名校高考数学模拟试题及答案

高考模拟试卷数学卷

（本卷满分150分 考试时间120分钟 ）

参考公式： 球的表面积公式

柱体的体积公式

S =4πR 2

V =Sh

球的体积公式

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =3

4πR 3

台体的体积公式

其中R 表示球的半径

V =3

1h (S 1+

2

1S S +S 2)

锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，

V =3

1Sh

h 表示台体的高

其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高

选择题部分 (共40分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项

中，只有

一项是符合题目要求的．

1．已知全集U =R ，{}|21x A y y ==+，{}|ln 0B x x =<，则()U A B =I e

A ．?

B ．{}|01x x <<

C ．1

|12

x x ??

<≤???

?

D ． {}|1x x <

2．已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则

A ．b c a <<

B ．b a c <<

C ．c a b <<

D ．c b a <<

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A ．64

B ．72

C ．80

D ．112

4．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23a =，3

A π=，ABC ?的面积

为23，则b c += A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

5．设实数,x y 满足20,

240,20,

x y x y y --≤??+-≥??-≤?

1

y z x +=，则 A ．z 有最大值，有最小值 B ．z 有最大值，无最小值 C ．z 无最大值，有最小值

D ．z 无最大值，无最小值

6．在二项式5

212x x ??

- ?

?

?的展开式中，含2x 的项的系数是

A ．80-

B ．40-

C ．5

D ． 10

7．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，若每个数被取到的可能性相

同，则这3个数的和恰好能被3整除概率是 A ．120

B ．110

C ．310

D ．720

8．已知F 为抛物线2

:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r

时，

称ABC ?为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 A ．0个

B ．1个

C ．3个

D ．无数个

9．已知向量)

1=-a ，向量()1cos ,sin 05

5t t t ππ??

=+> ??

?

b ，则向量,a b 的夹角可能是

A ．218

π

B ．518

π

C ．718

π

D ．1118

π

10．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时，

A ．()f x x m n +<+

B ．()f x x m n +>+

C ．()0f x x -<

D ．()0f x x ->

非选择题部分 (共110分)

二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则z =___________，

z

z

=___________． 12．设等比数列{}n a 的首项11a =，且1234,2,a a a 成等差数列，则公比q =___________；

数列{}n a 的前n 项和n S =___________．

13．已知圆C 的方程为22680x y x y +--=,则圆C 的坐标是___________，半径是

___________；圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是___________．

14．已知函数

()211,0,22ln ,0,x x f x x x x ???-≤? ?=???

?->?

则()()1f f -=___________；若函数()y f x a =-有一个零点，则a 的取值范围是___________．

15．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有

___________种不同的排法． 16．设,a b 为正实数，则

2a b

a b a b

+

++的最小值是___________． 17．如图，ABC α⊥平面，且ABC BC α=I 平面，1AB =，3BC =，56

ABC ∠=π，平面α内

一动点P 满足6

PAB π∠=，则PC 的最小值是

___________．

三、 解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?=+>-π<<的最小正周期是π，将

函数()f x 图象向左平移3

π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ．

（Ⅰ）求()f x ；

（Ⅱ）若0,2x π??

∈????

，求函数()f x 的值域．

19．（本题满分15分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，

AC C A B A A A ===111，?=∠90ABC ，?=∠45BAC ，N M ,分

别是B A CC 11,的中点．

（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABC ；

（Ⅱ）求直线N C 1与平面ABC 所成的角的余弦值．

20．（本题满分15分）已知函数()()21504

a f x x x x

=++>，()ln 4g x x =+，曲线()y g x =在

点()14，

处的切线与曲线()y f x =相切． （Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）证明：当0x >时，()()f x g x >．

21．（本题满分

15

2 个焦

点与1个

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线

段

AB 为直径的圆截直线1x =，求直线l 的方程．

22．（本题满分15分）设数列{}n a 满足11

3

a =，2

12n n n a a a n +=+，*n ∈N ．证明：

（Ⅰ）求23,a a ；

（Ⅱ）数列{}n a 为递增数列；

（Ⅲ）

21

2121

n n n a n n -≤≤

++，*n ∈N ． 2018年高考（或中考）模拟试卷数学参考答案与评分标准

1．（原创）答案：B ．

解析：因为{}|1A x x =>，所以

{}

|1U A x x =≤e，又因为{}|01B x x =<<，所以

(){}|01U

A B x x =<

e．

2．（原创）答案：D ．

解析：因为0.321a =>，()20.30,1b =∈，0.3log 20c =<，所以c b a <<． 3．（原创）答案：C ．

解析：该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为321443803

+??=．

4．（原创）答案：B ．

解析：由1sin 232

S bc A ==得8bc =．由2222cos b c bc A a +-=得2212b c bc +-=，所以6b c +=．

5．（原创）答案：C ．

解析：不等式组20,

240,20,x y x y y --≤??+-≥??-≤?

表示的平面区

域

影为如图的阴影部分，目标函数1y z x

+=表示阴

最

部分中的点与点()0,1-的连线的斜率，故z 有小值，无最大值．

6．（原创）答案：A ．

解析：二项式5

212x x ??- ?

?

?的展开式的通项为()

()555315

521221r

r

r r

r r r r T C x C x x ---+??

=?-=??-? ???

，由532r -=得1r =，所以含2x 的项的系数是()1

1

45

2180C ??-=-． 7．（原创）答案：D ．

解析：从10个数中任取3个共有3

10

120C =种取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有344C =种取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有331C =种取法；

第三类：这3个数从3,6,9中取，共有331C =种取法；第四类：这从1,4,7,10中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有43336??=种取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除概率是411367120

20

+++=．

8．（原创）答案：D ．

解析：如图，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r 得F 为ABC ?的重心，设点A 坐标为()00,x y ，3AM MF =-u u u u r u u u u r

，

则点M 坐标为003,22x y -??-- ???，只要满足点M 在抛物线内部，即2

003422y x -????

-

x y l y x y -?

?=-

+- ???与抛物线2:4C y x =的交点,B C 关于点M 对称，

此时ABC ?为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”． 9．（原创）答案：B ．

解析：如图，若向量()1cos ,sin 05

5t t t ππ??

=+> ??

?

b 的起点为原点，则其终点在射线

()()tan

115y x x π

=->上，故向量,a b 的夹角的取值范围为11630π??π ???

，． 10．（原创）答案：A ．

解析：因为函数2()f x x ax b =++是上凹函数，所以

()()()()1f x f m f n f m x m

n m

--<

=---，因此

()f x x m n +<+．

11．（原创）答案：12i -；1．

解析：12i z =-，

1z z

z z

==． 12．（原创）答案：2；21n -．

解析：由1234,2,a a a 成等差数列得21344a a a =+，即2

44q q =+，解得2q =，1212112

n

n n S -=?=--．

13．（原创）答案：()34，

，5；()()22

5225x y -+-=． 解析：由圆C 的方程为()()223425x y -+-=得圆心坐标为()34，

，半径为5，圆心()34，关于直线:10l x y --=的对称点的坐标为()52，，所以圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的

方程是()()225225x y -+-=．

14．（原创）答案：2；10,ln 22

??+??

??

． 解析：()()()112f f f -==；由()22ln f x x x =-得

()2141

4x f x x x x -'=-=，因此()y f x =在区间10,2?? ?

??上单调递减，在区间1

2

??

+∞ ??

?，上单调递增，故

11ln 222f f ??==+ ???极小，函数()y f x =的图象如图所示，所以当10,ln 22a ??

∈+?

???时，函数

()y f x a =-有一个零点．

15．（原创）答案：120．

解析：符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有1234,,,x x x x 个0，则10x ≥，22x ≥，32x ≥，40x ≥且123411x x x x +++=，令222x x '=-，332x x '=-，则

12347x x x x ''+++=．因此原问题等价于求方程12347x x x x ''+++=的自然数解的组数，将

7

个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有

3

10120C =组自然数解，故共有

120种不同的排法．

16．（原创）答案：222-．

解析：令2a b x a b y +=??

+=?，显然,0x y >，则2a y x

b x y =-??=-?

，所以

2222222a b y x x y y x a b a b x y x y

--+=+=+-≥-++，当2x y =，即2a b =时，等号成立． 17．（原创）答案：

5

．

解析：如图，因为射线AP 的轨迹为以AB 为轴，

母线与轴夹角为6

π

的圆锥面，且平面α平行于该圆锥面的一条母线，所以平面α截该圆锥面所得的截线即P 点的轨迹为以BC 为对称轴的抛物线．以BC 为x 轴，以抛物线的顶点为原点O 建立直角坐标系，显然AOB ?为底角为6

π的等腰三角形，所以33

OB AB =

=

，当PB ABC ⊥平面时，3tan

6PB AB π=?=，此时点P 的坐标为33,?? ? ???

，因此抛物线的方程为2

3y x =，点C 的

坐标为

?

??，所以抛物线上的点到点C 的距离的平方为2

2

22

16534

x y x x ??-+=-+=-+ ??，故PC ．

18．（原创）（Ⅰ）解：由函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?=+>-π<<的最小正周期是π得2ω=．（2分）

由sin 233y f x x ?π?π?????=+=++ ? ? ?

?

?

?

?

??

的图象过()0,1点得22,32

k k ?ππ

+=+π∈Z ．（4分） 又由0?-π<<得6

?π=-．（6分）

所以函数()sin 26f x x π??

=- ??

?

．

（8分） （Ⅱ）解：由0,2x π??∈??

??

得2,6

66x ππ5π??-∈-????

．（10分） 所以1sin 2,162x π????-∈- ???????，所以函数()f x 的值域为1,12??

-????

．（14分） 19．（原创）（Ⅰ）如图，设AB 的中点P ，连结PC NP ,，则11//,//AA MC AA NP ，且

MC AA NP ==

12

1

， 故四边形MNPC 为平行四边形，得PC MN //．又?PC 平面ABC ，?MN 平面ABC ，因此

//MN 平面ABC ． (6

分)

（Ⅱ）因为M 为1CC 的中点，所以，1NPMC 是平行四边形，故

MP N C //1．设AC 的中点Q ，连结BQ ．因为?=∠90ABC ，Q 是AC 的

中

点，所以，CQ BQ AQ ==，又因为C A B A A A 111==，所以

CQ A BQ A AQ A 111?????，则?=∠=∠9011QC A QB A ，所以

BQ Q A CQ Q A ⊥⊥11,，故⊥Q A 1平面ABC ．过M 作AC MH ⊥交AC 的延长线于点H

，连结

PM

PH BH ,,，则⊥MH 平面ABC ，所以，MPH ∠是直线N C 1与平面ABC 所成的角．设

41=A A ．在APH ?中，?=∠==45,5,2BAC AH AP ，故17

=PH ．

在MPH Rt ?中，3,17==MH PH ，所以10

85

cos =∠MPH ．

因此，直线1CN 与平面ABC

． （15分）

20．（原创）（Ⅰ）解：由()1g x x

'=得()11g '=，所以曲线()y g x =在点()14，

处的切线方程为3y x =+．（2分）

设曲线()y f x =与直线3y x =+切于点()00,x y ，由()00

03()1f x x f x ?=+??'=??得200002

01

53,4101,a x x x a x x ?++=+???

?-=??

解得01.

21.

x a ?

=???=?（6分）

（Ⅱ）证明：令()()()2

111354

F x f x x x x x =-+=+--，则()()()222215211101x x x F x x x x --+'=--=，

所以函数()y F x =在区间10,2?? ???

上单调递减，在区间1,2

??

+∞ ???

上单调递增，

所以当0x >时，()102F x F ??

≥= ???

，因此当0x >时，()3f x x ≥+，当且仅当12x =

时等号成立．（10分）

令()()()31ln G x x g x x x =+-=--，则()1

1

1x G x x x

-'=-=

，所以函数()y G x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()10G x G ≥=，因此当0x >时，

()3x g x +≥，当且仅当1x =时等号成立．（13

分）

因为()3f x x ≥+，()3x g x +≥，且等号成立的条件不同，所以()()f x g x >．（15分）

21．（原创）c ，b =由

2122S c b =??==a =b （6分）

（Ⅱ）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．

联立方程()22

2360

y k x x y ?=-??--=??得()

2222

13121260k x k x k +-+-=，所以202613k x k =+，

()

2

122

113k AB x x k +=-=

+．（8分）

点M 到直线1x =的距离为22

02

2

316111313k k d x k k -=-=-=++．（10分）

由以线段

AB 为直径的圆截直线1x =得2

22

2AB d ??-= ?????

，所以

()2

2

22

2221311313k k k k ?+??-??-= ?++???

?????，解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．（15分）

22．（原创）（Ⅰ）解：2114399

a =+=，2

342409981a ??=+=

???．（2分）

（Ⅱ）证明：（1）1n =时，1103

a =>；

（2）假设n k =时，0k a >，

2120k

k k a a a k

+=+>；

所以由（1）（2）得0n a >，*n ∈N ．

所以2

120n

n n a a a n

+-=>，即1n n a a +>，数列{}n a 为递增数列．（7

分）

（Ⅲ）证明：由21122n n n n n a a a a a n n ++-=<得221111111

111422

n n a a n n n n +-

<<=---+，

所以

1111

212

n

a a n -≤-

-

，故2121

n n a n -≤+．（11分）

由21

121n n a n -≤<+得2

122n n

n n n a a a a a n n +=+<+，所以2

21

n n a n >+，故2

11221n n n n n a a a a a n n ++-=>+，

所以221111111

11n n a a n n n n n +->≥=-

+++， 因此

11111n a a n

-≥-，故21

n n a n ≥+．（15分）