2017-2018年广东省佛山市高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
（Ⅰ）求 P 的轨迹 C 的方程． （Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，且|MN|=2 的方程． 19． （12 分）如图，直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的所有棱长均为 2，E 为 CC1 中点． （Ⅰ）求证：A1C1∥平面 BED1； （Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面 BED1 与平面 ABCD 所成锐二面角的东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． （5 分）若命题 p：∃ x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p 为（ A．∃ x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∃ x0∉R，x02+2x0+2＞0 C．∀ x∈R，x2+2x+2≥0 D．∀ x∈R，x2+2x+2＞0 2． （5 分）“a=1”是“关于 x 的方程 x2+a=2x 有实数根”的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ） ） ）
16． （5 分）P 为双曲线 x2﹣
（x﹣4）2+y2=1 上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． ） 17． （10 分）已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标为 A（﹣1，2） ，B（0，﹣1） ， C（4，1） ． （Ⅰ）求顶点 D 的坐标； （Ⅱ）求四边形 ABCD 的面积． 18． （12 分）已知 A 为圆 F： （x﹣4）2+y2=36 上的动点，B 的坐标为（﹣2，0） ， P 在线段 AB 上，满足 = ．
A．1方程为 p：若 9＜k＜25，则曲线 C 为椭圆；
q：若曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线，则 k＜9； 那么，下列命题为真命题的是（ ）
第 1 页（共 21 页）
A．p∧q
B．p∧（￢q） C． （￢p）∧q D． （￢p）∧（￢q） x﹣y+m=0 与曲线 y= 有公共点，则 m 的取值范围
B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=0 ）
6． （5 分）已知双曲线的一条渐近线方程为 y= x，则双曲线方程可以是（ A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
7． （5 分）若圆 C1： （x﹣1）2+y2=1 与圆 C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0 相切，则 m 等于 （ ） C．﹣4 或 16 D．7 或 16 + =1，给定下列两个命题：
20． （12 分）已知抛物线 C 的顶点在原点 O，对称轴是 x 轴，且过点（3，2 （Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
第 3 页（共 21 页）
） ．
（Ⅱ）已知斜率为 k 的直线 l 交 y 轴于点 P，且与曲线 C 相切于点 A，点 B 在曲 线 C 上，且直线 PB∥x 轴，P 关于点 B 的对称点为 Q，判断点 A，Q，O 是否共 线，并说明理由． 21． （12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，△PAB、△ACD、△PBC 均为等边三 角形，AB⊥BC． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAC； （Ⅱ）求直线 CD 与平面 PBC 所成角的正弦值．
第 2 页（共 21 页）
15． （5 分） 《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍 堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体 进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥 A﹣BCD 是一 个“鳖臑”，AB⊥平面 BCD，AC⊥CD，且 AB= 外接球的表面积为 ． =1 右支上一点，M、N 分别是圆（x+4）2+y2=4 和 ． ，BC=CD=1，则三棱锥 A﹣BCD 的
9． （5 分）若直线 是（ A．[﹣5 ） ，4﹣3 ，﹣
] B．[﹣4﹣3 ]
，4﹣3
]
C．[﹣4﹣3
，﹣5
]
D．[﹣5
10． （5 分）已知椭圆 E：
的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 交 E 于 A，B ）
两点． 若过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 135°， 则直线 l 的方程为 （ A．x﹣ B．x C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0
11． （5 分）在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F 分别是 AB，AD 的中 点， PF⊥平面 ABCD， 且 AB=BC=PF= A．30° B．45° C．60° D．90° 12． （5 分）已知双曲线 （a＞0，b＞0） ，以原点为圆心，双曲线的实 ， 则异面直线 PE， CD 所成的角为 （ ）
3． （5 分）两条平行直线 3x+4y﹣12=0 与 ax+8y+11=0 间的距离为（ A． B． C． D．
4． （5 分）已知抛物线 y2=2px（p＞0）上点 M（4，m）到其焦点的距离为 6，则 该抛物线的准线方程为（ A．x=﹣4 B．x=﹣2 ）
C．x=2 D．x=4 ）
5． （5 分）直线 2x﹣3y+2=0 关于 x 轴对称的直线方程为（ A．2x+3y+2=0
22． （12 分）已知椭圆 F 的两个焦点分别为 F1（﹣2，0） ，F2（2，0） ，且经过点 P（ ） ．
（Ⅰ）求椭圆 F 的标准方程； （Ⅱ）△ABC 的顶点都在椭圆 F 上，其中 A，B 关于原点对称，试问△ABC 能否 为正三角形？并说明理由．
第 4 页（共 21 页）
半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 ab，则双曲线的离心率为（ A． B．2 C． D．4 ）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13． （5 分）过点（1，1）且与直线 3x+4y+2=0 垂直的直线方程 14． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． ．
最新题库2017-2018年广东省佛山市高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若命题p：?x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（）A．?x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．?x0?R，x02+2x0+2＞0C．?x∈R，x2+2x+2≥0 D．?x∈R，x2+2x+2＞0是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（）2．（5分）“a=1”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（）A．B．C．D．4．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣2 C．x=2 D．x=45．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（）A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=06．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线方程可以是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0相切，则m等于（）A．16 B．7 C．﹣4或16 D．7或168．（5分）已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）9．（5分）若直线x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围是（）A．[﹣5，4﹣3]B．[﹣4﹣3，4﹣3]C．[﹣4﹣3，﹣5] D．[﹣5，﹣]10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（）A．x﹣ B．x C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=011．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，则异面直线PE，CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD 的面积为ab，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．（5分）《九章算术?商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍nàｏ）”，就是在对长方体堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē 进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．16．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣1，2），B（0，﹣1），C（4，1）．（Ⅰ）求顶点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．18．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）2+y2=36上的动点，B的坐标为（﹣2，0），P在线段AB上，满足=．（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l 的方程．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且经过点P（）．（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△ABC能否为正三角形？并说明理由．2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若命题p：?x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（）A．?x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．?x0?R，x02+2x0+2＞0C．?x∈R，x2+2x+2≥0 D．?x∈R，x2+2x+2＞0【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得若命题p：?x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为?x∈R，x2+2x+2＞0．故选：D．是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（）2．（5分）“a=1”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△=4﹣4a≥0，解得a≤1．是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的充分不必要条件．∴“a=1”故选：A．3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：直线3x+4y﹣12=0，即直线6x+8y﹣24=0，根据直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0平行，可得a=6，故两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为=，故选：C．4．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣2 C．x=2 D．x=4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=2px，则其准线为x=﹣，又由抛物线上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则M到准线的距离为6，则有|4﹣（﹣）|=6，解可得﹣=﹣2，即抛物线的准线方程为x=﹣2；故选：B．5．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（）A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=0【解答】解：点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，﹣y），将直线2x﹣3y+2=0中的x不变，y换为﹣y，可得2x+3y+2=0．故选：A．6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线方程可以是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于B，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于C，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于D，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，符合题意；故选：D．7．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0相切，则m等于（）A．16 B．7 C．﹣4或16 D．7或16【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1；圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0化为（x﹣4）2+（y+4）2=32﹣m，表示以（4，﹣4）为圆心，半径等于的圆；由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5=|﹣1|，解得m=﹣4．两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=+1，解得m=16，综上，m的值为﹣4或16．故选：C．8．（5分）已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：由25﹣k=k﹣9时，2k=34，得k=17时，方程不表示椭圆，即命题p 是假命题，若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，即，得k＜9，即命题q是真命题，则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：C．9．（5分）若直线x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围是（）A．[﹣5，4﹣3]B．[﹣4﹣3，4﹣3]C．[﹣4﹣3，﹣5] D．[﹣5，﹣]【解答】解：显然曲线y=有表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，根据题意画出图形，如图所示：当直线与圆相切时，圆心到直线y=x+m的距离d=r，，解得：m=4﹣3或m=﹣4﹣3（舍去），当直线过（5，0）时，代入得：5+m=0，解得：m=﹣5，则满足题意的m的范围是[﹣5，4﹣3]，故选：A．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（）A．x﹣ B．x C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0【解答】解：由椭圆E：，得a2=18，b2=9，则c=，∴椭圆E：的右焦点为F（3，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），则，，两式作差可得：，即，∵过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，∴，则，即AB所在直线的斜率为，∴直线l的方程为y﹣0=（x﹣3），即x﹣2y﹣3=0．故选：D．11．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，则异面直线PE，CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，P（2，0，2），E（0，1，0），C（2，2，0），D（4，0，0），=（﹣2，1，﹣2），=（2，﹣2，0），设异面直线PE，CD所成的角为θ，则cosθ＝==，∴θ=45°，∴异面直线PE，CD所成的角为45°．故选：B．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD 的面积为ab，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），（x＞0），由对称性可得四边形ABCD为矩形，∵四边形ABCD的面积为ab，∴2x?=ab，∴x=a，将A（a，b）代入x2+y2=a2，可得a2+b2=a2，∴b2=3a2，∴双曲线的离心率e====2，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程4x﹣3y﹣1=0．【解答】解：设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0，把点（1，1）代入可得：4﹣3+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：4x﹣3y﹣1=0．故答案为：4x﹣3y﹣1=0．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12+．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是长方体和圆锥的组合体，其中长方体的长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面半径r=，高为2，∴该几何体的体积：V==12+．故答案为：．15．（5分）《九章算术?商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍nàｏ）”，就是在对长方体堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē 进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4π．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的半径：R====1，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为：S=4πＲ2=4π．故答案为：4π．16．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为5．【解答】解：双曲线的两个焦点为F1（﹣4，0）、F2（4，0），为两个圆的圆心，半径分别为r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|﹣1，故|PM|﹣|PN|的最大值为（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=|PF1|﹣|PF2|+3=5．故答案为：5．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣1，2），B（0，﹣1），C（4，1）．（Ⅰ）求顶点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）如图，设AC∩BD=M，因为四边形ABCD为平行四边形，所以对角线互相平分，又A（﹣1，2），C（4，1）．∴M，又B（0，﹣1），所以顶点D的坐标为（3，4）．（Ⅱ）依题意可得k BC==，故直线BC的方程为y=x﹣1，即x﹣2y﹣2=0，又|BC|==2，点A到直线BC的距离d==．所以四边形ABCD的面积S=|BC|?d=2=14．18．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）2+y2=36上的动点，B的坐标为（﹣2，0），P在线段AB上，满足=．（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），依题意得，即（x﹣x0，y﹣y0）=2（﹣2﹣x，﹣y），所以，解得，又：（x0﹣4）2+y02=36，即x2+y2=4．又|AP|≠0，所以点P的轨迹C的方程为x2+y2=4．（x≠﹣2）．（Ⅱ）因为直线l与曲线C交于M，N两点，且|MN|=2，所以原点O到直线l的距离d==1．若l斜率不存在，直线l的方程为x=﹣1，此时符合题意；若l斜率存在，设直线l的方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0，则原点O到直线l的距离d=，解得k=﹣，此时直线l的方程为4x+3y﹣5=0所以直线l的方程为4x+3y﹣5=0或x=﹣1．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，取BD1的中点F，连结EF，FO．∵AA1∥CC1，且AA1=CC1，∴ACC1A1是平行四边形，故A1C1∥AC．又OF是△BDD1的中位线，∴OF∥DD1，OF=，则OF∥EC，OF=EC，∴四边形OCEF为平行四边形．∴OC∥EF，则A1C1∥EF，又A1C1?平面BED1，EF?平面BED1，∴A1C1∥平面BED1；（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则B（0，1，0），E（，0，1），D1（0，﹣1，2），，，设平面BED1的法向量，则，令y=1，得，显然平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞=，∴平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小为45°．20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），∴，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）点A，Q，O共线，理由如下：设直线l：y=kx+m，联立，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0．①由△=（2km﹣4）2﹣4m2k2=16（1﹣mk）=0，得m=，则直线l：y=kx+，得P（0，），B（，），又P关于点B的对称点为Q，故Q（，），此时，①可化为，解得x=，∴y=kx+=，即A（），∴k OA=k OQ=2k，即点A、Q、O共线．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB=CB，AD=CD，BD为公共边，所以△ABD≌△CBD，所以∠ABD=∠CBD，又AB=CB，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又PA=PC，所以PO⊥AC，又AB⊥BC，所以OA=OB=OC，结合PA=PB，可得Rt△POA≌Rt△POB，所以∠POB=∠POA=90°，即PO⊥OB，又OA∩OB=O，故PO⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以PO⊥BD．又PO∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，不妨设OA=1，易得OP=1，OD=，则P（0，0，1），B（﹣1，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），所以，，，设平面PBC的法向量为，则，得，设直线CD与平面PBC所成角为θ，则|cos|=||==，sinθ＝所以CD与平面PBC所成角的正弦值为．22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且经过点P（）．（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△ABC能否为正三角形？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆F的标准方程为（a＞b＞0），依题意得c=2，2a=|PF1|+|PF2|=，∴a=，则b2=a2﹣c2=6，故椭圆F的标准方程为；（Ⅱ）若△ABC为正三角形，则AB⊥OC且|OC|=|OA|，显然直线AB的斜率存在且不为0，设AB方程为y=kx，则OC的方程为y=﹣，联立，解得，，∴|OA|=，同理可得|OC|=．又|OC|=|OA|，∴，化简得：k2=﹣3，k无实数解，∴△ABC不可能为正三角形．。
广东省佛山市2017-2018学年高二上学期期末教学质量检测数学(理)试题(无答案)
2017～2018学年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分．考试时间120分钟． 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷和答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若命题2000:,220,p x R x x p ∃∈++≤⌝则为( )A ．022,0200>++∈∃x x R xB ． 022,0200>++∉∃x x R xC ． 022,2≥++∈∀x x R xD ． 022,2>++∈∀x x R x 2．“1=a ”是“关于x 的方程x a x 22=+有实数根”的( )A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．两条平行直线01243=-+y x 与0118=++y ax 间的距离为( )A ．1013B ．513C.27D ．523 4．已知抛物线px y 22=()0>p 上点M ()m ,4到焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为( )A ．4-=xB ．2-=xC ．2=xD ．4=x5．直线0232=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为( )A ．0232=++y xB ．0232=-+y xC ．0232=--y xD ．0232=+-y x 6．已知双曲线的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线方程可以是( ) A ．14322=-y x B ． 14322=-x y C ．191622=-y x D ．191622=-x y 7．若圆1C ：()1122=+-y x 与圆088:222=++-+m y x y x C 相切，则m 等于( )A ．16B ．7C ．-4或16D ．7或168．已知曲线C 的方程为221259x y k k +=--，给定下列两个命题： p ：若9<k<25，则曲线C 为椭圆q ：若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则k<9.2018年1月那么，下列命题为真命题的是( ) A ． q p ∧B ．)(q p ⌝∧C ．q p ∧⌝)(D ．)()(q p ⌝∧⌝90y m -+=与直线2)3(4--=x y 有公共点，则m 的取值范围是( )A ．4⎡--⎣B ．[]334,334---C ．[]35,334---D ． []3,35--10．已知椭圆E ：22+1189x y =的右焦点为F ，过点F 的直线l 交E 于B A ,两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为︒135，则直线l 的方程为( )A ． 03-y 2-x =B ．03-y 2x =+C ． 03-y -x =D ． 03-2y -x = 11．在直角梯形ABCD 中，FE AD AB BC AD ,,,//⊥分别是AD AB ,的中点，⊥PF 平面ABCD ，且，221====AD PF BC AB 则异面直线CD PE ,所成的角为( ) A ．︒30 B ． ︒45 C ． ︒60 D ．︒9012．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐进线相交于A ,B .C .D 四点，四边形ABCD 的面积为ab ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．5D ． 4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分．13．过点）（1,1且与直线024x 3=++y 垂直的直线方程 ． 14．一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为 ．15．《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē nào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥。
广东省佛山市高二上学期期末教学质量检测数学(理)试题
2018年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若命题2000:,220p x x x ∃∈++≤R ，则p ⌝为（ ） A ．2000,220x x x ∃∈++>R B ．2000,220x x x ∃∉++>R C ．2,220x x x ∀∈++≥R D ．2,220x x x ∀∈++>R2．“1a =”是“关于x 的方程22x a x +=有实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离为（ ） A ．1310 B ．135 C ．72 D ．2354．已知抛物线()220y px p =>上点()4,M m 到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．4x =-B ．2x =-C ．2x =D ．4x = 5．直线2320x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．2320x y ++=B ．2320x y +-=C ．2320x y --=D ．2320x y -+=6．已知双曲线一条渐近线方程为43y x =，则双曲线方程可以是（ ） A ．22134x y -= B ．22134y x -= C ．221169x y -= D ．221169y x -= 7．若圆()221:11C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 等于（ ）A ．16B ．7C ．-4或16D ．7或168．已知曲线C 的方程为221259x y k k +=--，给定下列两个命题： p ：若925k <<，则曲线C 为椭圆；q ：若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则9k <.那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝90y m -+=与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．4⎡--⎣B ．44⎡---⎣C ．4⎡---⎣D ．⎡-⎣10．已知椭圆22:1189x y E +=的右焦点为F ，过点F 的直线l 交E 于,A B 两点.若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为135°，则直线l 的方程为（ ）A ．30x --=B ．30x +-=C ．30x y --=D ．230x y --=11．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD ⊥，,E F 分别是,AB AD 的中点，PF ⊥平面ABCD ，且122AB BC PF AD ====，则异面直线,PE CD 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为ab ，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．过点()1,1且与直线3420x y ++=垂直的直线方程 ．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．15．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（bi ē n ào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥A BCD -是一个“鳖臑”，AB ⊥平面BCD ，AC CD ⊥，且AB =，1BC CD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．16．P 是双曲线22115y x -=右支上一点，,M N 分别是圆()2244x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标为()1,2A -，()0,1B -，()4,1C . （Ⅰ）求顶点D 的坐标； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.18．已知A 为圆()22:436x y Γ-+=上的动点，B 的坐标为()2,0-，P 在线段AB 上，满足12BP AP =. （Ⅰ）求P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）过点()1,3-的直线l 与C 交于,M N 两点，且MN =l 的方程. 19．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，E 为1CC 中点.（Ⅰ）求证：11A C ∥平面1BED ；（Ⅱ）若60DAB ∠=︒，求平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.20．已知抛物线C 的顶点在原点O ，对称轴是x 轴，且过点(3,. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x ∥轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆、ACD ∆、PBC ∆均为等边三角形，AB BC ⊥. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值.22．已知椭圆Γ的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，且经过点53,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）ABC ∆的顶点都在椭圆Γ上，其中A B 、关于原点对称，试问ABC ∆能否为正三角形？并说明理由.2017~2018年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题1-5：DACBA 6-10：DCCAD 11、12：BB二、填空题13．4310x y --= 14．3122π+15．4π 16．5 三、解答题17．解：(Ⅰ)如图，设AC BD M =I ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分， 又()1,2A -，()4,1C ，所以33,22M ⎛⎫⎪⎝⎭， 又()0,1B -，所以顶点D 的坐标为()3,4.(Ⅱ)依题意可得111402BC k +==-， 故直线BC 的方程为112y x =-，即220x y --=，又BC ==点A 到直线BC的距离d ==所以四边形ABCD的面积145S BC d ===. 18．解：(Ⅰ)设点P 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，依题意得2AP PB =uu u r uu r，即()()00,22,x x y y x y --=---，所以()00222x x x y y y-=--⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得00343x x y y =+⎧⎨=⎩， 又()2200436x y -+=，所以229936x y +=，即224x y +=又0AP ≠，所以点P 的轨迹C 的方程为()2242x y x +=≠-. (Ⅱ)因为直线l 与曲线C 交于,M N两点，且MN =， 所以原点O 到直线l的距离1d ==.若l 斜率不存在，直线l 的方程为1x =-，此时符合题意；若l 斜率存在，设直线l 的方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=， 则原点O 到直线l的距离1d ==，解得43k =-，此时直线l 的方程为4350x y +-=所以直线l 的方程为4350x y +-=或1x =-.19．解：(Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，取1BD 中点F ，连结,EF FO .因为11AA CC ∥，所以11ACC A 是平行四边形，故11AC AC ∥.又OF 是1BDD ∆的中位线，故112OF DD ∥，所以OF EC ∥， 所以四边形OCEF 为平行四边形. 所以OC EF ∥，所以11AC EF ∥， 又11A C ⊄平面1BED ，EF ⊂平面1BED ， 所以11A C ∥平面1BED.(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则()0,1,0B，()E ，()10,1,2D -，()1,1BE =-uur ，()10,2,2BD =-uuu r，设平面1BED 的法向量()1,,n x y z =u r，则11100n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uuu r，即0220y z y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得0x z y=⎧⎨=⎩，令1y =，得()10,1,1n =u r，显然平面ABCD 的一个法向量()20,0,1n =u u r，所以121212cos ,n n n n n n ⋅===u r u u ru r u u r u r u u r ， 所以平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为45°.20．解：(Ⅰ)根据题意，可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，所以(223p =⋅，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. (Ⅱ)点,,A Q O 共线，理由如下：设直线:l y kx m =+，联立24y xy kx m⎧=⎨=+⎩得()222240k x mk x m +-+=(*)由()()2222441610mk m k mk ∆=--=-=，解得1m k=， 则直线1:l y kx k =+，得10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又P 关于点B 的对称点为Q ，故211,2Q k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，(*)可化为222120k x x k -+=，解得21x k=，故12y kx k k =+=，即212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2OA OQ k k k ==，即点,,A Q O 共线.21．解：(Ⅰ)因为AB CB =，AD CD =，BD 为公共边， 所以ABD CBD ∆≅∆，所以ABD CBD ∠=∠，又AB BC =， 所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点. 又PA PC =，所以PO AC ⊥，又AB BC ⊥，所以OA OB OC ==，结合PA PB =， 可得Rt Rt POA POB ∆≅∆， 所以90POB POA ∠=∠=︒， 即PO OB ⊥，又OA OB O =I ，故PO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥. 又PO AC O =I ，所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，不妨设1OA =，易得1OP =，OD =则()0,0,1P ，()1,0,0B -，()0,1,0C，)D， 所以()0,1,1PC =-uu u r ，()1,1,0BC =uu u r，)1,0CD =-uu u r ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则 0n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu ur ，即00y z x y -=⎧⎨+=⎩，解得x y z y =-⎧⎨=⎩， 令1y =得()1,1,1n =-r，设直线CD 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,n CD n CD n CD θ⋅==r uu u r r uu u r r uu ur 36==， 所以CD 与平面PBC22．解：(Ⅰ)设椭圆Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得2c =，122a PF PF =+==，所以a =222b ac =-，故椭圆Γ的标准方程为221106x y +=. (Ⅱ)若ABC ∆为正三角形，则AB OC ⊥且OC OA =，显然直线AB 的斜率存在且不为0， 设AB 方程为y kx =，则OC 的方程为1y x k =-，联立方程223530y kx x y =⎧⎨+=⎩， 解得223053x k =+，2223053k y k =+，所以OA ==同理可得OC ==又OC OA ==化简得23k =-无实数解， 所以ABC ∆不可能为正三角形.。
广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷(含解析)
广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知点A(m,2)，B(3,4)，直线AB的倾斜角为45∘，那么m的值为()A. −1B. 1C. 2D. 52.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (−2,0) D. (−4,0)3.双曲线x216−y24=1的渐近线方程为()A. x±2y=0B. 2x±y=0C. 4x±y=0D. x±4y=04.设命题p：∃x∈R，e x>x+1.则￢p为()A. ∀x∈R，e x>x+1B. ∃x∈R，e x≤x+1C. ∀x∈R，e x≤x+1D. ∃x∈R，e x=x+15.过两直线l1：x−3y+1=0，l2：x+2y+6=0的交点且与3x+y−1=0平行的直线方程为()A. x−3y+1=0B. 3x+y+7=0C. x−3y−1l=0D. 3x+y+13=06.若曲线mx2+ny2=1(m,n∈R)是焦点在x轴上的椭圆，则下列结论正确的是()A. 0<m<nB. 0<n<mC. m2>n2D. 1m <1n7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A. 38+4πB. 38+5πC.6π D. 38+7π38+8.已知命题p：“∀a∈R，直线ax−y−3a=0都经过一定点”，命题q：“∃t∈R，方程x2+y2+2ty+2t2=0表示圆”.则下列命题为真的是()A. p∧qB. p∧(￢q)C. (￢p)∨qD. (￢p)∨(￢q)9.已知f(x)=x(|x|+1)，且a，b为实数，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为()A. 27：32B. 3：8C. 3√3：16D. 9：3211.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为()A. x236+y216=1B. x240+y215=1C. x249+y224=1D. x245+y220=112.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为√2，动点P在对角线BD上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为L，则L的最大值为()A. 3√2B. 6C. 3√6D. 9√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点A(4,0)和点B(0,−2)的直线方程为______．14.在体积为√32的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(4,0).若直线x−y+m=0上存在点P使得PB=2PA，则实数m的取值范围是______．16.已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FB//l1且交l2于点B，过点B作BA⊥l2且交l1于点A，若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C：(x−2)2+y2=4，直线l1：y=kx−1，l2：y=√3x(1)若圆C上存在两点关于直线l1对称，求实数k的值；(2)若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值．18.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1切掉三棱锥C−B1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D的截面分别交CD1，B1D1于点E，F．(1)证明：B1C//平面A1DEF；(2)求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．19.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：2x−3y+4=0与抛物线交于A，B两点．(1)求|AF|+|BF|的值；(2)能否在x轴上找到点P，使得∠APB=90∘？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．20.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=∠BAA1=∠CAA1=60∘，AB=AC=2AA2，D为BC的中点．3(1)证明：AD⊥平面A1BC；(2)求直线A 1C与平面A1B1D所成角的正弦值．21.如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？22.已知椭圆C的两个焦点坐标分别为F1(−√3,0)，F2(√3,0)，一个顶点为B(0,−1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点A的坐标为(4,0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)是C上的两点且x1≠x2，直线AM，AN关于x轴对称，求△AMN的面积S的取值范围．广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23.已知点A(m,2)，B(3,4)，直线AB的倾斜角为45∘，那么m的值为()A. −1B. 1C. 2D. 5【答案】B【解析】解：由点A(m,2)，B(3,4)，得k AB=4−23−m =23−m，又直线AB的倾斜角为45∘，∴k AB=tan45∘=1．则23−m=1，解得m=1．故选：B．由两点坐标求出直线的斜率，进一步求得m得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．24.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (−2,0) D. (−4,0)【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的准线为：x=−1，所以抛物线与x轴的交点的坐标(−1,0)．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．25.双曲线x216−y24=1的渐近线方程为()A. x±2y=0B. 2x±y=0C. 4x±y=0D. x±4y=0【答案】A【解析】解：双曲线x216−y24=1的a=4，b=2，可得渐近线方程为y=±12x，即有2y=±x．故选：A．程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．26. 设命题p ：∃x ∈R ，e x >x +1.则￢p 为( )A. ∀x ∈R ，e x >x +1B. ∃x ∈R ，e x ≤x +1C. ∀x ∈R ，e x ≤x +1D. ∃x ∈R ，e x =x +1【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 则￢p ：∀x ∈R ，e x ≤x +1， 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，利用特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基础．27. 过两直线l 1：x −3y +1=0，l 2：x +2y +6=0的交点且与3x +y −1=0平行的直线方程为( )A. x −3y +1=0B. 3x +y +7=0C. x −3y −1l =0D. 3x +y +13=0【答案】D【解析】解：两直线l 1：x −3y +1=0，l 2：x +2y +6=0的交点为{x +2y +6=0x−3y+1=0，解得{y =−1x=−4，即(−4,−1)；设与3x +y −1=0平行的直线方程为3x +y +m =0， 则3×(−4)+(−1)+m =0， 解得m =13，所求的直线方程为3x +y +13=0． 故选：D ．求出两直线l 1、l 2的交点坐标，再设与3x +y −1=0平行的直线方程为3x +y +m =0，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程． 本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．28. 若曲线mx 2+ny 2=1(m,n ∈R)是焦点在x 轴上的椭圆，则下列结论正确的是()A. 0<m <nB. 0<n <mC. m 2>n 2D. 1m <1n【答案】A【解析】解：方程mx2+ny2=1即：x 21 m +y21n=1示焦点在x轴上的椭圆，可得：1m >1n>0，解得n>m>0．故选：A．化简椭圆方程为标准方程，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．29.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A. 38+4πB. 38+5πC. 38+6πD. 38+7π【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体．∴这个几何体的表面积=4π×1+1×(2×3+2×4)+2×3×4=38+4π．故选：A．由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体.利用表面积计算公式即可得出．本题考查了圆柱与长方体的三视图、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30.已知命题p：“∀a∈R，直线ax−y−3a=0都经过一定点”，命题q：“∃t∈R，方程x2+y2+2ty+2t2=0表示圆”.则下列命题为真的是()A. p∧qB. p∧(￢q)C. (￢p)∨qD. (￢p)∨(￢q)【答案】B【解析】解：由ax−y−3a=0得a(x−3)−y=0，当x=3时，y=0，即直线过定点(3,0)，则命题p是真命题，由x2+y2+2ty+2t2=0得x2+(y+t)2=−t2≤0，则方程无法表示圆，即命题q 是假命题，则p∧(￢q)是真命题，其余为假命题，分别判断p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．31.已知f(x)=x(|x|+1)，且a，b为实数，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当x≥0时，f(x)=x(x+1)=x2+x，对称轴为x=−12，此时f(x)为增函数，且f(x)≥0，当x<0时，f(x)=x(−x+1)=−x2+x，对称轴为x=12，此时f(x)为增函数，且f(x)<f(0)=0，综上函数f(x)为增函数，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件，故选：C．根据条件判断函数f(x)的单调性，结合函数单调性性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质判断函数f(x)的单调性是解决本题的关键．32.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为()A. 27：32B. 3：8C. 3√3：16D. 9：32【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如下图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，结合图形可得2r=2Rcos30∘=√3R，所以，r=√32R，圆锥的高为ℎ=√(2r)2−r2=√3r=√3×√32R=32R，所以，圆锥的体积为13πr2ℎ=13π×(√32R)2×32R=3πR38，因此，圆锥的体积与球的体积之比为3πR384πR33=38⋅34=932．故选：D．设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，考查圆锥体积的计算，解决本题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考查计算能力，属于中等题．33.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为()A. x236+y216=1B. x240+y215=1C. x249+y224=1D. x245+y220=1【答案】C【解析】解：根据题意，设椭圆的右焦点为M，连接PM，则|FM|=2|OF|=10，由|OP|=|OF|=|OM|知，∠PFM=∠FPO，∠OMP=∠OPM，所以∠PFM+∠OMP=∠FPO+∠OPM，又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM=180∘知，∠FPO+∠OPM=90∘，即PF⊥PM．又由|FM|=10，|PF|=6，则|PM|=√100−36=8，则2a=|PF|+|PM|=14，则a=7，又由c=5，则b2=a2−c2=49−25=24，则椭圆的方程为：x249+y224=1，故选：C．设椭圆的右焦点为M，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFM为直角三角形；由勾股定理计算可得|PM|；由椭圆的定义2a=|PF|+|PM|，可得a的值，结合椭圆的几本题考查椭圆的定义及其几何特征.对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a ，b ，c 的三个方程，这样才能确定a 2，b 2，属于中档题．34. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为√2，动点P 在对角线BD 上，过点P 作垂直于BD 1的平面α，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为L ，则L 的最大值为( )A. 3√2B. 6C. 3√6D. 9√2【答案】B【解析】解：∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为√2， ∴BD 1=√2+2+2=√6，当BP =√62时，即当截面过体对角线BD 1的中点时，此时截面为正六边形，其定点为各棱的中点，(如图)L 取最大值∴截面周长L 取最大值为6×√(√22)2+(√22)2=6．故选：B ．推导出BD 1=√6，当BP =√62时，当截面过体对角线BD 1的中点时，截面为正六边形，其定点为各棱的中点，L 取最大值，由此能求出截面周长L 的最大值．本题考查几何体中动点问题，截面周长问题.转化思想，平移平面，找到截面最大时动点位置是关键.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 35. 过点A(4,0)和点B(0,−2)的直线方程为______． 【答案】x −2y −4=0【解析】解：由题意可得，过点A(4,0)和点B(0,−2)的截距式方程为：x4+y−2=1，即x −2y −4=0．故答案为：x −2y −4=0．直接写出直线的截距式方程化为一般式即可． 本题考查直线的截距式方程，是基础题．36. 在体积为√32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =1，BC =2，BD =3，则CD 长度的所有值为______．【答案】√7,√19 【解析】解：如图，在四面体ABCD 中，∵AB ⊥平面BCD ，∴AB 为以BCD 为底面的三棱锥的高， ∵V A−BCD =√32，AB =1，∴由13S △BCD ⋅AB =√32，得S △BCD =3√32． 又BC =2，BD =3，得12×2×3×sinB =3√32，得sinB =√32，∴cosB =±12．当cosB =12时，CD 2=22+32−2×2×3×12=7，则CD =√7； 当cosB =−12时，CD 2=22+32−2×2×3×(−12)=19，则CD =√19． ∴CD 长度的所有值为√7，√19． 故答案为：√7，√19．由已知求得△BCD 的面积，再由面积公式求得sinB ，进一步求得cosB ，再由余弦定理求得CD 长度．本题考查棱锥的结构特征，考查了棱锥的体积公式，训练了余弦定理的应用，是中档题．37. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(1,0)，B(4,0).若直线x −y +m =0上存在点P 使得PB =2PA ，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[−2√2,2√2] 【解析】解：设P(x,x +m)， ∵2PA =PB ， ∴4|PA|2=|PB|2，∴4(x −1)2+4(x +m)2=(x −4)2+(x +m)2， 化为(x +m)2=4−x 2， ∴4−x 2≥0，解得x ∈[−2,2]，∴m =−x ±√4−x 2，令x =2cosθ，θ∈[0,π]，∴m =−2cosθ±2sinθ=±2√2sin(θ±π4)∈[−2√2,2√2]，实数m 的取值范围是[−2√2,2√2]， 故答案为[−2√2,2√2].设P(x,x +m)，由2PA =PB ，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：(x +m)2=4−x 2，可得：m =−x ±√4−x 2，x ∈[−2,2].通过三角函数代换即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．38. 已知双曲线C 的两条渐近线为l 1，l 2，过右焦点F 作FB//l 1且交l 2于点B ，过点B作BA ⊥l 2且交l 1于点A ，若AF ⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为______． 【答案】2√33【解析】解：设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)， 渐近线方程为l 1：y =ba x ，l 2：y =−ba x ， 由题意可设F(c,0)，由AF ⊥x 轴， 令x =c ，代入l 1的方程可得y =bc a，即有A(c,bca )，过右焦点F 作FB//l 1且交l 2于点B ，由FB 的方程y =b a (x −c)，联立直线l 2：y =−ba x ， 解得B(c 2,−bc2a )，再由BA ⊥l 2，可得k AB =ab ， 即有bc a −(−bc2a)c−c 2=ab ，化为a 2=3b 2，由b 2=c 2−a 2，可得： c 2=43a 2，由e =ca 可得e =2√33．故答案为：2√33． 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)，渐近线方程为l 1：y =b a x ，l 2：y =−ba x ，由x =c 代入l 1的方程可得A 的坐标；由两直线平行的条件可得直线FB 的方程，联立直线l 2的方程可得B 的坐标，再由BA ⊥l 2，运用直线的斜率公式和垂直的条件：斜率之积为−1，结合离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，直线平行和垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39. 已知圆C ：(x −2)2+y 2=4，直线l 1：y =kx −1，l 2：y =√3x(1)若圆C 上存在两点关于直线l 1对称，求实数k 的值；(2)若l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k 的值． 【答案】解：(1)圆C ：(x −2)2+y 2=4的圆心为C(2,0)， 圆C 上存在两点关于直线l 1：y =kx −1对称， 则直线l 1过圆心，∴2k −1=0，解得k =12；(2)由直线l2：y=√3x，得√3x−y=0，则圆心C到直线l2的距离为d2=√3√3+1=√3，∴l2被圆C所截得的弦长为2√4−3=2；又直线l1、l2被圆C所截得的弦长之比为1：2，∴l1被圆C所截得的弦长为1，由l1：y=kx−1，得kx−y−1=0；则圆心C到直线l1的距离d1=√k2+1=√4−(12)2，整理得k2−16k−15=0，解得k=8±5√3．【解析】(1)由题意知直线l1过圆心C，代入点的坐标求出k的值；(2)求出圆心C到直线l2的距离和被圆C所截得的弦长，再求出直线l1被圆C所截得的弦长与圆心C到直线l1的距离，列方程求出k的值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，是中档题．40.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1切掉三棱锥C−B1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D的截面分别交CD1，B1D1于点E，F．(1)证明：B1C//平面A1DEF；(2)求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．【答案】证明：(1)∵AB//CD，AB=CD，AB//A1B1，AB=A1B1，∴CD//A1B1，CD=A1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴B1C//A1D，又B1C⊄平面A1FED，A1D⊂平面A1FED，∴B1C//平面A1DEF．解：(2)由(1)得B1C//平面A1DEF，又B1C⊂平面B1CD1，平面B1CD1∩平面A1DEF=EF，∴B1C//EF，∴∠A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角(或所成角的补角)，设正方休的棱长为a，则A1B1=a，B1C=√2a，A1C=√3a，∴在Rt△A1B1C中，cos∠A1CB1=B1CA1C =√2a√3a=√63，∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为√63．【解析】(1)推导出CD//A1B1，CD=A1B1，从而四边形A1B1CD是平行四边形，进而B1C//A1D，由此能证明B1C//平面A1DEF．(2)推导出B1C//EF，从而∠A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线A1C与EF所成角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．41.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：2x−3y+4=0与抛物线交于A，B两点．(1)求|AF|+|BF|的值；(2)能否在x轴上找到点P，使得∠APB=90∘？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1，由直线l：2x−3y+4=0，联立抛物线方程可得y2−6y+8=0，解得y1=2，y2=4，即有A(1,2)，B(4,4)，则|AF|+|BF|=(1+1)+(4+1)=7；(2)假设在x轴上找到点P(a,0)，使得∠APB=90∘，由A(1,2)，B(4,4)，可得k AP k BP=−1，即21−a ⋅44−a=−1，即为a2−5a+12=0，由△=25−48<0，可得方程无解，故不存在P，使得∠APB=90∘．【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程，联立准线方程和抛物线方程，求交点，结合抛物线的定义，可得所求和；(2)假设在x轴上找到点P(a,0)，使得∠APB=90∘，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程可得结论．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立求交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．42. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =∠BAA 1=∠CAA 1=60∘，AB =AC =23AA 2，D 为BC 的中点．(1)证明：AD ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1B 1D 所成角的正弦值．【答案】证明：(1)设AB =2a ，则AA 1=3a ， ∵AB =AC =2a ，∠BAC =60∘，∴BC =2a ，AD ⊥BC ，且AD =√3a ，∵AB =AC =2a ，∠BAA 1=∠CAA 1=60∘，AA 1=AA 1=3a ， ∴△ABA 1≌△ACA 1，A 1B =A 1C =√4a 2+9a 2−2×2a ×3a ×cos60∘=√7a ，∴A 1D ⊥BC ，∵A 1D =√7a 2−a 2=√6a ，∴AD 2+A 1D 2=AA 12，∴AD ⊥A 1D ，又BC ∩A 1D =D ，∴AD ⊥平面A 1BC ． 解：(2)由(1)可如图建立空间直角坐标系，则A 1(0,0，√6a)，C(0,−a,0)，D(0,0，0)，A(√3a,0，0)，B(0,a ，0)， ∴A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a,−√6a)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√6a)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3a,a,0)， 设平面A 1B 1D 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则由{n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√6az =0n ⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3ax +ay =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,0)， 设直线A 1C 与平面A 1B 1D 所成角为θ． 则sinθ=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=√3a√7a⋅2=√2114． ∴直线A 1C 与平面A 1B 1D 所成角的正弦值为√2114．【解析】(1)设AB =2a ，则AA 1=3a ，推导出△ABA 1≌△ACA 1，从而A 1D ⊥BC ，再求出AD ⊥A 1D ，由此能证明AD ⊥平面A 1BC ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1C 与平面A 1B 1D 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．43. 如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A(a,0)，B(0,b)(0<a<1,0<b<1)，则直线AB方程为xa +yb=1，即bx+ay−ab=0．因为AB与圆C：(x−1)2+(y−1)2=1相切，所以√b2+a2=1，化简得ab−2(a+b)+2=0，即ab=2(a+b)−2，因此AB=√a2+b2=√(a+b)2−2ab=√(a+b)2−4(a+b)+4=√(a+b−2)2，因为0<a<1，0<b<1，所以0<a+b<2，于是AB=2−(a+b)．又ab=2(a+b)−2≤(a+b2)2，解得0<a+b≤4−2√2，或a+b≥4+2√2，因为0<a+b<2，所以0<a+b≤4−2√2，所以AB=2−(a+b)≥2−(4−2√2)=2√2−2，当且仅当a=b=2−√2时取等号，所以AB最小值为2√2−2，此时a=b=2−√2．答：当A，B两点离道路的交点都为2−√2(百米)时，小道AB最短．【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.设A(a,0)，B(0,b)(0<a< 1,0<b<1)，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．本题考查基本不等式在最值问题中的运用，同时考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．44. 已知椭圆C 的两个焦点坐标分别为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，一个顶点为B(0,−1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点A 的坐标为(4,0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是C 上的两点且x 1≠x 2，直线AM ，AN 关于x 轴对称，求△AMN 的面积S 的取值范围．【答案】解：(1)∵椭圆C 的两个焦点坐标分别为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，一个顶点为B(0,−1)．∴椭圆C 的焦点在x 轴上，可设标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)， 且b =1，a 2=12+(√3)2=4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设直线MN 的方程为x =kx +m ，(k ≠0)， 联立{x =ky +m x 24+y 2=1，整理，得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0，∴y 1+y 2=−2km k 2+4，y 1y 2=m 2−4k +4，∵关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0，即y 1x 1−4+y 2x 2−4=0，∴y 1ky 1+m−4+y1ky 2+m−4=0，∴2ky 1y 2+(m −4)(y 1+y 2)=0，∴2k(m 2−4)k 2+4−2km(m−4)k 2+4=0，解得m =1，∴直线MN 的方程为x =ky +1，直线MN 过定点B(1,0)， 又|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−2k k 2+4)2−4⋅(−3)k 2+4=4√1k 2+4−1(k 2+4)2，令1k 2+4=t ，则t ∈(0,14)，∴|y 1−y 2|=4√t −t 2∈(0,√3)， ∴△AMN 的面积S =12|AB||y 1−y 2|=32|y 1−y 2|∈(0,3√32). ∴△AMN 的面积S 的取值范围是(0,3√32). 【解析】(1)椭圆C 的焦点在x 轴上，可设标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)，且b =1，a 2=12+(√3)2=4，由此能求出椭圆C 的标准方程． (2)设直线MN 的方程为x =kx +m ，(k ≠0)，联立{x =ky +m x 24+y 2=1，得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0，由此利用韦达定理、关于x 轴对称的直线的性质、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出△AMN 的面积S 的取值范围．本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形的面积的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
2017年广东省佛山市高二上学期期末数学试卷与解析答案(理科)
2016-2017学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）过点A（2，1），且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣5=02．（5分）“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的（）A．充分条件不必要 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若命题“p∧（￢q）”与“￢p”均为假命题，则（）A．p真q真B．p假q真C．p假q假D．p真q假4．（5分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，则l平行于α内的所有直线B．若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥βC．若l⊂β，l⊥α，则α⊥βD．若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l5．（5分）在两坐标轴上截距均为m（m∈R）的直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，则m=（）A．B．7 C．﹣或D．﹣1或76．（5分）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为60°，则此圆锥的表面积为（）A．3πB．5πC．7πD．9π7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=BA=BC，则直线PB与平面PAC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）已知圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，当m取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（）A．48 B．54 C．24D．369．（5分）已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x=上存在点B使∠APB=60°，则t的取值范围是（）A．（0，1+]B．[0，1+]C．[﹣1﹣，1+]D．[﹣1﹣，0）∪（0，1+]10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，2） B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）11．（5分）矩形ABCD沿BD将△BCD折起，使C点在平面ABD上投影在AB上，折起后下列关系：①△ABC是直角三角形；②△ACD是直角三角形；③AD∥BC；④AD⊥BC．其中正确的是（）A．①②④B．②③C．①③④D．②④12．（5分）一架战斗机以1000千米/小时速度朝东偏北45°方向水平飞行，发现正东100千米外同高度有一架民航飞机正在以800千米/小时速度朝正北飞行，如双方都不改变速度与航向，两机最小距离在哪个区间内（单位：千米）（）A．（0，5） B．（5，10）C．（10，15）D．（15，20）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．14．（5分）已知椭圆的两焦点坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），并且过点（2，），则该椭圆的标准方程是．15．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，直线l：ax﹣y﹣4a+2=0（a∈R）与圆C相交于M、N两点，设P（4，2），则|PM|+|PN|的取值范围是．16．（5分）四面体ABCD中，AB=2，BC=CD=DB=3，AC=AD=，则四面体ABCD 外接球表面积是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知某几何体如图1所示．（1）根据图2所给几何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1），画出几何图形的侧视图，并求该侧视图的面积；（2）求异面直线AC与EF所成角的余弦值．18．（12分）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B坐标为（2，﹣1），C、D均在第一象限．（I）求直线CD的方程；（II）若|BC|=，求点D的横坐标．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分别为BD、AC的中点．（I）证明：EF⊥CD；（II）若BC=CD=AD=1，求点E到平面ABC的距离．20．（12分）已知动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为．（I）求动点P的轨迹方程；（II）若点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（﹣4，2），是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，AA1=2，AD=1，E、F 分别是AA1和BB1的中点，G是DB上的点，且DG=2GB．（I）作出长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面（只需作出，说明结果即可）；（II）求证：GF∥平面EB1C；（III）设长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截得的两部分几何体体积分别为V1、V2（V1＞V2），求的值．22．（12分）已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，∠MFx=60°且|FM|=4．（I）求抛物线C的方程；（II）已知D（﹣1，0），过F的直线l交抛物线C与A、B两点，以F为圆心的圆F与直线AD相切，试判断圆F与直线BD的位置关系，并证明你的结论．2016-2017学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）过点A（2，1），且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣5=0【解答】解：设要求的直线方程为：2x﹣y+m=0，把点A（2，1）代入可得：4﹣1+m=0，解得m=﹣3．可得要求的直线方程为：2x﹣y﹣3=0，故选：C．2．（5分）“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的（）A．充分条件不必要 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x﹣2y﹣1=0与6x﹣4y+c=0，当c=﹣1时，两直线重合，所以两直线不一定平行；反之，当“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”成立时，有，所以a=3；所以“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的必要不充分条件，故选B．3．（5分）若命题“p∧（￢q）”与“￢p”均为假命题，则（）A．p真q真B．p假q真C．p假q假D．p真q假【解答】解：∵命题“￢p”为假命题，∴p为真命题，又∵“p∧（￢q）”为假命题，故命题“￢q”为假命题，∴q为真命题，故选：A．4．（5分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，则l平行于α内的所有直线B．若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥βC．若l⊂β，l⊥α，则α⊥βD．若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l【解答】解：由线面平行的性质定理：若l∥α，l⊆β，α∩β=m，则l∥m可知，A错误；若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α、β位置关系不确定，B错误；根据平面与平面垂直的判定定理，可知C正确；由平面与平面平行的性质定理，可知D不正确．故选C．5．（5分）在两坐标轴上截距均为m（m∈R）的直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，则m=（）A．B．7 C．﹣或D．﹣1或7【解答】解：设直线l1的方程为2x+2y﹣2m=0，∵直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，∴=，∴m=﹣或，故选C．6．（5分）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为60°，则此圆锥的表面积为（）A．3πB．5πC．7πD．9π【解答】解：设母线长为l，则，解得：l=6．∴圆锥的表面积为π•1•6+π•12=7π，故选：C．7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=BA=BC，则直线PB与平面PAC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，设PA=PC=BA=BC=a，取AC中点O，连接PO，BO，则BO⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，∴BO⊥平面PAC，则∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角，∵PA=PC=BA=BC，AC=AC，∴△PAC≌△BAC，则PO=OB，∴∠BPO=45°，故选：B．8．（5分）已知圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，当m取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（）A．48 B．54 C．24D．36【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，则m≥2，则m取最小值2时，阴影部分的面积最小，由得，即C（2，﹣6），由得，即A（2，12），由得，即B（﹣4，0），则三角形的面积S=[2﹣（﹣4）][12﹣（﹣6）]==54，故选：B．9．（5分）已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x=上存在点B使∠APB=60°，则t的取值范围是（）A．（0，1+]B．[0，1+]C．[﹣1﹣，1+]D．[﹣1﹣，0）∪（0，1+]【解答】解：曲线x=，即x2+y2=3（0≤x），如图所示的半圆，取B（0，）时，∵∠APB=60°，∴k PB==，解得t=1+，利用圆的对称性可得：，0）∪．故选：D．10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，2） B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，AF=a+c，|BC|=过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，只要∠FAB为锐角，即|BC|＜AF；所以有＜a+c，即c2﹣a2＜a2+ac，即：e2﹣e﹣2＜0解出e∈（1，2），故选：A．11．（5分）矩形ABCD沿BD将△BCD折起，使C点在平面ABD上投影在AB上，折起后下列关系：①△ABC是直角三角形；②△ACD是直角三角形；③AD∥BC；④AD⊥BC．其中正确的是（）A．①②④B．②③C．①③④D．②④【解答】解：已知如图：折起后C记为P点，由P（C）O⊥底面ABD，可得P（C）O⊥AD，又由AB⊥AD，可得：AD⊥平面P（C）AB，进而AD⊥P（C）B，又由PD（CD）⊥PB（CB），故PB（CB）⊥平面P（C）AD，故PB（CB）⊥P（C）A，即：△ABP是直角三角形；即：△ABC是直角三角形；故①正确；由①中，AD⊥平面P（C）AB，可得：AD⊥P（C）A，即②△APD是直角三角形，即△ACD是直角三角形，故②正确；AD与BC，异面，故③错误；由①中，AD⊥平面P（C）AB，可得：AD⊥P（C）B，即AD⊥BC，故④正确；故选：A12．（5分）一架战斗机以1000千米/小时速度朝东偏北45°方向水平飞行，发现正东100千米外同高度有一架民航飞机正在以800千米/小时速度朝正北飞行，如双方都不改变速度与航向，两机最小距离在哪个区间内（单位：千米）（）A．（0，5） B．（5，10）C．（10，15）D．（15，20）【解答】解：建立如图所示的坐标系，t小时后，A（1000t，1000t），B（100，800t），则|AB|==，t=时，|AB|的最小值为=∈（15，20）．故选D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．14．（5分）已知椭圆的两焦点坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），并且过点（2，），则该椭圆的标准方程是．【解答】解：椭圆的两焦点坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），可得c=2，设椭圆方程为：，椭圆经过点（2，），可得：，解得a=4，则该椭圆的标准方程是：．故答案为：．15．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，直线l：ax﹣y﹣4a+2=0（a∈R）与圆C相交于M、N两点，设P（4，2），则|PM|+|PN|的取值范围是（4，4] ．【解答】解：把直线l的参数方程，代入x2+y2﹣4x=0，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴α∈（0，），∴t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴t1＜0，t2＜0．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4sin（α+），由α∈（0，），可得α+∈（，），∴＜sin（α+）≤1，∴|PM|+|PN|的取值范围是（4，4]．故答案为（4，4]．16．（5分）四面体ABCD中，AB=2，BC=CD=DB=3，AC=AD=，则四面体ABCD 外接球表面积是16π．【解答】解：由题意，△ACD中，CD边上的高为AE=，△BCD中，CD边上的高为BE=，∴AE2=BE2+AB2，∴AB⊥BE，∵AB⊥CD，CD∩BE=E，∴AB⊥平面BCD，∵△BCD的外接圆的半径为，∴四面体ABCD外接球的半径为=2，∴四面体ABCD外接球表面积4π•22=16π，故答案为16π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知某几何体如图1所示．（1）根据图2所给几何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1），画出几何图形的侧视图，并求该侧视图的面积；（2）求异面直线AC与EF所成角的余弦值．【解答】解：（1）侧视图如图所示：其中S=3×4+×4×3=18；（2）∵AC∥DF，∴AC与EF所成的角即为∠DFE，在△DEF中，DF=4，又AB=2，则DE=，∵△DEF为等腰三角形∴cos∠DFE==，∴异面直线AC与EF所成角的余弦值为18．（12分）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B坐标为（2，﹣1），C、D均在第一象限．（I）求直线CD的方程；（II）若|BC|=，求点D的横坐标．【解答】解：（I）由题意，k AB=k CD=﹣，∴直线CD的方程为y=﹣x+m，即x+2y﹣2m=0，∵S=8，|AB|=，∴=，∴m=±4，由图可知m＞0，∴直线CD的方程为y=﹣x+m，即x+2y﹣8=0；（II）设D（a，b），若|BC|=，则|AD|=，∴，∴点D的横坐标a=1.2或2．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分别为BD、AC的中点．（I）证明：EF⊥CD；（II）若BC=CD=AD=1，求点E到平面ABC的距离．【解答】（I）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，∵E为BD的中点，∴EG∥BC，∵BC⊥CD，∴EG⊥CD，同理FG∥AD，AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，∴FG⊥CD，∵EG∩FG=G，∴CD⊥平面EFG，∴EF⊥CD；（II）解：S==，S△BCE==，△ABC设点E到平面ABC的距离为h，则，∴h=，即点E到平面ABC的距离为．20．（12分）已知动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为．（I）求动点P的轨迹方程；（II）若点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（﹣4，2），是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）设P（x，y），则∵动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为，∴2=，∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；（II）由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x+4）2+（y﹣2）2=36，∴3x2+3y2+16x﹣12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x﹣3y+11=0，圆心到直线4x﹣3y+11=0的距离d=＞2，∴直线与圆相离，∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，AA1=2，AD=1，E、F 分别是AA1和BB1的中点，G是DB上的点，且DG=2GB．（I）作出长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面（只需作出，说明结果即可）；（II）求证：GF∥平面EB1C；（III）设长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截得的两部分几何体体积分别为V1、V2（V1＞V2），求的值．【解答】解：（Ⅰ）取AD的中点M，连结EM，MC，则EMCB1即为长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面．证明：（Ⅱ）设MC∩DB=N，连结B1N，依题意知AD∥BC，∴△DMN∽△BCN，∴，∵DG=2GB，∴DN=NG=GB，∵B1F=FB，∴FG∥B1N，∵FG⊄平面EB1C，B1N⊂平面EB1C，∴GF∥平面EB1C．解：（Ⅲ）延长B1E、CM必相交于BA延长线于点O，∵AM∥BC，∴△OAM∽△OBC，∴，∴OA=AB=，∴=﹣V O=﹣=，﹣AME=﹣=，∴===．故的值为．22．（12分）已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，∠MFx=60°且|FM|=4．（I）求抛物线C的方程；（II）已知D（﹣1，0），过F的直线l交抛物线C与A、B两点，以F为圆心的圆F与直线AD相切，试判断圆F与直线BD的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（I）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为l′：x=﹣，过M作MN⊥l′于点N，连接NF，则|MN|=|FM|，∵∠NMF=∠MFx=60°，∴△MNF为等边三角形，∴|NF|=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x；（II）直线l的斜率不存在时，△ABD为等腰三角形，且|AD|=|BD|．∴圆F与直线BD相切；直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=1，∴x1=，直线AD的方程为y=（x+1），即y1x﹣（x1+1）y+y1=0，∴R2=，直线BD的方程为y2x﹣（x2+1）y+y2=0，F到直线BD的距离d，d2==，∴R2=d2，∴R=d，∴圆F与直线BD相切，综上所述，圆F与直线BD相切．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
广东省佛山一中20172018学年高二数学上学期第二次段考(12月)试题理
佛山一中2017——2018学年上学期第二次段考高二年级理科数学试题一、选择题（共12小题；共60分）1. 给定下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②如果一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；③如果一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④2. 已知直线和平面，，，，，且在，内的射影分别为直线和，则直线和的位置关系是A. 相交或平行B. 相交或异面C. 平行或异面D. 相交、平行或异面3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为的正方形，则此四面体的外接球的表面积为A. B. C. D.4. 设四边形的两条对角线为，，则“四边形为菱形”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是A. B. C. D.6. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A. B. C. D.7. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为下图中的A. B. C. D.8. 双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且满足，则的面积为A. B. C.1 D.9. 已知球的半径为，四点，，，均在球的表面上，且，，，则点到平面的距离为A. B. C. D.10. 已知是直线上的动点，，是圆的切线，，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是A. B. C. D.11. 为正四面体棱的中点，平面过点，且，，，则，所成角的余弦值为A. B. C. D.12. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 若命题”使”是假命题，则实数的取值范围为 .14. 如图所示，是一个由三根细铁杆，，组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是，一个半径为的球放在支架上，则球心到的距离为15. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线与圆相交于，两点，为弦上一动点，若以为圆心，为半径的圆与圆总有公共点，则实数的取值范围为．16. 圆经过椭圆的两个焦点，，且与该椭圆有四个不同的交点，设是其中的一个交点，若的面积为，椭圆的长轴为，则．三、解答题（共6小题；共70分）17. （10分）如图，三棱锥中，平面，．（1）求证：平面；（2）若，为中点，求三棱锥的体积．18. （12分）已知点，圆：．（1）求经过点与圆相切的直线方程；（2）若点是圆上的动点，求的取值范围．19. （12分）如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为直角梯形，，，，点，分别为，的中点，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20. （12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为，圆的方程为．（1）求椭圆及圆的方程：（2）过原点作直线与圆交于，两点，若，求直线被圆截得的弦长．21. （12分）如图，，分别是，的中点，，，沿着将折起，记二面角的度数为．（1）当时，即得到图，求二面角的余弦值；（2）如图中，若，求的值．22. （12分）已知两点(-1,0)及(1,0)，点P在以为焦点的椭圆C上，且构成等差数列。
广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试 数学(理)
12．设函数f（x）在R上存在导数 ，对任意x∈R，有 ，且x∈[0，+∞）时 ＞2x，若 ，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，则( ＋ ) 的值为_________
求实数a的取值范围．
高二数学（理科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
A
C
B
D
A
A
D
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-18；14．；15．1 ；16．y2＝6x；
三、解答题：
17．解：（1）∵2acosB+b＝2c，由正弦定理得：
2sinAcosB+sinB＝2sinC＝2sin（A+B）＝2sinAcosB+2cosAsinB，
已知函数 ， ， （其中e是自然对数的底数）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线 垂直，求实数a的值；
（2）记函数F（x）＝f（x）•g（x），其中a＞0，若函数F（x）在（﹣3，3）内存在两个极值点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意x1，x2∈[0，3]，且x1＞x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|成立，
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acosB+b＝2c．
广东省佛山市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
广东省佛山市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）椭圆+=1的短轴长为（）A．B．2C．2D．42．（5分）若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．13．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）4．（5分）若￢p∨q是假，则（）A．p∧q是假B．p∨q是假C．p是假D．￢q是假5．（5分）已知p：“正数a的平方不等于0”，q：“a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q 的（）A．逆B．否C．逆否D．否定6．（5分）已知平面α，β，直线m，n，下列中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n7．（5分）已知a，b∈R，则“＞”是“log 2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣19．（5分）已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M，设A为圆上任一点，N（3，0），线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线10．（5分）如果对于空间任意n（n≥2）条直线总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n（）A．最大值为3 B．最大值为4 C．最大值为5 D．不存在最大值二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知空间向量=（x﹣1，1，﹣x），=（﹣x，3，﹣1），若⊥，则x的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为．14．（5分）如图，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（，0）移动到（，0），则AB中点D经过的路程为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）如图，等腰直角△ABC的直角顶点C（0，﹣1），斜边AB所在的直线方程为x+2y ﹣8=0．（1）求△ABC的面积；（2）求斜边AB中点D的坐标．16．（12分）如图，正方体ABC﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）求证：平面A1B1D⊥平面AFC．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，圆C与x轴、y轴都相切，直线l：x+y﹣4=0平分圆C的面积．（1）求圆C的方程；（2）过原点O的直线l1将圆C的弧长分成1：3的两部分，求直线l1的斜率．18．（14分）如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD 沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．19．（14分）已知曲线C：x2=﹣2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论．20．（14分）已知圆：x2+y2=64，圆C与圆O相交，圆心为C（9，0），且圆C上的点与圆O 上的点之间的最大距离为21．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，使得过点P的直线l被圆O与圆C截得的弦长d1、d2的比值总等于同一常数λ？若存在，求点P的坐标及λ的值，若不存在，说明理由．广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）椭圆+=1的短轴长为（）A．B．2C．2D．4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用椭圆的标准方程求解即可．解答：解：椭圆+=1可得b=，椭圆+=1的短轴长为：2．故选：C．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．2．（5分）若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用直线平行的充要条件即可得出．解答：解：∵直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，∴，解得a=﹣2，故选：A．点评：本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题．3．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由方程x2+y2﹣2x+4y+3=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=2，即可得到圆心的坐标．解答：解：由方程x2+y2﹣2x+4y+3=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=2，∴圆心坐标为（1，﹣2）．故选：B．点评：本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．4．（5分）若￢p∨q是假，则（）A．p∧q是假B．p∨q是假C．p是假D．￢q是假考点：复合的真假．专题：常规题型．分析：由题意，可得￢p，q的真假性，进而得到正确选项．解答：由于￢p∨q是假，则￢p是假，q是假，所以p是真，q是假，所以p∧q是假，p∨q是真，￢q是真，故选A．点评：本题考查的知识点是复合的真假判定，解决的办法是先判断组成复合的简单的真假，再根据真值表进行判断．5．（5分）已知p：“正数a的平方不等于0”，q：“a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q 的（）A．逆B．否C．逆否D．否定考点：四种．专题：简易逻辑．分析：写出P与q的条件与结论，再根据四种的定义判断即可．解答：解：P：正数a的平方不等于0；q：“a不是正数，则它的平方等于0”；满足否的定义，故P是q的否．故选：B．点评：本题考查四种的定义；基本知识的考查．6．（5分）已知平面α，β，直线m，n，下列中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：利用在与平面，直线与直线的平行与垂直的判定定理以及性质定理推出结果即可．解答：解：若m⊥α，m⊥β，则α∥β，满足平面与平面平行的判定定理，所以A正确；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足满足直线与平面平行的性质，所以B正确；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，满足平面与平面垂直的性质，所以C正确；若m∥α，α∩β=n，则m∥n，也可能得到m，n是异面直线，所以D不正确．故选：D．点评：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面平行与垂直的判断与性质，考查基本知识的应用．7．（5分）已知a，b∈R，则“＞”是“log 2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分别解出关于＞以及log 2a＞log2b”的a，b的范围，从而得到答案．解答：解：由＞，解得：a＞b≥1，由log2a＞log2b解得：a＞b＞0，故“＞”是“log 2a＞log2b”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．8．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过题意画出图形，利用勾股定理及椭圆的定义计算即得结论．解答：解：不妨设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），则M点必在y轴上，如图，连结PF2，∵△MF1F2为正三角形，∴PF1=MF1=F1F2=c，PF2==c=2a﹣c，∴2a=（+1）c，即e==，故选：A．点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．9．（5分）已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M，设A为圆上任一点，N（3，0），线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：已知圆（x+2）2+y2=16，易知圆心和半径．A为圆上任一点和N（2，0），线段AN 的垂直平分线上任一点到两短点的距离相等且交MA于点P．有PN=PA，所以PM﹣PN=AM=4，即为动点P到两定点M、N的距离之差为常数4，根据双曲线的定义可得结论．．解答：解：已知圆（x+2）2+y2=16，则的圆心M（﹣2，0），半径为4．A为圆上任一点，且AM=4N（3，0），线段AN的垂直平分线上任一点到两端点的距离相等且交MA于点P．有PN=PA所以PM﹣PN=AM=4即为动点P到两定点M、N的距离之差为常数4，所以动点P的轨迹是双曲线．故选：C．点评：求点的轨迹方程常用的有定义法、待定系数法、直译法和间接法．其中定义法是最快捷的．这里就直接利用了双曲线的定义直接得到结论．10．（5分）如果对于空间任意n（n≥2）条直线总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n（）A．最大值为3 B．最大值为4 C．最大值为5 D．不存在最大值考点：平面的基本性质及推论．专题：探究型．分析：分别探究直线的条数为2、3、4的情况，由线面角的定义、线线位置关系以及空间几何体进行判断．解答：解：当2条直线时，一定作出与它们都平行的平面，故这两条直线与平面所成的角是0度；当3条直线时，当它们共面时，一定存在平面与它们所成的角相等；不共面时，一定可以它们平移到一点，构成一个椎体，则存在一个平面作为椎体的底面，并且使得此底面与三条直线所成的角相等；当为4条直线时，且三条在一面内，另一条在面外，则面内3条要与一面成角等的话必须是0度，但另一条不可能也成0度，故不存在符合题意的平面．故选A．点评：本题是一个探究型的题目，需要耐心的一一进行分析，可以借助于空间几何体和反例进行说明，必须做到脑中有图，考查了分析、解决问题和空间信息能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知空间向量=（x﹣1，1，﹣x），=（﹣x，3，﹣1），若⊥，则x的值为﹣1或3．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：由⊥，可得=0，解出即可．解答：解：∵⊥，∴=﹣x（x﹣1）+3+x=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故答案为：﹣1或3．点评：本题考查了向量垂直与数量积之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，再将目标函数z=x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z=x+y取得最大值2．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（2，0），B（2，﹣2），O为坐标原点．设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，0）=2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为16．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图复原的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：几何体是底面为下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：V=S底×h==16．故答案为：16．点评：本题考查三视图与几何体直观图的关系，判断几何体的形状以及数据对应值是解题关键．14．（5分）如图，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（，0）移动到（，0），则AB中点D经过的路程为．考点：弧长公式．分析：首先设出求出中点的轨迹是以原点为圆心半径为1的圆，然后求出点D和点D'的坐标，再由弧长公式得出结果．解答：解：设AB的中点为O（x，y），则A（2x，0），B（0，2y）∵AB=2∴（2x）2+（2y）2=4 即x2+y2=1所以中点是以原点为圆心半径为1的圆∵点A从（，0）移动到（，0），∴D（，）D'（，）tan∠D'OA=1 tan∠DOA=∴∠D'OD=∴为中点走过的路径∴l=×1=故答案为：点评：此题考查了轨迹方程的求法以及弧长公式的运用，求出中点的轨迹是解题的关键，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）如图，等腰直角△ABC的直角顶点C（0，﹣1），斜边AB所在的直线方程为x+2y ﹣8=0．（1）求△ABC的面积；（2）求斜边AB中点D的坐标．考点：中点坐标公式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（1）由点到直线距离公式求得C到AB边所在直线距离，然后由等腰直角三角形的性质求得AB的长度，代入三角形面积公式得答案；（2）由等腰直角三角形斜边的高与斜边的中线重合，先求出斜边的高线所在直线方程，联立方程组求得斜边AB中点D的坐标．解答：解：（1）由点到直线的距离公式求得C到直线x+2y﹣8=0的距离为d=．根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的2倍可得|AB|=4．则=20；（2）∵AB所在的直线方程为x+2y﹣8=0，斜率为，则AB边上的高所在直线的斜率为2，高所在直线方程为y=2x﹣1，联立，解得．∴斜边AB中点D的坐标为（2，3）．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，是基础题．16．（12分）如图，正方体ABC﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）求证：平面A1B1D⊥平面AFC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理只需证明直线A1B平行平面AFC内的直线FO即可；（2）根据面面垂直判定定理只需证明AF⊥平面A1B1CD即可．解答：证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点．∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．又A1B⊄平面AFC，FO⊂平面AFC，∴A1B∥平面AFC．（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．又∵CD⊥平面A1ADD1，AF⊂平面A1ADD1，∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD．∵AF⊂平面AFC．∴平面A1B1CD⊥平面AFC，即平面A1B1D⊥平面AFC．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，圆C与x轴、y轴都相切，直线l：x+y﹣4=0平分圆C的面积．（1）求圆C的方程；（2）过原点O的直线l1将圆C的弧长分成1：3的两部分，求直线l1的斜率．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）根据直线和圆的相切关系求出圆心和半径即可求圆C的方程；（2）根据直线l1将圆C的弧长分成1：3的两部分，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．解答：解：（1）由题意知，圆心C在直线l：x+y﹣4=0上；∵圆C与x轴、y轴都相切，∴圆心C也在直线y=x上，即圆心C（2，2），半径r=2，故圆C的方程为（x﹣2）2+（x﹣2）2=4．（2）设直线l1的方程为y=kx，∵过原点O的直线l1将圆C的弧长分成1：3的两部分，∴劣弧所对的圆心角为90°，则圆心C到直线的距离d=rcos45°=，又d=，解得k=2±，故直线l1的斜率是2±．点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，以及圆的标准方程的求解，比较基础．18．（14分）如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD 沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明SA⊥AB，SA⊥AD，即可证明SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，证明∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，求出MA，MD，即可求平面SAB与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：在直角三角形PBC中，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，所以PB=5，PD=2.5，DC=1.5，因为∠PAD=∠C=90°，∠P=∠P，所以△PAD∽△PCB，所以，所以PA=2，AB=PB﹣PA=3，AD=1.5，△SAB中，SA=PA=2，SB=，所以SA2+AB2=SB2，所以SA⊥AB因为AD∥PB，所以SA⊥AD，因为AB∩AD=A，所以SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：在图2中，延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，则因为PA=SA，PD=SD，所以MA⊥SP，MD⊥SP，所以∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，因为SA⊥AD，AD⊥PB，SA∩PB=A，所以AD⊥平面SPB，因为MA⊂平面SPB，所以AD⊥MA．在直角三角形SPA中，PA=SA=2，M为SP的中点，所以SP=2，MA=，在△SPD中，PD=SD=2.5，M为SP中点，所以MD=，所以cos∠AMP==，所以平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．点评：考查线面垂直的性质于判定定理，考查平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知曲线C：x2=﹣2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）联立，化为x2﹣2px﹣2p=0，由于直线l与抛物线相切，可得△=0，解得p即可．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=k（x﹣2），与抛物线方程联立化为x2+4kx﹣8k=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出．解答：解：（I）联立，化为x2﹣2px﹣2p=0，∵直线l与抛物线相切，∴△=4p2﹣4（﹣2p）=0，p＞0，解得p=2．∴曲线C的方程为y2=﹣4y．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=k（x﹣2），联立，化为x2+4kx﹣8k=0，∴x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣8k．∴k1===﹣，同理可得：k2=．∴k1+k2==k，k1•k2==﹣．消去k可得：k1k2=﹣，即=﹣2．点评：本题考查了直线与抛物线相切的相切、相交问题转化为方程联立与判别式的关系、根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知圆：x2+y2=64，圆C与圆O相交，圆心为C（9，0），且圆C上的点与圆O 上的点之间的最大距离为21．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，使得过点P的直线l被圆O与圆C截得的弦长d1、d2的比值总等于同一常数λ？若存在，求点P的坐标及λ的值，若不存在，说明理由．考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）圆O1的半径为4，圆心为O1（9，0），从而可得圆O1的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣a），求出O，C到直线l的距离，从而可得d1、d2的值，利用d1、d2的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．解答：解：（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，∴圆O1的半径为4，∵圆心为O1（9，0），∴圆O1的标准方程为（x﹣9）2+y2=16；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），即kx﹣y﹣ka﹣b=0∴O，C到直线l的距离分别为h=，h1=，∴d1=2，d2=2∵d1与d2的比值总等于同一常数λ，∴64﹣=λ2[16﹣]∴[64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2]k2+2b[a﹣λ2（a﹣9）]k+64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2=0，2b[a﹣λ2（a﹣9）]=0，64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0同时成立，①如果b=0，则64﹣16λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；∴λ=2，P（6，0），P（18，0）②如果a﹣λ2（a﹣9）=0，显然a=9不满足，从而λ2=，3a2﹣43a+192=0，△=432﹣4×3×192=﹣455＜0，故方程无解，舍去；当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d1=2，d1=也满足综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），斜率不存在时P（18，0），直线与圆外离，舍去．点评：本题考查圆的标准方程，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．。
广东省佛山市2017_2018学年高二数学上学期第一次段考(10月)试题
2017学年度第一学期第一次段考高二级数学试题注意事项：1．本试题 满分150分，考试时间为120分钟。
2．选择题部分，请将选出的答案标号（A 、B 、C 、D ）用2B 铅笔涂在答题卡上。
将填空及解答题答案用黑色签字（0.5mm ）笔填在答题卡指定位置。
3.参考公式：台体体积 ：1(3V hS S +=+上底下底锥体体积：Sh V 31=， 球体体积：334R V π= 球表面积：一、选择题：大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α⊂⊥m m l ,，则α⊥lB ．若α⊥l ，m l //，则α⊥mC ．若αα⊂m l ,//，则m l //D ．若αα//,//m l ，则m l //2．在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，顺次连接它的各边中点E 、F 、G 、H ，所得四边形EFGH 的形状是( )A. 梯形B. 矩形C. 正方形D. 菱形 3．如图是水平放置的△ABC 的直观图，''//'A B y 轴，''''A B A C =，则ABC ∆是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4．已知圆锥的全面积是底面积的倍,那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( ) A.2π B.23π C. 56π D. π 5．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为，，,则其外接球的表面积为( ) A.B.C.D.6．如图，四面体ABCD 中，若截PQMN 是正方形,则在下列结论 中错误的是( )A ． AC=BDB ． AC//截面PQMN第3题图N MQP DC BA第6题图C． AC⊥BD D．PM与BD成45°角7．已知数列满足，，那么的值是( )A.B.C.D.中，内角，，的对边分别为，，，若8．已知ABC，，则ABC ∆的面积为( ) A.12B. 19．已知函数，下列结论中错误．．的是( ) A ．B ．的最小正周期为C ．的图象关于y 轴对称 D ．的值域为10．将正方形ABCD 沿对角线BD 对折使得平面⊥ABD 平面CBD ，以下四个结论中不正．．确．的结论是( ) A. BD AC ⊥ B. ACD ∆是正三角形 C. AB ⊥CD D.AB 与CD 所成的角是6011．如图，网格纸上的小正方形边长为 ，粗线或虚线表示一个 棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为( ) A ．B ．第11题图C ．D ．12．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为 的球面上，球心 在 上，，，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A ．B ．C ．D ．二、 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13. 等差数列{}n a 中，已知21016a a +=,则468a a a ++=14. 已知侧棱长为2的正三棱锥S -ABC 如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A 出发，围绕棱锥侧面爬行一周后又回到点A ，则蚂蚁爬行的最短路程为 ______ ．15平面PAD 所成角的大小为 ______ ．16．如图，ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图中阴影部分绕直线AC三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a +=，且123a a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列1{}nS 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，边,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且满足cos()2sin sin A B A B -=．（Ⅰ）判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若3a =，6c =，CD 为角C 的角平分线，求CD 的长． 19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（Ⅰ）求证：//AE 平面BFD ；（Ⅱ）求异面直线AE 与BD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求三棱锥C BDF -的体积．FC BDE A第16题图 A 第14题图第15题图20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14AA =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点．（Ⅰ）证明: 1A D ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求点1B 到平面1A BD 的距离．21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，ABD ∆是边长为3的正三角形，BC CD ==4PD =．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）在线段PA 上是否存在点M ，使得//DM 平面PBC ．若存在，求三棱锥P BDM -的体积；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，2SA BC ==，4AB =，,,M N D 分别是,,SC AB BC 的中点．（Ⅰ）求证：MN AB ⊥；（Ⅱ）求二面角S ND B --的余弦值； （Ⅲ）求点M 到平面SND 的距离．2017学年度第一学期第一次段考高二级数学试题答案一、选择题： 二、 填空题： 三、解答题：D C 1A 1B 1CA B D M NS AC B17．解：（Ⅰ）由题意可知：等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0， 由5a 1+4a 2=a 3，即5a 1+4a 1q=a 1q 2，整理得：q 2﹣4q ﹣5=0，解得：q=5或q=﹣1（舍去）， ---------------------3分a 1a 2=a 3，a 1•a 1q=a 1q 2，解得：a 1=5，a n =a 1q n=5n； 数列{a n }的通项公式，a n =5n；-----------------------------------------------5分（Ⅱ）b n =log 5a n =n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，S n =， ------------------------7分==2（﹣），-------------------------------------8分数列的{}的前n 项和T n ，T n =2[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，数列的{}的前n 项和T n，T n =． ------------------------------------------10分18．解：（Ⅰ）由cos()2sin sin A B A B -=，得cos cos sin sin 2sin sin A B A B A B +=，cos cos sin sin 0A B A B ∴-=， ---------------------------------2分cos()0A B ∴+=，2C π∴=．故ABC ∆为直角三角形． -----------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2C π=，又3a =，6c =，b ∴==6A π=，76412ADC ππππ∠=--=， -----------------7分由正弦定理得sin sin CD ACA ADC=∠，1sin 62sin 12CD π∴===--------------------12分19．解：（Ⅰ）证明：设ACBD G =，连接FG ． 依题可知G 是AC 中点，BF ⊥平面ACE ，则B F C E ⊥，而B C B E =，F ∴是EC 中点，故//FG AE ．FG ⊂平面BFD ，AE ⊄平面BFD ，∴//AE 平面BFD ． -------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知//FG AE ，所以FGB ∠为直线AE 与BD 的所成角．AD ⊥平面ABE ，//AD BC ，BC ∴⊥平面ABE ，则B C A E ⊥．又BF ⊥平面ACE ，则BF AE ⊥，BC BF B =，AE ∴⊥平面BCE ，FG ∴⊥平面BCE ．在Rt B F G ∆中，12BF EC ==，112FG AE ==，BG ∴==故sin 3BF FGB BG ∠===， 所以异面直线AE 与BD 所成角的正弦值为----------8分（Ⅲ）//AE FG 且AE ⊥平面BCE ，FG ∴⊥平面BCF ，因G 是AC 中点，F 是EC 中点，故112FG AE ==，BF ⊥平面ACE ，BF CE ∴⊥，在Rt BCE ∆中，12BF CF CE === 12212CFB S ∆∴==，1133C BGF G BCF CFB V V S FG --∆∴===． 223C BDF C BGF V V --∴==． ------------------------------12分20．（Ⅰ）证明：设E 为BC 中点，连接AE ，1A E ，DE ． 由题意得1A E ⊥平面ABC ，所以1A E AE ⊥． 因为AB AC =，所以AE BC ⊥，所以AE ⊥平面1A BC ． -----------2分由,D E 为11,B C BC 的中点，得1//DE BB 且1DE BB =，从而1//DE AA 且1DE AA =， 所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE ．GFDCBEA因为AE ⊥平面1A B C ，所以1A D ⊥平面1A B C． --------------4分 （Ⅱ）解：由2,90AB AC CAB ==∠=，得1E AE BD==由1A E AE ⊥且14AA =，在1R tA A E ∆中由勾股地理得1A E 在1R t AB E ∆中同理得14A B =，∴111122A BE S BE A E ∆==⨯= ---------------------8分由（Ⅰ）知1A D ⊥平面1ABC ，故1A D为三棱锥1D A BE -的高，1111133D A BE A BE V S A D -∆∴==⨯=1B 到平面1A BD 的距离为h ，1BDE B BD S S ∆∆=，111A B BD A BDE V V --∴= ，即111B A BD D A BE V V --=11143A BD S h ∆∴=，1A BD S ∆=h ∴=， 故点1B 到平面1A B D的距离为． ------------------------------------------12分21．解：（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ． ………………1分 ∵△ABD 是边长为3的正三角形，BC=CD=， ∴在△BCD 中，由余弦定理得到：cos ∠BDC==，…………3分∴∠BDC=30°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°， ∴DC ⊥AD ， …………………………4分 又∵AD∩PD=D，∴CD ⊥平面PAD ．又∵CD ⊂平面CDP ，∴平面PAD ⊥平面PCD ； ……………………6分（Ⅱ）存在AP 的中点M ，使得DM ∥平面PBC ．理由如下： 取AB 的中点N ，连接MN ，DN ．∵M 是AP 的中点，∴MN ∥PB ． ………………7分 ∵△ABC 是等边三角形，∴DN ⊥AB ，D C 1A 1B 1C ABEH EF D MN CBAS由（1）知，∠CBD=∠BDC=30°，∴∠ABC=60°+30°=90°，即BC ⊥AB ． ∴ND ∥BC ．…………8分 又MN∩DN=N，∴平面MND ∥平面PBC ．∴DM ∥平面PBC ．…………9分 过点B 作BQ ⊥AD 于Q ，∵由已知知，PD ⊥BQ ，∴BQ ⊥平面PAD ，∴BQ 是三棱锥B ﹣DMP 的高，…………10分 ∵BQ=，S △DMP =AD•PD=3，∴V P ﹣BDM =V B ﹣DMP =BQ•S △DMP =．……12分22．（Ⅰ） 证明: 取AC 的中点E ,连接,ME NE .则//ME SA ,又SA ⊥平面ABC ,∴ME ⊥平面ABC .∵AB ⊂平面ABC ,∴ME AB ⊥.∵,N E 分别为,AB AC 的中点, ∴//NE BC .∵90ABC ︒∠=,即AB BC ⊥, ∴NE AB ⊥. ∵,MENE E ME =⊂平面,MNE NE ⊂平面,MNE∴AB ⊥平面MNE .∵MN ⊂平面MNE ,∴MN AB ⊥. --------3分（Ⅱ）解: 过A 作AF DN ⊥且与DN 的延长线相交于点F , 连接SF∵SA DF ⊥，AF DF ⊥，SAAF A =， ∴DF ⊥平面SAF ，∴DF SF ⊥∴SFA ∠是二面角S ND A --的平面角,也是二面角S ND B --的平面角的补角,在Rt△DBN中，ND，sin DB DNB ND ∠==在Rt△AFN 中，AF AN=sin 2ANF ∠==. 在Rt△SAF中，SF ==cos AF AFS SF ∠==∴二面角S ND B --的余弦值为6-. ----------7分 （Ⅲ）解:过点A 作AH SF ⊥于H ,由（Ⅱ）知平面SAF ⊥平面SND ,且平面SAF平面SND SF =,∴AH ⊥平面SND . ∴AH 的长为点A 到平面SND 的距离.11 在Rt△AFN 中，SA AF AH SF==. ∵点M 是SC 的中点, ∴点M 到平面SND 的距离是点C 到平面SND 的距离的12倍. ∵//AC ND ,∴//AC 平面SND .∴点C 到平面SND 的距离等于点A 到平面SND 的距离. ∴点M到平面S N 的距离是6. ----------12分。
广东省佛山市数学高二上学期理数期末考试试卷
广东省佛山市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·大新模拟) 已知以双曲线的右焦点为圆心，以为半径的圆与直线交于两点，若，求双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D .2. （2分） (2017高二上·右玉期末) 下列各小题中，p是q的充分不必要条件的是（）①p：m＜﹣2或m＞6，q：y=x2+mx+m+3有两个零点；② ，q：y=f（x）是偶函数；③p：cosα=cosβ，q：tanα=tanβ；④p：A∩B=A，q：（∁UB）⊆（∁UA）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④3. （2分）总体由编号为01，02，03，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从如表所示的随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号是（）78 16 65 72 08 20 63 14 07 02 43 69 97 28 01 9832 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81A . 08B . 14C . 07D . 024. （2分） (2020高二上·林芝期末) 设为椭圆上一点，两焦点分别为，，如果，，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·合肥期末) 设有两组数据与，它们的平均数分别是和，则新的一组数据的平均数是（）A .B .C .D .6. （2分）某校1000名学生中，O型血有400人，A型血有250人，B型血有250人，AB型血有100人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血、A型血、B型血、AB型血的人要分别抽的人数为（）A . 16、10、10、4B . 14、10、10、6C . 13、12、12、3D . 15、8、8、97. （2分） (2018高二上·南宁月考) 已知椭圆C: （）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M,直线l: 交椭圆C于A、B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·资阳模拟) 过抛物线y2=4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为（）A . 16B . 32C . 48D . 649. （2分）某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（）A . 45B . 50C . 55D . 6010. （2分） F1 ， F2是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线11. （2分）已知命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（）A . p∧q是真命题B . p∧q是假命题C . ￢p是真命题D . p是假命题12. （2分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则关系式y1y2的值一定等于（）A . 4B . ﹣4C . p2D . ﹣p2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高三上·泸县期末) 若，则的最小值为________.14. （1分）一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是________15. （1分）《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有________ 分钟的广告．16. （1分）(2018·海南模拟) 已知 F 是抛物线 C ：的焦点， P 是 C 上一点，直线 FP 交直线 y=-3 于点 Q .若，则 |PQ| ________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1: x=-2，圆C2:(x-1)2+(y+2)2=1，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C1, C2的极坐标方程.（2）若直线C3的极坐标方程为，设C2, C3的交点为M,N，求△C2MN的面积.18. （5分） (2017高三上·会宁期末) 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”真“p且q”为假，求m的取值范围．19. （10分） (2016高一上·景德镇期中) 已知函数f（x）=4x+a•2x+3，a∈R．（1）当a=﹣4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，+∞）上有两个不同实根，求实数a的取值范围．20. （10分） (2017高二上·定州期末) 已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程 + =1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率．21. （10分）(2018·河北模拟) 如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点的平面截去一个三棱锥 (图一)得几何体 (图二)，E为的中点．（1）点F为棱上的动点，试问平面与平面是否垂直?请说明理由；（2）设，当点F为中点时，求锐二面角的余弦值．22. （5分）定圆M：=16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．求轨迹E的方程；参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。