上坡下坡行程问题

问题从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时20千米，下坡速度为每小时35千米。

车从甲地到乙地共用9小时，从乙地返回到甲地共用7.5小时。

求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？
先画出如右图形：图中A表示甲地，C表示乙地。

从A到B是上坡路，从B到C是下坡路；反过来，从C到B就是上坡路，从B到A是下坡路。

由于从甲地到乙地用9小时，反过来从乙地到甲地用7.5小时，这说明从A到B的距离大于从B到C的距离。

本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。

在从A到B的路程中取一个点D，使得从D到B的距离等于从B到C的距离，这样A到D 的距离就是AB距离比BC距离多出来的部分。

下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了：9-7.5＝1.5（时）
从图中容易看出就是因为去时从A到D是上坡，而回来时从D到A变成了下坡，其它路途所用的总时间是一样的。

现在的问题是AD这段路程中速度由每小时20千米改为35千米，则时间少用1.5小时，由此可以求出什么？
如果设速度为每小时20千米所用时间为单位“1”，那么速度为每小时35千米所用时间为：
由此就可以求出AD之间的距离为：
20×3.5＝70（千米）
或35×2＝70（千米）
还可以求出从D到C和从C到D所用时间均为：9－3.5＝5.5（时）
或7.5－2＝5.5（时）
至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。

如果设从D到
上坡所用时间为：
所以去时上坡的总路程就是：
70+20×3.5=140（千米）
下坡总路程是：35×2=70（千米）
上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”，而实现这一目的还可以通过“补”的方法。

将返回的路程补在去时路程的后面，画出右图：
这时全程去与回所用的时间都是：
9＋7.5＝16.5（时）
而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。

设
为：
所以原来上下坡距离之和就是：
20×10.5=210（千米）
或35×6＝210（千米）
下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法，假设原来从A到C速度不变，都是每小时35千米，这样9小时所行路程应该为：
35×9＝180（千米）
比实际距离少行了：
210－180＝30（千米）
就是因为从B到C的下坡速度每小时20千米变成了35千米，因此从B到C的时间为：
30÷（35－20）＝2（时）
从A到B上坡的时间为：9－2=7（时）
由此上下坡的距离就不难求出了。

这个解法的思路是通过“补”，不仅使得上下坡距离相等，而且使得往返所用的时间相等。

解决本题的两个方法说明，在“变不同为相同”这个基本思想的指导下，手段可以是多种多样的。

下面再看一道类似的问题。

问题如右图，从A到B是下坡路，从B到C是平路，从C到D是上坡路。

小和小王步行速度分别都是：上坡每小时4千米，平路每小时5千米，下坡每小时6千米。

二人分别从A、D两点同时
王到达A后9分钟，小到达D。

求从A到D的全程距离。

首先发现二人平路上行走的距离相同，小比小王多用9分钟的原因就是CD距离大于AB距离。

我们仿照上题思路，在CD上取一点F，使得CF距离等于AB距离，并画出如右图形：设从D到F下坡所用时间为“1”，则从F到D上坡所用时间为：
到F所用时间18分钟，因此可以求出平路的距离为：。