高中数学必修一之知识讲解_指数与指数幂的运算_提高

指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.计算：（1； （2.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2|-|2|=2-（2（211=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩。

类型二、指数运算、化简、求值例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：（1）2a （2）3a （3；（4 【答案】52a ；113a ；34a ；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。

（1）115222222;a a a aa +=⋅==（2）2211333333a a a aa +=⋅==；（31131322224()()a a a a =⋅==； （4）解法一：从里向外化为分数指数幂==11222y xy x ⎛⎫⋅⎪⎝⎭=54y解法二：从外向里化为分数指数幂。

12 =11222[)]y x =1112363223{[()]}y x y x y x =11123624123y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=54y【总结升华】此类问题应熟练应用*0,,,1)m na a m n N =>∈>且n 。

当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。

举一反三：【高清课堂：指数与指数运算369050 例1】 【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）52a a ⋅ 【答案】（1）1310102a ；（2）23x-。

【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1（20)a>；（3）3b；（4。

【答案】7122；34a；113b；35x-【解析】（1177621222⎛⎫==⎪⎝⎭；（2313224()a a====；（3）211 3333b b b b=⋅=；（4=3591353511()xx x-===。

例3.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(2)433333391624337+--+-【答案】3；0；2【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211=-=+---；(2)原式=033236373333=+--；(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2；【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂. 举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)63425.031)32(28)67()81(⨯+⨯+-⨯-；(2)33323323134)21(428aabbababaa⨯-÷++-. 【答案】(1)112 （2）a【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(18⨯+⨯+⨯--1123222324143=⨯++=+；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaa⨯-⨯++-=ababaa=--=++331331313131)2()()8(.例4.化简下列各式. （1211113322a b b---；（2）111222m m mm--+++； （3）10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】1a；1122m m -+；0.09【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.（1）原式21111()11111532322132623615661ab a baba aa b⨯-----+--⋅====； （2）2112211122111122222m m m m m m m m m m -----⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==+++ （3）10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255=0.0933++-举一反三： 【变式1】化简222222223333x y x y xyxy--------+--+-【答案】-【解析】应注意到223x x --与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式22223333333322223333()()()()x y x y xyxy--------+-=-+-22222222222233333333()()[()()]x xyy x x yy --------=-⋅+-++232()xy -=-=-【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式2】化简下列式子：【答案】；2x(x1)2(x1)≥-⎧⎨-<-⎩【解析】(1)原式===26+===(2)22244(18+=+===>=(3)332x3x x1-==-x1(x1)|x1|x1(x1)+≥-⎧=+=⎨--<-⎩2x(x1)2(x1)≥-⎧=⎨-<-⎩.【高清课堂：指数与指数运算369050 例4】例5．已知32121=+-xx，求23222323-+-+--xxxx的值。

【答案】13【解析】从已知条件中解出x的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121=+-xx的联系，进而整体代入求值。

32121=+-xx，∴129x x-++=，∴17x x-+=∴22249x x-++=，∴2247x x-+=∴23222323-+-+--xxxx=11122()(1)3472x x x x--+-+--=3(71)315145453⨯--==【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。

本题的关键是先求3322x x-+及22x x-+的值，然后整体代入。

举一反三：【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.(2)已知x+y=12， xy=9，且x<y ，求21212121yx y x +-的值.【答案】33a a -；3-【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x )3+(2-x )3.3)3(]3)22)[(22(]223)2(222)2)[(22(])2(22)2)[(22(3222222a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=-++=⋅⋅-+⋅⋅++=+⋅-+=---------(2)22122122121212121212121212121212121)()()(y x y x yx y x yx y x yx y x --=--⋅+-=+-)1........()(2)(21yx xy y x --+=又∵ x+y=12， xy=9， ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. 又 ∵ x<y ， ∴x-y=36-代入(1)式得:333692122121212121-=-⨯-=+-yx y x . 【总结升华】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.(2)一般不采用分别把x ， y ， 2x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2x +2-x，x+y 及xy 整体代入后再求值.【变式2】已知14x x-+=，求1122x x -+及1x x --的值．；± 【解析】∵ 14x x -+=，∴ x ＞0，则112122()2426x x x x --+=++=+=，则1122x x-+=∵ 1222()216x x x x --+=++=，则2214x x-+=，∴ 1222()214212x x x x ---=+-=-=，∴1x x--==±例6．（2016 甘肃期末）（1）已知312a b +=a b的值．（2）化简132123421()(0,0)40.1()a ba b---⋅>>【思路点拨】（1）化简所求表达式，利用已知条件求解即可．（2）利用有理指数幂以及根式运算法则化简求解即可．【答案】（1）3；（2）12 4 25b【解析】（1）31 2ab+=，322222333333aa b a ba b a ba+-+⋅====．（2）1331122222234213441422()4100250.1()a ab ba b----⋅=⋅⋅⋅=【总结升华】本题考查对数运算法则的应用，有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．。