2020年上海市闵行区高二(下)期中数学试卷解析版
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（3）若 m⊥β，α⊥β，则 m∥α； （4）若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β． 其中正确命题的序号是______ 16. 四面体 ABCD 中，面 ABC 与面 BCD 成 60°的二面角，顶点 A 在面 BCD 上的射影 H 是△BCD 的垂心，G 是△ABC 的重心，若 AH=4，AB=AC，则 GH=______． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 17. 已知复数 z=（ - i）2 是一元二次方程 mx2+nx+1=0（m，n∈R）的一个根． （1）求 m 和 n 的值； （2）若 z1=（a-2i）z，a∈R，z1 为纯虚数，求|a+2i|的值．
B. α<γ<β
C. α<β<γ
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
5. 复数（1-2i）（3+i）的虚部为______
6. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长
都为 1，点 A、B 对应的复数分别是 z1、z2，则 =______
D. β<γ<α
7. 复数 i+i3+i5+…+i2019=______ 8. 一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是________. 9. 复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2，则|z+i+1|的最小值是______． 10. 在复数集中因式分解 x4-6x2+25=______．
18. 如图，已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 1． （1）正方体 ABCD-A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与 直线 A′B 是异面直线？ （2）若 M，N 分别是 A'B，BC′的中点，求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小．
19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆 棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马．如图所示，在 P-ABCD 中，PD⊥底面 ABCD． （1）若 AD=CD=4m，斜梁 PB 与底面 ABCD 所成角为 15°，求立柱 PD 的长（精确 到 0.0lm）； （2）证明：四面体 PDBC 为鳖臑； （3）若 PD=2，CD=2，BC=1，E 为线段 PB 上一个动点，求△ECD 面积的最小值．
14. 已知直三棱柱 ABC -A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为______．
15. 设 m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，对于以下命题： （1）若 m∥n，α∥β，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等； （2）若 m⊥n，m⊥α，n⊥β，则 α⊥β；
为真；
对（B）若
，则 z1 和 z2 互为共轭复数，所以
为真；
对（C）设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则
，
，所以
为真；
对（D）若 z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而
，所以
为假．
故选：D． 题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个 命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案． 本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概 念，是基本的概念题．
21. 设 z∈C，且
．
（1）已知 2f（Байду номын сангаас）+ -4z=-2+9i（z∈C），求 z 的值；
（2）若 Rez≥0，设集合 P1={z|f（z）• -2i•f（z）+2i• -12=0，z∈C}，P2={ω|ω=iz ，z∈P1}，求复平面内 P2 对应的点集表示的曲线的对称轴；
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A. （0，6）
B. （6，+∞）
C. （0，6 ）
D. （6 ，+∞）
4. 如图,已知正四面体 D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R
分别为 AB,BC,CA 上的点,AP=PB,
=2.分别记二面角
D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P 的平面角为 α,β,γ,则( )
A. γ<α<β
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分） 1. 设 z1，z2 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A. 若|z1-z2|=0，则 =
B. 若 z1= ，则 =z2
C. 若|z1|=|z2|，则 z1• =z2•
D. 若|z1|=|z2|，则 z12=z22
11. 设 z 是复数，a（z）表示满足 zn=1 是最小正整数 n，则
=______
12. 已知 α 是实系数一元二次方程 x2-（2m-1）x+m2+1=0 的一个虚数根，且|α|≤2，则实 数 m 的取值范围是______．
13. 圆锥底面半径为 10，母线长为 30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的 最短路线的长度是______．
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20. 如图，四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD， AD=CD=1，AA1=AB=2，E 为棱 AA1 的中点.
(1)证明 B1C1⊥CE. (2)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值.
(3)设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 ，求线段 AM 的长
（3）若 z1=u（u∈C），
，是否存在 u，使得数列 z1，z2
，…满足 zn+m=zn（m 为常数，且 m∈N*）对一切正整数 n 均成立？若存在，试求出 所有的 u，若不存在，请说明理由．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：对（A），若|z1-z2|=0，则 z1-z2=0，z1=z2，所以
2. 已知 α，β 是两个不同的平面，直线 l⊂α，则“l∥β”是“α∥β”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 过平面 α 外一点 A 引线段 AB，AC 以及垂段 AO，若 AB 与 α 所成角是 30°，AO=6，
AC⊥BC，则线段 BC 长的范围是（ ）
2019-2020学年上海市闵行七校高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市闵行七校高二上学期期中数学试题一、单选题1．等差数列{}n a 中，公差1d =，且1a 、3a 、4a 成等比数列，则1a =（ ） A ．4- B ．6-C ．8-D ．10-【答案】A【解析】由1a 、3a 、4a 成等比数列，可得2314a a a =,即()()111232a d a a d =++,将1d =代入求解即可. 【详解】等差数列{}n a 中，31122a a d a =+=+,41133a a d a =+=+, 因为1a 、3a 、4a 成等比数列，所以2314a a a =,即()()211123a a a +=+,解得14a =-. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质,等比中项的运用,考查了学生的计算能力,属于基础题.2．数列{}n a 中，221()2122121nn n k a n n k n ⎧=-⎪⎪=⎨-⎪=⎪+⎩（*k ∈N ），则数列{}n a 的极限为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．不存在【答案】D【解析】分别求出21n k =-和2n k =时,数列{}n a 的极限,比较发现二者不同,从而可选出答案. 【详解】当21n k =-时,1()2nn a =,lim lim()012n n n n a →∞→∞==,当2n k =时,22211n n a n -=+,22221221211lim lim lim 1n n n n n n a n n→∞→∞→∞=-+=-=+, 显然02≠,即数列{}n a 的极限不存在. 故选:D.本题考查了数列极限的求法,考查了学生的推理能力,属于基础题.3．有下列命题：①若a 与b 是非零向量，则()()0||||a b a b a b +⋅-=⇔=r r r r r r；②若a b b c ⋅=⋅r r r r 且0b ≠r r，则a c =；③若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ；其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】结合平面向量的性质,对四个命题逐个分析可选出答案. 【详解】对于命题①,22()()0||||a b a b a b a b +⋅-=⇔=⇔=r r r r r r r r,故命题①正确;对于命题②,取()0,1b =,()()1,0,2,0a c ==,此时0b b a c ⋅=⋅=,显然a c ≠,故命题②不正确;对于命题③,取0b =,此时a ∥b ，b ∥c ，则a 和c 不一定平行；故命题③不正确; 对于命题④,b c ⋅和a b ⋅都表示实数,()a b c ⋅⋅r r r 表示与a 共线的向量,()a b c ⋅⋅r r r表示与c 共线的向量,故()a b c ⋅⋅r r r 和()a b c ⋅⋅r r r不一定相等,即命题④不正确.故正确命题的个数为1. 故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.4．已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=r u u r ，21n j a n ⋅=+r u u r，其中*n ∈N ，设n θ为i 和n a 的夹角，则（ ） A ．n θ随着n 的增大而增大 B ．n θ随着n 的增大而减小C ．随着n 的增大，n θ先增大后减小D ．随着n 的增大，n θ先减小后增大【答案】B【解析】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系,可得()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,进而可得到tan n θ的表达式,结合函数的单调性可选出答案.分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 则()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,因为n i a n ⋅=r u u r ，21n j a n ⋅=+r u u r,所以,21n n x n y n ==+,则(),21n a n n =+,n θ为i 和n a 的夹角，211tan 2n n n n y n n x θ+===+,*n ∈N ,tan 0n θ>,则π0,2n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 显然1tan 2n nθ=+为减函数, 又因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以n θ随着n 的增大而减小. 故选:B. 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.二、填空题 5．1lim3n n→∞=________【答案】0 【解析】由111lim lim 33n n n n→∞→∞=,再结合1lim 0n n →∞=,可求出答案.【详解】 由题意,1111limlim 00333n n n n →∞→∞==⨯=.故答案为:0. 【点睛】本题考查了极限的计算,考查了学生对极限知识的掌握,属于基础题.6．已知(3,4)n =-r，则与它同向的单位向量0n =u u r ________（用坐标表示）【答案】34(,)55-【解析】求出n r,与n 同向的单位向量为0n n n=r u u r r ,求出即可.【详解】由题意,5n ==r ,则与n 同向的单位向量034,555n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ru u r .故答案为:34(,)55-. 【点睛】与()0a a ≠同向的单位向量为a a ,相反方向的单位向量为aa-rr .7．经过点(1,2)且平行于直线1223x y +-=的直线方程是________ 【答案】3210x y -+=【解析】先求出所求直线的斜率,该直线又过点(1,2),可求出该直线的方程. 【详解】设所求直线为l ,直线1223x y +-=的斜率为32,故直线l 的方程为()3212y x -=-,化为一般方程为3210x y -+=. 故答案为:3210x y -+=. 【点睛】本题考查了直线方程的求法,考查了平行直线的性质,属于基础题. 8．已知数列{}n a 为等差数列，95a =，则17S =________ 【答案】85 【解析】由()11717917172a a S a +==,可求出答案.【详解】在等差数列{}n a 中,()1171791717175852a a S a +===⨯=.故答案为:85. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式的应用,考查了等差中项的运用,属于基础题.9．已知向量(1,1)a =-，(3,1)b =，则b 在a 方向上的投影为________【答案】【解析】由b 在a 方向上的投影为cos a b b aθ⋅=,计算求解即可.【详解】由题意,312a b ⋅=-+=-,()21a =-=设a 与b 的夹角为θ,则b 在a 方向上的投影为cos 2ab b aθ⋅===故答案为:. 【点睛】本题考查了平面向量的投影,考查了向量的数量积的计算,考查了学生的计算能力,属于基础题.10．若数列{}n a 为等比数列，且12a =，2q =，则13521n a a a a -+++⋅⋅⋅+=________ 【答案】2142n --【解析】由数列{}n a 是公比为2q =的等比数列，可知13521,,,,n a a a a -⋅⋅⋅也是等比数列,其公比为2q ,利用等比数列的前n 项和公式可求出答案.【详解】数列{}n a 是公比为2q =的等比数列，则13521,,,,n a a a a -⋅⋅⋅也是等比数列,公比为212q =, ()211352122121112411212nn n n a q a a a a q --⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++⋅⋅⋅+===---.【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了等比数列前n 项和公式的运用, 考查了学生的计算求解能力,属于基础题.11．若数列{}n a 2n n =+（*n ∈N ），则该数列的通项公式n a =________ 【答案】24n【解析】当2n ≥时()211n n =-+-,表达式,进而可求出数列的通项公式. 【详解】由题意,当1n =时112=+=,即14a =, 当2n ≥时()211n n =-+-,则()()2211n n n n ⎡⎤⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+=+--+-⎣⎦,2n =,即24n a n =.经验证1n =时,14a =符合24n a n =,故数列的通项公式24n a n =.故答案为:24n . 【点睛】本题考查了数列通项公式的求法,要注意验证1n =时是否满足n a 的表达式,属于基础题.12．已知坐标平面内两个不同的点1(1,1)P ，222(,33)P a a a -+（a ∈R ），若直线12PP 的倾斜角是钝角，则a 的取值范围是________ 【答案】()()1,11,2-⋃【解析】由直线12PP 的倾斜角是钝角，可知直线12PP 的斜率k 存在,且k 0<,即可得到2233101a a k a -+-=<-,求解即可.【详解】因为直线12PP 的倾斜角是钝角，所以直线12PP 的斜率k 存在,且k 0<, ()()()()2221331111a a a a k a a a ---+-==+--,则()()()()()()2210210011111a a a a a k a a a a a -⎧--⎧<-+<⎪=<⇔⇔+⎨⎨+-≠⎩⎪≠⎩,解得()()1,11,2a ∈-⋃. 故答案为:()()1,11,2-⋃. 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.13．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且lim(2)1n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围________ 【答案】(2,1)(1,0)---【解析】无穷等比数列{}n a 的公比q 满足0||1q <<,而lim(2)21n n S S S S S →∞-=-=-=,再结合11a S q=-,可求得1||110a +<<,解不等式即可. 【详解】设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,11a S q=-,则0||1q <<, 因为lim n n S S →∞=,所以lim(2)lim lim221n n n n n S S S S S S S →∞→∞→∞-=-=-=-=, 则111a q=--,11q a =+, 因为0||1q <<,所以1||110a +<<,解得1(2,1)(1,0)a ∈---.故答案为:(2,1)(1,0)---.【点睛】本题考查了数列极限的应用,考查了学生对极限知识的掌握,要注意公式11a S q=-中0||1q <<,属于中档题.14．在正△ABC 中，若6AB =，2DC BD =uuu r uu u r，则AD BC ⋅=________ 【答案】6-【解析】由2DC BD =uuu r uu u r 可得13BD BC =,利用向量的线性运算可得()21133AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+ ⎪⎝⎭,再求出AB BC⋅和2BC 即可. 【详解】由题意,2DC BD =uuu r uu u r,则13BD BC =, 66cos6018AB BC BA BC ︒⋅=-⋅=-⨯=-,26636BC =⨯=,()211118366333AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+=-+⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为:6-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了向量数量积的计算,考查学生的计算能力,属于基础题. 15．已知1()1x f x x-=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n ∈N 都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20182019a a +=________23【解析】由2()n n a f a +=,可先确定数列{}n a 是以4为周期的数列,进而可得2018201923a a a a +=+,再由2018a a =可求出2a ,由1a 可求出3a ,从而可求出答案.【详解】 由题意, 1(1)nn na f a a -=+, ∵2()n n a f a +=,∴211nn na a a +-+=, 则4111111n nn n n n a a a a a a +--+=-++=,故数列{}n a 的周期为4.1820181811a a a a -=+=,解得181a =,∵0n a >,∴181a =.1311111211312a a a --==++=,2181a a ==, 201820192323a a a a +=+=. 故答案为23. 【点睛】本题考查了数列的周期性,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.16．在直角ABC △中，π2A ∠=，2AB =，4AC =，M 是ABC △内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+（,λμ∈R ），则2λμ+的最大值为________【答案】4【解析】将AM AB AC λμ=+两边同时平方,展开计算可得到关于,λμ的等式,进而结合基本不等式可求出2λμ+的最大值. 【详解】由题意,24AB =,216AC =,AB AC ⊥,214AM =uuu r .将AM AB AC λμ=+两边同时平方得:22222+2AM AB AC AB AC λμλμ=+⋅, 则2214164λμ=+,所以2214146λμλμ=+≥,当且仅当2λμ=时取等号.则()22211112+4441616168λμλμλμλμ+=+=+≤+=, 即()2128λμ+≤, 故2λμ+的最大值为4.故答案为:4. 【点睛】本题考查了向量的数量积的运用,利用基本不等式求最值是解决本题的一个较好方法.三、解答题17．已知2a i j =-+r r r ，2b ki j =+r r r，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.（1）若a ∥b ，求k 的值；（2）若|2|3a b -=r r，求k 的值；（3）若a 与b 的夹角为锐角，求k 的取值范围. 【答案】（1）4- （2）1- （3）(,4)(4,1)-∞--U 【解析】由题可得a 与b 的坐标,（1）利用向量平行的坐标运算,可求出k 的值； （2）求出2a b -r r,利用|2|3a b -=r r可求出k 的值； （3）设a 与b 的夹角为θ，可得cos 5a b a bθ==⋅⨯⋅,结合0cos 1θ<<,可求出答案. 【详解】由题意,()2,1a =-r ,(),2b k =r.（1）a ∥b ，则220k -⨯-=,解得4k =-;（2）()222,3a b k -=---r r,则|2|3a b -==r r,化简得()210k +=,即1k =-.（3）设a 与b 的夹角为θ，则cos 5a b a bθ==⋅⨯⋅,因为θ为锐角,所以0cos 1θ<<,即01<<,解得(,4)(4,1)k ∈-∞--U . 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了平行向量的性质,考查了向量的模,考查了向量夹角的计算,属于基础题. 18．已知数列{}n a 满足：112a =，11nn na a a +=+. （1）计算数列的前4项； （2）求{}n a 的通项公式. 【答案】（1）12、13、14、15（2）11n a n =+ 【解析】（1）分别将1,2,3n =代入11nn n a a a +=+,可求得数列的前4项； （2）将11n n n a a a +=+等号两端取倒数可得1111n na a +-=,即证数列1{}n a 是等差数列,由1{}na 的通项公式可求得{}n a 的通项公式. 【详解】（1）1n =,可得121113a a a ==+;2n =,可得232114a a a ==+;3n =,可得343115a a a ==+. 故数列{}n a 的前4项为12、13、14、15. （2）将11nn n a a a +=+等号两端取倒数得,1111n na a +=+, 则1111n n a a +-=,即数列1{}n a 是以112a =为首项,公差为1的等差数列,则1211n n n a =+-=+,即11n a n =+. 故{}n a 的通项公式为11n a n =+. 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法,考查了等差数列的判定,考查了学生的推理能力,属于基础题.19．已知平行四边形OABC 中，若P 是该平面上任意一点，则满足OP OA OB λμ=+（,λμ∈R ）.（1）若P 是BC 的中点，求λμ+的值； （2）若A 、B 、P 三点共线，求证：1λμ+=.【答案】（1）12（2）证明见解析 【解析】（1）12OP OB BP OB BC =+=+,再结合BC OA =-,可求出,λμ; （2）设AP t AB =()t ∈R ,可得OP OA AP OA t AB =+=+,结合AB AO OB =+,可得到()1OP t OA tOB =-+,从而可证明1λμ+=. 【详解】（1）由题意,111222OP OB BP OB BC OB AO OB OA =+=+=+=-, 又OP OA OB λμ=+,故1,12λμ=-=,即12λμ+=. （2）A 、B 、P 三点共线，设AP t AB =()t ∈R ,则()()1OP OA AP OA t AB OA t AO OB t OA tOB =+=+=++=-+, 又OP OA OB λμ=+,故1,t t λμ=-=,即1λμ+=. 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的运用,考查了向量的线性运算,考查了学生的推理能力,属于基础题.20．如图，已知点列11(1,)B y 、22(2,)B y 、33(3,)B y 、⋅⋅⋅、(,)n n B n y （*n ∈N ）依次为函数11412y x =+图像上的点，点列11(,0)A x 、22(,0)A x 、⋅⋅⋅、(,0)n n A x （*n ∈N ）依次为x 轴正半轴上的点，其中1x a =（01a <<），对于任意*n ∈N ，点n A 、n B 、1n A +构成一个顶角的顶点为n B 的等腰三角形.（1）证明：数列{}n y 是等差数列；（2）证明：2n n x x +-为常数，并求出数列{}n x 的前2n 项和2n S ；（3）在上述等腰三角形1n n n A B A +中，是否存在直角三角形？若存在，求出a 值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析；222n S n =（3）存在;a 的值为23，16，712【解析】（1）利用点列为函数11412y x =+图像上的点，可求出{}n y 的通项公式,进而可证明结论;（2）1n n n A B A +V 与112n n n A B A +++是等腰三角形,可得112212n n n n x x n x x n ++++⎧=⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩,两式相减可得到22n n x x +-=,进而可求得数列{}n x 的前2n 项和2n S ; （3）要使1n n n A B A +V 为直角三角形,可得112412n n n x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-,结合数列{}n x 的通项公式,分类讨论可求得a 的值. 【详解】（1）点列11(1,)B y 、22(2,)B y 、33(3,)B y 、⋅⋅⋅、(,)n n B n y （*n ∈N ）依次为函数11412y x =+图像上的点，所以11412n y n =+,()1111412n y n +=++,则114n n y y +-=. 故数列{}n y 是等差数列；（2）1n n n A B A +V 与112n n n A B A +++是等腰三角形,可得112212n n n n x x n x x n ++++⎧=⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩,相减可得22n n x x +-=,即2n n x x +-为常数.12n n x x n ++=,1x a =,令1n =,得22x a =-,因为22n n x x +-=,所以数列{}n x 的奇数项可以构成一个以a 为首项,公差为2的等差数列,数列{}n x 的偶数项可以构成一个以2a -为首项,公差为2的等差数列, 当n 为奇数时,1n x n a =+-,当n 为偶数时,n x n a =-, 则数列{}n x 的前2n 项和()()()2221212222n n n n n na n a n S ⎡⎤⎡⎤--=++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（3）要使1n n n A B A +V 为直角三角形,则12n n n A A y +=,即112412n n n x x +⎛⎫=+⎪⎝⎭-, 当n 为奇数时,()121n n x x a +-=-,则122(1)412n a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,即11124n a =-,01a <<,n 为奇数,当1n =,得23a =,当3n =,得16a =,5n ≥时,不符合题意.当n 为偶数时,12n n x x a +-=,则122412n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即1412n a =+,当2n =,得712a =,4n ≥时,不符合题意. 综上所述,存在直角三角形,此时a 的值为217,,3612.【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列的求和,考查了三角形知识的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的逻辑推理能力,属于难题.21．已知(,2)n a S =r ，(1,1)n b a =-r，对任意*n ∈N ，有a b ⊥成立.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1122n n n b b ++=-，18b =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n ∈N ，k n T T ≥恒成立； （3）设11(1)(1)n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n ∈N 均有n R λ<恒成立，求λ的最小值.【答案】（1）2nn a = （2）4或5 （3）23【解析】（1）由a b ⊥可得0a b ⋅=,结合平面向量的坐标运算可得到,n n S a 的关系式,再结合1n n n a S S -=-可证明数列{}n a 是等比数列,进而可求出通项公式;（2）将1122n n n b b ++=-两端同时除以12n +,可得到11122n nn n b b ++-=-,从而可证明数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,即可求出2n nb 的表达式,进而求得{}n b 的通项公式,通过判断其表达式特点,可求出满足题意的正整数k ;（3）由题得,1112112()(12)(12)1212n n n n n n c +++==-++++,利用裂项相消求和法可求出n R ,结合不等式的性质,可求出λ的最小值. 【详解】（1）由题可得0a b ⋅=,则()210n n S a +-=, 当1n =时,可得12a =.2n ≥时,()11210n n S a --+-=,则()()111212120n n n n n n S a S a a a ---+----=-=,即12n n a a -=,故数列{}n a 是以2为首项,公比为2的等比数列,通项公式为2nn a =.（2）1122n n n b b ++=-,等式两端同时除以12n +得:11122n n n n b b ++=-,即11122n nn n b b ++-=-, 故2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以142b =为首项,公差为1-的等差数列,通项公式为()4152n n b n n =--=-, 则(5)2nn b n =-⋅.因为当6n ≥，0n b <，当14n ≤≤时0n b >,50b =,所以当4k =或5时,n T 取最大值,对任意*n ∈N ，k n T T ≥恒成立.（3）由题意,1112112()(12)(12)1212n n n n n n c +++==-++++, 则223111*********2()2()2(1212121212121212312n n n n R ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥+++++++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故23λ≥. 所以λ的最小值为23. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示,考查了数列通项公式的求法,考查了利用裂项相消法求数列的前n项和，考查了不等式性质的运用,属于难题.。
2020年上海市高二(下)期中数学试卷解析版
高二（下）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A. B. C. 2π D. 4π2.如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）A. B. C.1 D.3.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A. B. C. D.4.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（ ）A. 0B. 3C. 4D. 6二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定______个平面．6.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于______．7.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=______．8.如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是______．9.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为______（结果用反三角函数值表示）．10.已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=______．11.已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为______（写出所有可能值）12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是______．13.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为______．14.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为______15.已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是______16.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是______．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG=S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b ．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18.如图，已知圆锥底面半径r=20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．20.如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P-ABC为正四面体；（2）若，求二面角D-BC-A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P-ABC的体积减去棱锥P-DEF的体积）．21.火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y=0，y=h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为______（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是______，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是______m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V=2×S•h=2×πR2•h=2×π×（）2×=．故选：B．画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴==0，又大小为45°的二面角A-EF-D中，∴•=1×1×cos（180°-45°）=-．∵=，∴=+++=3-，∴=．故选：D．由=，利用数量积运算性质展开即可得出．本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1的正方形，则B与C两点间的距离是（ ）改为则B与D两点间的距离是（？？？？3.【答案】B【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB=1，B（1，0，1），C（1，1，1）．①在Rt△AA′C中，tan∠AA′C==，因此∠AA′C≠45°．同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为arctan°．故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为arctan°，不满足条件；②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则=（-1，y，0），=（1，1，1）．若满足BP与AC′所成的角为45°，则＞|==，化为y2+4y+1=0，无正数解，舍去；同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），则=（-1，y，-1），=（1，1，1）．若满足BP与AC'所成的角为45°，则＞|==，化为y2+8y-2=0，∵0≤y≤1，解得y=3-4，满足条件，此时点P．④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．而其它棱上没有满足条件的点P．综上可知：满足条件的点P有且只有3个．故选：B．通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．熟练掌握通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键．5.【答案】1或2或3【解析】解：如果三条直线都交于一点，且三线不共面，则每两条直线都确定一个平面，共确定3个平面；如果三条直线两两相交，交于不同的三点，则只确定1个平面；如果两条直线异面，另一条与其均相交，则只确定2个平面；如果两条直线平行，另一条与其均相交，则只确定1个平面．综上，这三条直线共可确定1或2或3个平面．故答案为：1或2或3．讨论这两条直线的位置情况，从而得出三条直线所确定的平面数．本题考查了由直线确定平面的应用问题，是平面的基本性质与推论的应用问题，是基础题目．【解析】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】4【解析】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．8.【答案】（-4，3，2）【解析】解：如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（-4，3，2）．由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.【答案】arccos【解析】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．10.【答案】【解析】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．11.【答案】0，2，4【解析】解：如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B'，G′∈C′E'，设AA'=BB'=3，CC'=6，EE'=3，由CG=2GE，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=4；当AB和C在平面α的两侧，由于EE'：CC'=1：2，可得GG′=0；当AB垂直于平面α，由中位线定理可得GG'=2．故答案为：0，2，4．根据题意画出图形，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，利用平面图形：直角梯形EE′C′C中数据可求得△ABC的重心到平面α的距离GG′即可．本题考查棱锥的结构特征、三角形的重心，考查计算能力，空间想象能力，是基础题，三角形重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．12.【答案】[0，1]【解析】【分析】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由=1-λ∈[0，1]，可得的取值范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（-1，-1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（-λ，-λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（-λ，1-λ，λ），∴=1-λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．13.【答案】【解析】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为=．故答案为：根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积．本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：利用三视图的关系，构造成四棱锥体，所以：x2=1+4-y2，整理得：x2+y2=5，故：（3x+4y）2≤（32+42）（x2+y2），整理得：．故答案为：5首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的边长关系式和不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.【答案】【解析】解：依题意，OA⊥OC，OB⊥OC，又OA∩OB=O，所以OC⊥平面OAB，以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，O为坐标原点立空间坐标系，则=（R，0，0），=（0，R，0）因为OA与OB夹角为，所以不妨设=（R，R，0），如图，则=（（x+）R，R，R），因为P在球O上，所以||=R，所以+y2R2+=R2，即+y2+=1，所以由柯西不等式[12+12+][+y2+]≥1×（x+）+1×y+×=x+y+z，解得x+y+z≤=．故答案为：．以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间坐标系，求出，，的坐标，根据P在球O上，得到||的长度为R，再结合柯西不等式即可得到结论．本题考查了球面距离，空间向量的坐标运算，向量的模，柯西不等式等知识，属于中档题．16.【答案】③，④【解析】解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD，因此不正确；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC 到平面MENF的距离相等，因此对于任意的平面α，都有S△EFG=S△EFH．④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC-EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，因此是一个定值．综上可知：只有③④正确．故答案为：③④．①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC 到平面MENF的距离相等，可得对于任意的平面α，都有S△EFG=S△EFH．④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC-EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．17.【答案】解：存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V4＞V1+V2，即a3+b3＞a2b+ab2（a≠b，a ，b＞0）．证明如下：a3+b3-（a2b+ab2）=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a+b）=（a+b）（a-b）2．∵a≠b，a，b＞0，∴（a+b）（a-b）2＞0．∴a3+b3＞a2b+ab2（a≠b，a，b＞0），即V3+V4＞V1+V2．因此存在必胜方案是：选中3号容器与4号容器．【解析】存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V4＞V1+V2，即a3+b3＞a2b+ab2（a≠b，a，b＞0）．通过作差即可证明结论．本题考查了乘法公式、不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，∵圆锥底面半径r=20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点，∴PH=，OQ⊥AC，OH=10，可得：HQ==10，∵PH∥SO，∴∠HPQ是PQ与SO所成的角，∵PQ与SO所成的角为arctan2，∴tan∠HPQ==2，∴HQ=2PH=SO，解得SO=10，l=SA==30，∴圆锥的侧面积：S=πrl=π×20×30=600π（cm2）．（2）作圆锥的侧面展开图，线段PQ即为所求最短距离．由已知OQ⊥SO，OQ⊥SA，∴OQ⊥OA，故Q是弧AB的中点，即Q是扇形弧的点．因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，由（1）知SO=10，母线SA=30，从而扇形的中心角为，∴∠QSA=，在△QSA中，SP=15，由余弦定理得：PQ===5，P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离5cm．【解析】（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，求出HQ的值，找出PQ与SO所成的角，求得SO、SA的值，再计算圆锥的侧面积；（2）作圆锥的侧面展开图，找出所求的最短距离，利用余弦定理求出即可．本题考查了求圆锥的体积、多面体和旋转体表面上的最短距离问题，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．19.【答案】（1）证明：∵AB∥CD，CD=2AB，F为CD的中点，∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，∴DC⊥BF，又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF．由此得DC⊥平面BEF；（2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，在Rt△BFC中，BF=AD=2，CF=，∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，则PA•AD=PD•h，得h=，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P-DBE=V B-PDE==．【解析】（1）先证四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，可得DC⊥BF，再由已知证明DC⊥PD，可得DC⊥EF，由线面垂直的判定可得DC⊥平面BEF；（2）由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，求解三角形即可；（3）由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PAD中，设A到PD 的距离为h，利用等面积法求得h，得A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，再利用等体积法求三棱锥P-DBE的体积．本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（1）证明：∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，∴DE+EF+FD=PD+OE+PF．又∵截面DEF∥底面ABC，∴DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，∴P-ABC是正四面体；（2）解：取BC的中点M，连拉PM，DM．AM．∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角．设P-ABC的各棱长均为1，∴PM=AM=，由D是PA的中点，得sin∠DMA==，∴∠DMA=arcsin；（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为6，体积为sinα=V．∵正四面体P-ABC的体积是，∴0＜V＜，0＜8V＜1．可知α=arcsin（8V）故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsin（8V）的直平行六面体即满足要求．【解析】（1）利用已知条件证明DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，从而证明P-ABC为正四面体；（2）PD=DA=，取BC的中点M，连拉PM，DM．AM．说明∠DMA为二面角D-BC-A 的平面角．解三角形DMA求二面角D-BC-A的大小；（3）存在满足条件的直平行六面体．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，利用该六面体棱长和为6，体积为sinα=V．求出α=arcsin（8V）底面相邻两边夹角为arcsin（8V）的直平行六面体即满足要求．本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面平行的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21.【答案】πa2h+-=1 6728【解析】解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示，设双曲线方程为-=1，则a=30，设B（，n），C（40，n-100），代入双曲线方程可得：-=1…①-=1…②由①②解得b=30，n=30．∴该双曲线的标准方程为；（2）把y=h代入双曲线方程可得x-=1，解得x2=（a2+），令圆柱的底面半径为a，高为h，倒置圆锥的底面半径为，高为h，则对任意的0≤h′≤h，双曲线旋转体的截面面积为π（a2+），圆柱的截面面积为πa2，设圆锥的截面半径为r，则，解得r=，∴圆锥的截面面积为π，∴双曲线旋转体的截面面积等于圆柱的截面面积与圆锥截面面积的和，∴双曲线旋转体的体积=圆柱的体积+圆锥的体积．∴V=πa2h+．设冷却塔的内壳双曲线方程为-=1，则a′=30-0.3=29.7，且点（39.6，-70）在双曲线上，把（39.6，-70）代入-=1可得b′2=6300．故冷却塔内壳所在双曲线方程为：．冷却塔的建筑体积为V=π•302•30++π•302•70+-π•29.72•30--π•29.72•70-=π•302•100-π•29.72•100+-=100π•（302-29.72）+=π•（302-29.72）（100+）=6728立方米．故答案为：πa 2h +，，6728．（3）冷却塔在地面以上30米以内的建筑体积为：π•302•70+-π•302•40--（π•29.72•70+-π•29.72•40-）=π•302•30+-π•29.72•30-=π•30•（302-29.72）+=π•（302-29.72）（30+）=2518.6立方米，冷却塔在地面30米以上和40米以下的部分体积为：π•302•40+-π•302•30--（π•29.72•40+-π•29.72•30-）=π•（302-29.72）（10+）=672.8立方米，冷却塔在地面40米以上的部分体积为2（π•302•30+-π•29.72•30-）=2π•（302-29.72）（30+）=3536.7立方米，∴建造本题中的冷却塔的费用为2518.6×400+672.8×800+3536.7×（800+100×60）≈1516万元（相差±2万之内都算正确）．（1）建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，应用待定系数法可得a ，b ，进而得到所求双曲线的标准方程；（2）应用圆柱和圆锥的体积公式，以及待定系数法，可得所求体积和双曲线的方程；（3）分别计算冷却塔在地面以上30米以内的建筑体积和冷却塔在地面30米以上和40米以下的部分体积，再计算建造本题中的冷却塔的费用．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线在实际问题中的应用，考查方程思想和运算能力，属于难题．。
2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二第二学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若直线a、b均平行于平面α，那么a与b位置关系是．2．若（2x+1）11＝a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a11）2＝．3．某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为．4．在120°的二面角内有一点P，P到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为．5．若，则n＝．6．7172除以100的余数是．7．甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为．8．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．其中正确的命题序号是．9．若，则y的取值范围是．10．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）11．在5月6日返校体检中，学号为i（i＝1，2，3，4，5）的五位同学的体重增加量f（i）是集合{1kg，1.5kg，2kg，2.5kg，3kg，3.5kg}中的元素，并满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有种．12．设S为一个非空有限集合，记|S|为集合S中元素的个数，若集合S的两个子集A、B 满足：|A∩B|＝k并且A∪B＝S，则称子集{A，B}为集合S的一个“k﹣覆盖”（其中0≤k≤|S|），若|S|＝n，则S的“k﹣覆盖”个数为．二.选择题13．在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A．100B．85C．65D．5514．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（）A．4条B．6条C．8条D．10条15．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（）A．B．C．D．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.解答题17．若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC 的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，∠ADC＝arcsin，PA⊥面ABCD，PA＝a．求：（1）二面角P﹣CD﹣A的大小（用反三角函数表示）；（2）点A到平面PBC的距离．20．是否存在等差数列{a n}，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出数列{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．21．规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求的值；（2）设x＞0，当x为何值时，取得最小值？（3）组合数的两个性质：①．②．是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．参考答案一.填空题（共12小题）.1．若直线a、b均平行于平面α，那么a与b位置关系是相交、平行、异面．【分析】以正方体为载体，列举出所有可能结果，由此能判断两直线的位置关系．解：在正方体AC1中，E是AA1的中点，F是BB1的中点，A1B3∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，A1B1∩A3D1＝A1，A1D1∥B1C4，A1D1和EF是异面直线，故答案为：相交、平行、异面．2．若（2x+1）11＝a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a11）2＝﹣311．【分析】在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a11＝311，再令x＝﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a3+a5+…+a11）＝﹣1，相乘，即得所求．解：∵，令x＝1可得a0+a1+a7+a3+…+a11＝311．再令x＝﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a5+a5+…+a11）＝﹣1．故答案为﹣311．3．某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为．【分析】这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前2次都遇到绿灯，第3次遇到红灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率．解：某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为P＝（1﹣）2×＝．故答案为：．4．在120°的二面角内有一点P，P到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为．【分析】过P分别作两平面和棱的垂线，解三角形即可求出答案．解：过A作平面α，β的垂线，设垂足分别为A，B，设α∩β＝l，作PC⊥l，垂足为C，连接AC，BC，又l⊥PC，PA∩PC＝P，同理可得：l⊥BC，设∠ACP＝θ，则∠BCP＝﹣θ，即＝，化简可得tanθ＝，故答案为：．5．若，则n＝4．【分析】凑成二项式定理展开式的右边的形式；逆用二项式定理，将多项式写出二项式形式．解：由，得：＝255，故答案为5．6．7172除以100的余数是41．【分析】利用二项式定理化简7172＝（70+1）72，求出展开式的后2项，即可得到7172除以100的余数．解：7172＝（70+1）72＝•7072+•7071+…+•702+•70+•1＝m•102+72×70+1即7172除以100的余数为41．故答案为：41．7．甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为．【分析】基本事件总数n＝4×4×4×4＝256，至少有两位同学选择时间相同的对立事件是四个人的时间各不相同，四个人的时间各不相同，包含的基本事件个数m＝＝24，由此能求出至少有两位同学选择时间相同的概率．解：甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，基本事件总数n＝4×4×4×4＝256，四个人的时间各不相同，包含的基本事件个数m＝＝24，故答案为：．8．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．其中正确的命题序号是④．【分析】对于①，b∥α或b⊂α；对于②，a与β相交、平行或a⊂β；对于③，a∥α或a⊂α；对于④，由面面垂直的判定定理得α⊥β．解：设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：对于①，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故A错误；对于③，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故③错误；故答案为：④．9．若，则y的取值范围是．【分析】令x＝4+2sin2t，t∈[0，]，再借助于三角函数的性质即可求解结论．解：因为y＝+；令x＝4+2sin2t，t∈[8，]；＝2sin（t+）；∴当t＝时，y取最小值；即y∈[，2]．故答案为：[，2]．10．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有1000种不同的选法．（用数字作答）【分析】用间接法，首先由排列组合数公式求出5人服务队的选法A C＝1120种，再求出没有女生的选法A C＝120种，相减即可．解：从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员7人，组成5人服务队共有A C＝1120种，若没有女生则有A C＝120种，则服务队中至少有1名女生的选法有1120﹣120＝1000种．故答案为：1000．11．在5月6日返校体检中，学号为i（i＝1，2，3，4，5）的五位同学的体重增加量f（i）是集合{1kg，1.5kg，2kg，2.5kg，3kg，3.5kg}中的元素，并满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有252种．【分析】由5位同学体重增加量的个数为依据分成5类，每一类先定元素再把元素分给5位同学计算出分法，相加即可．解：根据五位同学的体重增加量中的元素个数分为5类，第一类增加元素一个时有C＝6种；第二类增加元素二个时有C C＝60种；第三类增加元素三个时有C C＝120种；第四类增加元素四个时有C C＝60种；第五类增加元素五个时有C＝6种；故答案为：252．12．设S为一个非空有限集合，记|S|为集合S中元素的个数，若集合S的两个子集A、B 满足：|A∩B|＝k并且A∪B＝S，则称子集{A，B}为集合S的一个“k﹣覆盖”（其中0≤k≤|S|），若|S|＝n，则S的“k﹣覆盖”个数为．【分析】根据题意，分2步进行分析：①在集合S的n个元素中任选k个，②集合S 中还有（n﹣k）个元素，假设这（n﹣k）个元素组成集合M，分析集合M的子集，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①若|S|＝n，即集合S中有n个元素，在其中任选k个，有种取法，②集合S中还有（n﹣k）个元素，假设这（n﹣k）个元素组成集合M，集合M有2n﹣k个子集，则S的“k﹣覆盖”个数为；故答案为：二.选择题13．在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A．100B．85C．65D．55【分析】因为S2＝＝10.2，其中n＝40，＝82，S2＝10.2，计算排除可以得出结果．解：因为S2＝＝10.2，所以＝40×10.2＝408，则方差必然大于10.2，不符合题意，故选：D．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（）A．4条B．6条C．8条D．10条【分析】作出正方体ABCD﹣A1B1C1D1的图象，根据图象先找出与AD1成60的直线条数，再找出直线条数，选出正确答案解：在几何体中，根据正方体的性质知所有过A和D1点的正方体面的对角线与它组成的角都是60°，这样就有4条，故一共有8条，故选：C．15．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（）A．B．C．D．【分析】解题时要看清试验发生时的总事件数和一天中任一时刻的四个数字之和为22事件数，即可得到结论．解：一天显示的时间总共有24×60＝1440种，和为22有08：59，09：49，09：58，17：59，18：49，18：58；19：39；19：48；19：57总共有9种，故选：B．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．解：∵MP＝MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD 的交线，∴PD＝CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，∴HN⊥PC，故选：B．三.解答题17．若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？【分析】（1）由题意可得，，解方程可求n（2）先写出二项展开式的通项，然后令x的次方为0，求出r即可判断解：（1）由题意可得，∴∵n≥3（6）无常数项，其中时r＝3.5∉Z，故不存在18．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC 的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．【分析】（1）取PD中点G，连接AG、FG，利用三角形中位线定理，我们易判断四边形AEFG是平行四边形，AG∥EF，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到EF∥平面PAD；（2）过G作GH⊥AD，垂足为H，则可得∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角．【解答】（1）证明：取PD中点G，连接AG、FG，因为EF分别为AB、PC的中点，又在矩形ABCD中AB∥CD且AB＝CD，所以四边形AEFG是平行四边形，又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD．（2）解：∵AG∥EF，过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，∴∠GAH＝45°即EF与平面ABCD所成的角为45°．19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，∠ADC＝arcsin，PA⊥面ABCD，PA＝a．求：（1）二面角P﹣CD﹣A的大小（用反三角函数表示）；（2）点A到平面PBC的距离．【分析】（1）作AE⊥直线CD于E连PE．由PA⊥面ABCD，根据三垂线定理知PE ⊥CD．可得∠PEA是二面角P﹣CD﹣A的平面角．利用已知，分别在Rt△AED和Rt △PAE中求出即可．（2）作AH⊥PB于H．利用线面垂直的判定与性质定理即可得出AH⊥面PBC，因此AH的长为点A到面PBC的距离．在等腰Rt△PAB中求出即可．解：（1）作AE⊥直线CD于E连PE．由PA⊥面ABCD据三垂线定理知PE⊥CD．∴∠PEA是二面角P﹣CD﹣A的平面角．在Rt△PAE，中tan∠PEA＝＝．∴∠PEA＝arctg（8）作AH⊥PB于H．又PB∩AB＝B，∴BC⊥面PAB．∴AH⊥面PBC，AH的长为点A到面PBC的距离．∴点A到平面PBC的距离是a．20．是否存在等差数列{a n}，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出数列{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．【分析】假设存在等差数列a n＝a1+（n﹣1）d，满足题意，通过对整理，找出a1＝0，d＝4，即可说明存在数列，求出数列{a n}的通项公式即可．【解答】证明：假设存在等差数列a n＝a1+（n﹣1）d，满足要求；＝a1•2n+nd（C n﹣10+C n﹣18+…+C n﹣1n﹣1）＝a1•2n+nd•2n﹣82a1+n（d﹣4）＝0对n∈N+恒成立，所求的等差数列存在，其通项公式为a n＝4（n﹣1）．故存在，且a n＝4n﹣3．21．规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求的值；（2）设x＞0，当x为何值时，取得最小值？（3）组合数的两个性质：①．②．是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．【分析】（1）由新定义代入计算即可．（2）由组合数公式转化成关于x的函数，利用二次函数求最值．（3）利用组合数公式的性质，新定义直接化简判断．解：（1）C＝＝1365；（2）因为＝＝[2（）2﹣8（）+1]，则＝，即时，取得最小值，最小值为；当m＝6时，；当m≥2时，＝．。
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.若复数z=a+i1−2i(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数，则|a+2i|等于()A. 2B. 2√2C. 4D. 82.条件p：π4<α<π2，条件q：f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，则p是q的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.在三棱锥中，，是等腰直角三角形，，为中点.则与平面所成的角等于()A. B. C. D.4.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=CD=1，DD1=2，则直线DB1与直线BC1所成角的余弦值为()A. √3010B. √1010C. √7010D. 3√1010二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z1=3+4i，z2=t+i，，且z1⋅z2是实数，则实数t等于______．6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则|z2z1|=______ ．7.设复数z1=1+i，z2=−2+xi(x∈R)，若z1⋅z2∈R，则x的值等于______．8.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”，那么母线长为2√2的“标准圆锥”的体积为______ ．9.若z∈C，且|z+3+4i|≤2，则|z|的取值范围为____________．10.在复数集中分解因式：a4−b4=．11.在复平面内，三点A，B，C分别对应复数z A，z B，z C，若z B−z Az C−z A =1+43i，则△ABC的三边长之比为______．12.若2cos2x=1，则x=______13.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱BB1，CC1爬到点A1，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱CC1爬到点A1.如图，设∠PAB=α，∠QBC=β，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则α+β=______ ．14.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB=3，AD=AA1=2，E点在棱D1C1上，且D1E=13D1C1，则直线AE与DB1所成角的余弦值为______．15.给出下列命题：①如果，是两条直线，且//，那么平行于经过的任何平面；②如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；③若直线，是异面直线，直线，是异面直线，则直线，也是异面直线；④已知平面⊥平面，且∩=，若⊥，则⊥平面；⑤已知直线⊥平面，直线在平面内，//，则⊥．其中正确命题的序号是．16.如图，一个立方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此立方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.计算下列问题：18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；=λ(λ∈(0,1)，点N在线段A1B上，(Ⅲ)点M在线段B1C上，且B1MB1C的值(用含λ的代数式表示)．若MN//平面A1ACC1，求A1NA1B19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求直线PC与底面ABCD所成角的余弦值．20.已知多面体ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，M为CD的中点．(1)求证：AM//平面BCE；(2)求证：AM⊥平面CDE；(3)求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．21.在区间D上，如果函数f(x)为增函数，而函数f(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”.已x．知函数f(x)=1−1+x(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”；|x1−x2|；(2)设x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，证明：|f(x2)−f(x1)|<12≤1−bx恒成立，求实数a，b的取值范围．(3)当x∈[0,1]时，不等式1−ax≤√1+x【答案与解析】1.答案：B解析：先用复数的乘除运算将z计算化简，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．解：z=a+i1−2i =(a+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=a−2+(2a+1)i5.根据纯虚数的概念得出{2a+1≠0a−2=0∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|=√22+22=2√2故选B．2.答案：B解析：解：∵π4<α<π2，∴1<tanα，∴f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，∴p是q的充分条件；而f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，必有tanα>1，解得α∈(kπ+π4,kπ+π2)(k∈Z)，由q不是p的充分条件．综上可知：p是q的充分不必要条件．故选B．由π4<α<π2，可得1<tanα；而反之不成立．当a>1时，函数y=log a x在(0,+∞)是增函数．据此即可判断出答案．充分函数y=tanα、y=log a x的单调性及充分、必要条件的意义是解题的关键．3.答案：B解析：试题分析：先作PO⊥平面ABC，垂足为O，根据条件可证得点O为三角形ABC的外心，从而确定点O为AC的中点，然后证明BO是面PAC的垂线，从而得到∠BEO为BE与平面PAC所成的角，在直角三角形BOE中求解即可。
2020年下海市闵行区数学高二第二学期期末统考试题含解析
2020年下海市闵行区数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．θ为第三象限角，1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ） A ．355-B ．155-C ．355D ．155【答案】B 【解析】分析：先由两角和的正切公式求出tan θ，再利用同角三角函数基本关系式进行求解． 详解：由1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得 1+1ππ3tan tan[()]=214413θθ=-+=-，由同角三角函数基本关系式，得22sin 2cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 解得2212cos ,55sin θθ== 又因为θ为第三象限角， 所以255sin ,cos 55θθ=-=-， 则5sin cos θθ-=-． 点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：ππ=(),2()()44θθααβαβ-+=++-、2=()()βαβαβ+--；2.利用同角三角函数基本关系式中的“22sin cos 1αα+=”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的渐近线的垂线，垂足为点，则的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，由诱导公式得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值。
【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，由点到直线的距离公式可得，由勾股定理得，在中，，，在中，，，，，由余弦定理得，化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，故选：D。
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属于中等题。
求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法： ①直接求出、，可计算出离心率； ②构造、的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解。
上海市高二数学下学期期中试卷含答案(共3套)
2.复数 z = m 2 - m - 4 + m 2 - 5m - 6 i (m ∈ R )，如果 z 是纯虚数，那么 m = ______.{9. 设 x , x 是 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 的 两 个 根 ， 若 x 是 虚 数 ， 是实数，则xS = 1 + 1 + 1 ⎪ + 1 ⎪ + 1 ⎪ + 1 ⎪ + 1 ⎪ = __________.⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40 分）1.向量 AB 对应复数 -3 + 2i ，则向量 BA 所对应的复数为____________.( ) ( )3. 平面 α 的斜线与 α 所成的角为 30︒ ，那此斜线和 α 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为 __________.4.在长方体 ABCD - A B C D z 中，如果对角线 AC 与过点 A 的相邻三个面所围成的角为 α , β , γ ,那么1 1 1 11cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = _________.5.已知 z - 3i = 5 ，则 z + 2 的最大值为_________.6.异面直线 a 与 b 所成的角为 50︒ ，P 为空间一点，则过 P 点且与 a , b 所成的角都是 50︒ 的直线有_________ 条.7.圆锥底面半径为 10，母线长为 30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合 A = z z = i + i 2 + i 3 ++ i n , n ∈ N *}， B = {z z = z ⋅ z , z ∈ A , z ∈ A }，则集合 B 中的元素1 2 1 2共有________个.x 21 12 1 2x ⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫4 ⎛ x ⎫8 ⎛ x ⎫16 ⎛ x ⎫32x 210.已知正方体 ABCD - A B C D 的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 距离为 1 1 1 1线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（ A ）过平面 α 外一点可以作无数条直线与平面α 平行 （ B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（ C ）若直线 l 垂直平面 α 内的两条相交直线，则直线 l 必垂直平面 α （ D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（ ）（ A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（ B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（ C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（ D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆2 3 3的所有点形成一条曲15.已知复数 z 满足 (1 + i )z = -1 + 5i ， z = a - 2 - i ，其中 i 为虚数单位， a ∈ R ，若 z - z < z ，求 13.已知复数z , z 满足 z - z = 1 - z z ，则有（）-1 2 1 2 1 2（ A ） z < 0且 z < 1（ B ） z < 1或 z < 11212（ C ） z = 1且 z = 1（ D ） z = 1或 z = 11 21214.如图，正四面体 ABCD 的顶点 A , B , C 分别在两两垂直的三条射线 O x , Oy , Oz 上，则在下列命题中，错误的是（ ）（ A ） O - ABC 是正三棱锥（ B ）直线 O B || 平面ACD（ C ）直线 AD 与OB 所成的角是 45 0（ D ）二面角 D - OB - A 为 45 0三、解答题（8+10+12+14）1 121 2 1实数 a 的取值范围.16.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A=AB=1,B C=2,E为PD 的中点.（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E-AC-D的大小,（结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A-BCD中，AB=5,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点.（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A-BCD的表面积.P (Re z ,Im z ).1所在直线18.已知 z 是实系数一元二次方程 x 2 + 2bx + c = 0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位z（1）若 (b , c )在直线 2 x + y = 0 上，求证： P 在圆 C : (x - 1)2 + y 2 = 1 上；z1（2）给定圆 C : (x - m )2 + y 2 = r 2 (m , r ∈ R , r > 0 )，则存在唯一的线段 S 满足：①若 P 在圆 C 上，则 (b , c )在线段 S 上；z②若 (b , c )是线段 S 上一点（非端点），则 P 在圆 C 上，写出线段 S 的表达式，并说明理由；z（3）由（2）知线段 s 与圆 C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中 s 是 1（1）中圆 C 的对应线段）. 1表一线段 s 与线段 s 1 的关系m , r的取值或表达式s 所在直线平行于 ss 所在直线平分线段 s1线段 s 与线段 s 长度相等1（上海市高二下学期期中数学卷一.填空题1.在正方体ABCD-A BC D中，异面直线A B与AD所成的角大小为111112.已知向量a=(3,x2+2,3)，b=(x-4,2,x)，若a⊥b，则实数x的值是3.球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm34.一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是5.正四面体侧面与底面所成二面角的余值6.圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7.如图是三角形ABC的直观图，∆ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8.把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9.下列命题（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10.由曲线x2=2y、x2=-2y、x=2、x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V，1满足x2+y2≤4、x2+(y-1)2≥1、x2+(y+1)2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V，试写出V与V的一个关系式21211.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边O A、BC的中点，点G在线段MN上，分MN所成的定比为2，OG=xOA+yOB+zOC，则x、y、z的值分别为12.如图，A BCD-A BC D是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC垂直，使得α与正方体的每11111个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）A.8πB.3πC.D.6π二.选择题13.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，αβ=l，则l（）A.与m、n都相交B.与m、n至少一条相交C.与m、n都不相交D.至多与m、n中的一条相交14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）10π3315.连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1；其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个16.四棱锥P-ABCD底面为正方形，侧面P AD为等边三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A B C D三.简答题17.直三棱柱ABC-A B C的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90︒，AB=AC=2，111AA=22，E、F分别是BC、AA的中点，求：11（1）EF与底面所成角的大小；（2）异面直线EF和A B所成角的大小；118.图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90︒，且AD=CD=DE=CG，FG=FE，若将五边形C DEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19.如图，在正四棱柱ABCD-A BC D中，AB=4，AA=8；11111（1）求异面直线B C与AC所成角的大小；（用反三角函数形式表示）111（2）若E是线段DD上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：1三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；220.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60︒，P A=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE:ED=2:1；（1）证明：P A⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F-ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；21.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点1到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆x2y2+a b2=1的面积S=πab）；8参考答案一.填空题1.π32π12.2或-33.4.平行5.6.4π23357.直角三角形8.R arccos9.（4）10.V=V1211.x=11333，y=z=12.[,]，{32} 6324二.选择题13.B14.B15.C16.B三.解答题17.（1）ππ；（2）. 4618.（1）略；（2）691.19.（1）arccos 10 1020.（1）略；（2）π6；（2）略..π6πa2 21.（1）；（2）12πp2；（3）.33B C上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、、到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．，E、F18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，AB=4，AA 1=8．（1）求异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若 E 是线段 DD 1 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关 的数学问题（注：三棱锥需以点 E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．a，点E在21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为故答案为：．．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．B C3．球的表面积为 16πcm 2，则球的体积为cm 3．【考点】LG ：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为 16πcm 2，∴S=4πR 2=16π，即 R=2∴V== ×8=故答案为：4．一条直线 a 上的 3 个点 A 、 、 到平面 M 的距离都为 1，这条直线和平面的关系是 平行 ．【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线 a 与平面 α 相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线 a 与平面 α 相交，则 A ，B ，C 三点中必有两个点在平面 α 同一侧，不妨设为 A ，B ，过 A ，B 分别作平面 α 的垂线，垂足为 M ，N ，则 AM ∥BN ，AM=BN ，∴四边形 AMNB 是平行四边形，∴AB ∥MN ，又 MN α，AB α，∴AB ∥α，这与假设直线 a 与平面 α 相交矛盾，故假设错误，于是直线 a 与平面 α 平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=△R，且AO1B为等边三角形，即AB=△R；AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离故答案为：R•arccos．9．下列命题：=R•∠AOB=R•arccos，3（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据可得出．=，=，=，=，=，代入计算即【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[ ]、{3}（用集合表示），【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：故选B．=3π．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A ．B ．C ．D ．【考点】J3：轨迹方程；LZ ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是 2 个平面的交线，PC 的中垂面 α 和正方形 ABCD 的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的 2 个固定点．【解答】解：∵MP=MC ，∴M 在 PC 的中垂面 α 上，点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一定是平面 α 和正方形 ABCD 的交线，∵ABCD 为正方形，侧面 PAD 为等边三角形，∴PD=CD ，取 PC 的中点 N ，有 DN ⊥PC ，取 AB 中点 H ，可证 CH=HP ，∴HN ⊥PC ，∴点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一定是 HD ．故答案选 B ．三.简答题17．直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA 1=2 分别是 BC 、AA 1 的中点．求： （Ⅰ）FE 与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线 EF 和 A 1B 所成角的大小．，E 、F【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可，从而有∠GFE即为异面直线（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求EF和A1【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和AB所成角（或补角）1由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和AB所成角的大小为30°118．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．，19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM ：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接 AC 、AB 1，易知∠B 1CA 为异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角，在△B 1CA 中利用余 弦定理解之即可即可求出异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积为定值，根据三棱锥 E ﹣B 1BC 与三棱锥 D ﹣B 1BC 同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥 E ﹣ADC 的体积在 E 点从点 D 运动到 D 1 过程中单调递增，根据三棱锥 E ﹣ADC 的体积与 DE 成正比，可知 V E ﹣ADC 随着 DE 增大而增大可得结论．【解答】解：（1）如图，连接 AC 、AB 1，由 ，知 A 1ACC 1 是平行四边形，则，所以∠B 1CA 为异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B 1CA 中，则所以 ， ，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为 DD 1∥平面 B 1BCC 1，所以 D 1D 上任意一点到平面 B 1BCC 1 的距离相等，因此三棱锥 E ﹣B 1BC 与三棱锥 D ﹣B 1BC 同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而所以三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积为定值，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积，则根据上述解答相应给分． 2）若在侧面 B 1BCC 1 上任取三个顶点，与点 E 构成三棱锥时，结论类似，可相应给分． 若在侧面 A 1ABB 1 上任取三个顶点，与点 E 构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥 E ﹣ADC 的体积在 E 点从点 D 运动到 D 1 过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：因为，知 S △ADC 为定值，则三棱锥 E ﹣ADC 的体积与 DE 成正比，可知 V E ﹣ADC 随着 DE 增大而增大，又因为 DE ∈（0，8），﹣﹣﹣﹣即三棱锥 E ﹣ADC 的体积在 E 点从点 D 运动到 D 1 过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣ 说明：1）若提出的问题是求三棱锥 E ﹣ADC 的体积范围，也可相应给分．解答：因为 S △ADC =8，而 ，DE ∈（0，8），﹣﹣﹣﹣则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．a，点E在。
2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高二(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )A.B.C.D.2. 参数方程{x =e t −e −ty =e t +e −t(t 为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B. 双曲线的下支 C. 双曲线的上支 D. 圆3. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是( )①向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°； ②(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2； ③A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0；④正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |． A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④4. 两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上(如图)，该八面体的体积可能值有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知n ∈N ∗，若C n 2=10，则n =______．6. 直线l ：{x =2ty =1−4t(t 为参数)的倾斜角为______． 7. 在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目都有人报名，则共有______种不同的报名方法． 8. 已知A(1,0，0)，B(2,3，1)，C(3,0，2)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为______． 9. 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中O′A′=6，O′C′=3，则原图形OABC 的面积为______．10. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是______． ①l a ⃗ ，m b ⃗ ，n c ⃗ (lmn ≠0)；②a ⃗ +2b ⃗ ，2b ⃗ +3c ⃗ ，−9c ⃗ +3a ⃗ ；③a ⃗ +2b ⃗ ，b ⃗ +2c ⃗ ，c ⃗ +2a ⃗ ．11. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和，并得到公式12+22+32+⋯+n 2=n(n+1)(2n+1)6.执行如图所示的程序，若输出的结果为6，则判断框中的实数k 的取值范围是______．12. 北纬30°线贯穿四大文明古国：是一条神秘而又奇特的纬线．在这条纬线附近有神秘的百慕大三角、著名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗玛峰、长江等，沿地球北纬30°线前行，会发现许多奇妙且神秘的自然是观，在地球北纬30°圈上有A ，B 两地，它们的经度相差180°，A ，B 两地沿纬线圈的弧长与A ，B 两地的球面距离之比为______．13. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，且P 到B ，C ，D 三点的距离分别是√5，√17，√13，则P 到矩形对角线BD 的距离等于______．14. 已知a ∈(1,43)，若不等式组{x −y ≥02x +y ≤2y ≥0x +y ≤a表示的平面区域的面积为f(a)，则f(a)=______．15. 方程ay =b 2x 2+c 中的a ，b ，c ∈{−3,−2,0，1，2，3}，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有______条． 16. 小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A −BCD 中，已知∠BAC =α，∠CAD =β，∠DAB =γ(如图)，设二面角B −AC −D 的大小为θ，则cosθ=f(λ)−cosαcosβsinαsinβ，其中f(γ)是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f(γ)=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，已知点P 在圆柱OO′的底面圆O 上，∠AOP =120°，圆O 的直径AB =4，圆柱的高OO′=3． (1)求圆柱的表面积和三棱锥A′−APB 的体积； (2)求点A 到平面A′PB 的距离．18. 2021年3月25日《人民日报》报道：“作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020−2021年度棉花产量约595万吨．其中，新疆棉产量520万吨，占国内总产量约87%.除了新疆，河南、河北、山东、湖北等也是我国的棉花主要产地．”某公司为响应国家扶贫号召，为某小型纺织工厂提供资金和技术的支持，并搭建销售平台．现该公司为该厂提供新疆棉2.5吨，河南棉12吨．该工厂打算生产两种不同类型的抱枕，A款抱枕需要新疆棉100g，河南棉300g，B款抱枕需要新疆棉50g，河南棉400g，且一个A款抱枕的利润为10元，一个B款抱枕的利润为8元．假设工厂所生产的抱枕可全部售出．(1)求工厂生产A款抱枕和B款抱枕各多少个时，可获得最大利润，最大利润是多少？(2)若工厂有两种销售方案可供选择，方案一：自行出售抱枕，则所获利润需上缴公司10%；方案二：由公司代售，则公司不分抱枕类型，让工厂每个抱枕获得8元的利润．请问该工厂选择哪种方案更划算？请说明理由．19.如图，从左到右有5个空格．(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？(3)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =π2，PA =AD =2，AB =BC =1.E 是PD 中点． (1)求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小； (2)求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；(3)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．21. 已知直线l ：{x =m +tcosαy =tsinα(t 为参数，α≠kπ，k ∈Z)经过椭圆C ：{x =3cosφy =√5sinφ(φ为参数)的左焦点F ． (1)求m 的值；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA|⋅|FB|的最小值．(3)设△PQR 的三个顶点在椭圆C 上，求证，当O 是△PQR 的重心时，△PQR 的面积是定值．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，属于基础题．由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图． 【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选：D ．2.【答案】C【解析】解：由{x =e t −e −ty =e t +e −t (t 为参数)， 两式平方作差可得，y 2−x 2=4， 又∵y =e t +e −t >0，∴参数方程{x =e t −e −t y =e t +e −t (t 为参数)表示的曲线是双曲线y 2−x 2=4的上支． 故选：C ．直接把两式平方作差消去参数t ，注意y 的范围，即可得到曲线的形状． 本题考查参数方程化普通方程，注意y 的范围是关键，是基础题．3.【答案】B【解析】解：如图，①连接AC ，D 1C ，则△AD 1C 为等边三角形，又A 1B//D 1C ，∴向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°，不正确；②A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，正确； ③A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，正确；④∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0，而正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积V =(AB)3，因此不正确． 故选：B ．①连接AC ，D 1C ，可得△AD 1C 为等边三角形，即可判断出正误； ②利用A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用数量积运算性质即可判断出正误；③A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可判断出正误；④利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0，进而判断出正误． 本题考查了正方体的性质、空间向量运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4.【答案】D【解析】解：设ABCD 与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，设AA′=x(0≤x ≤1)，则AB′=1−x ，|AD|2=x 2+(1−x)2=2(x −12)2+12 故S ABCD =|AD|2∈[12,1]V =13S ABCD ⋅ℎ⋅2=13S ABCD ∈[16,13].∴该八面体的体积可能值有无数个， 故选：D ．把正子体分成两个四棱锥，分别求两个四棱锥的体积，根据底面的范围，得到正子体的体积在一个取值范围中，不是一个定值，即可得出结论．本题主要考查求棱锥的体积，体现了转化的数学思想，属于中档题．5.【答案】5【解析】解：因为C n 2=10，所以n(n−1)2=10，解得n =5，n =−4(舍)．故答案为：5．直接利用组合数的计算公式求解即可．本题考查了组合数公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．6.【答案】π−arctan2【解析】解：直线l ：{x =2ty =1−4t (t 为参数)转换为直角坐标方程为y =1−2x ，即y =−2x +1，故tanθ=−2，整理得θ=π−crctan2， 故答案为：π−arctan2．直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标方程之间进行转换，最后利用直线的倾斜角和斜率之间的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】120【解析】解：根据题意，要求每项限报一人，且每人至多参加一项， 则第一个项目有6种报名方法， 第二个项目有5种报名方法， 第三个项目有4种报名方法，则共有6×5×4=120种不同的报名方法； 故答案为：120．根据题意，依次分析每个项目的报名方法，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数原理的不同，属于基础题．8.【答案】√2【解析】解：因为A(1,0，0)，B(2,3，1)，C(3,0，2)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+0+2=4， |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+0+4=2√2，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2=√2． 故答案为：√2．根据空间向量的坐标表示与投影的定义，计算即可．本题考查了空间向量的坐标表示与投影的定义应用问题，是基础题．9.【答案】36√2【解析】解：矩形O′A′B′C′中，O′A′=6，O′C′=3， 所以矩形O′A′B′C′的面积为S′=O′A′⋅O′C′=6×3=18， 所以原平面图形OABC 的面积为S =2√2S′=2√2×18=36√2． 故答案为：36√2．求出直观图形的S′，再根据斜二测画法规则求出原平面图形的面积．本题考查了斜二测画法规则求出原平面图形和对应直观图的面积问题，是基础题．10.【答案】①②③【解析】解：对于①，∵a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是空间三个不共面的向量， ∴l a ⃗ ，m b ⃗ ，n c ⃗ (lmn ≠0)是不共面的向量，故①正确； 对于②，a ⃗ +2b ⃗ ，2b ⃗ +3c ⃗ ，−9c⃗ +3a ⃗ ， 假设存在实数s ，t ，使得−9c ⃗ +3a ⃗ =s(a ⃗ +2b ⃗ )+t(2b ⃗ +3c ⃗ )=s a ⃗ +(2s +2t)b ⃗ +3t c ⃗ ， 则s =3，2s +3t =0，3t =−9，解得：s =3，t =−3，6−9=0，因此无解， ∴假设不成立，因此a ⃗ +2b ⃗ ，2b ⃗ +3c ⃗ ，−9c⃗ +3a ⃗ 不共面，故②正确． 对于③.假设存在实数s ，t ，使得a ⃗ +2b ⃗ =s(b ⃗ +2c ⃗ )+t(c ⃗ +2a ⃗ )=2t a ⃗ +b ⃗ +(2s +t)c ⃗ ， 则2t =1，1=2，2s +t =0，无解，∴假设不成立，因此a ⃗ +2b ⃗ ，b ⃗ +2c ⃗ ，c ⃗ +2a ⃗ 不共面，故③正确． 故答案为：①②③．利用向量共面定理即可判断出结论．本题考查了向量共面定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】(55,91]【解析】解：模拟程序的运行，可得当i=5时，S=1+22+32+42+52=55<k，继续循环，当i=6时，S=1+22+32+42+52+62=91≥k，退出循环，输出i的值为6，从而可得判断框中的实数k的取值范围是(55,91]．故答案为：(55,91]．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12.【答案】l1：l2=3√3：4【解析】解：设地球半径为r，则北纬30°圈对应的小圆半径为rcos300=√32r，所以A，B两地沿纬线圈的弧长l1=√32πr，劣弧AB⏜在大圆内对应的圆心角为2π3，所以A，B两地的球面距离l2=23πr，故A，B两地沿纬线圈的弧长与A，B两地的球面距离之比为l1：l2=3√3：4．故答案为：l1：l2=3√3：4．设地球半径为r，则北纬30°圈对应的小圆半径为√32r，进而可得A，B两地沿纬线圈的弧长l1=√32πr，A，B两地的球面距离l2=23πr，由此可得A，B两地沿纬线圈的弧长与A，B两地的球面距离之比为l1：l2=3√3：4．本题考查维度，球面距离比，解题中需要理清思路，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：设PA=x，AB=y，AD=z，因为PA⊥矩形ABCD所在平面，易得PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，由BC⊥AB，AB∩PA=A可证BC⊥平面PAB，从而BC⊥PB，在Rt △PAB 中，PB =√x 2+y 2=√5，同理PD =√y 2+z 2=√13，PC =√x 2+y 2+z 2=√17， 解得x =1，y =2，z =2√3，所以PA =1，AB =2，AD =2√3， 所以PB =√5,PD =√13，BD =4，作AE ⊥BD 于E ，连接PE ， P 到矩形对角线BD 的距离为PE.AE =2×2√3√4+12=√3，所以PE =√1+3=2， 故答案为：2．设PA =x ，AB =y ，AD =z ，推出BC ⊥PB ，作AE ⊥BD 于E ，连接PE ，P 到矩形对角线BD 的距离为PE.转化求解P 到矩形对角线BD 的距离即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点、线、面距离的求法，是中档题．14.【答案】−34a 2+2a −23【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知B(1,0)，联立{x −y =02x +y =2，解得A(23,23)，联立{x −y =0x +y =a，解得D(a 2,a 2)，联立{x +y =a2x +y =2，解得C(2−a,2a −2)． S △OAB =12×2×23=23，|AD|=√(23−a2)2+(23−a2)2=√2(23−a2)，|DC|=√(a2−2+a)2+(a2−2a +2)2=√2(2−32a)， S △ADC =12×2×(23−a2)×(2−32a)=34a 2−2a +43．∴f(a)=23−34a2+2a−43=−34a2+2a−23．由题意画出可行域，由两个三角形面积作差得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】62【解析】解：当方程表示抛物线时，有ab≠0，故该方程等价为y=b2a x+ca，①若c=0，从{−3,−2,1，2，3}，中任取2个数作为a，b的值，有A 52=20种不同的方法，当a一定，b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4×3=12条，重复6条，此时满足条件的抛物线有20−6=14条．②当c≠0时，从{−3,−2,1，2，3}，中任取3个数作为a，b，c的值，有A 53=60种不同的方法，当a，c一定，b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4A 32=24，重复12条，此时满足条件的抛物线有60−12=48条．综上满足条件的抛物线共有14+48=62条．故答案为：62．将方程转化为抛物线形式，然后利用排列组合的知识进行求解．本题主要考查排列组合知识，以及分类讨论思想，利用正难则反的思想是解决本题的关键．16.【答案】cosγ【解析】解：如图，在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B−AC−D的平面角，大小为θ，设AB=a，AD=b，则BC=asinα，CD=bsinβ，BD2=a2+b2−2abcosγ，∴在△BCD中，cosθ=a2sin2α+b2sin2β−a2−b2+2abcosγ2asinα⋅bsinβ=2abcosγ−a2cos2α−b2cos2β2absinαsinβ．在Rt△ACB中，AC=cosα，在Rt△ACD中，AC=bcosβ，∴a2cos2α=b2cos2β=AC2，∴a2cos2α+b2cos2β=2AC2=2abcosαcosβ，∴cosθ=2abcosγ−2abcosαcosβ2absinαsinβ=cosγ−cosαcosβsinαsinβ．∴f(γ)=cosγ．故答案为：cosγ．在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B−AC−D的平面角，大小为θ，设AB=a，AD=b，把BC，CD，BD用含有α，β，γ及a，b的代数式表示，利用余弦定理得答案．本题考查二面角的平面角的求法，考查三角形的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：(1)由已知可得，圆柱的底面半径r=2，又圆柱的高OO′=3，∴圆柱表面积：S=2πr2+2πrℎ=2π×4+2π×2×3=20π；∵AB为直径，∴∠APB=90°，在Rt△APB中，由∠AOP=120°⇒∠ABP=60°，则BP=2，AP=2√3，∴S△ABP=12×2×2√3=2√3，则V A′−APB=13S△APB×AA′=13×2√3×3=2√3；(2)设点A到平面A′PB的距离为h，由(1)知，BP=2，AP=2√3，则A′P=√32+(2√3)2=√21，由A′A⊥底面APB，AP⊥BP，可得BP⊥A′P，∴S△A′PB=12×2×√21=√21，又由(1)知，V A′−APB=2√3，由等体积法V A′−APB=V A−A′PB，得2√3=13×√21×ℎ，解得：ℎ=6√77．即点A到平面A′PB的距离为6√77．【解析】(1)直接由已知求得圆柱的表面积，求出三角形APB的面积，再由棱锥体积公式求三棱锥A′−APB的体积；(2)证明三角形A′PB为直角三角形，求其面积，再由等体积法求点A到平面A′PB的距离．本题考查圆柱表面积与棱锥体积的求法，训练了利用等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)设该工厂生产A 款抱枕x 个，B 款抱枕y 个时，获得的利润为z 元．则{100x +50y ≤2500000300x +400y ≤12000000x ≥0,y ≥0，即{2x +y ≤500003x +4y ≤120000x ≥0,y ≥0， 目标函数z =10x +8y ，(x,y ∈N)．由图可知，当直线z =10x +8y 经过点(16000,18000)时，z 取得最大值304000， 即该工厂生产A 款抱枕16000个，B 款抱枕18000时可获得最大利润，最大利润为304000元；(2)若工厂选择方案一，则其收益为304000×(1−10%)=273600元； 若工厂选择方案二，则工厂生产的抱枕越多越好，设其生产的抱枕个数为t ， 则t =x +y ，(x,y ∈N)，由(1)知即{2x +y ≤500003x +4y ≤120000x ≥0,y ≥0，由(1)图可知，当x =16000，y =18000时，t 取得最大值，此时工厂的收益为(16000+18000)×8=272000元，故选择方案一更划算．【解析】(1)设该工厂生产A 款抱枕x 个，B 款抱枕y 个时，获得的利润为z 元，由题意列出x ，y 所满足的不等式组，再由线性规划知识求解；(2)分别计算采用方案一与方案二工厂的收益，比较大小得结论．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，分2步进行分析：①、第三个格子不能填0，则0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A 44种情况， 则一共有4A 44=96种不同的填法；(2)根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况， 同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，则五个格子共有3×2×2×2×2=48种不同的涂法； (3)根据题意，分2步进行分析： ①、将7个小球分成5组，有2种分法： 若分成2−2−1−1−1的5组，有C 72C 52A 22种分法，若分成3−1−1−1−1的5组，有C 73种分组方法，则有(C 72C 52A 22+C 73)种分组方法，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有A 55种情况， 则一共有(C 72C 52A 22+C 73)A 55=16800种放法．【解析】(1)根据题意，分2步进行分析：①、分析0，易得0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步计数原理计算可得答案， (2)根据题意，依次分析5个格子的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案； (3)根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：即分成2−2−1−1−1的5组或分成3−1−1−1−1的5组，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，(3)要先分好5组，再对应放到5个格子中．20.【答案】解：(1)过E 作EF ⊥AD 交AD 于F ，连结CF ， 则∠ECF 即为直线CE 与平面ABCD 所成角．因为E 是PD 中点．PA =AD =2，所以EF =1，CF =1，所以∠ECF =π4，所以直线CE 与平面ABCD 所成角的大小为π4．(2)以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴， 则B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)，因为AD ⊥平面PAB ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，设平面PCD 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 令y =1，解得z =1，x =1，所以n⃗ =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量， 设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ，则cosθ=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33．所以平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为√33．(3)设直线CQ 与DP 所成的角为α，BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)， 设BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0,2λ),(0≤λ≤1)，又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)， 则CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−1,2λ)， 又DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)，所以cosα=CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10λ2+2， 设1+2λ=t ，t ∈[1,3]，则cos 2α=2t 25t 2−10t+9=29(1t −59)2+209≤910．当且仅当t =95，即λ=25时，|cosα|的最大值为3√1010，因为y =cosx 在(0,π2)上单调递减， 此时直线CQ 与DP 所成的角取得最小值， 因为BP =√5，所以BQ =25BP =2√55．【解析】(1)过E 作EF ⊥AD 交AD 于F ，连结CF ，∠ECF 即为直线CE 与平面ABCD 所成角．通过求解三角形推出结果．(2)以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，说明AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量，求出平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值即可．(3)设直线CQ 与DP 所成的角为α，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，设BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0,2λ),(0≤λ≤1)，求出CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−1,2λ)，利用空间向量的数量积求解余弦函数值的表达式，利用基本不等式转化求解最小值即可．本题考查直线与平面所成角，二面角的求法，直线与平面的位置关系的综合应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)因为椭圆C ：{x =3cosφy =√5sinφ的普通方程为x 29+y 25=1，所以F(−2,0)．因为直线l ：{x =m +tcosαy =tsinα的普通方程为x =m +cotα⋅y ， 其中α≠kπ，k ∈Z.又直线过点F ， 所以m =−2．(2)将直线l 的参数方程{x =−2+tcosαy =tsinα代入椭圆C 的普通方程x 29+y 25=1中，整理得(5cos 2α+9sin 2α)t 2−20tcosα−25=0．设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2， 则|FA|⋅|FB|=|t 1⋅t 2|=255cos 2α+9sin 2α=255+4sin 2α， 当sinα=±1时，|FA|⋅|FB|取得最小值为259．(3)法一：设P(3cosθ1,√5sinθ2),Q(3cosθ2,√5sinθ2),R(3cosθ3,√5sinθ3)，θ1，θ2，θ3∈[0,2π)，因为O 为△PQR 的重心，所以{cosθ1+cosθ2+cosθ3=0sinθ1+sinθ2+sinθ3=0，得{cos(θ1−θ2)=−12cos(θ2−θ3)=−12cos(θ1−θ3)=−12 所以S △PQR =3S △OPQ=3|12∣∣∣∣∣3cosθ1√5sinθ113cosθ2√5sinθ21001∣∣∣∣∣|=32|3√5sin(θ2−θ1)|=9√154． 法二：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，R(x 3,y 3)，则有{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0⇒{x 3=−x 1−x 2y 3=−y 1−y 2，代入椭圆得10x 1x 2+18y 1y 2=−45， 所以(18y 1y 2)2=(45+10x 1x 2)2⇒x 12+x 22+x 1x 2=274S △PQR =3S △POQ =32|x 1y 2−x 2y 1|，所以S △PQR =√454(x 12+x 22+x 1x 2)=9√154【解析】(1)追截利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．(3)利用三角形的面积公式和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．。
上海市闵行区闵行中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.1lim[2()]2n n →∞+-=________【答案】2 【解析】 【分析】直接利用极限公式得到答案.【详解】1lim()02n n →∞-=，故1lim[2()]22n n →∞+-=故答案为：2【点睛】本题考查了极限的计算，属于基础题型.2.已知向量(1,2)a =-r ，(1,3)b =r，则|2|a b -=r r ________【解析】 【分析】先计算2(3,1)a b -=-r r，再计算|2|a b -r r 得到答案.【详解】(1,2)a =-r ，(1,3)b =r22(1,2)(1,3)(3,1)a b -=--=-r r|2|a b -=r r【点睛】本题考查了向量的模，属于基础题型.3.1133lim 23n n n n -→∞++⋅⋅⋅+=+________ 【答案】12【解析】【分析】利用等比数列公式得到1311332nn --++⋅⋅⋅+=，再计算312lim 23n n nn →∞-+得到答案. 【详解】1311332n n --++⋅⋅⋅+=11311()133132lim lim lim 2232322()23n n n n n n n n n n n -→∞→∞→∞--++⋅⋅⋅+===++⨯+ 故答案为：12【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力. 4.把二元一次方程组的增广矩阵125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为1001x y ⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=________【答案】2 【解析】 【分析】找到增广矩阵对应的二元一次方程为2538x y x y -=⎧⎨+=⎩，计算得到答案.【详解】二元一次方程组的增广矩阵125318-⎛⎫⎪⎝⎭，对应的二元一次方程为：2538x y x y -=⎧⎨+=⎩解得：31x y =⎧⎨=-⎩ 所以2x y +=故答案为：2【点睛】本题考查了增广矩阵，找到对应的二元一次方程是解题的关键.5.行列式286142035--中，其中3的余子式的值是________【答案】2- 【解析】 【分析】先得到3的余子式是2612--，再利用行列式计算法则得到答案.【详解】行列式286142035--中，其中3的余子式是2612--计算得到2646212-=-=--故答案为：2-【点睛】本题考查了行列式的计算，意在考查学生的计算能力.6.已知(1,2)a =r ，(8,6)b =-r ，则向量a r 在b r方向上的投影为________【答案】25- 【解析】 【分析】直接利用投影公式得到答案.【详解】(1,2)a =r ，(8,6)b =-r ，a r 在b r方向上的投影为：8122105a b b⋅-==-r rr故答案为：25-【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.7.设向量,,a b c r r r均为单位向量，且||||a b c +=r r r ，则向量,a b r r的夹角等于____________．【答案】90o 【解析】 【分析】由平面向量模的运算可得a b ⋅r r＝0，即可得解.【详解】解：由题意，得22()2a b c +=r r r ，即22222a b a b c ++⋅=r r r r r ，又a b c ==r r r ，故a b ⋅r r＝0，故a r ，b r的夹角为90°．【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题.8.△ABC 中，(4,1)A 、(7,5)B 、(4,7)C -，A ∠的平分线所在直线的点方向式方程是____ 【答案】4117x y --=- 【解析】 【分析】根据角平分线性质得到13BD BC =u u u r u u u r ，计算得到1017(,)33D ，再计算AD u u u r 的一个平行向量为(1,7)-，代入得到答案.【详解】如图所示：A ∠的平分线所在直线与BC 交于点D则5,10AB AC ==，根据角平分线的性质得到：2CD BD =，即13BD BC =u u u r u u u r设(,)D x y ，则1(7,5)(11,2)3x y --=- 解得：1017(,)33D214(,)33AD =-u u u r 对应的平行向量为：(1,7)-故平分线所在直线的点方向式方程是：4117x y --=- 故答案为：4117x y --=-【点睛】本题考查了直线的点方向式方程，抓住平行向量是解题的关键.9.△ABC 中，(4,1)A 、(7,5)B 、(4,7)C -，AC 边上的高所在的直线的点法向式方程为________【答案】4(7)3(5)0x y --+-=【分析】计算与AC u u u r平行的一个向量为(4,3)-，直接利用点法向式方程公式得到答案.【详解】(8,6)AC =-u u u r ，与(8,6)AC =-u u u r平行的一个向量为(4,3)-AC 边上的高所在的直线的点法向式方程为：4(7)3(5)0x y --+-= 【点睛】本题考查了点法向式方程，意在考查学生的计算能力.10.已知1,2a b ==r r ，且a b -r r与a r 垂直，则a r 与b r 的夹角为_________.【答案】45o 【解析】 【分析】由a b -v v 与a v 垂直，可得2cos 0a a b θ-=v v v ，结合1,2a b ==v v 即可得结果.【详解】()(),0a b a a b a -⊥∴-⋅=Q v v v v v v，2cos 0a a b θ∴-=vv v ， 2cos 22a bθ∴===v v ，0180,45θθ≤≤∴=o o o Q ，故答案45o .【点睛】本题主要考查向量的模与夹角以及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r）.11.在平面直角坐标系中，已知(1,)OA t =-uu r ，(2,2)OB =u u u r，若ABO 90∠=o ，则实数t 的值为_____. 【答案】5【分析】计算出向量BA u u u r 的坐标，由题意得出0BA OB ⋅=uu r uu u r，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数t 的值.【详解】若ABO 90∠=o，即O B B A ⊥uu r uu u r ，()3,2BA OA OB t =-=--uur uu r uu u r ，()6220BA OB t ∴⋅=-+-=uu r uu u r，解得5t =，故答案为：5.【点睛】本题考查垂直向量的坐标运算，解题的关键就是题中的直角转化为向量数量积为零来处理，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于基础题. 12.有一列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为12,,,n V V V L ，则()12lim n n V V V →∞+++=L . 【答案】87 【解析】【详解】易知V 1,V 2,…,V n ,…是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以1128lim()1718n n V V V V →∞+++==-L13.在△ABC 中，3AB =，2AC =，60A =︒，AG mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则||AG uuu r的最小值为________【解析】 【分析】先计算得到2219()33AG m +=+u u u r ，根据二次函数得到最小值.【详解】AG mAB AC =+u u u r u u u r u u u r则222222219649()33AG m AB AC mAB A m m C m ⋅=++=++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r当13m =-时，2AG uuu r 有最小值3，即||AG uuu r 的最小值为3故答案为：3【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.14.如图，向量OA OB ⊥u u u r u u u r，||2OA =u u u r ，||1OB =uu u r ，P 是以O 为圆心、||OA u u r 为半径的圆弧»AC上的动点，若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，则mn 的最大值是______.【答案】1 【解析】 【分析】将OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r两边平方，利用数量积的运算化简可得2244m n =+，用基本不等式即可求得最大值．【详解】因为OA OB ⊥u u u r u u u r ，2OA u u ur =，1OB u u u r =，所以224,1,?0OA OB OAOB u u u v u u u v u u u v u u u v===, 因为P 为圆上，所以24OP =u u u r ，OP mOA nOB =+u u u r u u u r Q u u u r ，22()OP mOA nOB ∴=+u u u r u u u r u u u r ， 2244m n ∴=+，2244m n mn Q +≥，44mn ∴≤，1mn ∴≤，故答案为1．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、基本不等式的应用，属基础题．数量积的运算主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r rg 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r）.二.选择题15.已知{}n a 是以q 为公比的无穷等比数列，其各项和为s ，则“lim 0n n a →∞=”是“11a s q=-成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据lim 0n n a →∞=得到1q <，计算极限得到充分性，根据1lim 111nn a q q q→∞-=--得到1q <，计算极限得到必要性，得到答案. 【详解】11n n a a q -=，如果lim 0n n a →∞=，则1q <，111nn q S a q-=-，11lim nn S a s q →∞==-，具有充分性；若11a s q =-，则11l 111im lim n n n nS a q s q q q→∞→∞-===∴<--，11lim lim 0n n n n a q a →∞→-∞==，具有必要性.故“lim 0n n a →∞=”是“11a s q=-成立”的充要条件故选：C【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生对于极限的理解和掌握.16.已知向量(1,2)a =-r ，(1,)b m =r ，则“12m <”是,a b r r 为钝角的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为(1,2)a =-r，(1,)b m =r，所以12a b m ⋅=-+r r，则cos ,a b a b a b ⋅==r rr r r r 若12m <，则cos ,0a b a b a b ⋅==<r rr r r r ， 但当2m =-时， ,a b r r 反向，夹角为180o；所以由12m <不能推出,a b r r 为钝角；反之，若,a b r r 为钝角，则cos ,0a b <r r 且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <；因此，“12m <”是,a b r r 为钝角的必要不充分条件.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 17.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA. 3144AB AC -u u ur u u u rB. 1344AB AC -u u ur u u u rC. 3144AB AC +u u ur u u u rD. 1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+u u u v u u u v u u u v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+u u u v u u u v u u u v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1113124444BA BA AC BA AC u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v =++=+， 所以3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.18.221(1)1lim 1(1)1n n n→∞+--+的值为（ ）A. 0B. 1C.12D. 不存在【答案】A 【解析】 【分析】化简得到221lim 221n n n n →∞+-+，利用极限公式得到答案.【详解】22222112(1)121lim lim lim 0112221(1)12n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+-++===-+-+-+ 故选：A【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.19.在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+uuu r uu u r uuu r，则λμ+=A. 2B. 2-C.12 D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD u u u v ，BM u u u u v，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-u u u v u u u v u u u v u u u v，因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又BM AB AC λμ=+u u u u v u u u v u u u v ，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-.本题选择D 选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20.已知向量3OA =u u u r ，2OB =u u u r ，OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且OC u u u r ⊥ABu u u r ，则实数mn的值为( ) A. 16 B. 14C. 6D. 4【答案】A【解析】 【分析】根据OC u u u r ⊥AB u u u r ，得到AB u u u r ·OC u u u r ＝(OB uuu r －OA u u u r)·()0mOA nOB +=u u u r u u u r，代入数据得到mn＝16. 【详解】∵ 向量3OA =u u u r ，2OB =u u u r ，OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，若OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为60°，∴32603OA OB cos ⋅=⨯⨯︒u u u r u u u r＝，∴AB u u u r ·OC u u ur ＝(OB uuu r －OA u u u r )·()mOA nOB +u u u r u u u r＝()m n －OA u u u r ·OB uuu r－m 2OA u u u r ＋2n OB u u u r＝394(6)0m n m n m n －－＋＝－＋＝， ∴m n ＝16， 故答案选：A.【点睛】本题考查了向量的计算，根据OC u u u r ⊥AB u u u r ，得到AB u u u r ·0OC =u u ur 是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 三.解答题21.用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析 【解析】 【分析】写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】22242244,2,211y x m m m m D m D m m D m m mmmm++==-==-++==-当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解212m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解；当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解.【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力. 22.在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点．（1）若43CB CA ==，，求AB CD ⋅u u u r u u u r；（2）若2AB AC CA CD ??u u u r u u u r u u u r u u u r，试判断ABC ∆的形状．【答案】（1）72；（2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）由平面向量基本定理可得：AB CD ⋅u u u r u u u r =221()2CB CA -u u ur u u u r =72;得解；（2）由平面向量数量积运算可得：2,AB ACCA CA CB u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ?+?即2cos cos AB AC A CA CA CB C =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再结合余弦定理求解即可得解.【详解】(1)解：因AB CD ⋅u u u r u u u r =1()()2CB CA CB CA -⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r =221()2CB CA -u u u r u u u r =1692- =72; (2)因为2AB AC CA CD ??u u u r u u u r u u u r u u u r，所以22=(),AB ACCA CD CA CA CB CA CA CB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r?鬃+=+?所以2cos cos AB AC A CA CA CB C =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 由余弦定理可得222222222AB AC BC CA CB AB AB AC CA CA CBAB AC CA CB+-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 化简得：222AB AC BC =+ ， 故ABC ∆为直角三角形．【点睛】本题考查了平面向量基本定理及余弦定理，属中档题.23.已知向量1(sin ,)2a x =-r ，(cos ,cos(2))6b x x π=+r ，函数()f x a b =⋅r r .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在y 轴右侧取得最大值时，对应的横坐标从小到大构成数列{}n a ，试求数列21{}n n a a π+的所有项的和.【答案】（1）[,]63k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）3.【解析】 【分析】（1）化简得到())26f x x π=-，计算222262k x k πππππ-≤-≤+,k ∈Z 得到答案. （2）根据22()62x k k N πππ-=+∈得到23n a n ππ=-，化简得到21112133n n a a n n π+=--+，利用裂项相消法得到1313n S n =-+，求极限得到答案. 【详解】（1）向量1(sin ,)2a x =-r ，(cos ,cos(2))6b x x π=+r函数11()(sin ,)(cos ,cos(2))sin cos cos(2)2626f x a b x x x x x x ππ=⋅=-⋅+=-+r r111sin 2(2sin 2))222226x x x x π=--=- 函数()f x 的单调递增区间为：222262k x k πππππ-≤-≤+,k ∈Z解得：[,]63x k k ππππ∈-++,k ∈Z（2）根据（1）知：())26f x x π=-取最大值，即22()62x k k N πππ-=+∈即3x k ππ=+，则23n a n ππ=-221111212121()()()()333333n n a a n n n n n n ππππππ+===--+-+-+ 前N 项和1313n S n =-+ 1lim lim 3313n n n S S n →∞→∞⎛⎫ ⎪==-= ⎪ ⎪+⎝⎭ 【点睛】本题考查了向量的运算，三角函数的单调区间，数列的裂项求和，极限，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 24.如图，半径为1，圆心角为32π的圆弧AB 上有一点C ，建立适当的平面直角坐标系.（1）若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求||OC OD +uuu r uuu r的最小值；（2）若D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE DE ⋅uur uuu r的取值范围. 【答案】（12；（2）1212[4242-+.【解析】 【分析】（1）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，建立直角坐标系，(,0)(01)D m m ≤≤得到221||22OC OD m ⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uuu r . （2）设3(cos ,sin )(0)2C πααα≤≤，则21)244CE DE πα⋅=++uur uuu r ，根据三角函数最值得到答案.【详解】（1）如图所示：以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，建立直角坐标系. 则22(22C -，设(,0)(01)D m m ≤≤ 则2222221||((,0)(222222OC OD m m m ⎛⎫+=+=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uuu r 当2m =时，||OC OD +uuu r uuu r 2（2）根据（1）知：11(,0),(0,)22D E - ，设3(cos ,sin )(0)2C πααα≤≤11111121(cos ,sin )(,)sin cos sin()222224244CE DE πααααα⋅=-----=++=++uur uuu r302πα≤≤则7444πππα≤+≤ 故211212sin()[,]2444242πα++∈-+ CE DE ⋅uur uuu r 的取值范围为1212[,]4242-+【点睛】本题考查了向量的最值，意在考查学生的应用能力和计算能力.25.已知向量2(3,1)a x =-r ，(,)b x y =-r （其中实数x 和y 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥r r，当||2x ≥时，a r ∥b r. （1）求函数式()y f x =； （2）求函数()()f x F x x=的单调递减区间； （3）若对任意(,2][2,)x ∈-∞-+∞U ，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）323220()223x x x x f x x x x x ⎧--<<≠⎪=⎨≥≤-⎪-⎩且或；（2）(,2)-∞-和(2,0)-；（3）2m ≥.【解析】 【分析】（1）分别计算||2x <和||2x ≥函数表达式，得到答案323220()223x x x x f x x x x x ⎧--<<≠⎪=⎨≥≤-⎪-⎩且或.（2）根据（1）知223220()1223x x x F x x x x ⎧--<<≠⎪=⎨≥≤-⎪-⎩且或分别计算两段函数的单调性得到答案.（3）将不等式转化为23x m x ≥-，求函数2()3xg x x=-的最大值得到答案. 【详解】（1）向量2(3,1)a x =-r ，(,)b x y =-r当||2x <时，有a b ⊥r r，即22(3)0,(3)(0)x x y y x x x --==-≠当||2x ≥时，a r ∥b r，即22(3),3xy x x y x--==- 综上所述：323220()223x x x x f x x x x x ⎧--<<≠⎪=⎨≥≤-⎪-⎩且或（2）223220()()1223x x x f x F x x x x x ⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或 当22x -<<且0x ≠时：2()3F x x =-，单调减区间为(2,0)-当2x ≥或2x -≤时：21()3F x x=-，当2x ≥时，23x -单调递减；当2x -≤时23x -单调递增，根据复合函数单调性得到21()3F x x=-单调减区间为(,2)-∞- 综上所述：单调减区间为(,2)-∞-和(2,0)-（3）(,2][2,)x ∈-∞-+∞U ，22303xmx x m m x +-≥∴≥- 即求函数2()3x g x x=-的最大值，21()33x g x x x x==-- 当2x ≥时，3x x -单调递减，2()3xg x x =-单调递增当2x -≤时，3x x -单调递减，2()3xg x x =-单调递增故(,2]x ∈-∞-递增，最大值为max ()(2)2g x g =-=[2,)x ∈+∞时，2()03xg x x =<- 综上所述：max ()(2)2g x g =-=，所以2m ≥【点睛】本题考查了分段函数表达式，单调性，恒成立问题，将分段函数分开求解是常用的方法，需要灵活掌握.。
上海市闵行中学2020年高二数学文联考试题含解析
上海市闵行中学2020年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图( )A．B．C．D．参考答案：D考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题；压轴题．分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．解答：解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选D．点评：本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．2. 已知复数，其中为0，1，2，…，9这10个数字中的两个不同的数，则不同的虚数的个数为（）A.36B.72C.81D.90参考答案：C3. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是A．B．C．D．参考答案：B略4. 若a<b<0，则下列不等式中成立的是 ()A. <B. >C． |a|>|b| D．a2<b2参考答案：C略5. 曲线在点（0,1）处的切线方程为（A）（B）（C）（D）参考答案：D6. 设成等比数列，其公比为2，则的值为A．1 B． C．D．参考答案：C略7. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．【解答】解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．故选：C．8. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A、假设三内角都不大于60度；B、假设三内角至多有一个大于60度；C、假设三内角都大于60度；D、假设三内角至多有两个大于60度参考答案：C略9. 设有一个回归方程为，变量增加一个单位时，则A．平均增加个单位B．平均增加2个单位C．平均减少个单位D．．平均减少2个单位参考答案：C略10. 已知数列{a n）中，a1=2，a n=1﹣（n≥2），则a2017等于（）A．﹣B．C．﹣1 D．2参考答案：D【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用数列递推关系可得a n+3=a n，再利用周期性即可得出．【解答】解：数列{a n）中，a1=2，a n=1﹣（n≥2），∴a2=1﹣=1﹣=，a3=1﹣=1﹣2=﹣1，a4=1﹣=1﹣（﹣1）=2，…，∴a n+3=a n，∴a2017=a3×672+1=a1=2．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB上一点，M是棱D1C1上一点，则三棱锥M-DEC的体积是▲参考答案：12. 离心率为2且与椭圆有共有焦点的双曲线方程是. 参考答案：设曲线的方程为，由题意可得：，求解方程组可得：，则双曲线的方程为：.13. 下列命题正确的序号是①命题“若，则”的否命题是真命题；②若命题，则；；③若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；④方程有唯一解的充要条件是.参考答案：①③14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出以下命题：①当时，；②函数有五个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④对恒成立.其中，正确命题的序号是 .参考答案：①④15. 直线被圆截得的弦长=.参考答案：略16. 不等式的解集为，则的取值范围是。
2020年下海市闵行区数学高二下期末统考试题含解析
2020年下海市闵行区数学高二下期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆2241y x +=的长轴长为（ ）A ．1B ．2 CD【答案】B【解析】【分析】 将椭圆方程化成标准式，根据椭圆的方程可求a ，进而可得长轴2a .【详解】解：因为2241y x +=， 所以22114x y +=，即21a =，214b =， 所以1a =，故长轴长为22a =故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的求解及基本概念的考查，属于基础题．2．函数32()3f x x x m =-+在区间[]1,1-上的最大值是2，则常数m =（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】 分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是0f m =（），则m 值可求． 详解：32f x x x '=-（）（），令0f x '（）＞，解得：2x ＞或0x ＜， 令0f x '（）＜，解得：02x ＜＜， ∴()f x 在[10-，）递增，在[]01，递减，02max f x f m ∴===（）（） ， 故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题． 3．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( )A ．()1,0B ．()1,π-C ．()1,πD ．()1,2π【答案】C【解析】分析：在极坐标系中，ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．详解：∵ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．，∴()M 1,0关于极点的对称点为()1,π．故选：C ．点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．4．已知ABC ∆中，2,45a b B ===,则满足此条件的三角形的个数是 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数个 【答案】C【解析】由正弦定理得sin sin a b A B = 2==即sin sin A B =>= ， 所以符合条件的A 有两个，故三角形有2个故选C点睛：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，会根据三角函数值求对应的角.5．若当x θ=时,函数()3sin 4cos f x x x =+取得最大值,则cos θ=( )A ．35B ．45C ．35D ．45- 【答案】B【解析】【分析】函数()f x 解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】 ()()345sin cos 555f x x x sin x α⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其中43,cos 55sin αα==, 当2,2x k k Z παπ+=+∈，即22x k ππα=+-时，()f x 取得最大值5 ,22k ππαθ∴+-=，则4cos cos 225k sin πθπαα⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，故选B. 【点睛】 此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.6．已知变量x ，y 呈现线性相关关系，回归方程为ˆ1-2 yx =，则变量x ，y 是（） A ．线性正相关关系B ．线性负相关关系C ．由回归方程无法判断其正负相关关系D ．不存在线性相关关系【答案】B【解析】【分析】根据变量x ，y 的线性回归方程的系数b ＜0，判断变量x ，y 是线性负相关关系．【详解】根据变量x ，y 的线性回归方程是y =1﹣2x ，回归系数b =-2＜0，所以变量x ，y 是线性负相关关系．故选：B ．【点睛】本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目．7．如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )A ．6,8B ．6,6C ．5,2D ．6,2【答案】A【解析】【分析】 根据题意，应用乘原理，即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的种数.【详解】由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有23=6⨯种；再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有628+=种走法，故选：A.【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，其中正确理解题意，合理选择计数原理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8．已知全集U R =，集合{|31}A x x =-≤≤，{|22}B x x x =-或，那么集合()U A C B ⋂=（ ） A ．{|32}x x -≤<- B ．{|32}x x -≤< C ．{|21}x x -≤≤ D ．{|12}x x x 或≤≥【答案】C【解析】【分析】先求得集合B 的补集，然后求其与集合A 的交集.【详解】依题意{}|22U C B x x =-≤≤，故(){}|21U A C B x x ⋂=-≤≤，故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.9．甲、乙等5人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）．A ．24种B ．48种C ．72种D ．120种【答案】B【解析】由题意利用捆绑法求解，甲、乙两人必须相邻的方法数为2424A A 48⋅=种．选B ．10．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】2+5+14+41+122100S =>，故输出5n =.11．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小． 12．设133a =，3log 18b =，5log 50c =，则() A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】C【解析】【分析】分别求出a ，b ，c 的范围，从而得到答案．【详解】 根据指数函数图像可得13132<<， 3321log 182log 222log 3b ==+=+>，5521log 50=2log 222log 5c =+=+>； 由于221log 3log 5<<，则2211log 3log 5> ，则2c b <<； 所以a c b <<；故答案选C【点睛】 本题考查指数、对数值的大小比较，解题的关键利用指数对数的运算法则求出值的范围，属于中档题．二、填空题：本题共4小题13．若实数x ，y 满足线性约束条件3122x y x y x +≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，则32z x y =+的最大值为_____________； 【答案】8【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数所表示直线，平移可得最大值取法.详解：作可行域，则直线32z x y =+过点A （2，1）时z 取最大值8.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有________种【答案】72【解析】第一步甲乙抢到红包，有244312A =⨯=种，第二步其余三人抢剩下的两个红包，有23326A =⨯=种，所以甲乙两人都抢到红包的情况有12672⨯=种．15．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为__________海里．【答案】6【解析】分析：根据已知条件，分别在ADC 和BDC 中计算,AD BD ，在ADB 用余弦定理计算AB . 详解：连接AB ，由题可知40CD =，105ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，30ACD ∠=︒，60ADB ∠=︒，则45DAC ∠=︒在ADC 中，由正弦定理sin sin AD CD ACD DAC=∠∠ 得202AD =BDC 为等腰直角三角形，则402BD =在ADB 中，由余弦定理得222cos 206AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=故答案为206.点睛：解三角形的应用问题，先将实际问题抽象成三角形问题，再合理选择三角形以及正、余弦定理进行计算.16．某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n 的值为______.【答案】120【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n 详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人所以女学生占的比例为10005240012= 女学生中抽取的人数为50人所以5n 5012⨯= 所以n=120点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。