线性代数4试卷及答案

线性代数（经管类）试题B试卷满分100分 考试时间120分钟(出卷人：廖磊)试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．若行列式|A|=0，则A 中（ ） A ．必有一行全为0 B ．行向量组线性相关 C ．有两列成比例D ．所有元素全为02．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6C ．6D ．153．设A ，B ，C ，D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位方阵，下列命题正确的是（ ） A ．若02=A ，则0=AB ．若A A =2，则0=A 或E A =C ．若AC AB =，且0≠A ，则C B =D ．若BA AB =，则2222)(B AB A B A ++=+4．设A 、B 为n 阶方阵，满足A 2=B 2，则必有（ ） A ．A =B B ．A = -B C ．|A |=|B |D ．|A |2=|B |25．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221116.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误．．的是（ ） A.|AB |=|A | |B | B. (AB )-1=B -1A -1 C. (A+B )-1=A -1+B -1D. (AB )T =B T A T7．设2阶矩阵A ＝，则A *＝( )A ．B ．C ．D ．8．设2阶矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d cb a ，则A ＊＝（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a cb d B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c dC ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a bc d9．设矩阵A ＝，则A 中( )A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零10．设21,αα是⎩⎨⎧=-=-+0x x 21x x x 21321，的两个解，则（ ）A ．21αα-是⎩⎨⎧=-=-+0x x 20x x x 21321，的解 B ．21αα+是⎩⎨⎧=-=-+0x x 20x x x 21321，的解C ．21α是⎩⎨⎧=-=-+0x x21x x x 21321，的解 D ．22α是⎩⎨⎧=-=-+0x x21x x x 21321，的解11．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（ ）A ．321,,ααα线性相关B ．321,,ααα线性无关C ．1α可由βαα,,32线性表示D ．β可由21,αα线性表示12．设向量),,,(),,,,(),,,(),,,(222221111122221111d c b a d c b a c b a c b a ====ββαα，则下列命题中正确的是（ ）A ．若21,αα线性相关，则必有21,ββ线性相关B ．若21,αα线性无关，则必有21,ββ线性无关C ．若21,ββ线性相关，则必有21,αα线性无关D ．若21,ββ线性无关，则必有21,αα线性相关13．设A 为m ×n 矩阵，齐次线性方程组Ax ＝0有非零解的充分必要条件是( ) A ．A 的列向量组线性相关 B ．A 的列向量组线性无关 C ．A 的行向量组线性相关 D ．A 的行向量组线性无关14．设α1，α2，α3，α4为向量空间V 的一个基，则V 的维数=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．415.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ ） A.B A =B.秩（A ）=秩（B ）C.存在可逆阵P ，使P -1AP=BD.λE-A =λE-B16．正交矩阵的行列式为（ ） A ．0 B ．+1 C ．-1D ．±117．矩阵A ＝的非零特征值为( )A ．4B ．3C ．2D ．118．当矩阵A 满足A 2=A 时，则A 的特征值为（ ） A ．0或1 B ．±1 C ．都是0D ．都是119．二次型2.2),,(yx z y x f -=的正惯性指数p 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．320.设有二次型,x x x )x ,x ,x (f 232221321+-=则)x ,x ,x (f 321（ ）A.正定B.负定C.不定D.半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

21．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =_____________. 22．三阶行列式154222321=D ，则=++131211A A A __________.23.设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023,B=,01201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB=__________. 24．行列式1694432111中元素9的代数余子式A 32=____________ 25. 若,0211=k 则k=___________.26．设A ，B 均为n 阶矩阵，E AB =2)(，则2)(BA =__________.27．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为______________.28.设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________.29．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵B=A-E ，则矩阵B 的秩r(B )=______________. 30.已知A 有一个特征值-2,则B=A 2+2E 必有一个特征值___________.31.方程组0x x x 321=-+的通解是___________.32.已知向量α=（2，1，0，3）T，β=（1，-2，1，k ）T，α与β的内积为2，则数k=____________. 33.设向量α=（b,21,21）T 为单位向量，则数b=______________.34．设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩（A ）=_________.35．已知某个3元非齐次线性方程组Ax ＝b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：，若方程组无解，则a 的取值为 ．36．已知3维向量T T )4,2,1(,)1,3,1(-=-=βα，则内积),(βα=____________.37.设三阶方阵A 的特征值分别为-2,1,1,且B 与A 相似,则B 2=___________.38.设三阶方阵A 的特征值分别为-2,1,1,且B 与A 相似,则B 2=___________.39.矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是___________.40．设3元实二次型AX X x x x f T=),,(321经正交变换化成的标准形为213y f =，则矩阵A 的特征值为_________.三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）41.计算四阶行列式12210002100021的值.42．设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023,B=,01201⎢⎣⎡⎥⎦⎤求矩阵AB.43.已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， （1）求A 的逆矩阵A -1； （2）解矩阵方程AX=B.44．设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123,求A 1-.45.设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011,B=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A,B,X 满足(E-B 1-A ).E X B =T T 求X,X .1-46．求向量组1α=（1，2，1，3），2α=（4，-1，-5，-6），3α=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.47．设向量组)0,1,1(1-=α，)1,4,2(2=α，)1,5,1(3=α，)1,0,0(4=α，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。

48．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解.49.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2178， （1）求矩阵A 的特征值与对应的全部特征向量.（2）判定A 是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P 和对角矩阵Λ，使得P -1AP=Λ. 50．已知二次型f (x 1，x 2，x 3)＝2x 21＋3x 22＋3x 23＋2ax 2x 3通过正交变换可化为标准形f ＝y 21＋2y 22＋5y 23，求a ．四、证明题（本大题10分）51.设321,,ααα是齐次方程组A x =0的基础解系.证明：21211,ααβαβ+==，3213αααβ++=一定是A x =0的基础解系．52．设A ，B 均为正交矩阵，且B A -=，试证0=+B A .21、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=241010623010201411023AB 22、 （A,E ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010111001123………………………..3分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→001123010111100101……….………………….1分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→301220110010100101………………………2分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→121200110010100101………………………..1分⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→21121100110010100101⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→2112110011001021121001……2分所以⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-21121110211211A …………………………………………1分23、令A=（),,321ααα=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------763451311421………………………….2分 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→10180590519401………………………………………………….2分⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→000000519401………………………………………………………….2分 所以向量组321,,ααα的秩为2………………………………………….2分 极大线性无关组为{}21,αα或}{31,αα或}{32,αα……………………….2分24、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=362232203421),(b A ………………………………………………..2分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---322032203421→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00231103421……………………………………2分 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00231100201………………………………………………………….1分 所以非齐次方程的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=2323231x x x x …………………………………………… 1分所以齐次方程组的一个特解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0230*η…………………………..1分对应的齐次方程组为⎩⎨⎧-=-=32312x x x x 得基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1121ξ…………….2分 所以原方程组的通解为11*ξηηk +=,其中1k 为任意常数………………….1分 25、（1）项式λλλ--=-2178E A =（)9)(1--λλ所以特征值9,121==λλ…………………………………………………..1分当11=λ时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1177E A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→0011即21x x -=，所以特征向量为=1ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11………………………………..1分对应特征值11=λ全部特征向量为11ξk ，k 为任意非零常数………..1分当92=λ时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-71719E A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→0071即217x x =，所以得到对应的特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=172ξ………………………..1分 对应特征值92=λ的全部特征向量为22ξk ，2k 为任意非零常数……….1分 （2）因为矩阵A 有两不同的特征值1和9,(或者说存在两个线性无关的特征向量21,ξξ),所以矩阵A 可以对角化……………………………………………..2分可逆矩阵P=),(21ξξ,即P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1171,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分且有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-90011AP P ，所以对角矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∧9001．．．．．．．．．．．．．．．．１分2６、证明：首先，321,,βββ 的个数与所给的基础解系321,,ααα个数相同，都为３，即n-r=3………………………………………………………………………1分 其次011==αβA A ,0)(212=+=ααβA A ,0)(3213=++=αααβA A所以，321,,βββ都是方程组A x =0的解 (2)最后，根据提设条件可以写出矩阵等式),,(321βββ=),,(321ααα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10110111………………………………………2分把它记为APB=.因为标出矩阵的行列式1110111=P=10≠…….1分P 是可逆矩阵………………………………………………………..1分 所以，3)()(==A r B r ，这说明321,,βββ线性无关 (2)分所以，321,,βββ必是A x =0的基础解系……………………………………….1分21、解：D=12210002100021=分314210002100021 -=分31800210002100021=分41515210002100021-=-22、解：(1) []分11021001111000110110210010011001101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→E A分211110122010112001111100011110001101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→ 分2111122112111101220101120011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→-A (2）分得方程两边同时左乘2 1111B AX B A AX AAB AX ----=⇒=⇒=,分332223422541011103111122112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⇒X 23、解： [][][]分311E X A B E X A BE B E X B ABE TTTT=-⇒=-⇒=---)(分3100021000211002000210002000211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒--TX 分4100200021000210002111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--X24、解：令分3111006600121111005410121 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A分3100011100121 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→ 所以向量组的秩为3。