《数学实验》课程综合实验
许卫民《数学实验》课程教学大纲
教学目的
使学生熟练掌握数学工具软件在高等数学各个领域中的运用，并能运用实验的手段对
高等数学教材中某些结论进行实验性验证。
主要内容
1.数列与函数的数值计算与图形刻画;
2.微分与积分运算，常微分方程求解；
3.二维图形和三维图形的显函数生成法、隐函数生成法、参数方程生成法，以及动态图形的生成；
在学习本课程过程中，学生应注意培养自己的计算机运用能力，掌握数学工具软件Mathematica的基本运用，能对实际问题建立简单的数学模型并运用计算机解决问题。
（四）主要内容
介绍数学工具软件Mathematica的基本操作，以及该软件在微积分、线性代数、概率统计、常微分方程、解析几何等领域中的运用，并针对一些综合数学问题设计模型进行实验。
A．熟练掌握Mathematica运用，实验报告完整，实验方法正确，思路清晰，结论正确，有独到的见解，版面设计合理美观；
B．较熟练掌握Mathematica运用，实验报告完整，结构比较合理，结论正确；
C．基本掌握Mathematica运用，实验报告结构比较完整，有正确的计算结果；
D．基本掌握Mathematica运用，实验报告有正确的计算结果，但实验态度一般；
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号：23120034C
课程名称：数学实验
课程类别：综合选修
教材名称：数学实验
制订人：许卫民
审核：杨和平
2005年4月18日制订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：公共选修课
2．适应专业：数学与应用数学专业、其他理科专业
2.命题说明
在整个学习过程，要求学生提交3~4次实验报告，期末考查以课堂测试与综合性实验报告相结合.提出若干综合问题或由学生自己提出问题，针对问题建立简单数学模型，编程实验，解决问题，并提交实验报告。评分依据数学模型的合理性，编程的质量，计算的准确性，实验报告的规范性等。
《数学实验》课程简介
《数学实验》课程简介课程名称：数学实验学时：32学分：2内容简介本课程是为经济管理学院各专业二年级学生设置的专业选修课程．数学实验课程内容涵盖了数学建模所涉及的常用方法和内容，主要围绕软件使用、数据的统计描述和分析、数值计算、最优化方法、统计分析、神经网络、灰色系统理论、模糊数学模型，几种现代算法和数学建模论文及数学建模竞赛等内容展开，模型求解利用MATLAB、L1NDO/LINGO、SPSS等软件实现，实用性较强，上述3种软件使用方便，各具特色，L1NDO/LINGO软件在解决规划和优化类问题比较简单，SPSS软件解决统计类问题功能丰富，操作方便；MATLAB软件是一种“全能”型软件，可以解决碰到的几乎所有的数学、工程、经济学等各领域的模型计算求解问题，它具有功能强大的库函数可供调用，这就大大简化了编程的巨大工作了，同时也降低了学生学习该门课程的难度．课程通过“方法—软件使用—软件结果的实际含义—实验案例”这种有效的模式，把各部分内容有机地组织起来，力求有效地引导学生充分感受、领悟和掌握“数学实验”的内涵．本课程教学以实际问题为载体，把数学知识、数学建模、数学软件和计算机应用有机的结合，强调学生的主体地位，在老师的引导下，学习查阅文献资料、分析问题、运用学到的数学知识和计算机技术，借助适当的软件分析、解决一些实际问题，并撰写论文或实验报告．本课程在解决问题的过程中适当引入相关的理论知识，使学生能够将学到的知识直接转化为解决问题的手段，有利于激发学生学习的积极性．本课程在教学中在教学中注重加强学生建模方法的训练、建模思维的培养，使学生在思维能力和创造性方面受到启迪，同时课程强调数学工具软件的应用，培养学生运用数学知识建立实际问题模型，解决实际问题的能力，对于开展创新教育与素质教育起着重要作用．主要参考书目：姜启源：《数学模型》，高等教育出版社，2011年版姜启源：《数学模型习题参考解答》，高等教育出版社，2011年版赵静，但琦：《数学建模及数学实验》，高等教育出版社(第三版)，2008年版米尔斯切特：《数学建模方法与分析》刘来福译，机械工业出版社，2009年版杨启帆：《数学建模》，浙江大学出版社，2006年版曹旭东,李有文,张洪斌：《数学建模原理与方法》，高等教育出版社，2014年版余胜威：《MATLAB数学建模经典案例实战》，清华大学出版社，2015年版汪天飞：《数学建模与数学实验》，科学出版社，2013年版韩中庚：《数学建模竞赛--获奖论文精选与点评》，科学出版社，2013年版谢金星，薛毅：《优化建模LINDO/LINGO软件》，清华大学出版社，2005年版卓金武：《MATLAB在数学建模中的应用》，北京航空航天大学出版社，2011年版李尚志：《数学实验（第２版）》，高等教育出版社，2015年版傅鹂：《数学实验（第二版）》，科学出版社，2000年版Course Name:Mathematics Experimen Hours:32Credits:2 Course Description:Mathematical Modeling is designed to serve students majoring in Economic Science.Mathematics experiment is a scientific research approach ranging from the classical deductive method and the classical experiment is neither the mathematical application of the usual experiments nor experimental transplant in mathematics research.It is a unique mathematics learning and mathematics research method forming with the development of human thinking mathematical theory and computer and other modern scientific and technology.Mathematics experiment doesn't take mathematics as a transcendental logical system, but an"experimental science".It starting from issues,with the help of computer software and mathematical models,is the process for the students to solve the problems through their personal design and hands-on experience from the experiment in order to learn explore and discover mathematical laws,which is a basic mathematical idea and method of mathematic experiment.。
《数学实验》曲线绘制实验报告
课程名称数学实验成绩评定实验项目名称曲线绘制【实验目的】1．了解曲线的几种表示方式。
2．学习、掌握MA TLAB软件有关的命令。
【实验内容】绘制下列四种曲线：1．以直角坐标方程y=sin x,y=cos x表示的正、余弦曲线。
2．以参数方程x=cos t,y=sin t,t∈[0,2π]表示的平面曲线（单位圆）。
3．以参数方程x=e−0.2t cosπ2t,y=π2e−0.2t sin t,z=t,t∈[0,20]表示的空间曲线。
4．作出摆线的图形。
5.做出以参数方程x=e−0.25t cosπ2t,y=e−0.25t sinπ2t,z=t,t∈[0,30]表示的空间曲线。
6．以极坐标方程r=a(1+cosϕ),a=1,ϕ∈[0,2π]表示的心脏线。
7．绘制极坐标系下曲线 ρ=acos (b+nθ)的图形，讨论参数a、b和n对其图形的影响。
8．（曲线族绘制）三次抛物线的方程为y=ax3+cx，讨论参数a和c对其图形的影响。
【实验方法与步骤】练习1做出函数y=sin x,y=cos x的图形，并观察它们的周期性。
MATLAB代码及结果如下：>> x=0:0.01*pi:4*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,'b',x,y2,'r');legend('y=sin(x)','y=cos(x)','location','best');axis([0 4*pi -1 1])绘制结果如下图：y=sin x,y=cos x的图形如上图，两个函数的周期皆为2π练习2设y=√32e−4t sin(4√3t+π3)，要求以0.01秒为间隔，求出y的151个点，绘出y及其导数的图形。
MATLAB代码及结果如下：dt=0.01;t=0:0.01:1.5;w=4*sqrt(3); %设定频率y=sqrt(3)/2*exp(-4*t).*sin(w*t+pi/3);Dy=diff(y)/dt; %求导for i =1:length(t)-1t1(i)=t(i);endsubplot(2,1,1);plot(t,y);xlabel('时间t');ylabel('y(t)');gridsubplot(2,1,2);plot(t1,Dy);xlabel('时间t');ylabel('Dy(t)'' ');grid绘制结果如下图：练习3做出以参数方程x=cos t,y=sin t,t∈[0,2π]表示的平面曲线（单位圆）。
数学实验简介
MATLAB 以矩阵作为数据操作的基本单位，但无需预先 指定矩阵维数（动态定维）
提供十分丰富的数值计算函数，方便计算，提高效率
MATLAB 命令与数学中的符号、公式非常接近，可读性 强，容易掌握
MATLAB 的特点与功能
MATLAB 符号计算功能
5. 《数学实验》与《数学建模》课程的区别. 数学建模是让学生学会利用数学知识
和计算机手段来解决实际问题,而数学实验 在教会学生利用数学知识和计算机手段来 解决实际问题的同时,还可在计算机的帮助 下对数学知识有一个更深入的了解.
课程的成绩评定： 平时成绩20%（作业和考勤）； 实验成绩40%，包括三次实验报告（个人完 成）和一次软件测试； 期末考试40%，以开卷自带电脑的形式完成.
…….. 2014年， MATLAB R2014
三、 MATLAB2012b的安装、启动、特点
MATLAB 的安装
购买（下载）MATLAB 软件 需要有虚拟光驱，点击安装程序 setup.exe
MATLAB 的特点与功能
MATLAB 是一个交互式软件系统
输入一条命令，立即就可以得出该命令的结果
（3）综合实验：用计算机、工具软件及数学知识 和方法求解数学和其它学科领域的实际问题（简单 介绍）
2. 学习的工具,也就是学习的数学软件是 MATLAB.利用这个数学软件解决数学问题, 并进一部了解数学知识在其它学科的应用.
3. 学习方法:课堂讲解和上机练习.两者的时 间比例是2:1.
4. 《数学实验》课程的基础:《数学分析》, 《高等代数》,《概率论与数理统计》等基 础数学课程,计算机的基本知识以及C语言 的基础知识.
2、MATLAB是由两个英文单词Matrix和Laboratory的前三 个字母组成, 它是以线形代数软件包LINPACK和特征值软件 包EISPACK中的子程序为基础发展起来的一种开放型程序设 计语言.
《数学实验》课程建设的认识与实践
《数学实验》课程建设的认识与实践1. 数学实验课程的定位与结构数学实验课程是一门以实验为基础，以数学知识为主线，以探究为方式，以实践为主要内容的课程。
它的定位是培养学生的实践能力，激发学生的创新精神，培养学生的科学思维，提高学生的科学素养。
数学实验课程的结构包括实验前的准备、实验过程、实验后的检验和总结等内容。
实验前的准备包括实验题目的确定、实验材料的准备、实验方法的确定等；实验过程包括实验步骤的操作、实验数据的记录、实验结果的分析等；实验后的检验和总结包括实验结果的检验、实验结论的推导、实验体会的总结等。
2. 数学实验课程的内容设计数学实验课程的内容设计应涵盖实验方法、实验原理、实验设计、实验结果分析、实验数据处理等内容，以帮助学生掌握实验技能。
实验方法应包括实验材料的准备、实验环境的搭建、实验步骤的安排等，以及实验的实施、实验结果的观察、实验数据的记录等。
实验原理应涵盖实验的基本原理、实验的基本操作、实验的基本要点等，以及实验的基本结果、实验的基本分析等。
实验设计应涵盖实验的目的、实验的步骤、实验的条件等，以及实验的变量、实验的控制等。
实验结果分析应涵盖实验结果的描述、实验结果的评价等，以及实验结果的比较、实验结果的讨论等。
实验数据处理应涵盖实验数据的收集、实验数据的统计等，以及实验数据的分析、实验数据的可视化等。
数学实验课程的教学方法应该结合实际情况，采取多种多样的教学方法，使学生能够有效地掌握数学知识，提高数学实验能力。
一是采用案例教学方法，以实际问题为例，让学生通过实验探究，把握数学原理，提高实验能力。
二是采用讨论教学方法，让学生在讨论中探究问题，加深理解，增强实验能力。
三是采用游戏教学方法，让学生在游戏中探究问题，把握数学原理，增强实验能力。
四是采用实验教学方法，让学生在实验中探究问题，把握数学原理，提高实验能力。
五是采用网络教学方法，让学生在网络中探究问题，加深理解，增强实验能力。
《数学实验》课程简介
数学实验》 《数学实验》课程
课程的性质、 课程的性质、目的 数学实验是最近几年出现的新课程， 数学实验是最近几年出现的新课程，其目的是锻 炼动手能力，培养应用数学知识解决实际问题的意识 炼动手能力， 和能力。 和能力。 本课程通过介绍数学软件(MATLAB) (MATLAB)， 本课程通过介绍数学软件 (MATLAB) ， 运用数学课 程所学习的一些知识与方法， 程所学习的一些知识与方法，对一些简单的实际问题 进行数学建模、解题方法的设计与上机实践。 进行数学建模、解题方法的设计与上机实践。 课程包括讲课、 课程包括讲课 、 讨论和使用计算机进行实验等环 节。
变量及数组输入
1：向量方式输入 ： x=[1,2,3,4,5] %以向量（数组）方式给 赋值 以向量（ 以向量 数组）方式给x赋值 x(3)=3 x(5)=5 x1=[1 12 –3 4 sqrt(5)]; z=sqrt(x) %每个元素开方 每个元素开方
变量及数组输入
2：矩阵方式输入 ： a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0] %矩阵输入 （a为3阶方阵） 阶方阵） 矩阵输入 为 阶方阵 b=[366;804;351] %列矩阵输入 列矩阵输入 det(a) %方阵行列式 方阵行列式 inv(a) %方阵的逆 方阵的逆 x=a\b %ax=b方程组的解 方程组的解 y=inv(a)*b %与x相同 与 相同 disp([a,b,x]) %显示矩阵 显示矩阵
数学实验》 《数学实验》课程
教学的要求： 1、理论课认真听讲，在操作讲解过程中注意可能 出项问题的细节及讲解。 2、上机课之前熟悉上机的相关理论知识，在上机 过程中遇到问题应结合理论课的讲解自己主动分 析解决问题。通过思考、提问、同学交流提高自 己的动手能力
数学实验》 《数学实验》课程
数学实验综合实验报告
一、实验目的：1、初步认识迭代，体会迭代思想的重要性。
2、通过在mathematica 环境下编写程序，利用迭代的方法求解方程的根、线性方程组的解、非线性方程组的解。
3、了解分形的的基本特性及利用mathematica 编程生成分形图形的基本方法， 在欣赏由mathematica 生成的美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。
从哲理的高度理解这门学科诞生的必然性，激发读者探寻科学真理的兴趣。
4、从一个简单的二次函数的迭代出发，利用mathematica 认识混沌现象及其所 蕴涵的规律。
5、.进一步熟悉Mathematic 软件的使用，复习总结Mathematic 在数学作图中的应用，为便于研究数学图像问题提供方便，使我们从一个新的视角去理解数学问题以及问题的实际意义。
6、在学习和运用迭代法求解过程中，体会各种迭代方法在解决问题的收敛速度上的异同点。
二、实验的环境：学校机房，mathematica4环境三、实验的基本理论和方法：1、迭代（一）—方程求解函数的迭代法思想：给定实数域上光滑的实值函数)(x f 以及初值0x 定义数列1()n n x f x +=， ,3,2,1,0=n ， (1)n x ， ,3,2,1,0=n ，称为)(x f 的一个迭代序列。
（1）方程求根给定迭代函数)(x f 以及初值0x 利用（1）迭代得到数列n x ， ,3,2,1,0=n .如果数列收敛到某个*x ，则有)(**x f x =. (2)即*x 是方程)(x f x =的解。
由此启发我们用如下的方法求方程0)(=x g 的近似解。
将方程0)(=x g 改写为等价的方程)(x f x =， (3) 然后选取一初值利用（1）做迭代。
迭代数列n x 收敛的极限就是方程0)(=x g 的解。
为了使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程0)(=x g 的某一解的条件是迭代函数)(x f 在解的附近的导数将的绝对值尽量小，因此迭代方程修订成x x f x h x )1()()(λλ-+== (4) 选取λ使得|)(|x h '在解的附近尽量小. 为此, 我们可以令,01)()(=-+'='λλx f x h得)(11x f '-=λ. 于是 1)()()(-'--=x f x x f x x h . 特别地,如果取x x g x f +=)()(, 则可得到迭代公式 .,1,0,)()(1 ='-=+n x g x g x x n n n n (5) （2）线性方程组的数值解的迭代求解理论与矩阵理论给定一个n 元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++,,1111111n n nn n n n b x a x a b x a x a (6)或写成矩阵的形式,b Ax = (7) 其中)(ij a A =是n 阶方阵,T n x x x x ),,(21 =及T n b b b b ),,,(21 =均为n 维列向量.熟知，当矩阵A 的行列式非零时，以上的方程组有唯一解.如何有效，快速地寻求大型的线性方程组的数值解释科学工程计算中非常重要的任务.而迭代法常常是求解这些问题的有效方法之一。
数学实验教学大纲
《数学实验》教学大纲课程名称：数学实验课程编号：09030007课程类别：专业基础必修课学时/学分：48/1.5开设学期：第4学期开设单位：数学与统计学院适用专业：数学与应用数学说明一、课程性质1．课程性质专业必修课2．课程说明数学实验是一门“实验科学”, 从理论或实际问题出发, 借助计算机, 通过学生亲自设计和动手, 体验解决问题的过程, 从实验中去学习、探索和发现数学规律. 一般来说, 数学实验课可以作为数学建模课的预备课程, 使学生可以更快地掌握数学建模的基本方法和技巧.学习本课程需要首先选修《数学软件计算机程序设计》选修课并了解简单的计算机应用知识, 还需要了解《数学分析》、《解析几何》、《高等代数》和《常微分方程》等课程的有关知识, 因此, 适宜于为本专业二年级以上学生开设.二、教学目标1. 能够熟练运用数学软件检验已学过的数学知识, 掌握运用数学软件作出图形的方法, 为所学知识提供直观模型, 从而加深对已有知识的理解；2. 能够利用数学软件编制计算机程序, 以解决实际问题, 为《数学建模》课程的学习打下基础；3. 在结合数学基础课的教学内容基础上, 进一步突出培养学生解决实际问题的能力；4. 学生在教师指导下完成一定难度的实际模型.三、学时分配表四、实验方法与要求建议在专业实验室进行实验教学，学生在课前应先预习实验内容.实验先由教师讲1个课时, 教师主要是提出问题, 适当介绍问题的背景, 介绍主要的实验原理和方法. 然后安排2个课时学生上机, 教师辅导, 要让学生自己动手去做, 去观察, 通过观察得出结论. 教师不宜花时间去作理论推导, 最好也不要预先告诉学生实验的结果, 实验结果让学生自己去观察得出.课后应独立完成作业, 以加深对教学内容的理解. 部分学生反应作业任务比较繁重, 主要的困难在于学生的计算机水平不够, 因此完成作业要花很多时间, 而实验所涉及到的数学知识难度并不大. 数学实验课几乎是逼迫学生重新拣起或现学现用计算机知识, 因此可酌情减少学生自主实验个数.成绩由实验报告及考试两部分组成, 考试采用上机实验和闭卷考试相结合的方式进行.五、考核方式及要求1. 考核方式：考试及实验报告.实验报告是实验成绩的重要依据.实验报告的评分的最基本标准是要自己动手, 要写上自己观察到的现象并进行分析. 实话实说, 不能造假, 哪怕观察到的现象与预计不一致, 或者与理论推导的结果不一致, 也不能在实验报告中说假话, 而应当分析其原因, 找出改进的办法, 重做实验, 重新得出结论. 对实验报告的更高的标准是创造性. 对于有创造性的报告, 要给以高分作为鼓励. 教师批改了实验报告之后, 要在下一次实验开始时, 对以前的实验中出现的优点和缺点进行评讲, 包括让学生参加讨论和演示.期末考试是实验成绩的主要依据, 采用全机试或机试加笔试的方式进行.2. 成绩评定：计分制：百分制.成绩构成：总成绩=平时考核(20%)+实验考核(30%)+期末考核(50%)本文实验一Matlab概述一、实验性质：实验类别：专业基础必修实验类型：验证型计划学时：12实验分组：3-4人为一组二、实验目的：1．Matlab软件简介；2．学习Matlab软件的基本命令；3．学习Matlab程序设计.三、实验的基本内容和要求：1．Matlab简介；2．Matlab的基本命令与基本函数；3．基本赋值与运算；4．Matlab程序设计.四、实验仪器设备及材料：五、实验操作要点：1．Matlab 的基本命令与基本函数； 2．Matlab 程序设计思想. 六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. Matlab 的基本命令是基础, 对基本常用命令必须要了解用法与用途；2. Matlab 程序设计是难点, 要求学生掌握编程的基本思想, 能完成简单程序即可, 要求不可过高, 在以后的教学中让学生逐步体会、加深理解；实验二 函数图形绘图一、实验性质： 实验类别：专业基础必修 实验类型：验证型 计划学时：3实验分组：3-4人为一组 二、实验目的：1．了解曲线的几种表示方法及作图, 空间曲线, 曲面作图； 2．学习、掌握MATLAB 软件有关命令. 三、实验的基本内容和要求：1. 以直角坐标方程sin ,cos y x y x ==表示的正、余弦曲线.2. 以参数方程cos ,sin ,[0,2]x t y t t π==∈表示的平面曲线(单位圆).3. 以参数方程0.20.2cos,sin ,,[0,20]22t t x e t y e t z t t ππ--===表示的空间曲线.4. 以极坐标方程(1cos ),1,[0,2]r a a ϕϕπ=+=∈表示的心脏线.5. 做出双曲抛物面：2244x y z =-的图形. 四、实验仪器设备及材料：五、实验操作要点： 1．一维函数的绘制, 2．各种曲线的实现方法, 3. 空间曲线、曲面作图. 六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. Matlab 函数图形绘制是Matlab 的基本功能之一, 要求掌握plot, mesh, surf, plot3等基本绘图命令；2. 教师讲解基本原理后, 安排学生自主上机验证.实验三 数列极限与生长模型一、实验性质： 实验类别：专业基础必修 实验类型：设计型 计划学时：3实验分组：3-4人为一组 二、实验目的：1. 了解函数极限的基本概念；2. 学习、掌握MATLAB 软件有关求函数极限的命令；3. 学会利用极限理论建立数学模型解决实际问题. 三、实验的基本内容和要求：1. 判断极限0011limcos ,limsin x x x x →→的存在性.2. 验证极限0sin lim1x xx→=. 3. 验证极限11lim(1)lim(1) 2.71828n x n x e n x →∞→∞+=+==.4. 求下列各极限.（1）nn n )11(lim -∞→；（2）)122(lim n n n n ++-+∞→；（3）xx x 2cot lim 0→；（4）xx x m)(cos lim ∞→； （5）x x x 11lim3-+→.5. 生物种群的数量增长模型. 四、实验仪器设备及材料： 计算机及Matlab 软件 五、实验操作要点： 利用Matlab 计算极限 六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 掌握limit 求极限命令；2. 教师讲解基本原理后, 安排学生上机绘图验证.3. 初步接触数学模型, 了解数学建模.实验四 导数与飞机安全降落问题一、实验性质： 实验类别：专业基础必修 实验类型：设计型 计划学时：3实验分组：3-4人为一组 二、实验目的：1. 了解函数导数的基本概念；2. 学习、掌握MATLAB 软件有关求函数导数的命令；3. 学会利用导数理论建立数学模型解决实际问题. 三、实验的基本内容和要求：1. 导数是函数的变化率, 几何意义是曲线在一点处的切线斜率.2. 导数的几何意义是曲线的切线斜率.3. 求一元函数的导数.(1) 的一阶导数.(2) 参数方程所确定的函数的导数.设参数方程()()x x ty y t=⎧⎨=⎩确定函数, 则的导数()()dy y tdx x t'='4. 求多元函数的偏导数.5. 求高阶导数或高阶偏导数.6. 求隐函数所确定函数的导数或偏导数7. 飞机安全降落问题四、实验仪器设备及材料：计算机及Matlab软件五、实验操作要点：利用Matlab求函数的导数.六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 掌握diff求导数命令；2. 进一步接触数学模型, 了解数学建模. 课教师讲解原理后学生验证, 也可安排学生自己建立模型求解. 对于后者, 要求不必过高, 主要是让学生了解建模过程, 体会建模困难.实验五方程近似解的求法一、实验性质：实验类别：专业基础必修实验类型：设计型计划学时：3实验分组：3-4人为一组二、实验目的：1. 掌握求方程近似解的二分法、牛顿迭代法以及弦截法的算法原理, 会用MATLAB语言编程实现二分法.2. 学会使用Matlab中内部函数fzero()、fsolve()、roots()求解方程或方程组.三、实验的基本内容和要求：1. 二分法的原理及算法.2. 牛顿迭代法的原理及算法.3. 弦截法的原理及算法.4. 方程求解的Matlab命令四、实验仪器设备及材料：计算机及Matlab软件五、实验操作要点：1．编出用二分法求方程近似解的程序并验证.2．编出用牛顿迭代法求方程近似解的程序并验证.3．编出用弦截法求方程近似解的程序并验证.4．用Matlab函数fzero()、fsolve()、roots()求解方程或方程组.六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 掌握fzero()、fsolve()、roots()等命令；2. 教师讲解基本原理后, 安排学生上机验证.3. 由于没有学习数值分析课程, 要求不能过高, 主要是体会迭代法的基本思想, 要求学生能理解基本思想, 简单编程即可.实验六定积分的近似计算一、实验性质：实验类别：专业基础必修实验类型：设计型计划学时：3实验分组：3-4人为一组二、实验目的：1．了解定积分计算的梯形法与抛物线法；2．会用Matlab语言编写求定积分近似值的程序；3．学会使用Matlab中的命令求定积分.三、实验的基本内容和要求：1. 梯形法的原理及算法.2. 抛物线法的原理及算法.3. 计算数值积分的Matlab命令.四、实验仪器设备及材料：计算机及Matlab软件五、实验操作要点：1. 编出用梯形法计算定积分的程序并验证.2. 编出用抛物线法法计算定积分的程序并验证.3. 用Matlab函数quad()、int(f) 计算数值积分.六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 掌握quad()、int()等命令；2. 教师讲解基本原理后, 安排学生上机验证. 主要是体会定积分基本思想：分割、近似、求和、取极限.实验七多元函数的极值问题一、实验性质：实验类别：专业基础必修实验类型：验证型计划学时：3实验分组：3-4人为一组二、实验目的：1．多元函数极值的求法；2．多元函数条件极值的求法；3．MATLAB软件有关的命令.三、实验的基本内容和要求：1. 多元函数极值的计算.2. 二元函数在区域D内的最大值和最小值的计算.3. 函数条件极值的求解.4. 用Matlab命令计算函数极值.MATLAB中主要用diff求函数的偏导数, 用jacobian求Jacobian矩阵. diff(f, x, n)求函数f关于自变量x的n阶导数. jacobian(f, x)求向量函数f关于自变量x(x 也为向量)的jacobian矩阵.使用Matlab命令fmin()、fmins()以及lp()来解决一些约束优化问题（线性规划问题）.四、实验仪器设备及材料：计算机及Matlab软件五、实验操作要点：多元函数极值的计算六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 掌握jacobian(f, x)、fmin()、fmins()和lp()等命令；2. 教师讲解基本原理后, 安排学生上机验证.实验八重积分计算及照明问题一、实验性质：实验类别：专业基础必修实验类型：设计型计划学时：3实验分组：3-4人为一组二、实验目的：1．掌握用Matlab的有关函数计算重积分的方法；2．学会利用Matlab画图分析三重积分区域及投影区域；3．掌握用Matlab的有关函数计算曲线曲面积分的方法.三、实验的基本内容和要求：1. 二重积分的计算.2. 三重积分的计算.3. 重积分的实际应用举例---照明问题.四、实验仪器设备及材料：计算机及Matlab软件五、实验操作要点：二重积分、三重积分的计算六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 掌握有关计算二重、三重积分的命令；2. 教师讲解基本原理后, 安排学生上机验证.3. 进一步了解用数学解决实际问题的过程——数学建模, 要求较前面要有一定的提高, 可考虑安排学生完成.实验九无穷级数与函数逼近一、实验性质：实验类别：专业基础必修实验类型：验证型计划学时：3实验分组：3-4人为一组二、实验目的：1．学会使用Matlab关于级数求和以及函数展开成幂级数的命令和方法；2．研究幂级数的部分和对函数的逼近以及进行函数值的近似计算；3．展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况.三、实验的基本内容和要求：1．级数部分和与级数的和的计算.2．函数的幂级数展开.3．幂级数求和.4．傅里叶级数对周期函数的逼近四、实验仪器设备及材料：计算机及Matlab软件五、实验操作要点：级数部分和的计算, 无穷级数和的计算, 展开成级数.六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 学会使用Matlab关于级数求和以及函数展开成幂级数的命令和方法；2. 教师讲解基本原理后, 学生上机验证幂级数的部分和对函数的逼近程度.实验十人造卫星的运行轨道一、实验性质：实验类别：专业基础必修实验类型：设计型计划学时：3实验分组：3-4人为一组二、实验目的：1．会使用Matlab求一阶常微分方程的解析解和数值解；2．会使用Matlab求简单的常微分方程和高阶常微分方程的解析解和数值解；3．会用常微分方程（组）解决实际问题.三、实验的基本内容和要求：1. 常微分方程的解析解；2. 微分方程的数值解法；3. 解微分方程的MATLAB命令；MATLAB中主要用dsolve求符号解析解, ode45, ode23, ode15s求数值解.Matlab求解微分方程命令dsolve, 调用格式为：dsolve(‘微分方程’)给出微分方程的解析解, 表示为t的函数.dsolve(‘微分方程’, ‘初始条件’)给出微分方程初值问题的解, 表示为t的函数.dsolve(‘微分方程’, ‘变量x’)给出微分方程的解析解, 表示为x的函数.dsolve(‘微分方程’, ‘初始条件’, ‘变量x’)给出微分方程初值问题的解, 表示为x的函数.4．数学模型---人造卫星的轨道方程.四、实验仪器设备及材料：计算机及Matlab软件五、实验操作要点：求解常微分方程（组）的解析解和数值解.六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 了解微分方程的数值解法的基本思想, 掌握求解微分方程解析解和数值解的基本命令；2. 这是一个综合性的实验, 旨在综合运用所学知识, 可安排给学生独立完成, 初步检测一学期的学习效果.实验十一线性代数的基本运算一、实验性质：实验类别：专业基础必修实验类型：验证型计划学时：3实验分组：3-4人为一组二、实验目的：1．用MATLAB求矩阵的转置、加、减、乘、逆等基本运算.2．用MATLAB求行列式.3．用MATLAB求线性方程组的解, 矩阵的特征值及特征向量.三、实验的基本内容和要求：1. 矩阵的转置、加、减、乘、逆等基本运算及MATLAB软件的有关命令；2. 学习行列式的基本概念, 克莱姆法则及MATLAB软件的有关命令；3. 用MATLAB求线性方程组的解, 矩阵的特征值及特征向量；4. 会解决一些简单的实际问题.四、实验仪器设备及材料：计算机及Matlab软件五、实验操作要点：矩阵的基本运算, 行列式, 求线性方程组的解, 矩阵的特征值及特征向量.六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 了解线性方程组的解, 掌握求解线性方程的解得Matlab 基本命令；2. 结合前面的迭代法, 系统验证求解线性方程组的解法, 以及特征值与特征向量在其中的作用.实验十二综合实验一、实验性质：实验类别：专业基础必修实验类型：综合型计划学时：6实验分组：3-4人为一组二、实验目的：1．加深对极限、微分、积分等基本概念的理解；2．讨论微分学中的实际应用问题；3．掌握MATLAB软件中有关极限、级数、导数等命令；4．特殊矩阵的输入、矩阵基本分析、矩阵的基本变换；5．了解线性规划问题, 掌握MATLAB求解线性规划的命令.三、实验的基本内容和要求：1. MATLAB综合应用一：微积分问题的计算机求解---连续计息问题.2. MATLAB综合应用二：线性代数问题的计算机求解.3. MATLAB综合应用三：代数方程与最优化问题的计算机求解---最佳广告编排方案.四、实验仪器设备及材料：计算机及Matlab软件五、实验操作要点：微积分问题的计算机求解, 线性代数问题的计算机求解, 代数方程与最优化问题的计算机求解.六、实验教学建议：学生在课前应先预习, 实验时经老师讲解后在老师的指导下完成实验, 课后应独立完成作业. 建议：1. 复习总结学过的Matlab 命令, 加深对软件的认识与学习；2. 这是一个综合性的实验, 旨在综合运用所学知识, 可提前安排学生考虑三题中的一题（可酌情增加题目）, 在数学实验室独立完成实验, 也可作为机试成绩.指导书与参考资料[1] 王向东, 戎海武, 文翰, 等. 数学实验[M]. 北京：高等教育出版社, 2004.[2] 冯有前, 袁修久, 李炳杰, 等. 数学实验[M]. 北京：国防工业出版社, 2008.[3]李尚志, , 陈发来, 吴耀华, 等. 数学实验[M]. 北京：高等教育出版社, 1999.[4]萧树铁, 姜启源, 何青, 等. 数学实验[M]. 北京：高等教育出版社, 2001.[5]李卫国. 高等数学实验. [M]. 北京：高等教育出版社；海德堡：斯普林格出版社, 2000.[6]张志涌, 杨祖樱, 等. Matlab教程R2010a[M]. 北京：北京航空航天大学出版社, 2010.执笔：李永武审核：朱睦正制（修）订时间：2011-10-10。
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《数学实验》课程综合实验
奶制品加工问题
一、问题重述
一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别深加工成B1, B2两种高级奶制品再出售。
按目前技术每桶牛奶可加工成2公斤A1和3公斤A2,每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5元，加工时间为15小时。
每公斤A1可深加工成0.8公斤B1，加工费为4元，加工时间为12小时；每公斤A2可深加工成0.7公斤B2，加工费为3元，加工时间为10小时；初级奶制品A1, A2的售价分别为每公斤10元和9元，高级奶制品B1, B2的售价分别为每公斤30元和20元，工厂现有的加工能力每周总共2000小时，根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的20%至40%。
试在供需平衡条件下为该厂制订（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步讨论如下问题：1）拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工能力提高10%，各项加工费用均减少10%。
初级奶制品A1，A2的产量提高10%；高级奶制品B1，B2的产量提高10%。
问应将资金用于哪一项革新，这笔资金的上限（对于一周而言）应为多少？
2）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛奶可加工成2公斤A1和3公斤A2，变为每桶牛奶可加工成4公斤A1或者6公斤A2。
设原题目给的其它条件都不变，问应否采用这项革新，若采用，生产计划如何。
二、问题分析
在生产的过程中，往往会产生不同的生产方案，由此引起的生产费用成本也是不相同的，而且，同种原料也会产生很多不同种类、不同价格的最终产品，因此，本题以成本控制和目标利润为主导，对实际生产计划经过简化的加工方案优化设计, 这是一个可以转化的数学问题，我们可以利用线性和非线性规划并结合回归分析方法来研究。
首先我们可以将奶制品的加工和销售过程转化成以下简单而又易懂的图形：
由题意可知:
A1, B1, A2, B2 的售价分别为p1= 10, p2= 30, p3 = 9, p4= 20( 元/ 公斤) 。
牛奶的购入和加工费用为q1= 10+ 5= 15( 元/ 桶) ,深加工A1, A2 的费用分别为q2 = 4, q3= 3( 元/ 公斤) 。
每桶牛奶可加工成a= 2 公斤A1 和b= 3 公斤A2, 每公斤A1 可深加工成c= 0. 8 公斤B1, 每公斤A2 可深加工成d = 0. 7 公斤B2。
每桶牛奶的加工时间为15 小时, 每公斤A1, A2 的深加工时间分别为12, 10( 小时) , 工厂的总加工能力为S= 2000 小时。
B1, B2 的销售量( 即产量) 占全部奶制品的比例为20% ~ 40%。
记出售A1, B1 的数量分别为x1, x2(公斤) , 出售A2, B2 的数量分别为x3, x4( 公斤) , 生产的A1,A2 的数量分别为x5, x6( 公斤) , 购入和加工牛奶的数量为x7 桶, 深加工的A1, A2 的数量分别为x8,x9( 公斤) 。
三、符号说明与名词定义
变量设定：
记出售A1, B1 的数量分别为x1, x2( 公斤) , 出售A2, B2 的数量分别为x3, x4( 公斤) , 生产的A1,A2 的数量分别为x5, x6( 公斤) , 购入和加工牛奶的数量为x7 桶, 深加工的A1, A2 的数量分别为x8,x9( 公斤) 。
四、模型建立与求解
根据上面的分析, 在供需平衡的条件下, 使得利润最大的生产计划应满足下面的线性
规划模型:
maxz= 10x1+ 30x2+ 9x3+ 20x4- 15x7- 4x8- 3x9
x5= 2x7, x 6= 3x7, x2= 0. 8x 8, x4= 0. 7x9,
x5= x 1+ x8, x6= x 3+ x9,
15x7+ 12x 8+ 10x 9≤2000, ( 1)
0. 2( x 1+ x2+ x3+ x 4)≤x 2+ x4≤ 0. 4( x 1+ x2+ x3+ x4),
x1, x 2, x3, x4, x 5, x6, x7, x 8, x9 ≥0
利用MATLAB 求解, 并作Lagrange( 下记Lag) 分析可得:
X= ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) =( 5511846, 6510407, 20418780, 0,
13615854,20418780, 6812927, 8113008, 0)
Lag= ( 8. 0976, 7. 0976, - 37. 6098, - 35.8420, 8. 0976, 7. 0976, 1. 4992, 9. 5122, 0, 0, 0, 0,8. 2323, 0, 0, 0, 0)
z= 299814
对所解得的X 值作适当的取整处理可以得到( 一周的) 生产计划为: 购入、加工68 桶牛奶, 加工成136 公斤A1, 204 公斤A2, 其中55 公斤A1 直接出售, 81 公斤A1 再加工成才4. 8 公斤B1 出售, 而204 公斤A2 则全部直接出售, 这样可获得利润为2986 元。
由Lag 值可知, 加工能力2000 小时已用足, 且每增加工1 小时可获利1. 4992 元; 高级奶制品的产量占全部奶制品产量达到下限20% 。
而按上面给出的计划实施可算出加工能力为1992 小时, 高级奶制品的产量比例为20. 01% , 因此, 此计划是可行的。