极小问题可以互相转换，所以以下均以求极大问题讨论)，则向该 方向前进一步;反之，再重新随机选择状态Xj，判断是否满足前进条 件;这样反复尝试try-number次后，如果仍不满足前进条件，则随机 移动一步。
觅食行为:这是生物的一种最基本的行为，也就是趋向食物的一种
活动;一般可以认为它是通过视觉或味觉来感知水中的食物量或浓度来 选择趋向的，因此，以上所述的视觉概念可以应用于该行为。 聚群行为:这是鱼类较常见的一种现象，大量或少量的鱼都能聚集 成群，这是它们在进化过程中形成的一种生存方式，可以进行集体觅 食和躲避敌害。 追尾行为:当某一条鱼或几条鱼发现食物时，它们附近的鱼会尾随 其后快速游过来，进而导致更远处的鱼也尾随过来。 随机行为:鱼在水中悠闲的自由游动，基本上是随机的，其实它们 也是为了更大范围的寻觅食物或同伴。
其中，初始状态X=（x1,x2,…,xn），随机状态Xv=(x1v,x2v,…,xnv)
则该过程可以表示如下：
上式中，Rand函数为产生0到1之间的随机数，Step为移动步长。 由于环境中同伴的数目是有限的，因此在视野中感知同伴的状态， 并相应的调整自身状态的方法与上式类似。
●鱼群行为分析
鱼类与我们的关系相当密切，也较为我们所熟知，通常我们可以 观察到如下的鱼类行为:
鉴于以上描述的人工鱼模型及其行为，每个人工鱼探索它当前 所处的环境状况(包括目标函数的变化情况和伙伴的变化情况)，从 而选择一种行为，最终，人工鱼集结在几个局部极值的周围，一般 情况下，在讨论求极大问题时，拥有较大的AF_foodconsistence值的 人工鱼一般处于值较大的极值域周围，这有助于获取全局极值域， 而值较大的极值区域周围一般能集结较多的人工鱼，这有助于判断 并获取全局极值。
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实用一维下料问题模型与求解算法
作者：袁月明， 龙建成， 许鹏
作者单位：袁月明,龙建成(北京交通大学交通运输学院,北京,100044)， 许鹏(北京交通大学电子信息工程学院,北京,100044)
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