立体几何大题训练及答案

1、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰

直角三角形，2,,45AB AE FA FE AEF ?

===∠= （1）线段CD 的中点为P ，线段AE 的中点为M ，

求证：//PM BCE 平面；

（2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正切值.

解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC

∴面PMN //面EBC ,∴//PM BCE 平面

………………………5分

(2)先证出FE ⊥面EBC ， ………………………8分

FCE ∴∠为直线CF 与平面BCE 所成角， ………………………11分

tan FE

FCE EC

∠=

= ………………………14分

2、己知多面体ABCDE 中，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ，AC=AD=CD=DE=2，AB =1，O 为CD 的中点.

(1)求证：AO ⊥平面CDE ；

(2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值

A

B

C

D

E F

P

M .

.

A

B

C

D

E

O

3、如图，在△ABC 中，?=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于

E ，AC P

F //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '；

（2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．

解：（1）因为PE FC //，?FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．

因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．

…6分

（2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，

所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=．

…8分

过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．

由（1）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．

所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分

在Rt △PCE 中，求得a EM 5

5

2=

，

B

P

A

F C

'

B '

A E

P

A

B

F C

'B '

A E

（第20题）

M

A B

C

D

E

P M

所以555

2

2tan =='=a a

EM E A θ． …15分

4、如图，⊥DA 平面ABC ，⊥ED 平面BCD ，DE=DA=AB=AC.0120=∠BAC ，M 为BC 中点.

(1)求直线EM 与平面BCD 所成角的正弦值；

(2)P 为线段DM 上一点，且⊥AP DM ，求证：AP//DE. 解：(1) ED ⊥平面BCD ，∴DM 为EM 在平面BCD

上的射影， ∴EMD ∠为EM 与平面BCD 所成角．

(2)

分

DA ⊥平面ABC ，AC DA AB DA ⊥⊥∴,，

设a AB

=，又=DA AB =AC ，

a DB DC

2==∴．

在△ABC 中，?=∠120BAC

，a BC

3=∴，

又

M 为BC 中点，∴⊥DM BC ，

12=

=BM BC ，∴a DM 2

5=

．…5分

在Rt △EDM 中，EM =3

2

a =

，

∴sin EMD ∠=32

DE a

EM a =

23=． ………………………7分 （2） =AB AC ，M 为BC 中点，∴⊥BC AM ．又⊥DA 平面ABC ， ∴⊥BC DA ，⊥∴BC 平面DAM ．

……………………9分 又?AP

平面DAM

，AP BC ⊥∴， ……………………11分 又 DM AP ⊥，⊥∴AP 平面BCD ． ……………………13分 又 ED ⊥平面BCD ，DE AP //∴． ……………………14分 5、如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，AF ⊥平面ABCD ，CE ∥AF ，)1(>=λλAF CE ． （1）证明：BD ⊥EF ；

（2）若AF ＝1，且直线BE 与平面ACE

M

P

E

D

C

B A

A B

C

D

E A 1

C 1

为10

2

3，求λ的值．

解：（1）连结BD 、AC ，交点为Ｏ．∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ……2分

∵AF ⊥平面ABCD ∴AF ⊥BD ……4分 ∴BD ⊥平面ACEF ……6分 ∴BD ⊥EF ……7分

（2）连结OE ，由（1）知，BD ⊥平面ACEF ，

所以∠BEO 即为直线BE 与平面ACE 所成的角． ……10分 ∵AF ⊥平面ABCD ，CE ∥AF ，∴CE ⊥平面ABCD ，CE ⊥BC ， ∵BC =1，AF ＝1，则CE ＝λ，BE ＝21λ+，BO ＝2

2， ∴Rt △BEO 中， 10

2

3122sin 2=λ+==∠BE BO BEO ， …13分 因为1>λ，解得3

4

=λ． ……15分

6、如图，在几何体中，⊥1AA 平面ABC ，,2,//,111===⊥AA BC AB AA CC BC AB E D CC ,,11=分别是1,AA AB 的中点. (1)求证：//1BC 平面CDE ；

(2)求二面角A DC E --的平面角的正切值. 解：（1）连接ACR 1R 交EC 于点F ，由题意知四边形ACCR 1RE 是矩形，则F 是ACR 1R

的中点，

连接DF ，∵D 是AB 的中点，∴DF 是△ABCR 1R 的中位线，

∴ BCR 1R//DF ， 4分

∵ BCR 1R ?平面EDC ，DF ?平面EDC ，

∴BCR 1R//平面CDE. 7分

(2) 作AH ⊥直线CD ，垂足为H ，连接HE ， ∵ AAR 1R ⊥平面ABC ，∴ AAR 1R ⊥DC ，

∴ CD ⊥平面AHE ， ∴ CD ⊥EH ，

∴ ∠AHE 是二面角E – CD – A 的平面角. 11分 ∵ D 是AB 的中点，

∴ AH 等于点B 到CD 的距离，

在△BCD 中，求得：AH ＝

5

5

2， 在△AEH 中， 2

5

tan =

=∠AH AE AHE 即所求二面角的正切值为2

5

.

7、如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ?所在平面，且PA AB AC ==, （1）求证：PA //平面QBC ；

（2）若PQ QBC ⊥平面，求CQ 与平面PBC

所成角的正弦值.

解：（1）证明：过点Q 作QD BC ⊥于点D ，

∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC ……2分 又∵PA ⊥平面ABC

∴QD ∥PA , ………………2分 又∵QD ?平面QBC

∴PA ∥平面QBC ………………6分

（2）∵PQ ⊥平面QBC

∴90PQB PQC ∠=∠=，又∵,PB PC PQ PQ ==

∴PQB PQC ??? ∴BQ CQ = ………………8分 ∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥

∴四边形PADQ 是矩形 ………………10分 设2PA AB AC a === 得：PQ AD ==

，PD =

又∵,BC PA BC PQ ⊥⊥，∴BC PADQ ⊥平面，

Q

P

A

B

C

A

B

C

A 1

B 1

C 1

D

E 从而PBC PADQ ⊥平面平面，过Q 作QH PD ⊥于点H ，则：QH PBC ⊥平面 ∴QCH ∠是CQ 与平面PBC 所成角 ………………………………………………12分

∴QH =

=

，CQ BQ ==

sin QH QCH CQ ∠=

==

∴CQ 与平面PBC

…………………………14分

8、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，ABC ?是等腰直角三角形，090=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D ，E 分别为CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ?的重心. (1)求证：DE//平面ACB ；

(2)求A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值.

9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°,

D为棱BB1的中点。

（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；

（2

）若1

AA

AB

A—A1D—C的大小。

A

B

C

A1

B1

C1

D

10、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AB//CD ，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，

AB=2，M 为PB 的中点． （1）证明：MC//平面PAD ；

（2）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值．

11、如图在梯形ABCD 中，DC AB //，E 、F 是线段AB 上的两点，且

AB DE ⊥,AB CF ⊥，2,3===FB EF CF ,G 为FB 的中点,设t AE =，现将

BCF ADE ??,分别沿CF DE ,折起，使A 、B 两点重合于点P ，得到多面体PEFCD . （1）求证：//PD 平面EGC ；

（2）当⊥EG 面PFC 时,求DG 与平面

PED 所成角的正切值.

P

A C D

M

A

B

C

D

E

F

G

E

F

C

D

G

P

（1）证明：连接DF 交EC 于点M ，连接MG

G M , 为中点 MG PD //∴ 又EGC PD 面? EGC MG 面? ∴//PD 平面EGC ———5分

（2）当⊥EG 面PFC 时, PF EG ⊥ 又 G 为FB 的中点，

2==∴EP EF ，2=∴t —————7分

过点G 在平面PEF 中作EP 的垂线，垂足为N ，连接DN . ⊥DE 面PEF ∴面⊥PED 面PEF ⊥∴GN 面PED GDN ∠∴即为DG 与平面PED 所成角.——————11分

易求得221,23=

=DN GN ,所以DG 与平面PED 所成角的正切值为7

7

.——14分

12、如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的

一点.现将DCE ?沿线段EC 翻折到PAC ，使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB . (1)证明：⊥BD 平面PAC ；

(2)若?=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求直线PE 与平面ABCE 所成角的正弦值.

解：(1)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中， ∵4==AD AB ，7=

=CD BC

∴ADC ABC ???，∴BAC DAC ∠=∠,∴BD AC ⊥

又∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC 平面ABCE =AC ∴⊥BD 平面PAC ………… 6分

(2)如图，过点P 作AC 的垂线，垂足为H ，连接EH ，EC

并取AO 中点F ，连接EF ，

∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC 平面ABCE =AC ，AC PH ⊥ ∴⊥PH 平面ABCE ，∴PEH ∠即为直线PE 与平面ABCE 的所成角， 由(Ⅰ)可知，BD AC ⊥，且32=AO ，3=CO ，

又2=PE ，7=

PC ，设x CH =，则有

27x PH -=，3222-=-=x PH PE EH

又∵F 为AO 的中点，在EFH Rt ?中，x FH -=32，1=EF

由勾股定理得，31)32(2

2-=+-x x ，解得33

4

=

x ， B

A C

D

E

P

A

B

C

A 1

1

C 1

O

∴332=

EH ，33

5=PH ∴直线PE 与平面ABCE 的所成角的正弦值即3

3

sin ==∠PE EH PEH .

13、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1 =2，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，

∠AA 1C 1=∠BAC 1=60°，设AC 1与AC 相交于点O ，如图． （1）求证：BO ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求二面角B 1—AC 1—A 1的大小。

P

P

P 1

A

A

C

C

M

14、如图1，四面体PABC 中，BC=BP=1，AC=AP=3，AB=2，将PAB ?沿直线AB 翻折至AB P 1?，使点C B P A ,,,1在同一平面内(如图2)，点M 为PC 中点. (1)求证：直线//1PP 平面MAB ； (2) 求证：AB PC ⊥；

(3)求直线PA 与平面P 1PC 所成角的大小.

答案：（3）、

3