复习课件-电动力学第五章 电磁波的辐射
B A
在变化电磁场情况，
E
B
0
，不能像静
电场那样直接引入标量势函数。t
E
A
A
t
t
引入标量势函数
E
A
t
(E
A)
0
t
E
A
t
3
二．规范变换和规范不变性
1．矢势和标势的不唯一性
同静磁场、静电场相同，这里引入的矢势和标
势也不唯一，但是矢势和标势在变化电磁场情况 下相互间有一定的关系。
t
c t
c t
J (x,t) J (x,t)
J (x,t) t
tconst
t
r r
J (x,t) 1 J (x,t) r
tc
c
t
J (x, t) J (x, t) J (x, t)
tc
16
A
0 4
1 J(x,t) dV
r
tc
[1 r
J(x,
t)
J(x,
2．规范变换
l 规范：给定一组 ( A, )称为一种规范；
l 规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为
规范变换。
l 两种规范间变换关系： A A
t
4
证明：由于 A和 A， 和 不能改变电场和磁场
强度，所以 B A A A
A A
E
A t
A t
t
(
t
)
A t
40r
x点 ：
(x,
t)
Q(
x , t
r
40r
c)
可以证明上述解的形式满足
1 r2
r
(r2
)
r
1 c2
2
t 2
Q(t) (r) 0
14
2. 连续电荷分布在空间产生的电势
(x,t)
V
(x,t r c)dV 40r
3.
矢势
A
的解
由于 A满足的方程形式上与
满足的方程一样，
类比得到
A( x, t )
第五章 电磁波的辐射
1
§5.1 电磁场的矢势和标势
一．用势描述电磁场
（1）矢势的引入
由于 B 0，与静磁场 相同，可 以引入矢量 势函数（矢势）A ，使得 B A
注意：
① 与静磁场不同点：引入的矢势与时间相关；
② 意义与静磁场情况相同，即：
A dl
B dS
L
S
2
（2）标势的引入
u(r,t) f (t r ) g(t r )
c
c
(r,t) f (t r c) g(t r c)
r
r
f (t r c) 代表向外传播的球面波
r
由于讨论 辐射问题
g(t r c) 代表向内收敛的球面波
g(t r ) 0 c
r
与点电荷电势类比有：(r,
t)
Q(t
r
c
)
若点电荷不在原点而在空间
0
的解AJ(：x , t
r
c
) dV
4 V r
ห้องสมุดไป่ตู้15
二.证明 证：令 t
、A
trc
满足洛仑兹条件
t(t, x, x) A
0
A
1 c2
J(
0
x,tt )dV
4 V
r
0 4
[1r
J (x,t)
J (x,t)
1]dV r
J (x,t) J (x,t) t 1 J (x,t) r 1 J (x,t) r
取球坐标且 (r,t) 与 , 无关。标势的达朗贝
尔方程化为：
1 r2
r
(r2
)
r
1 c2
2
t 2
Q(t) (r) 0
当
r
0 时，
1 r
r
(r 2
r
)
1 c2
2
t 2
0
令 (r,t) u(r,t)
r
2u r 2
1 c2
2u t 2
0
13
这个类似于一维波动方程的解可以表示为：(r 0)
10
第五章第二节
推迟势
11
§5.2 推迟势
本节讨论空间存在电荷和电流分布情况 下达朗贝尔方程的解。
一. 标势和矢势的达朗伯方程的解
标势方程中
(x,
t)
为已知。若
(x,
t)
较
复杂，直接得到一般解比较困难。本节先
从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到
解。
12
1. 点电荷在空间激发的标势
设点电荷处于原点，(x,t) Q(t) (x)，考虑对称性
A
t
t
l 规范不变性：在规范变换下物理规律满足的动力 学方程保持不变的性质（在微观世界是一条物理 学基本原理）。
l 规范场：具有规范不变性的场称为规范场。
5
3．两种规范
要使势函数减少任意性， 必须给出
A
，它的
值被称为规范的条件。 A值选择是任意的，但若
选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称
2A t 2
0 J
2
1 c2
2
t 2
0
9
l 反映了电磁场的波动性
洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程， 因此由它们求出的 ( A, ) 及 (E, B) 均为波动
形式，反映了电磁场的波动性。
l 两个方程具有高度的对称性且相互独立 求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们 将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映 出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究 辐射问题时，一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝 尔方程。
或物理意义明显。
l 库仑规范
规 范条件： A 0
在库仑规范下，A 为 横场， 纵场。因此，电
场的横场部分完全由 A决定，而纵场部分完全由
决定。在这种情况下，由电荷、电流的瞬时分布
求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。
6
库仑规范下 满足的方程： 2 0
证明： A A 0
c2 t 2
c2 t c2 t 2
2
1 c2
2
t 2
0
7
三．达朗贝尔方程
1． 真空中的 达朗贝尔方程
2A
1 c2
2 A t 2
(
A
1 c2
)
t
0 J
2 ( A)
t
0
证明：将 B
斯韦方程： 并利用：
(
A
B
A)
0，(0EA)Et2 A0J得,At到达代 E朗入 贝麦尔克0
2 0
l 洛仑兹规范
规范条件：
A
1
0
c2 t
后面将看到洛仑兹规范下，A, 所满足的方程具
有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协
变性，有很重要的理论意义。
洛仑兹规范下 满足的方程： 2 1 2 0
c 2 t 2
证明：
A
1
A
1
1
2
( A
1
c2 t
) (2
1
2
)0
c2 t
t)
1]dV r
0
4
1 J (x,t)
dV
r
t const
J
( x, t ) r
dV
J (x,t) dS 0 Sr
1
c2
t
1
40c2
V
1 r
( x, t)
t
t t
dV
0 4
1 (x,t) dV
方程（详细证明略）。
8
2． 库仑规范下 的达朗贝尔方程
2A
1 c2
2 A t 2
1 c2
t
0 J
2 0
可见 满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某
t t 处的 在时刻 的值由电荷在时刻 的分布给出，不
能直观的反映电磁相互作用传播是非超距的特性。
3．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程
2 A
1 c2
合集下载
中科大 电动力学 PPT
《等离子体物理导论》
Copyright by Wandong LIU
规范变换与规范不变性
电磁矢势、标势具有相当大的人为选择的余地 两组不同的矢势标势，可以表示相同的电磁场
A
第十一周
A A
变换
t
A A B A A E t t
A A ei k x t 0 i k x t 0e
2
k 2 c2
洛伦兹规范下，描述平面波的
势仍有变换的自由度，可取
k k A 0
2
Copyright by Wandong LIU
第五章 电磁波辐射
§5.1 电磁场的矢势和标势
第十一周
§5.2 推迟势
波动方程的行波解 点源产生的电磁波 推迟势
§5.3 电磁辐射
§5.4 电磁波衍射 §5.5 麦克斯韦张量
《等离子体物理导论》
Copyright by Wandong LIU
达朗贝尔方程
洛伦兹规范下：
1 A 0 2 c t
第十一周
电磁场（电磁势）运动方程：
2 1 A 2 c 2 1 c2
A 0 J 2 t 2 t 2 0
2
d’Alembert方程
《等离子体物理导论》
Copyright by Wandong LIU
直角坐标下波动方程的解：平面行波
Copyright by Wandong LIU
电磁矢势标势满足的方程
电磁矢势、标势满足的方程 ♨
Copyright by Wandong LIU
规范变换与规范不变性
电磁矢势、标势具有相当大的人为选择的余地 两组不同的矢势标势，可以表示相同的电磁场
A
第十一周
A A
变换
t
A A B A A E t t
A A ei k x t 0 i k x t 0e
2
k 2 c2
洛伦兹规范下，描述平面波的
势仍有变换的自由度，可取
k k A 0
2
Copyright by Wandong LIU
第五章 电磁波辐射
§5.1 电磁场的矢势和标势
第十一周
§5.2 推迟势
波动方程的行波解 点源产生的电磁波 推迟势
§5.3 电磁辐射
§5.4 电磁波衍射 §5.5 麦克斯韦张量
《等离子体物理导论》
Copyright by Wandong LIU
达朗贝尔方程
洛伦兹规范下：
1 A 0 2 c t
第十一周
电磁场（电磁势）运动方程：
2 1 A 2 c 2 1 c2
A 0 J 2 t 2 t 2 0
2
d’Alembert方程
《等离子体物理导论》
Copyright by Wandong LIU
直角坐标下波动方程的解：平面行波
Copyright by Wandong LIU
电磁矢势标势满足的方程
电磁矢势、标势满足的方程 ♨
电动力学-第五章-电磁波辐射
频率越高，辐射场强越大。
3）辐射场振幅与R成反比，即辐射场随着R的增加而衰减。这个
衰减并不是介质损耗引起的，而是球面波波阵面的扩张所致。
4）辐射场不仅与距离有关，还随sin变化。在 =00或θ = 1800方
向上，辐射场为零；在 = 900方向上，辐射场有最大值。即
天线辐射具有方向性。
21
物理与电子工程学院 张福恒
物理与电子工程学院 张福恒
电动力学
第五章 电磁波的辐射
电偶极射场有以下特性：
1）辐射场是沿径向方向传播的电磁波，E×H的方向为电磁波
传播方向；电场和磁场在空间各点同相位，且电场与磁场相
互垂直；在R为半径的球面上各点，电场相位相等，磁场相位
也同样相等，因此辐射场是球面TEM波。
2）辐射场强度与频率平方成正比，即在其它条件不变条件下，
电动力学
第五章 电磁波的辐射
§2 推迟势
电磁场的势实际上是四个相似的标量方程组。因此，只要求解 其中一个方程，其它方程的解也即可得到。我们首先求标势方 程的解。标势方程的解可用下面的方法求得。
见5-2附页
A(x,t) 0 J(x,t r / υ) dV
4 V
r
10
物理与电子工程学院 张福恒
d dt
R c
dp t
dt
0 4 Rc
d2 pt
dt
eR
17
物理与电子工程学院 张福恒
电动力学
而，
第五章 电磁波的辐射
E ( x, t )
ic k
B( x, t )
cB(x,t) eR
主这样，我们得到电偶极辐射场计算式：
电动力学第五章
电动力学A 刘克新第五章电磁波的辐射本章主要内容§1、电磁场的矢势和标势§2、推迟势§3、谐振电荷体系的电磁场§4、磁偶极辐射和电四极辐射§5、天线辐射§6、电磁场的动量§1. 电磁场的矢势与标势¾1. 矢势与标势定义¾2. 规范变换§2. 推迟势¾1. 点电荷在原点¾2. 更普遍情形§3. 谐振电荷体系的电磁场¾1. 谐振电荷体系的矢势¾2. 谐振电荷体系矢势展开¾3. 电偶极辐射电偶极辐射在不同时刻的E线分布03232d c cπεπΩ∴辐射功率随频率增加急剧增大。
0(2sin )d dP P d ππθθ=Ω∫42012p cμπω=220,12p c p μπ⎛⎞=∝⎜⎟⎝⎠在电场的高次项中，仍有径向分量，但磁场只有横向分量，因此电偶极辐射是TM 波。
近似为TEM 波。
振荡电偶极子产生纯电偶极辐射。
近场区为电偶极子和电流元的似稳场（见上图）。
讨论：§4. 磁偶极和电四极辐射¾1. 磁偶极辐射的矢势¾2. 磁偶极辐射的电磁场和功率¾3. 电四极辐射的矢势¾4. 电四极辐射电磁场和辐射功率¾5. 辐射场的多极展开小结设一电流圈半径为a,电流振幅为I 0，角频率为ω,则系统的磁偶极矩振幅m=I 0πa 2, 辐射功率 磁偶极辐射功率比电偶极辐射功率小量级。
磁偶极辐射的电场分量正好与电偶极辐射场相反, 即偏振方向正好交换位置。
2)(λa42()0312m m Pc μωπ=0iaI p Qa ω==相应电偶极子振幅42()012E p Pcμωπ=22()()22m E m P a P c p λ⎛⎞=∝⎜⎟⎝⎠辐射功率之比：如右图所示的振荡电四极子，其电磁场和辐射功率如下：26D ql kk′= 22(2)D ql kk ii jj =−− 32(02sin cos 4i kr t i q B e e c r ωφωμθθπ−= ）32(0sin cos 4i kr t r i q E cB e e e c rωθωμθθπ−=×= ）624*2202321Re()sin cos 232rq l S E H e c rμωθθπ=×= 624222023sin cos 32r q l dP S e r d c μωθθπ=⋅=Ω62403sin 60q dPP d d d cμωθθφπ==Ω∫(2) 由于计算辐射场的势和场的运算都是线性的，因此可以把单独计算的各类辐射的结果简单相加得出最后的结果。
电动力学5-3
ϕ 也就随之而确定了， 也就随之而确定了，因
r r ik ′e r r µ j(x) r d ′ 0 A ) τ (x = ∫ r 4 V π r ϕ ∂ 2 c ⋅ =− ∇ A ∂ t r r B ∇ = ×A r r i ω ×B E ∇ = k
r j 在电荷分布区域外面， 在电荷分布区域外面， =0 ，所以
1 1 r 点展开： 场点的距离） 场点的距离）。将 = r r 在 x =0 ′ 点展开： ′ r x−x
r r ikr r r µ j(x)e ′ 0 Ax = ∫ () d′ τ 4 V r π
r r r r ′ 1 1 1 r 1 R x′ ⋅ 1 n⋅ x ′ = −∇ ⋅ x +... = + +... = + +... 3 2 r R R R R R R r r r 方向单位矢量。 其中 n为 R 方向单位矢量。因为 R> x ，所以仅 > ′
第五章第三节
电偶极辐射
Electric Dipole Radiation
§5.3 电偶极辐射
电磁波是从变化的电荷、 电磁波是从变化的电荷 、 电流系统辐射 出来的。 宏观上， 出来的 。 宏观上 ， 主要是利用载有高频交 变电流的天线产生辐射， 微观上， 变电流的天线产生辐射 ， 微观上 ， 一个做 变速运动的带电粒子即可产生辐射。 变速运动的带电粒子即可产生辐射。 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期 运动， 运动 ， 且电荷体系线度远远小于电荷到观 测点的距离的情况。 测点的距离的情况。
在此区域中场强 和 均可略去 的
1 1 r r 高次项，该区域内的场主要是横向电磁场。 高次项，该区域内的场主要是横向电磁场。 = r E B ′ R |x 现在主要讨论电流分布于小区域而激发的远|
电动力学课件：5-1电磁辐射
即保证了
A
A ik A
只有横向分量，即
0
A
A横
，从而得到
B
E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 描述库 仑作
用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立
3．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程
2 A
1 c2
2A t 2
0 J
2
1 c2
2
t 2
0
例：
试求单色平面电磁波的势
解:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
其解的形式为：
2
A
1 c2
1 c2
2
2
2A
t 2
与静电场引入电势、静磁场引入标势相 似，为了便于求解普适的场方程，在变化
情况下仍然可以引入势的概念。但是，由
于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、 标势与静场情况有很大的不同。
§5.1 电磁场的矢势和标势
一．用势描述电磁场
本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论 电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。
（1）矢势的引 入
2
1 c2
2
t 2
0
证明：
A
1
A
1
1
2
( A
1
c2 t
) (2
1
2 ) 0
c2 t
c2 t 2
c 2 t c 2 t 2
《电磁波的辐射 》课件
05
电磁波辐射的未来发展
电磁波辐射技术的改进
高效能电磁波辐射源
01
研发更高频率、更稳定、更高效的电磁波辐射源，以满足各种
应用需求。
电磁波辐射控制技术
02
研究更精确的电磁波辐射控制技术，实现定向、定点、定量的
电磁波辐射。
电磁波辐射安全标准
03
制定更严格的电磁波辐射安全标准，确保电磁波辐射对人体和
环境的安全。
环境监测领域
利用电磁波辐射进行大气污染 、水质监测、森林火灾等环境 监测，提高环境保护和应急响
应能力。
电磁波辐射对未来的影响
社会影响
随着电磁波辐射技术的广泛应用，人们的生活方式和社会 形态将发生深刻变化，需要关注由此带来的社会问题，如 隐私保护、信息安全等。
经济影响
电磁波辐射技术将带动相关产业的发展，创造更多的就业 机会和经济效益，同时需要关注由此产生的经济不平等问 题。
在真空或空气等介质中，电磁波 的传播速度是一个恒定的值，不
受其他因素的影响。
在其他介质中，如水、金属等， 电磁波的传播速度可能会受到介
质的折射率等因素的影响。
03
电磁波辐射的影响
对人体的影响
健康风险
长期暴露于高强度的电磁 波辐射可能增加患癌症、 神经退行性疾病和心血管 疾病的风险。
生理影响
电磁波辐射可能影响人体 生物电、神经系统和循环 系统，导致头痛、失眠、 记忆力减退等症状。
《电磁波的辐射》 PPT课件
目录
• 电磁波辐射概述 • 电磁波辐射的产生与传播 • 电磁波辐射的影响 • 电磁波辐射的防护 • 电磁波辐射的未来发展
01
电磁波辐射概述
电磁波的定义
01
电动力学第五章
k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•
《电动力学(第三版)》电磁波的辐射chapter5_7
2 20
能流密度：S
1
EB
0
1. 电磁场的动量密度和动量流密度
电磁场也和其他物体一样具有动量. 辐射压力是电 磁场带有动量的实验证据.
电荷分布区域内的场和电荷之间由于相互作用 而发生动量转移.区域内的场和区域外的场也通过界 面发生动量转移.
动量守恒:单位时间从区域外通过界面S传入区
域V内的动量应等于V内电荷的动量变化率加上V内
E
0
t
EB
B 0
E
B
t
0
E
B t
B
电磁场内部的动量转移 电磁场的动量密度改变率
电磁场的动量密 度
g 0EB
E
E
E
E
1
E
2
E
E
E
E
2
E
E
E
E
1
E
2
2
EE
1
IIE2
EE
2 1
IIE
2
2
II是单位张量 v II II v v
第五章 电磁波的辐射
§5.7 电磁场的动量
内容概要
1. 电磁场的动量密度和动量流密度 2. 辐射压力 3. 电磁场理论总结
电磁场能量、动量概念
用能量守恒的概念将“能量”的概念赋予电磁场： 电磁场对物质的作用力做功体现了能量的变化. 若能量守恒成立，电磁场的能量概念可以确定. 场是空间分布的，因此有能量密度、能流密度的概念.
考虑介质时电磁场对物质的作用力
电f磁场E对D物EJ质(B介 质H)作 DB用 E力 (密D度HB)：DDtBB
D
E
B
H
t
H B
t
能流密度：S
1
EB
0
1. 电磁场的动量密度和动量流密度
电磁场也和其他物体一样具有动量. 辐射压力是电 磁场带有动量的实验证据.
电荷分布区域内的场和电荷之间由于相互作用 而发生动量转移.区域内的场和区域外的场也通过界 面发生动量转移.
动量守恒:单位时间从区域外通过界面S传入区
域V内的动量应等于V内电荷的动量变化率加上V内
E
0
t
EB
B 0
E
B
t
0
E
B t
B
电磁场内部的动量转移 电磁场的动量密度改变率
电磁场的动量密 度
g 0EB
E
E
E
E
1
E
2
E
E
E
E
2
E
E
E
E
1
E
2
2
EE
1
IIE2
EE
2 1
IIE
2
2
II是单位张量 v II II v v
第五章 电磁波的辐射
§5.7 电磁场的动量
内容概要
1. 电磁场的动量密度和动量流密度 2. 辐射压力 3. 电磁场理论总结
电磁场能量、动量概念
用能量守恒的概念将“能量”的概念赋予电磁场： 电磁场对物质的作用力做功体现了能量的变化. 若能量守恒成立，电磁场的能量概念可以确定. 场是空间分布的，因此有能量密度、能流密度的概念.
考虑介质时电磁场对物质的作用力
电f磁场E对D物EJ质(B介 质H)作 DB用 E力 (密D度HB)：DDtBB
D
E
B
H
t
H B
t
复习课件-电动力学第五章 电磁波的辐射
t)
1]dV r
0
4
1 J (x,t)
dV
r
t const
J
( x, t ) r
dV
J (x,t) dS 0 Sr
1
c2
t
1
40c2
V
1 r
( x, t)
t
t t
dV
0 4
1 (x,t) dV
V r t
A
1
0
c2 t 4
1 [ J (x,t) (x,t)]dV 0
10
第五章第二节
推迟势
11
§5.2 推迟势
本节讨论空间存在电荷和电流分布情况 下达朗贝尔方程的解。
一. 标势和矢势的达朗伯方程的解
标势方程中
(x,
t)
为已知。若
(x,
t)
较
复杂，直接得到一般解比较困难。本节先
从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到
解。
12
1. 点电荷在空间激发的标势
设点电荷处于原点，(x,t) Q(t) (x)，考虑对称性
c2 t 2
c2 t c2 t 2
2
1 c2
2
t 2
0
7
三．达朗贝尔方程
1． 真空中的 达朗贝尔方程
2A
1 c2
2 A t 2
(
A
1 c2
)
t
0 J
2 ( A)
t
0
证明：将 B
斯韦方程： 并利用：
(
A
B
A)
0，(0EA)Et2 A0J得,At到达代 E朗入 的压力
24
B A
在变化电磁场情况，
物理第五章电磁波的辐射优秀课件
1 c2
则有： 2 A ( A c 1 2 t) c 1 2 2 tA 2 0 jf（2）
2(A )f
t
0
（1）
一般情况下，真空中电磁场的
矢势和标势满足的的微分方程
矢势和标势满足的的微分方程：
2 A ( A c 1 2 t) c 1 2 2 tA 2 0 jf（2）
通过以闭合回路为边界的任意曲面的磁通量。
注：从矢势A的引入可以看出，电磁场的矢势与静磁场的 矢势唯一的区别就在于，电磁场的矢势是随时间变化的。
4.电磁场标势的引入
对于静电场:
0
静电场:
E0
E
对于E 变化电磁B场:0 t
: 标势(电势)
不能象静电场那样直接引入标量势函数
4.电磁场标势的引入
BA
说明：
u在变化情况下电场与磁场发生直接联系， 则电场的表示式必然包含矢势A在内。 u变化的电磁场，E不再是保守力场，不存在势能的概念，
标势失去作为电场中的势能的意义。
u 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时， E
这时 就直接归结为电势。
任何电磁场可以用一标量场和一矢量场 A所描述:
B A
E
A
解出后代入第一式可解出A，因而可以确定辐
射电磁场。
矢势和标势满足的的微分方程：
2 A ( A c 1 2 t) c 1 2 2 tA 2 0 jf （2）
2(A )f
t
0
u 洛仑兹规范
1
Ac2 t 0
（1）
洛仑兹规范 下势的方程
22 A c1c212 2t2 2tA 2 0f0（jf（1）2）
称为达朗贝尔方程
洛仑兹规范 下势的方程