人教B版高考数学大一轮总复习讲义 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
5π ＋α
，则 tan
14
14
( ) 5π ＋α ＝( A ) 14
5 A．－
3
3 B．－
5
35Leabharlann C.D.5
3
( ) ( ) 33π
5π
解析：由 3sin ＋α ＝－5cos ＋α ，
14
14
( ) ( ) 得 sin
5π ＋α
＝－5cos
5π ＋α
，
14
3 14
5π
sin ＋α
( ) 5π
14
5
所以 tan ＋α ＝
12
cosα 12
5
sinα，代入 sin2α＋cos2α＝1，解得 sinα＝± 5 ，又 α 是第四象限角， 13
所以 sinα＝－ 5 . 13
( ) ( ) 3
π 3π
π
2． 已 知 tan(α－ π)＝ ， 且 α∈ ， ， 则 sin α＋ 等 于 (
4
22
2
B )
4 A.
B．－4
5
5
解 析 ： ∵ tanα＝ cosα， ∴ sinα＝ cosα， ∴ sinα＝ cos2α＝ 1－ cosα
5－1
－ 5－1
sin2α，即 sin2α＋sinα－1＝0，解得 sinα＝
或 sinα＝
2
2
5－1
1
1
2
(舍)．∴cos2α＝
，∴ ＋cos4α＝ ＋(cos2α)2＝
＋
2
sinα
cos2α
2
13
( )π
tan α＋ 2 等于( C )
cosα＋π
12 A.
13
B．－12 13
13 C.
D．－13
12
12
( )π
5
解析：∵α∈ ，π ，且 cosα＝－ ，∴sinα＝
2
13
12 1－cos2α＝
13
( ) tan
，则
π α＋
2
cosα － ＝ sinα＝
1
＝13.
cosα＋π －cosα sinα 12
＝－ .
( ) 14
5π
3
cos ＋α
( ) 14
10．已知 sinα＋cosα＝1，α∈(0，π)，则1－tanα＝( A )
2
1＋tanα
A．－ 7
B. 7
C. 3
D．－ 3
解析：因为 sinα＋cosα＝1，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝ 2
1，所以 sinαcosα＝－3，又因为 α∈(0，π)，所以 sinα>0，cosα<0，
( ) 4 5
4
33
11．sin π·cos π·tan － π 的值是－ .
36
3
4
( ) ( ) ( ) π
π
π
解析：原式＝sin π＋ ·cos π－ ·tan －π－
3
6
3
( ) ( ) ( ) π
π
π
＝ －sin · －cos · －tan
3
6
3
( ) ( ) ＝ －
3×－
3 ×(－
3)＝－3
4
8
( )3
所以 cosα－sinα<0，因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2× － 8
sinα
＝7，所以 cosα－sinα＝－
7 ，
所以1－tanα＝1－cosα＝cosα－sinα
4
2
1＋tanα
sinα cosα＋sinα
1＋
cosα
7 － ＝ 2 ＝－ 7.
1
2
二、填空题
5－1
( )5－1 2＝
5＋1 3－ ＋
5 ＝2.
2
2
2
三、解答题
15．已知 α 为第三象限角，
( ) ( ) π
3π
sin α－ ·cos ＋α ·tanπ－α
2
2
f(α)＝
.
tan－α－π·sin－α－π
D．sinθ＋cosθ
( ) 3π
解 析 ： 因 为 1－2sinπ＋θsin －θ ＝ 1－2sinθcosθ＝ 2
( )π
sinθ－cosθ2＝|sinθ－cosθ|，又 θ∈ ，π ，所以 sinθ－cosθ>0，所 2
以原式＝sinθ－cosθ.
( )π
5
6． (2020·佛 山 质 检 )已 知 α∈ ，π ， 且 cosα＝ － ， 则
2
θ 等于( D )
π A．－
6
πππ B．－ C. D.
363
解析：∵sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－ 3cosθ，
∴tanθ＝ 3.又∵|θ|<π，∴θ＝π.
2
3
4．设 tanα＝3，则 sinα－π＋cosπ－α 等于( B )
( ) ( ) π
π
sin －α ＋cos ＋α
＝2，则 f(2 018)＝0.
解析：∵f(8)＝cos(4π＋α)＋1＝cosα＋1＝2，
( ) ∴cosα＝1，∴f(2 018)＝cos π × 2 018＋α ＋1＝cos(1 009π＋ 2
α)＋1＝cos(π＋α)＋1＝－cosα＋1＝－1＋1＝0.
14．(2020·湖北武汉调研)若 tanα＝cosα，则 1 ＋cos4α＝2. sinα
3 .
2
2
4
( ) 12．已知 α∈
π 0，
，tanα＝3，则 sin2α＋2sinαcosα＝3.
2
2
sin2α＋2sinαcosα 解析：sin2α＋2sinαcosα＝
sin2α＋cos2α
tan2α＋2tanα 9＋6 3
＝
＝ ＝.
tan2α＋1 9＋1 2
( ) π
13．(2020·豫北六校精英对抗赛)若 f(x)＝cos x＋α ＋1，且 f(8) 2
1 cosα＝ .
2
2 8． (2020·晋 城 检 测 )若 |sinθ|＋ |cosθ|＝
3 ， 则 sin4θ＋ cos4θ＝ (
3
B )
5 17 8 2 A. B. C. D.
6 18 9 3
23
4
解 析 ： 将 |sinθ|＋ |cosθ|＝ 两 边 平 方 ， 得 1＋ |sin2θ|＝ ， ∴
3
3
C.
D．－
5
5
3
4
解析：tan(α－π)＝tanα＝ ，由Error!解得 cosα＝± .又因为 α∈
4
5
( ) ( ) π 3π
4
π
， ，所以 α 为第三象限的角，所以 cosα＝－ ，所以 sin α＋
22
5
2
4 ＝cosα＝－ .
5 3．(2020·大同质检)已知 sin(π＋θ)＝－
π 3cos(2π－θ)，|θ|< ，则
2
2
A．3
B．2
C．1
D．－1
解析：∵tanα＝3，∴原式＝－sinα－cosα＝tanα＋1＝3＋1＝2. cosα－sinα tanα－1 3－1
( ) ( ) 5．若 θ∈
π ，π
，则
2
3π 1－2sinπ＋θsin －θ 等于( A )
2
A．sinθ－cosθ
B．cosθ－sinθ
C．±(sinθ－cosθ)
7．(2020·厦门质检)已知 sin2α＝3，π<α<π，则 sinα－cosα 的值 44 2
是( A )
1
1
A.
B．－
2
2
1
1
C.
D．－
4
4
解析：∵π<α<π，∴sinα>cosα>0，∴sinα－cosα>0.又 sin2α＝3，
42
4
∴(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－sin2α＝1，则 sinα－ 4
3
3
|sin2θ|＝ 1， ∴ sin4θ＋ cos4θ＝ (sin2θ＋ cos2θ)2－ 2sin2θcos2θ＝ 1－ 3
( ) 2sin2θcos2θ＝1－1sin22θ＝1－1× 1 2＝17，故选 B.
2
2 3 18
( ) ( ) 9．(2020·河北联考)已知 3sin
33π ＋α
＝－5cos
课时作业 21 同角三角函数的基本关系式及诱导公 式
一、选择题
5 1．已知 α 是第四象限角，tanα＝－ ，则 sinα 等于( D )
12
1
1
5
5
A. B．－ C. D．－
5
5
13
13
5
sinα 5
12
解 析 ： 因 为 tanα＝ － ， 所 以 ＝ － ，所以 cosα＝－
高中数学人教版一轮复习课件：4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
180°
π
0 -1 0
-5-
1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)若 α,β 为锐角,则 sin2α+ cos2β=1. ( × ) (2)若 α∈R,则 tan α= (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限” ,其中的 π 奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化. 2 ( ) (4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角. ( )
)
A.1+ 3 C.-1- 3
B.1- 3 D.-1+ 3
关闭
tan 300°+sin 450°=tan(360°-60°)+sin(360°+90°) =tan(-60°)+sin 90°=-tan 60°+1=1- 3.
关闭
B
解析 答案
-8-
1 2 3 4 5
4.(2015 广州调研)已知 sin A.2 5
B.-
1 5
5π + ������ 2 1 C. 5
=
1 ,那么 5 2 D. 5
cos α= (
)
关闭
∵sin
C
5π 2
+ ������ =sin
1
π 2
+ ������ =cos α,关闭Leabharlann ∴cos α=5.故选 C.
解析
答案
-9-
1 2 3 4 5
5.(教材习题改编P22T3)已知tan θ=2,则sin θcos θ=
4 sin������ cos������
2
=
2tan ������ -3 2×2-3 4tan ������ -9 4×2-9
人教B版高考总复习数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形 第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
tan θ=(
A.
θ-2cos θ=1,则
)
7
4
3
B.
4
C.-
7
4
3
D.4
答案 B
解析 ∵sin θ-2cos θ=1,∴sin θ=2cos θ+1,两边同时平方可得
sin θ=4cos θ+4cos θ+1,又 sin θ+cos θ=1,故 5cos θ+4cos θ=0,解得 cos
2
或 cos
sin α=± 1-cos 2 ,cos α=± 1-sin2 .
2.商数关系的常用变形:cos αtan α=sin
π
α(α≠ +kπ,k∈Z).
2
3.和积互化变形:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
2
si
n
4.弦切互化变形:sin2α=si n 2 +co s 2
指的是函数名称的变化,如果k是奇数,函数名称就要变化,正弦变余弦、余
弦变正弦;如果k是偶数,函数名称不变.
π
②“符号看象限”中的“象限”指的是将α看作锐角时,角k· +α(k∈Z)的终边
2
所在的象限.
常用结论
1.平方关系的常用变形:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,
sin α=-
5
2
1-cos =- ,于是
3
sin
θ=
=-2,所以
cos
(2)因为 tan
4cos θ+cos θ=1,可得 cos
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课件(35张)
所以 cos2α＝190，由 α 为第二象限角，易知 cosα<0，所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
C．sin 54π＋α＝12
B．cos π4－α＝12 D．cos 54π－α＝－12
解析：由 sin π4＋α＝12，可得 cos (π4＋α)＝± 23，sin 54π＋α＝sin π＋π4＋α＝－sin π4＋α＝－12，cos π4－α＝cos [π2－π4＋α]＝sin π4＋α＝12，cos 54π－α＝cos π＋π4－α＝ －cos π4－α＝－12.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z；
sin
2α＝sin
sin 2α 2α＋cos
2α＝tanta2nα2＋α 1；
cos2α＝sin
cos 2α 2α＋cos
2α＝tan21α＋1.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．( ) (4)若 sin (kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
－α
π－α
正弦 余弦 正切
口诀
__s_in__α__ __c_o_s_α__ __ta_n__α__
__－__s_i_n_α__ __－__s_in__α__ __s_in__α__ __－__c_o_s_α__ __co_s__α__ _－___co_s__α__ __t_an__α__ __－__t_a_n_α__ _－___ta_n_α___
2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
【例3】 （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos
论正确的是（
A.
π
θ∈（ ，π）
2
C. tan
3
θ＝－
4
）
B. cos
3
θ＝－
5
D. sin θ－ cos
7
θ＝－
＋2＝
＋2＝
＋2
1
2
2
2
2
+1
si ＋
（2） +1
si2
13
＝ .
5
2
诱导公式的应用
【例4】 （1）已知α为锐角，且 cos
3π
）＝（
4
A.
1
－
2
C. －
3
2
）
1
B.
2
D.
3
2
π
1
（α＋ ）＝－ ，则
4
2
cos （α＋
π
π
3π
解析：由α为锐角得 ＜α＋ ＜ ，所以
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋ cos α， sin α cos α，
sin α－ cos α这三个式子，利用（ sin α±cos α）2＝1±2 sin α cos α，
可以知一求二.
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
5
A.
6
17
B.
18
8
C.
9
2
D.
3
高考数学第一轮复习 各个知识点攻破4-2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 新人教B版
[ 拓展提升 ] 解决本题的关键在于如何处理已知条 件，这需要一定的技巧．若由已知能得出 tanα＝ 2，则 问题就转化为已知正切值求三角函数值的题型，所求的 式子特征为分子与分母是关于 sinα、cosα 的齐次式，即 sinα、sinαcosα＋cos2α 则可以看作 ，那么 sinα、cosα 的 2 2 sin α＋cos α 次数均为二次．这类齐次式的求法，通常是将分子分母 同除以 cosα 的最高次， 将原式转化为 tanα 的表达式进行 求解．
2
又 sinA>0，cosA<0，∴ sinA－cosA>0， 7 ∴sinA－cosA＝ 5② 4 3 ∴由①，②可得 sinA＝ 5，cosA＝－5， 4 sinA 5 4 ∴tanA＝ ＝ ＝－ . 3 3 cosA －5
• [拓展提升] 对于这类利用已知α的一个三 角函数值或者几种三角函数值之间的关系 及α所在的象限，求其他三角函数值的问 题，我们可以利用平方关系和商数关系求 解．其关键在于运用方程的思想及 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转 化，分析出解决问题的突破口．
• 第二节 同角三角函数的基本 关系式与诱导公式
考纲要求
1. 掌握同角三角函数的基本关系式． 2．掌握正弦、余弦的诱导公式． 3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式 的化简、求值和恒等式证明．
以选择题或填空题的形式，考查同角三角函 数的基本关系式、诱导公式在三角函数求 值问题和三角恒等变换中的应用.
• 如：sin( ＋θ)＝cosθ.若是偶数倍，则函数名称不变， 符号看象限，若把α看作锐角，则270°－α，180°＋α 都看成是第三象限的角．值得注意的是，其中α为任意 角，并不一定要为锐角，只不过是在运用的过程中把它 “看作”是锐角而已． • 利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的 基本步骤是：
新高考数学人教B版一轮课件第四章第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件(50张)
必备知识 关键能力 限时规范训练 7
常用结论
同角三角函数的基本关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z.
必备知识 关键能力 限时规范训练 8
1－452＝35，故 B
4 正确，∴tan α＝csoins αα＝53＝43，故 A 正确，∴sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故 C 错误，∴sin
5
α－cos α＝45－35＝15≠－15，故 D 错误．故选 AB.
必备知识 关键能力 限时规范训练 14
2．(2021·广东肇庆二模)已知角 α 的顶点与坐标原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴
必备知识 关键能力 限时规范训练 9
2．(链接人 B 必修第三册 P35T6)已知 sin(π＋α)＝－12，则 tanπ2－α＝________. 解析：sin(π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12，
∴cos
α＝±
3 2
∴tanπ2－α＝csoinsπ2π2－－αα＝csoins
3 αα＝±12 ＝±
一、基础探究点——同角三角函数的基本关系式(题组练透)
1．(多选题)若 sin α＝45，且 α 为锐角，则下列选项正确的有( AB )
A．tan α＝43
B．cos α＝35
C．sin α＋cos α＝85
D．sin α－cos α＝－15
解析：选 AB ∵sin α＝45，且 α 为锐角，∴cos α＝ 1－sin2α＝
－1)＝0.
又∵cos α∈[－1,1]，∴cos α≠－2，
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【教材导读】1．同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在tan α＝sin αcos α的关系中，须保证tan α有意义，所以须使α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2 α＋cos 2 α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切tan αtan α－tan α－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) (A)－32 (B)32 (C)－12(D)12D 解析：因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.故选D.2．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )(A)12 (B)－12 (C)32(D)－32A 解析：∵f (α)＝sin αcos α(－cos α)·(－tan α)＝sin αtan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.故选A.3．若α＝11π3，则tan α·cos α等于( ) (A)12 (B)－12 (C)－32(D)32C 解析：若α＝113π，tan α·cos α＝sin αcos α·cos α＝sin α＝sin 113π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝－sin π3＝－32.故选C.4．已知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435．已知sin x cos x ＝38，且x ∈π4，π2，则cos x －sin x ＝________. 解析：因为x ∈π4，π2， 所以sin x >cos x ， 即cos x －sin x <0，所以(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，所以cos x －sin x ＝－12. 答案：－12考点一 同角三角函数的基本关系(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )(A)25 (B)－25 (C)－2(D)2解析：(1)依题意得⎩⎨⎧tan α＝sin αcosα＝2，sin 2 α＋cos 2 α＝1，由此解得cos 2 α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan α＋1＝25.答案：(1)－55(2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．【即时训练】已知角α的始终与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.答案：10考点二三角函数的诱导公式(1)化简sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)，k∈Z；(2)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α；(3)化简tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 cos(－α－π)sin(－π－α).解：(1)当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ＋π－α)·cos(2nπ－α)sin(2nπ＋2π＋α)·cos(2nπ＋π＋α)＝sin(π－α)·cos αsin α·cos(π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1；当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以原式＝sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.(2)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2 α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.(3)方法一：原式＝(－tan α)·cos[π＋(π－α)]·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αcos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝(－tan α)·[－cos (π－α)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)·sin α＝－tan α·cos α·(－cos α)－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.方法二：原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.【反思归纳】 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【即时训练】 已知sin(3π＋θ)＝13， 求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．答案：18考点三 诱导公式与同角关系的综合应用 (高频考点)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．求： (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)tan(π－θ)－1tan θ的值． 解：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0， ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin 3 θ＋cos 3 θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2 θ－sin θcos θ＋cos 2 θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.答案：(1)2－2 (2)2＋1【反思归纳】 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．【即时训练】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若sin α＋π6＝－513，且α∈π2，π，则sin α＋2π3＝________. 解析：(1)因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49， 所以sin αcos α＝－518<0，所以α为钝角．故选D. (2)因为π2<α<π，所以2π3<α＋π6<7π6， cos α＋π6＝－1－－5132＝－1213，而sin α＋2π3＝sin π2＋α＋π6＝cos α＋π6＝－1213. 答案：(1)D (2)－1213同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简： (1)cos α－π2sin 52π＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)；(2)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α).解：(1)原式＝cos π2－αsin π2＋α·sin α·cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α.(2)原式＝cos 2α－tan α－sin α＝cos 3α＋1cos α.【规律总结】 三角函数式化简目标方向 (1)用同角关系中切弦互化，统一函数名． (2)用诱导公式统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．【源题变式】已知f (x )＝sin (2π－x )·cos 32π＋xcos (3π－x )·sin 112π－x ，则f －21π4＝________.解析：因为f (x )＝sin (－x )·sin xcos (π－x )·sin6π－π2＋x＝sin 2xcos x －sin π2＋x ＝sin 2x －cos 2x ＝－tan 2x . 所以f －214π＝－tan 2－214π＝－tan 2－5π－π4＝－tan 2－π4＝－1.答案：－1课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )(A)210 (B)－210 (C)7210(D)－7210A 解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，即tan α＝43，得sin α＝－45，cos α＝－35∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210.故选A.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) (A)－25(B)－15(C)15 (D)25答案：C3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝( )(A)45 (B)35 (C)－45(D)－35 D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－35，故选D.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )(A)916 (B)－916 (C)－34 (D)34答案：B5．已知α是第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α的值为( ) (A)－2 (B)2 (C)0(D)3C 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α|cos α|＋sin α|sin α|，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴cos α|cos α|＋sin α|sin α|＝－1＋1＝0.故选C.6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) (A)π3 (B)π4 (C)π2(D)2π3C 解析：因为3sin π2－A ＝3sin(π－A )， 所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33， 又0<A <π，所以A ＝π6.又因为cos A ＝－3cos(π－B )， 即cos A ＝3cos B ， 所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π， 所以B ＝π3.所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 7．设f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝________. 解析：方法一：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .方法二：f (sin x )＝3－(1－2sin 2 x )＝2＋2sin 2 x ， ∴f (x )＝2＋2x 2，∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋2cos 2x －1＝3＋cos 2x . 答案：3＋cos 2x8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α(n ∈Z )的结果为________． 解析：n 为偶数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. n 为奇数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. 答案：09．已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________.解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23.答案：－2310．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan (α＋5π)tan (－α－π)·sin (α－3π)(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·(－sin α)＝－cos α；(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－25 6.∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．已知2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α＝75，求tan α的值．解：由题意得2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝75， 所以2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝75， 所以10tan 2α＋5tan α－15＝7tan 2α＋7，所以3tan 2α＋5tan α－22＝0，所以(3tan α＋11)(tan α－2)＝0，所以tan α＝－113或tan α＝2.能力提升练(时间：15分钟)12．设f (x )＝⎩⎨⎧ s in πx ， (x ＜0)，f (x －1)＋1， (x ≥0)和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cosπx ，(x ＜12)，g (x －1)＋1，(x ≥12)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的值为( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)5 B 解析：∵g (14)＝22，g (56)＝cos(－16π)＋1＝32＋1，f (13)＝sin(－23π)＋1＝－32＋1，f (34)＝sin(－π4)＋1＝－22＋1，∴原式＝3.故选B.13．已知sin θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则sin(π－θ)·sin(32π－θ)的值为( )(A)229(B)－229 (C)19(D)－19B 解析：∵θ∈(－π2，π2)，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223， ∴sin(π－θ)sin(3π2－θ)＝－sin θcos θ＝－13×223 ＝－229.故选B.14．在△ABC 中，已知2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，则A ＝________. 解析：由2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，得2cos 2A －3cos(π－A )＝2，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，则在△ABC 中，A ＝π3.答案：π315．在三角形ABC 中，求cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2的值． 解：在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2， 所以cos A ＋B 2＝cos π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. 16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12 ①sin θcos θ＝m 2 ②而sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.∴sin θcos θ＝34.由②得m 2＝34，∴m ＝32. (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝32sin θ＝12. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.。
2025数学大一轮复习讲义人教版 第四章 同角三角函数基本关系式及诱导公式
(2)(2023·全国乙卷)若 θ∈0，π2，tan θ＝12，则 sin θ－cos θ＝
－
5 5
.
因为 θ∈0，π2，则 sin θ>0，cos θ>0， 又因为 tan θ＝csoins θθ＝12，则 cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
自主诊断
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是
A.sin(－x)＝sin x
B.sin32π－x＝cos x
√C.cosπ2＋x＝－sin x
√D.cos(x－π)＝－cos x
自主诊断
sin(－x)＝－sin x，故A不成立； sin32π－x＝－cos x，故 B 不成立； cosπ2＋x＝－sin x，故 C 成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立.
第四章
§4.2 同角三角函数基 本关系式及诱导公式
课标要求
1.理解同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1，csoins αα＝ tan αα≠π2＋kπ，k∈Z. 2.掌握诱导公式，并会简单应用.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
余弦 _s_in__α_ _－__si_n__α_ sin α －sin α
正切
口诀
奇变偶不 变，符号 看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z.
同角三角函数基本关系式及诱导公式-2025年高考数学大一轮复习
5
2
4
π
π
－ ＜2 k π－ ， k ∈Z，所以
4
4
π
sin（− 4 ）
π
cos（− 4 ）
4
3
＝－ .
sin
π
(θ－ )＝－
4
1
3
4
π
2
− （ ） ＝－ ，所以tan(θ－ )＝
5
5
4
π
4
3
5
π
4
解法二
因为θ是第四象限角，且 sin (θ＋ )＝ ，所以θ＋ 为第一象限角，
所以 cos
π
4
sin[（2n＋2）π＋θ]·cos [（2n＋2）π－θ]
sin θ·cos θ
原式＝
＝
＝－1.
sin[（2n＋1）π－θ]·cos[（2n＋1）π＋θ] sin θ·（－cos θ）
综上，原式的值为－1.
易错点5
不能确定角之间的特殊关系导致诱导公式应用失误
2
π
2
2π －
3
1．已知 cos －α ＝ ，则 sin(α－ )＝________.
命题点2
诱导公式的应用
应用诱导公式的一般思路
(1)化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；
(2)统一角，统一名；
π
2
π
2
(3)角中含有 的整数倍时，用公式去掉 的整数倍.
1
π
π
例2 (1)[全国卷Ⅲ]函数 f ( x )＝ sin ( x ＋ )＋ cos ( x － )的最大值为( A
5
3
6
A．sin 2＋cos 2
B．sin 2－cos 2
2024届新高考一轮复习人教B版第四章 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 课件(33张)
2
=- .
sin α+sin αcos α+2=
答案:-
+
+
+2=
+
+
+2=
( ) +
( ) +
+2= .
.
(1)分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,往往转化为关于tan α
的式子求解.
(2)关于sin α,cos α的二次齐次式,要用到“1”代换,即1=sin2α+cos2α.
“sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系
[例 3] (1)已知 sin αcos α= ,且 <α< ,则 cos α-sin α的值为(
A.
B.±
C.-
即可,但要注意α的取值范围,即三角函数值的
sin α,cos α的齐次式问题
-
+
[例 2] 已知 tan α= ,则
2
=
,sin α+sin αcos α+2=
解析:已知 tan α= ,
- -
所以
=
+ +
同角三角函数基本关系的应用
“知一求二”问题
[例 1] 已知 cos α=- ,则 13sin α+5tan α=
.
解析:因为 cos α=- <0 且 cos α≠-1,