3.3垂径定理(1)
3.3垂径定理(1)
CE O
D
如：点C是AB的中点,点D是 ADB 的中点. B
C
O
A
A
E
B
D
A
O
C
B
A
O
D
B
D
B
O
C
C
A
C
B
D
O
例1 已知 AB ，如图，用直尺和圆规求作这条
弧的中点．
作法： ⒈ 连结AB.
⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点．
C E
B
D
变式一： 求 AB 的四等分点．
B
交点即为圆弧所在
O
圆的圆心．
１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该 弦的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点．
E
N
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
FC
A
B
D
M
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
C
m
E
F
A
n
G
B
D
求 AB 的四等分点． 错在哪里？
Ｅ
C
G
Ｍ
Ｎ
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD
A
2．作AT、BT的垂直平分线 EF、GH
F
Ｔ
B
DＨ
强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂
直平分线．
变式二：你能确定弧AB所在圆的圆心吗？
方法：只要在圆弧
上任意取三点，连
a
C
b
结两条弦，画这两
3.3 垂径定理(1)
9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；2. 垂径定理解读：（1）条件：“弦”可以是直径；（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧；3. 垂径定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答. 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）【典例】如图，已知圆O 的半径为mm 30，弦AB =mm 36，求点O 到AB 的距离及OAB∠的正弦值．一读：关键词：半径,弦.二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦.重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形.三解：解： 过 圆心O 作 于M;DM AM =∴;AD AC =;BD BC =AB M CD AB ,于⊥ 18362121=⨯==∴AB AM A BO M AB OM ⊥在 中，由勾股定理得： 在 中，所以，点 到AB 的距离为mm 24，OAB ∠的正弦值为四悟：解决有关圆中相关数量问题时，常通过连接半径，作出弦心距，利用垂径定理构造直角三角形解答.四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）1. 已知圆O 的直径是m c 50，圆O 的两条平行弦cm AB 40= ，cm CD 48=，求弦AB 与CD 之间的距离.核思点拨: 弦CD AB //,但不知两弦与圆心的位置关系,所以分两种情况讨论:圆心在两弦之间或圆心在两弦同侧.再由垂径定理及勾股定理解答.答案：过点 作 于 ，则 于连接 由垂径定理得,在 中,由勾股定理得: OAM RT ∆OAM RT ∆O 1522=-=BF OB OF OBF RT ∆2421,2021====CD DE AB BF ODOB 、AB OF ⊥18,300==AM A 2422=-=AM OA OM 54302400sin ===A M A .54CD OE ⊥E O F .25,20==OB BF同理在 中,两弦在圆心同侧时，两弦距离两弦在圆心异侧时，两弦距离2. 如图，F 是圆O 直径AB 上一点，且cm AB 9=，垂直于AB 的弦cm CD 12=，垂足为F ，延长CB 到E ，使CB BE =，连接DE ．求DE 的长．核思点拨: 条件中已有了弦心距OF 与半弦CF ,连半径r OC =，由垂径定理知6=CF r OF -=9，在直角三角形中用 勾股解答求出r ，从而求出 值，由三角形中位线得，答案： 连接 直径 弦在 中，由勾股定理得：cm OE OF EF 22=+=∴DOE RT ∆BF 2226)9r r =+-∴（OCF RT ∆6122121=⨯==∴CD CF ⊥AB OC722=-=DE OD OE cm OE OF EF 8=-=∴.2BF DE = CD222OC CF OF =+解得：是 的中位线132==∴BF DE CDE ∆CBBE =CFDF = 5.6=r FB ∴。
3.3 垂径定理(1)
九年级上数学导学案 主备人：练蓓蓓 审核人： 本章第 课时 累计第 课时3.3 垂径定理（1）【学习目标】 班级 小组姓名 １．经历探索垂径定理的过程．２．掌握垂径定理．３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．【学习重点】：垂径定理及其应用．【学习难点】：垂径定理的推导【课前预习、课中交流】2、知识回顾圆是轴对称图形吗？ 。
如果是,它的对称轴是什么? 。
你能找到多少条对称轴？ 。
你是用什么方法解决上述问题的?（二）合作交流，探求新知1、如图1,GF 是⊙O 的一条弦,CD 是⊙O 直径.,(1)该图是轴对称图形吗？(2)能不能通过改变GF 、CD 的位置关系,使它成为轴对称图形?怎么改变？（图1）2、如图2：若直径CD 垂直于弦AB,垂足是E,然后沿着直径CD 所在的直线把圆折叠,(1)你能发现哪些点、线、圆弧互相重合?（图2）（2）你能以命题的形式表述你的结论吗？3、垂径定理(文字语言)：垂直于弦的 平分 ，并且平分 ．垂径定理的几何语言：（结合图2）∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ）∴ ； ；即; 4、分 成相等的 点,叫做这条弧的中点.（三）例题巩固例1、已知如图：弧AB ，用直尺和圆规求作这条弧的中点E 。
变式一：求作弧AB 的四等分点。
变式二：你能确定弧AB 所在圆的圆心吗？例2、如图，一条排水管的截面。
已知排水管的半径OB=13，水面宽AB=24。
求截面圆心O 到水面的距离。
新授课 条件CD 为直径 ADB平分弦结论温馨提醒：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
那么，上图中：弦AB 的弦心距是 例3、已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．归纳小结：1．画 是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的 三角形是研究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：弦长222d r AB -=．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．【课堂检测】1．已知⊙0的半径为25，一条弦的AB 的弦心距为7，则这条弦的弦长等于 ．2．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ） A ．∠COE=∠DOE B ．CE=DE C ．OE=BE D ．BD=BC 3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ）A ．3B ．6cmC ． cmD ．9cm4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3<OM<5D ．4<OM<55． 已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，则AB 和CD 的距离为 ．6．如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，求MN 的长．拓展提高1、已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。
3.3垂径定理
O
D
⌒如图，用直尺和圆规求作这条弧 例1：已知AB
的中点。
A
B
例2：如图，一条排水管的截面。已知排水管
的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到
水面的距离。
C 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距
练习1
已知⊙O的半径为13cm，
一条弦的弦心距为5cm，求这条弦的长
C
13 5
CP=_____ CD=_____ O AP=_____
3.3
垂径定理
圆是轴对称图形吗？
●
O
圆是轴对称图形， 每一条直径所在的直线都是对称轴。
探索规律
1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；
2．作一条和直径CD垂线的弦AB ，AB与CD相交于点E
问题：把圆沿着直径CD所 在的直线对折，你发现哪 些点、线段、圆弧重合？
C
A
E
D
O
得出结论： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ①EA=EB；② AC=BC，AD=BD．
B
归纳得出：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧． 垂径定理的几何语言
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB） ∴ EA=EB，
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC=BC，AD=BD．
A
能够重合的圆弧叫相等的圆弧 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做 这条弧的中点 ⌒ 的中点 点C即为 AB
C E
B
A
P
D
想一想：在同一个圆中，两条 弦的长短与它们所对应的弦心
弦越长， 它所对应的弦心距越短
距之间有什么关系？
六、总结回顾
（1）圆的轴对称性； （2）垂径定理． （3）画弦心距是圆中常见的辅助线； （4）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
浙教版数学九年级上册3.3垂径定理(共13张PPT)
复习
M
●
A
1、圆弧：圆上任意两点之间的部分
2、等弧：能够完全重合的圆弧
3、弦：连结圆上任意两点的线段
4、圆具有轴对称性
O
B
实验操作
1、取出课前准备的圆，折出这个圆的一条对称轴
2、请用折叠的方法在圆上找到两个对称点
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
O
·
E
A
B
D
几何演绎
如图,理由是：
梳理
A
C
M
└
●
B
O
D
条件
由①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
结论
③AM＝BM
⌒ ⌒
④AC＝BC
⌒ ⌒
⑤AD＝BD
归纳小结
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的弧.
如图∵ CD是直径，
CD⊥AB，
B
∴AM ＝ BM，
C
A
M└
O
●
⌒
⌒
AC ＝BC，
⌒
⌒
AD＝BD.
D
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
问题一：
⌒
例1、已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
E
⌒
分析:要平分AB,只要画垂
直于弦AB的直径.而这条直径应在弦A源自的垂直平分线上.A
作法:
1. 连结AB;
⌒
2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
⌒
∴点E就是所求AB的中点.
B
问题二：
例2：如图已知在⊙ O 中 弦AB=16，半径0B=10，
连接OA,OB, 则OA＝OB.
《垂径定理(1)》教学案
3.3 垂径定理（1）教学案教学目标知识目标：1．理解圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．2．掌握圆的性质（垂径定理），并会用它解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．能力目标：经历折纸、画图、归纳等过程，培养学生的探索能力和应用能力．情感目标：通过合作学习，探索圆的性质；让学生亲身体验、直观感知，并操作确认，激发学生自主学习和应用数学的意识．教学重点难点重点：探索圆的轴对称性和圆的性质．难点：用圆的轴对称性推导出圆的性质及其应用．课堂教与学互动设计【创设情境，引入新课】复习提问：（1）什么是轴对称图形？（2）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？（3）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？──引入新课【合作交流，探究新知】一、自主探索1．在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，•然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？2．结论：圆是_________图形，_________的直线都是对称轴．二、合作学习1．在圆形纸片（如图所示）上任意画一条直径CD，然后在CD上任意取一点E，过E画弦AB⊥CD于点E，把圆形纸片沿直径对折，观察直径CD两侧，你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？2．请你用命题的形式表达你的结论．3．请你对上述命题写出已知、求证，并给出证明．4．圆的性质（垂径定理）：垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的弧．三、概括性质1．直径垂直于弦..⎧⇒⎨⎩直径平分弦直径平分弦所对的弧例如：CD是直径，AB⊥CD，EA=EB，CA CB=，DA DB=．2．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．例如，上图中，•点C•是AB的中点，D是ADB的中点．【例题解析，当堂练习】例1 （课本例1）已知AB（如图），用直尺和圆规求作这条弧的中点．练一练如图，同心圆O中，大圆的弦AB与小圆交于C，D两点，判断线段AC与BD的大小关系，并说明理由．例2 （课本例2）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．想一想在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？练一练 在直径为20cm 的球形油槽内装入一些油后，截面如下图所示，•如果油面宽是16cm ，求油槽中油的最大深度．课外同步训练【轻松过关】1．⊙O 的弦AB 的长为16cm ，弦AB 的弦心距为6cm ，则⊙O 的半径为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条3．如图3-3-6，在⊙O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=BCB ．AN BN =C ．AM BM =D ．OC=CN图3-3-6 图3-3-7 图3-3-84．如图3-3-7，AB，CD是⊙O的两条直径，∠BOC≠∠AOC，则图中相等的弧共有（）A．2对B．4对C．6对D．8对5．⊙O的半径为6cm，垂直平分半径的弦长是_______cm．6．如图3-3-8，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O的半径OB=_______cm．7．如图3-3-9，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，请你写出一个你认为正确的结论_________．图3-3-9 图3-3-10 图3-3-11 8．如图3-3-10，OA为⊙O的半径，弦CB⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CB•的长为________．9．如图3-3-11，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，•AB=•8cm，•PD=•2cm，则CP=______cm．10．如图3-3-12所示，在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，•如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是_______cm．图3-3-12。
3.3 垂径定理 教案(表格式)2023-2024学年浙教版九年级数学上册
教学设计课程基本信息学科数学年级九年级学期秋季课题 3.3垂径定理（第一课时）教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》出版社：浙江教育出版社教学目标1. 经历探索垂径定理的过程.2. 探索并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.3. 会运用垂径定理解决一些简单的几何问题.教学内容教学重点：垂径定理教学难点：垂径定理的推导过程以及垂径定理的灵活运用教学过程一：创设情境引入新课问题1：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？我们发现在折叠的过程中，直径两侧的部分会完全重合，因此我们得到结论：圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．问题2：如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？二：师生互动共创新知已知：如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，求证：AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂.分析：利用半径来构造等腰三角形来证明AE=BE；弧等可以利用同圆或等圆中两弧的端点重合来证明.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂. 三：应用新知层层深入B OACD下列图形是否适合用垂径定理呢？例1 已知AB̂，用直尺和圆规作这条弧的中点 分析：要平分弧，找到这条弧的中点，让我们联想到了垂径定理的 基本图形，所以第一步我们先连结AB ，然后再画出垂直弦AB 的过圆心的一条直线即可，所以第二步，作AB 的垂直平分线CD ， 交弧AB 于点E.例2 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离.分析:为求O 到AB 的距离，我们先过点O 作OC ⊥AB ，即求OC的长度，观察图形发现OC 在直角三角形OBC 中，其中半径 OB=10，由于OC ⊥AB ，由垂径定理可得BC 等于AB 的一半等于8， 那么根据勾股定理即可得到OC 的长度.变式：一条排水管的截面如图所示。
3.3垂径定理
O ·
A
E
D
B
小结:
A
解决有关弦的问题，常用辅助线:
M B A C C A D B N D B
. O
连接半径
O E
.
.O
过圆心作 弦的垂线
垂直于弦的直径
为应用垂径定理创造条件
常用辅助线:
垂直于弦的直径
学生练习
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF A E C D O
A
●
O
D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).
C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).
猜想探索
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
垂径定理的逆定理
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C A
●
B
O
由
M
●
① CD是直径 ② AM=BM
可推得
③CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
最短的弦等于_________。
M
.
O
P N
A
B
双基训练 1. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C ) A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
O A
B
2.已知点P是半径为5的⊙O内 的一定点，且OP=4，则过P 点的所有弦中，弦长可能取 的整数值为（ C ）
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册
*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
3.3垂径定理1
当AB也是直径时 结论仍然成立。
垂径定理本质上就是等 腰三角形的三线合一
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的弧。 证明：连结OA、OB，则OA=OB 在等腰三角形OAB中，OC⊥AB，得EA=EB(为什么？)。 所以把图沿直径CD对折时，因为∠AEO=∠BEO=Rt∠， 所以射线EA与射线EB重合，从而点A与点B重合。 这样弧AC与弧BC，弧AD与弧BD分别重合，所以弧AC与 弧BC，弧AD与弧BD分别相等， 记作弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。 分一条弧成相等两部分的点， 叫做这条弧的中点。 C是弧AB的中点；D是弧ADB 的中点。
提高练习
2，书本P78作业题4,5,6
区分“弦AB垂直平分半径OC” 与“半径OC垂直平分弦AB”
第6题：方法一：用轴对称性证明；方法二：弧也可以 像线段那样加减(必须在同圆或等圆中)。
补充练习
3，点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使得BC是所有过 点A的弦中最长的。 最长：弦BC过圆心O时(直径) 那你知道过A点的弦中最短的在哪个位置吗？ 最短：弦BC⊥OA时
你知道四者当中至少知道 几个量才能求出剩下的量？
课堂小结
1，你还记得垂径定理吗？ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2，垂径定理的两个用途？ 几何证明、代数计算 3，弦长(或半弦长)、弦心距、半径(或直径)、弓高(矢 高) 他们之间有怎样的数量关系？ 和差倍分、勾股定理
基础练习
1，书本P77课内练习1,2 书本P78作业题1,2,3
如图， ⊙O中，直径DE⊥弦AB，垂足为C点，那么其中 AB长度叫做弦长；OC长度叫做______；OB叫做_____； CD长度叫做弓形ADB的高(EC长度叫做弓形AEB的高) 弦长、弦心距、半径、弓高(矢 高)四者之间有着密切的联系。 你能找出他们之间的关系吗？ 1）弦心距OC+弓高CD=半径 弓高EC﹣弦心距OC=半径 2）AC=BC=弦长AB的一半 3）勾股定理 OB2 BC2 OC 2 与圆有关的计算问题，只要是 围绕着这四者间的关系展开的。
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OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
C A
EBOຫໍສະໝຸດ D２.请你用命题的形式表述你的结论. 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明． 解 已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一 条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证： EA=EB， AC= BC， AD=BD．
A D E B C
⌒
１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点． E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得:
证明： 如果把⊙O沿着直径ＣＤ 对折，那么被ＣＤ分成的两个 半圆互相重合. ∵∠OEA=∠OEB=Rt∠， ∴线段EA与线段EB重合. ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，
A C D
E
B
O
思考：你能利用等腰 三角形的性质，说明
弧AD和弧BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ OC平分AB吗？ ⌒ ∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD．
４.圆的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧．
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
例1 已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧 的中点．(先介绍弧中点的概念） 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点. ⌒ 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这 条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的 ⌒ 垂直平分线就能把AB平分. 作法： ⒈ 连结AB. ⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. 点E就是所求弧AB的中点．
3．解题的主要方法： （1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
创设情境,引入新课
复习提问: （１）什么是轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。
（2）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对 称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
合作交流,探究新知
一自主探究 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C
O
D
结论：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条.
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
X）
二
合作学习
１.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦 AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸 折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆 弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？ 解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC＝BC，AD＝BD．