高中数学椭圆经典例题(学生+老师)

（教师版)椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆0632

2

=-+m y mx 的一个焦点为（0,２)求m 的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系2

2

2

c b a +=可求出m 的值.

解:方程变形为

1262

2=+m

y x ．因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2

262=-m ,5=m 适合．故5=m .

例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03，

P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法，

求出参数a 和b （或2

a 和2

b )的值，即可求得椭圆的标准方程．

解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()0122

22>>=+b a b

y a x .

由椭圆过点()03，

P ,知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92

=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b

x a y .

由椭圆过点()03，

P ,知10922=+b

a .又

b a 3=,联立解得812=a ,92

=b ,故椭圆的方程为198122=+x y ．

例３ ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

分析：(１)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解．

(２)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．

解： (１）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ，8=c ，有6=b ，

故其方程为

()0136

1002

2≠=+y y x ． (２)设()y x A ，,()y x G ''，,则

()0136

1002

2≠'='+'y y x ． ①

由题意有???

????='='33

y

y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为

()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）. 例４ 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=

PF ，3

5

22=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12F

PF Rt ?中，2

1

sin 12

21==∠PF PF F PF , 可求出6

21π

=

∠F PF ，3

526

cos

21=

?=π

PF c ，从而3102

22=-=c a b .

∴所求椭圆方程为

1103522=+y x 或15

1032

2=+y x ．

例5 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ,长轴端点为1A ,2A ，焦点为1F ，2F ,P 是椭圆

上一点,θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2

1

=?求面积． 解：如图，设()y x P ，,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限． 由余弦定理知： 2

2

1F F 2

221PF PF +=12PF -·2

2

4cos c PF =α.① 由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则－①②2

得 α

cos 122

21+=?b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ?=? ααsin cos 12212+=

b 2

tan 2α

b =．

例6 已知动圆P 过定点()03，

-A ,且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析:关键是根据题意，列出点P 满足的关系式.

解：如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点,

即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，

即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点,

半长轴为4,半短轴长为7342

2

=-=b 的椭圆的方程：

17

162

2=+y x ． 说明:本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

例7 已知椭圆12

22

=+y x ， （1)求过点??

? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程; （2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;

（3）过()12，

A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; （4)椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1

-

=?OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为()11y x M ，,()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，,则

??????

?=+=+=+=+④

，③，②，①，y y y x x x y x y x 2222222

1212

22

22121

①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -，有()()

022

12

12121=-+++x x y y y y x x ,

将③④代入得022

12

1=--+x x y y y

x ．⑤

（1）将21=

x ，2

1

=y 代入⑤,得212121

-=--x x y y ,故所求直线方程为： 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程222

2

=+y x 得041662

=-

-y y ,04

1

6436>??-=?符合题意，0342=-+y x 为所求. （2)将

22

12

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x ．（椭圆内部分）

(３)将

2

12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222

2=--+y x y x ．（椭圆内部分）

（４)由①+②得 ：

()

22

2

2212

221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122

22124y y y y y -=+, ⑨

将⑧⑨代入⑦得:

()

2244

242122

12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212

212=??

? ??--+-x x y x x x ， 即 12

122=+y x . 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.

例8 已知椭圆142

2

=+y x 及直线m x y +=. （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点? (2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2,求直线的方程. 解：(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程142

2=+y x 得 ()142

2=++m x x ，

即01252

2=-++m mx x .()()

020*********

≥+-=-??-=?m m m ,解得2

525≤≤-

m . (2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ,由（1)得5

221m

x x -=+，51221-=m x x .

根据弦长公式得 :5102514521122

2

=-?-??

?

??-?+m m .解得0=m .方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可大大简化运算过程．

例９ 以椭圆

13

122

2=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程．

分析:椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决．

解：如图所示,椭圆

13

122

2=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为(-９，６)，直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组?

?

?=+-=-+090

32y x y x 得交点M 的坐标为（-5，4）.此时21MF MF +最小．

所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ，

∴()

363532

2

2

2

2

=-=-=c a b .因此，所求椭圆的方程为

136

452

2=+y x .

例10 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由??

?

??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

?<-<-,

03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时，并不表示椭圆．

例11 已知1cos sin 2

2

=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围. 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

解:方程可化为1cos 1sin 122=+α

αy x .因为焦点在y 轴上，所以0sin 1

cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4

3

,2(ππα∈．

说明:（1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1

>-α,这是容易忽视的地方． (２)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α

sin 12

=b . (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0.

例１2 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程. 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

可设其方程为12

2

=+ny mx (0>m ，0>n ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.

解：设所求椭圆方程为12

2=+ny mx （0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得

?????=?+-?=-?+?,

11)32(,1)2()3(222

2n m n m 即???=+=+,112,

143n m n m 所以151=m ,51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．

例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹.

分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点）求轨迹方程或轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x ，则2

x x =

，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12

02

0=+y x ．

将x x 20=,y y =0代入方程12

02

0=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x .

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，

设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ,然后根据题目要求,使x ，y 与0x ,0y 建立等式关系, 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x ，y 的方程, 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.

例１4 已知长轴为12，短轴长为６，焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为

3

π

的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.

分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212

212

212

x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ,3=b ，所以33=c .因为焦点在x 轴上，

所以椭圆方程为

19

362

2=+y x ,左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132

=?++x x .设1x ，2x 为方程两根，所以13

3

7221-

=+x x ，1383621?=

x x ，3=k ， 从而13

48]4))[(1(1212

212212=-++=-+=x x x x k x x k AB .

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为19

362

2=+y x ，设m AF =1，n BF =1,则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ?中，3

cos

22112

21212

2π

F F AF F F AF AF -+=，即2

1

362336)12(2

2?

??-?+=-m m m ; 所以346-=

m .同理在21F BF ?中，用余弦定理得3

46+=n ,所以1348

=+=n m AB .

（法3）利用焦半径求解.

先根据直线与椭圆联立的方程0836372132

=?++x x 求出方程的两根1x ,2x ，它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=．

例1５ 椭圆

19

252

2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为２,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A.４ B.2 Ｃ.８ Ｄ．

2

3

解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得

10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF ，

又因为ON 为21F MF ?的中位线,所以42

1

2==

MF ON ，故答案为A ．

说明:(1）椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即a MF MF 221=+,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.

例１6 已知椭圆13

42

2=+

y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥；(２）弦AB 的中点M 在l 上.

利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点.

∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组???????

=++-=,134,41

22y

x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。∴13821n x x =

+.于是1342210n x x x =+=,13

124100n

n x y =+-=, 即点M 的坐标为)1312,134(n n .∵点M 在直线m x y +=4上,∴m n n +?=1344．解得m n 4

13

-=． ②

将式②代入式①得04816926132

2=-++m mx x ③

∵A ,B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(2

2

>-?-=?m m .解得13

13

213132<<-m ． (法2)同解法1得出m n 413-

=，∴m m x -=-=)4

13

(1340， m m m m x y 34

13

)(414134100-=--?-=--=,即M 点坐标为)3,(m m --．

∵A ,B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部,∴13

)3(4)(2

2<-+-m m ．解得1313213132<<-m ． (法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点,直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．

∵A ，B 在椭圆上,∴1342121=+y x ,13

42

222=+y

x .两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ,

即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x .∴

)(43210

0212

1x x y x x x y y ≠-=--．

又∵直线l AB ⊥，∴1-=?l AB k k ,∴14430

-=?-

y x ,即003x y = ①。 又M 点在直线l 上,∴m x y +=004 ②。由①,②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法２.

说明：涉及椭圆上两点A ,B 关于直线l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式： (1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式0>?,建立参数方程.

(２）利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足12

020<+b

y

a x ,将0x ，0y 利用参数表示，建立参数不等式.

例17 在面积为１的PMN ?中,2

1

tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．

解：以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P ．

则????

?????==+-=-.

1,21

,2cy c x y c x y

∴???????===2

33435c c y c x 且即)32,325(P ∴???????=-=+,43,134********b a b

a 得?????==.

3,41522b a ∴所求椭圆方程为13

1542

2=+y x

例1８ 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆

19

362

2=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程． 分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x ),得到关于x (或y ）的

一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21x x +,21x x （或21y y +,21y y ）的值代入计算即得. 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的．

解:方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y .代入椭圆方程,整理得

036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①

设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根,∴1

4)

24(8221+-=+k k k x x

∵)2,4(P 为AB 中点，∴1

4)24(4242

21+-=+=

k k k x x ,21

-=k .∴所求直线方程为082=-+y x ． 方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ，421=+y y ． 又∵A ,B 在椭圆上，∴3642

12

1=+y x ,3642

22

2=+y x 两式相减得0)(4)(2

22

12

22

1=-+-y y x x , 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x .∴

2

1)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x .

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --. ∵A 、B 在椭圆上,∴3642

2

=+y x ①。 36)4(4)8(2

2

=-+-y x ②

从而A ,B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为082=-+y x . 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4,则如何求椭圆方程？

（学生版)椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆0632

2

=-+m y mx 的一个焦点为(0,2）求m 的值．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，

P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为3０，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

例４ 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程．

例５ 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ，长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，

α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）.

例６ 已知动圆P 过定点()03，-A ,且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

例7 已知椭圆12

22

=+y x , (１)求过点??

? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程; （2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

(3）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程; (4）椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1-

=?OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.

例８ 已知椭圆142

2

=+y x 及直线m x y +=． （1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点？ （2)若直线被椭圆截得的弦长为5

10

2,求直线的方程.

例9 以椭圆

13

122

2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.

例12 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围.

例13 已知1cos sin 2

2

=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程.

例14 知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．

例14 已知长轴为12,短轴长为６，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为

3

π

的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.

例１5 椭圆

19

252

2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点,则ON （O 为坐标原点）的值为

例16 已知椭圆13

42

2=+y x C ：，试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：,椭圆C 上有不同的两点关于

该直线对称,求m 取值范围．

例17 在面积为1的PMN ?中，2

1

tan =M ,2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．

例１8 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆

19

362

2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．