高中数学球面距离的计算
球面距离的计算
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段劣弧的长叫做球面上这两点间的球面距离（也叫球面上的短程线或测地线）。
如下图，球的半径为R ，球面上有任意两点()11,βαA 、()22,βαB ，其中1α、2α分别为A 、B 两点的经度数，1β、2β分别为A 、B 两点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，试证明A 、B 间的球面距离为：
()]sin sin cos cos arccos[cos
212121ββββααθ+-==R R AB ⌒
（角均为弧度）
证明：如上图，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，且经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于
C O 2上，连结EB 、AB ，则
()2
212
212OO OO O O AE -==()2
21sin sin ββR R -=()2
212sin sin ββ-=R
在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()21222
22
22
cos 2αα-⋅-+=B O E O B O E O BE
()
21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O ()()()21212
22
1cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R
()]cos cos cos 2cos [cos 212122122ααββββ--+=R
()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ---=+=R BE AE AB ()]cos cos cos sin sin 1[22121212ααββββ---=R
又由余弦定理，得，()θθcos 12cos 22
2
2
2
2
-=-+=R R R R AB ，比较上述两式，化简整理
得：()212121sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以A 、B 间的球面距离为：
()]sin sin cos cos arccos[cos
212121ββββααθ+-==R R AB ⌒
（角均为弧度） 从上面的推导过程可以看出，求解A 、B 两点的球面距离，关键是要求出圆心角AOB ∠的大小，
而要求AOB ∠，往往要先求弦AB 的长，再利用余弦定理求出AOB ∠。
所以求两点的球面距离，常常要先求这两点的弦长距离。
应用球面距离公式的说明：
（1）要注意经度和纬度的正负性：一般规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负；使用两点的球面距离公式时，要将经度和纬度的正负号代入公式计算。
（2）两点的经度差)(21αα-的计算规则是：①当两点同为东经或同为西经时，
2121αααα-=-；②当两点一为东经1α，一为西经2α时，)(212121παααααα≤+-=-或者)(-2212121πααααπαα≥+-=-。
（3）当两点的经度相同时，即21αα=时，A 、B 间的球面距离为：
))
(arccos(cos )sin sin cos arccos(cos 212121ββββββθ-=+==R R R AB ⌒
（角均为弧度） （4）当两点的纬度相同时，即βββ==21时，A 、B 间的球面距离为：
()]sin cos arccos[cos
2221ββααθ+-==R R AB ⌒
（角均为弧度） 例 1.已知A 、B 两地都位于北纬
60，又分别位于东经
153和西经
117，设地球半径为R ，求A 、B 的球面距离。
例2.已知直线l ⊥平面α，O 为垂足，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =5，AB =6， AA 1=8，A ∈l ，B 1∈α，则OC 1的最大值为_______________
变式训练：
1.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为_____________
2.已知球面上有A 、B 、C 三点，BC =2√3，AB =AC =2，若球的表面积为20π，则球心到平面ABC 的距离为_____________
3.（2006湖南）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图1，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是_____________
4.（2006四川）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是
4π，B 、C 两点的球面距离是3
π
，则二面角B -OA -C 的大小是____________ 5.（2006陕西）水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成
正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是________________
6.（2007江西）四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AB =
在外接球面上两点A B ，间的球面距离是___________
7.（2007四川）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是
2π，且二面角B OA C --的大小是3
π
，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是_________________
8.（2008重庆)如下图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点。
V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）
A.V 1=
2
V B.V 2=
2
V
C.V 1> V 2
D.V 1< V 2
9.（2011全国）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为__________
10.（2010全国）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为_____________
11.已知A 地位于北纬
30、东经
60，B 地位于南纬
60、西经
90，设地球半径为R ，则A 、
B 两地之间的球面距离为________________
12.用一个边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢.现将半径为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为_____________
13.球O 为边长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B 1C 1中点，DP ⊥BM ，则点P 的轨迹周长为_____________。
高中数学 球的概念
B
二、球的截面
R C A r
d D B
性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面； 2.球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆半径 r 有下面关系： R 2 = r 2 + d 2； 3.与球心距离相等的截面所截得的圆相等。距球心越近，截面圆越大。
三、球的大圆和小圆
d
o
大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆 叫做大圆。（d=0 ） 小圆：球面被不经过球心的截面所截得的
2、已知球面上两点A与B的球面距离为5 cm，过这两点的 两条球半径的夹角为AOB=50o，则这个球的半径为______. 18cm 3、过半径为6cm的球的一条半径的中点作一个垂直于该半径
的平面，所得的截面面积为____________. 27 cm2
4、正方体的8个顶点在半径为1的球面上，则此正方体的棱 长为____________. 5、A、B是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离为R/2， 则过A，B的平面中，与球心的最大距离为_______.
圆叫做小圆。（0dR ）
（附：当d=R时，平面与球相切）
练习：如果把地球看作是一个球体，请你说出由经纬线所构成的大圆有哪些？
四、球面距离
P O Q
练习： 1、判断正误：（对的打√，错的打×） （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。 （2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。 （3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面 所在平面的距离为4。 （√ ） （4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（√） ） × （ ） × （
球
一、球的概念：
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）
3-3球面上的几何
2012年8月
46
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
47
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
48
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
球面三角形的正弦定理和余弦定理
60
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的其它性质
定理
球面三角形两边之和大于第三边。
61
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
62
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
63
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的其它性质
推论
高中数学选修课程 专题研究
3-3 球面上的几何
1
1.《普通高中数学课程标准 （实验）》
4
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
《普通高中数学课程标准 （实验）》
10.体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面， 球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
11.初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。 12.完成一个学习总结报告。
50
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
51
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
52
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
54
高中数学《第二讲球面上的距离和角一球面上的距离》5PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
《球面上的距离》的教学设计课题：球面上的距离教材：高中数学人教A版2003课标版选修3-3球面上的几何第二讲一、球面上的距离教师：齐齐哈尔市民族中学王欣一、教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。
本节课是在运用欧式几何的研究方法，研究了球的一些性质后，进一步从球面上的距离和角出发，开始进入球面几何的学习。
而且学生对球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。
它不但能加深学生对球面及球的截面的理解,而且在求其解过程中,可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角)的概念，具有实质的教学意义。
另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。
通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用。
二．教学目标和重点、难点分析学生已经知道球面距离和经度、纬度等概念，这一节将进一步认识数学和实际的联系。
我将这节课的教学目标和重点难点定为：教学目标：1.理解球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。
2.体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。
3.会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。
教学重点：理解球面上的距离的概念，会计算球面上两点间的距离。
教学难点：球面上两点之间最短路径是这两点的一段大圆弧—劣弧，以及地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
三．教学问题诊断学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、球大圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能运用相关三角知识解三角形。
本节课的教学难点是对球面上两点间距离的认识，地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
对教学难点的突破我采取了三个策略：1.教材在引出球面距离的概念后，直接进入了地球上同经度、同纬度两点间的球面距离的求法（例1、例2），从概念到应用之间的跨度较大。
两点球面距离的求解方法
。
．
Ａ、 在 同 一 经 度 为 １ ０ 的 圆 曰 ２。
上 ．
｛Ａｃ Ａ －。 １ ｆ口Ｃ Ｄ ＤＩ５ Ｄ： Ｏ０．。 Ｏ＝ ４ ５
’ ．
解 析 ： 图 ， Ａ、 的 截 如 过 Ｂ 。 ， ０为 球 心 ， 题 已知 Ａ、 本 Ｂ
球面距 ：
Ｊ ＡＢ ５７＝０ —— ０ ４＋￣２・ ＝。５１。
ＱＯ 为 北 纬 ４ 。 ， ２ 南 纬 ７ 。 ｔ ５ Ｏ０ 为 ５， ｏＯ为 ０纬 圆 ， ＯＡ， Ａ， ，Ｂ 。 连 ＋ Ｏ Ｄ Ｏ．
‘
两 点 间 球 面 距 离 的 思维 拓展 例 ４ Ａ、 ． Ｂ是 半 径 为 Ｒ 的 球 面 离是 ， 过 Ａ、 的平 面 中 与瑚 则 Ｂ
角 为 △Ａ
０Ａ
角 三 角 形
一 一
＝ ＝ ＯＢ Ｒ
Ｊ
ＡＢ ＿
…
…
Ｒ．
。
由 于 过 Ａ、 的 截 面 圆 可 以是 过 球 心 ０ 的 大 圆 面 。 Ｂ 此
经度 差为 ９ｏ ０ 。即 球 的 截 面 的两 条 半 径 的夹 角 为 ９ ｏ 即如 图 ／ＡＯＢ ９ 。 ０， －角 为 ＡＯ ＝ ２ 。 Ｂ Ｉ０ 。 曰 两点 的球 面距 离 为 ２ ＝ 积 ． Ｒ
‘
．
、
＝
Ａ、 两 点 Ｂ
二 、 纬不 同经 同 例 ２在 北 纬 ４ 。 ． ５ 圈上 有 Ａ、 日两 点 。 们 的 经 度 分 别 为 它 东 经 １ ０与 西 经 １０ ， 地 球 半 径 为 Ｒ， Ａ、 两 地 的 球 ４。 ３ 。设 则 面距 离 为 多 少 ？ 解 析 ： 题 是 同 纬 度不 同经 度 。 本 其
连 ＡＤ．
球面距离公式及其应用
高中数学教与学
球面距离公式及其应用
丁佩 ( 江苏省扬州中学树人集团, 225002)
球面距离的概念和球面距 离的求法 是中 学数学教学中颇感棘手 的问题. 5全 日制 普通 高级中学教科书( 试验修订本 # 必修)6 对于这 一知识点的 处 理方 法 是 就题 论 题, 许 多教 学 参考书 也未 给 出详 细 的球 面 距离 计 算公 式. 为此本文介绍球面距 离公式 并举例 说明 其应 用.
_
东京到旧金山 的距离为 P#
6
371 180
@
74
= 8 241. 34( km) .
^ sin 37bsin 40b+ cos 37bcos 40bcos 49b =
0. 78.
arccos( sin 37bsin 40b + cos 37bcos 40b #
cos 49b) = 38b.
_
旧金山到纽约 的距离为 P#
= 2 R2 - 2 R 2cos BB cos BA cos( AA
- AB ) - 2 R 2sin BA sin BB . 在等腰 & A OB 中,
cos N A OB =
OA 2 + OB 2 - A B 2 2 OA # OB
= cos BA cos BB cos( AA - AB ) + sin BA sin BB .
32
1, 求 A 、B 两
点的球面距离.
解 AA = P4 , BA = P4 , AB = - P4 , BB =
arcsin
32
1,
_ AB =
R arccos
sin P4 sin
arcsin
从高考山东卷的一道题目谈球面距离的求解
从高考山东卷的一道题目谈球面距离的求解云南省广南一中 663300 玉宏图青岛财经职业学校 266000 相恒山2005年全国高考山东卷理科第(8)、文科第(9)题是:设地球的半径为R ,若A 地位于北纬45b 东经120b ,B 地位于南纬75b 东经120b ,则A ,B 两点的球面距离是( )(A )3PR (B)P 6R (C)5P 6R (D )2P 3R此题设计新颖独特,难易适中,对于球面距离来说,很具有代表性,值得我们深入研究,本文拟对其作推广,并说明其应用,与读者共享。
1 相关概念球面距离:过某两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.纬度:经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角.经度:经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数.两地的位置关系:地球上两点A ,B 的位置关系以下三种:(1)A ,B 两地经度相同,纬度不同;(2)A ,B 两地纬度相同,经度不同;(3)A ,B 两地纬度不同,经度也不同.2 结论推广为了方便叙述,本文采用有向角的概念,规定东经为正,西经为负,北纬为正,南纬为负,例如西经120b 记为-120b ,南纬30b 记为-30b .于是我们有如下的球心角定理:定理 设A ,B 是地球表面上的任意两地,A 地的经度为H 1,纬度为U 1,B 地的经度为H 2,纬度为U 2,地球的中心为O ,球心角N A OB =A (A I (0,P ]),则cos A =sin U 1sin U 2+cos U 1cos U 2cos (H 1-H 2).证明略.推论1 若A ,B 两地位于同一经度时,则cos A =cos (U 1-U 2).证明 因为H 1=H 2,由定理得.推论2 若A ,B 两地位于同一纬度U 时,则c os A =sin 2U +c os 2U cos (H 1-H 2).证明 因为U 1=U 2=U ,由定理得cos A =sin U sin U +c os U c os U c os (H 1-H 2)=sin 2U +c os 2U cos (H 1-H 2).3 应用举例有了球心角定理及其推论,我们可方便地解决球面距离的有关问题.例1 本文开头提出的问题.解 因为U 1=45b ,U 2=-75b ,且经度相同,由题意和推论1得:cos A =cos [45b -(-75b )]=c os120b .因为A I (0,P ],所以A =120b =23P ,故劣弧BA =A #R =23P R.所以A ,B 两点的球面距离是23P R ,故选(D ).例2 (2004年希望杯培训题)设A ,B 两地分别位于东经60b 、南纬45b 和西经120b 、北纬30b ,O 是地球中心,试求N A OB 的大小(小于平角的一个).因为H 1=60b ,U 1=-45b ,H 2=-120b ,U 2=30b .由定理得cos N A OB =c os A =6-24,故知N A OB=75b.例3(2002年希望杯竞赛题)地球上有两点A,B分别位于东西两半球,且都在北纬45b,它们的球面距离是P3R(R是地球半径),A点位于东经20b,求B点的位置.解由题意和球面距离定义得P3R=A#R]A=P 3 .又由题意和推论2得:c os P3=sin2P4+cos2P4cos(20b-U2),解得cos(20b-U2)=0]20b-U2= 90b]U2=-70b.B点的位置是西经70b,北纬45b.例4众所周知,第28届奥运会已于2004年在希腊首都雅典举行,它位于东经24b北纬38b.而第29届奥运会将于2008年在我国首都北京举行,它位于东经116b北纬40b,你能计算北京和雅典的球面距离吗?解设雅典的经度为H1,纬度为U1,北京的经度为H2,纬度为U2,已知H1=24b,H2= 116b,U1=38b,U2=40b,将它们代入定理查表计算得c os A=-0.2079,A=102b U1.78弧度.又知地球的半径=6370千米,所以北京和雅典的球面距离为劣弧A B=A# R=1.78@6370=11340(千米).例5(从中国经营北京)纽约直飞航班问题)北京时间2002年9月27日14点,国航CA981航班从首都国际机场准时起飞,当地时间9月27日15点30分,该航班正点平稳落在纽约肯尼迪机场;北京时间10月1日19点14分,CA982航班在经过13个小时的飞行后,准点降落在北京首都国际机场,至此国航北京)))纽约直飞首航成功完成,这是中国承运人第一次经极地经营北京)))纽约直飞航线.而从北京(东经116b,北纬40b)至纽约(西经74b,北纬40b)原来的航线是:北京(东经116b,北纬40b))))上海(北纬31b,东经122b))))东京(北纬36b,东经140b))))旧金山(北纬37b,西经123b))))纽约(西经74b,北纬40b).如果飞机飞行高度为10千米,并假设地球是半径为6371千米的球体,你能计算新航线的空中航程比原航线的空中航程缩短了多少吗?解在地球上,两地间飞行的最短距离是这两地所在大圆(其半径为地球的半径与飞行高度之和)的两地间的劣弧长.本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长;北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度之和.然后求它们的差.(1)计算原航线的距离将北京和上海的经度、纬度代入定理查表计算得cos A=0.98,A=10b=0.17453弧度,故北京和上海的距离为A#(6371+10)=1113.69(千米).将上海和东京的经度、纬度代入定理查表计算得c os A=0.96,所以A=16b=0.28弧度,故上海和东京的距离为A#(6371+10)=1781.91(千米).将东京和旧金山的经度、纬度代入定理查表计算得cos A=0.27,A=74b=1.29弧度,故东京和旧金山的距离为A(6371+10)=8241. 34(千米).将旧金山和纽约的经度、纬度代入定理查表计算得cos A=0.78,所以A=38b=0.66弧度,故旧金山和纽约的距离为A(6371+10)= 4232.04(千米).原航线的距离为1113.69+1781.91+ 8241.34+4232.04=15368.98(千米).(2)计算新航线的距离将北京和纽约的经度、纬度代入定理查表计算得c os A=0.17,所以A=100b=1.74弧度,故北京和纽约的距离为A(6371+10)=11136.95(千米).(3)因为15368.98-11136.95= 4232.03(千米).所以新航线比原航线飞行距离大约缩短了4232千米.。
高中高三数学《球面距离》优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组针对以下问题进行讨论：
a.球面距离的计算方法有哪些？
b.如何将球面距离应用于实际问题？
c.在计算球面距离时，可能会遇到哪些困难？如何解决？
2.各小组讨论并在黑板上展示讨论成果，教师巡回指导，解答学生疑问。
5.运用信息技术手段，如几何画板、数学软件等，辅助教学，提高学生的学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，使学生体会到数学在现实生活中的重要性。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生面对困难和挑战时的自信心。
3.培养学生的空间观念，使学生认识到数学知识在人类文明进步中的价值。
（二）问题导向
本节课将采用问题导向的教学策略，引导学生主动探究球面距离的计算方法。在教学过程中，设计一系列由浅入深的问题，如：“球面距离与空间直线距离有何区别？”“如何利用球面三角学知识计算球面距离？”等。通过这些问题，激发学生的思维，引导学生逐步掌握球面距离的计算方法。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。在问题导向的基础上，将学生分成若干小组，每组针对某一问题进行讨论、交流和合作。小组成员之间相互支持、相互学习，共同解决问题。在这个过程中，教师要注意观察各小组的讨论情况，适时给予指导，确保每个学生都能参与到小组合作中。
4.培养学生的合作意识，让学生在团队协作中体验到共享成果的喜悦。
5.培养学生的环保意识，通过球面距离的学习，引导学生关注地球家园，培养学生的社会责任感。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解球面距离的概念，本节课将采用情景创设的教学策略。首先，通过展示地球仪上不同城市的位置，提出问题：“如何计算地球表面上两点之间的最短距离？”引发学生对球面距离的好奇心和探究欲望。接着，利用多媒体课件呈现地球的立体图像，让学生在视觉上直观地感受球面的弯曲，从而引出球面距离的学习。
高中数学奥赛常用数学公式
高中数学奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1．定义：{}1n n n a a d a +-=⇔是等差数列{}1,(0,0)n n n na q a q a a +=≠≠⇔是等比数列,, (,)2a ba b a b +±等差中项等比中项同号2.公式(1)通项1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 11n n m n m a a q a q --== (2)前n 项和 11(1)(1)()222n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+- 1(1)2n s da n n =+-也是等差数列 111(1)1111n n n a a qa q q qq s na q ⎧--=≠⎪--=⎨⎪=⎩二.数列求和(1)2222(1)(21)123 (6)n n n n ++++++=(2) 223332(1)12(12)4n n n n ++++=+++=三、三角公式 1、和差角公式()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )sin cos a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαααϕ±=±±=±±=±=±+=+2、倍角公式 万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 23332tan tan 21tan sin 33sin 4sin cos 4cos 3cos ααααααααα=-=-=-3、半角公式，升降幂公式22221cos sin sincos tan222sin 1cos 1cos 21cos 2sin cos 221cos 2cos 1cos 2sin 22ααααααααααααααα-=====+-+==+=-=4、积化和差，和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2sincos2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos222211sin cos [sin()sin()]cos cos [cos()cos()]221sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+--++=-=+-+-+=-=-=++-=++-=-+--（2）正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C ===(R 是ABC ∆外接圆半径)（3）余弦定理 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab+-=（4）11sin 224ABC a abc S ah ab C pr R∆=====其中2a b cp ++=为半周长 四、重要不等式12(,0)112a b a b a b+≥≥>+ 23(,,0)1113a b c a b c a b c++≥≥≥>++3．222(,)22a b a b ab ab a b R ++⎛⎫≤≤∈ ⎪⎝⎭3(,,0)3a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭五、球 1、222R r d =+2、球面距离l R θ=⋅2222222cos 22cos R R ABR AB r r r θβ+-==+-（β是径度差）3、24S R π= 球内接长方体 222224l R a b c ==++侧棱两两垂直的三棱锥补形⇒长方体⇒球内接长方体4、体积 343V R π=3S V R RS V '''==球球球球多面体内切球半径 ： 3Vr S =全六、二项式定理（1）011()n n n n nnn n a b C a C a b C b -+=+++（2）22(1)11n nx nx nx c x +≈+≈++ 七、导数 1．()()()00000x x f x x f x yf x limlim x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆()()00f x x f x x x ⇔==在处可导，注意：在处不可导 二、运算法则：()()()()()()()21234x u U V U V UV U V UV U U V UV y y u x VV ''''''±=±=+'''-⎛⎫'''== ⎪⎝⎭三、导数公式（1）0C '= （2）()1n n x nx -'= （3）()x x e e '= （4）()x x a a ln a '= （5）1(ln x )x '=（6）11(log )log ln a a x e x x a'== （7）(sin )cos x x '= （8）(cos )sin x x '=-。
人教版高中数学必修二：球的概念和性质
定义2：到一个定点的距离小于或等于定长的点 的集合是一个球体（简称“球”）。
用旋转的观点定义： 半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面 叫做球面。 半圆面以它的直径所在的直线为轴旋转所成的几 何体叫做球体。(球是旋转体 )
A
. .
O
绕直径旋转一周
.
O
B
二、球的画法及组成元素
1、球心：半圆的圆心；如 O；记作：球O。 2、球的半径：连接球心 和球面上任意一点的线段； 3、球的直径：连接球面 B 上两点并且经过球心的 线段； 4、球面
一、情景设置
1、圆的定义
平面内到一个定点距离等于定长的点的轨迹 叫做圆。 圆只是一条曲线，而不是一个“ 圆面”。 圆面：平面内到一个定点的距离小于或等于 定长的点的轨迹叫做圆面。
问题1：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？ 定义1：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 是一个球面。定点——球心，定长——球半径
• 球面被经过球心的平面 截得的圆叫做大圆 • 如灰色圆面、绿色圆面
• 球面被不经过球心的平 面截得的圆叫做 小圆 • 如蓝色圆面、红色圆面
4、球的性质：
1°用一个平面去截球，截面是圆面， 用一个平面去截球面，截线是圆 。
2°球心和不过球心的截面圆心的连线 垂直于截面 3°球心到截面的距离d与球的半径R及 截面圆的半径r，有下面的关系：
球面距离
• 在球面上两点 之间的最短距离 就是经过这两点 的大圆在这两点 间的劣弧的长度 ——这个弧长叫 两点的球面距离。
P O
Q
口
答
1．A、B 为球面上相异两点，则通过A、 B两点可作球的大圆有（ ） A．一个 C．零个 B．无穷多个 D．一个或无穷多个
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课件 新人教B版必修2
2．球 ． (1)球的结构特征 球的结构特征 定义： 定义： 半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周所 形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称球． 形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称球． 球心：形成球的半圆的________叫做球的球心． 叫做球的球心． 球心：形成球的半圆的 圆心 叫做球的球心 球的半径： 球的半径 ： 连接球面上一点和球心的线段叫球的半 径． 球的直径： 球的直径 ： 连接球面上两点且通过球心的线段叫球 的直径． 的直径．
思考感悟 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面都是曲面，在它们的 ．圆柱、圆锥、圆台的侧面都是曲面， 侧面内有直线段吗？ 侧面内有直线段吗？ 提示：有．由圆柱、圆锥、圆台的定义以及母线 提示： 由圆柱、圆锥、 的定义可知，圆柱、圆锥、 的定义可知，圆柱、圆锥、圆台的侧面上的母线 是直线段，事实上在它们的侧面上， 是直线段，事实上在它们的侧面上，也只有母线 是直线段． 是直线段．
(2)球的截面的性质 球的截面的性质 为截面圆半径， 为球的半径 为球的半径， 为球心 为球心O到截 ①r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心 到截 为截面圆半径 面 圆 的 距 离 ， 即 O 到 截 面 圆 心 O′ 的 距 离 ( 如 ′ 图 ) ． 则 r 、 R 、 d 2＝d2间r2的 关 系 为 R 之 ＋ _________________. 球的大圆、 ②球的大圆、小圆 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆； 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆 ； 被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．
【答案】 A 答案】 点评】 本题是考查圆柱、圆锥、 【点评】 本题是考查圆柱、圆锥、圆台概念的 理解问题．对几何体的概念理解要到位， 理解问题．对几何体的概念理解要到位，稍有疏 忽都会造成错误的判断， 忽都会造成错误的判断，做题时要注意以哪条边 所在直线为旋转轴，必须清楚地认识到： 所在直线为旋转轴，必须清楚地认识到：以直角 三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转得圆 以斜边为旋转轴旋转就是两个圆锥的组合体； 锥，以斜边为旋转轴旋转就是两个圆锥的组合体； 以直角梯形垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转 得圆台， 得圆台，以斜腰所在直线为旋转轴把直角梯形旋 转一周得两个圆锥和一个圆台的组合体． 转一周得两个圆锥和一个圆台的组合体．