等比数列通项公式求和
高一数学《等比数列的求和公式》PPT课件
a a q a ( 1 q) 1 n 1 ( q 1 ) ( q 1 ) q S 1 或 S 1 . q n n na ( q 1 ) na ( q 1 ) 1 1
n
1 11 例 1 ：求等比数列 ， ， ．．．的前 8 项的和 2 48
sn a1 a n q 1 q
当公比 q 1 时， S na n 1
a 1 (1 q ) ( q 1) Sn 1 q na 1 ( q 1)
n
an a q 1
n 1
Sn
a1 a n q ( q 1) 1 q . na ( q 1) 1
S S 2 S q 1 3 6 9
由 S S 2 S 得 3 6 9
a ( 1 q ） a ( 1 q） a ( 1 q ） 1 1 1 2 1 q 1 q 1 q
1 q 3 2 q 6 q 3 q 6 q 9
3
6
9
q q 4 2 q 7
a1 ( a1 q q q 4 ) 2 7
a a 2 a 2 5 8
a 2 ,a , a 成等差数列。 8 5
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）
分析：销售量与年份之 间的关系如下 y1 5000 ; y2 5000 5000 10%
a 2 ,q3 1
例 4 ：已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n项和， S3, S9 , S6成等差数列， 求证： a , a , a 成等差数列。 2 8 5
等比数列求和公式
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得： Sn-qSn=a1-a1 qn
a1 1 q n sn 1 qFra bibliotek证法二：
an a2 a3 q a1 a 2 a n 1
a2 a3 an q a1 a 2 a n 1
2n
1 q n 82 1 q 82 n 1 q
2n
qn 81
q 1
n 1
a1 0, q 1 {a n }是递增数列
a1 n a n 54 a1q 54 q 54 q 2 a1 (1 81) a1 q由 80 得 ： 3 1 q
解： S n 80, S 2 n 6560 q 1
a1 (1 qn ) (1) Sn 80 1 q 2n a ( 1 q ) S 1 6560 (2) 2n 1 q
1 q ( 2 ) (1)得： 82 n 1 q
2 3 n n an an 2 3 6
∴{ an }为等比数列.
an1 2 3 3 n an 23
n1
课堂小结：
(1)等 比数 列前n项 和的 推导 方法 ：
错位相销法；比例的性 质。
( 2 )等 比 数 列 前n项 和 公 式 :
n
a1 (1 q ) ( q 1) Sn 1 q na ( q 1) 1
a2 a5 2 a8
a , a , a 成等差数列。 2 8 5
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
等差数列和等比数列的通项公式和求和公式
等差数列和等比数列的通项公式和求和公式等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们都有着重要的应用和计算方法。
下面，我们来详细介绍一下等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都是一个常数。
它的通项公式和求和公式如下：1. 通项公式设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a + (n - 1)d其中，a表示首项，n表示项数，d表示公差。
2. 求和公式设等差数列的首项为a，末项为an，项数为n，则等差数列的求和公式为：Sn = (a + an)n / 2其中，Sn表示等差数列的和。
等差数列的通项公式和求和公式在许多实际问题中有着重要的应用。
例如，假设某人每天存钱，第一天存1元，之后每天比前一天多存2元，问第n天存了多少钱？这个问题可以看做是一个等差数列求和的问题。
根据等差数列的通项公式和求和公式，我们可以轻松地计算出第n天存的钱数。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都是一个常数。
它的通项公式和求和公式如下：1. 通项公式设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a * r^(n - 1)其中，a表示首项，n表示项数，r表示公比。
2. 求和公式设等比数列的首项为a，末项为an，公比为r，项数为n，则等比数列的求和公式为：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)其中，Sn表示等比数列的和。
等比数列的通项公式和求和公式在许多实际问题中也有着重要的应用。
例如，我们常见的利滚利问题就可以通过等比数列来解决。
通过等比数列的通项公式和求和公式，我们可以轻松地计算出利滚利问题中的本金和利息的总和。
总结起来，等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，并且在实际问题中有着广泛的应用。
等差数列的通项公式和求和公式可以帮助我们计算等差数列的每一项和总和，等比数列的通项公式和求和公式同样可以帮助我们计算等比数列的每一项和总和。
等比数列求和公式的推导+例题+练习
(1 q)Sn a1 a1qn
显然，当q=1时，
Sn na1
q 1时 :
Sn
a1 a1qn 1 q
a1 anq 1 q
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q 1和q 1
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
等比数列的前n项和表述为：
{Sn
( q=1). (q≠1).
证法二：
借助Sn-an =Sn-1
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
1.国84王无1论01如9 何是不能实现发明 者的要求的。
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ① qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
①—② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1qn
a1－anq 1－q
＝31－－9q6q＝189，1－1－32qq＝63.解得q＝2.∴n＝6.
答案：C
• 3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3， …，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为 ________．
解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝11－－225＝31.
等比数列的求和公式
实例3：如何处理 特殊情况下的等 比数列
实例4：实际应用 中的等比数列求 和问题
金融计算：在计算复利、年金等金融问题时，等比数列求和公式可以快速得出结果。 计算机科学：在计算机算法中，等比数列求和公式可以用于优化某些特定类型的计算问题。 统计学：在统计学中，等比数列求和公式可以用于快速计算一系列数值的和。 物理学：在物理学中，等比数列求和公式可以用于计算一些具有周期性变化的物理量的总和。
适用范围：适用 于公比不为1的等 比数列。
计算步骤：先写 出原数列和乘以 公比后的数列， 然后错位相减， 最后求和。
注意事项：在错 位相减时需要注 意符号和项数。
定义：构造法是一种通过构造新的数列来求解等比数列和的方法。
适用范围：适用于等比数列的公比不为1，且各项均为正数的情况。
步骤：首先构造一个新数列，使得新数列的前n项和等于原数列的前 n项和；然后求解新数列的和，即可得到原数列的和。 注意事项：构造法需要一定的技巧和经验，需要对等比数列的性质 有一定的了解。
每一项与它前一项的首项和公比是等比数列的确定因素 等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项， q表示公比
定义：等比数列中 任意一项与首项的 比值相等
公式： a_n=a_1*r^(n-1)， 其中a_n是第n项， a_1是首项，r是公 比
等比数列是一种特殊的数列， 其中任意两个相邻项之间的比 值都相等。
等比数列的通项公式是 a_n = a_1 * r^(n-1)，其中 a_1 是首 项，r 是公比，n 是项数。
等比数列的求和公式是 S_n = a_1 * (r^n - 1) / (r - 1)，其中 S_n 是前 n 项和。
等比数列的公比 r 不能等于 0， 否则数列将无法定义。
常用的一些求和公式
常用的一些求和公式在数学中，求和公式是指通过特定的公式或者规律来表示一系列数的和。
求和公式在数学证明、数列运算、级数计算等方面有着广泛的应用。
下面是一些常用的求和公式：1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其前n项和可以通过以下公式求得：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
2.等差数列通项公式：等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其前n项和可以通过以下公式求得（当公比r不等于1时）：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
4.等比数列通项公式：等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
5.二项式定理：二项式定理是一个关于幂的展开公式，它可以用来求解任意整数幂的展开式。
二项式定理的公式如下：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n 其中，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
6.等差数列前n项和的立方：对于一个等差数列的前n项和的立方，可以利用以下公式进行求解：(Sn)^3 = (n^2 * (a1 + an)^2) / 47.平方数和公式：平方数和公式用来求解1到n的所有平方数的和。
平方数和公式为：1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n*(n+1)*(2n+1))/68.立方数和公式：立方数和公式用来求解1到n的所有立方数的和。
立方数和公式为：1^3+2^3+3^3+...+n^3=((n*(n+1))/2)^29.等差数列平方和公式：等差数列平方和公式用来求解一个等差数列的前n项平方的和。
等差数列平方和公式为：1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n*(n+1)*(2n+1))/610.等差数列立方和公式：等差数列立方和公式用来求解一个等差数列的前n项立方的和。
等差数列与等比数列的求和公式
等差数列与等比数列的求和公式在数学中，等差数列和等比数列是常见且重要的数列类型。
对于这两种数列，我们可以使用求和公式来计算它们的和。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义以及它们的求和公式，并通过具体例子进行说明。
一、等差数列（Arithmetic progression）等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则其通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列的第n项。
为了求解等差数列的和，我们介绍一个常用的求和公式，即等差数列的求和公式。
设等差数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2或者Sₙ = [2a₁ + (n-1)d] * n / 2其中，[]表示取整。
下面通过一个例子来说明等差数列的求和公式的应用。
例子：求等差数列1，4，7，10，...，前100项的和。
解：首先，我们可以得到等差数列的首项a₁为1，公差d为3（4-1=3）。
因此，我们可以使用等差数列的求和公式来计算前100项的和。
S₁₀₀ = [2*1 + (100-1)*3] * 100 / 2= (2 + 297) * 100 / 2= 299 * 100 / 2= 14950因此，等差数列1，4，7，10，...，前100项的和为14950。
二、等比数列（Geometric progression）等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则其通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示数列的第n项。
为了求解等比数列的和，我们介绍一个常用的求和公式，即等比数列的求和公式。
设等比数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)下面通过一个例子来说明等比数列的求和公式的应用。
例子：求等比数列2，6，18，54，...，前8项的和。
解：首先，我们可以得到等比数列的首项a₁为2，公比q为3（6/2=3）。
等比数列的通项与求和公式
等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，由于其特殊的规律性质，在各个领域都有广泛的应用。
本文将以等比数列的通项与求和公式为主线，探讨其定义、性质及应用等方面内容。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母r表示公比，公比r≠0。
二、等比数列的通项公式设等比数列的首项是a，公比是r，第n项是an。
根据等比数列的定义，可得等式：an = ar^(n-1)即等比数列的通项公式为an = a × r^(n-1)。
三、等比数列的求和公式对于等比数列的求和，有两种情况要讨论。
1. 当公比r不等于1时，求和公式为：Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。
2. 当公比r等于1时，求和公式为：Sn = na这是因为当r=1时，等比数列变为等差数列，其求和公式为Sn =(n/2)(a + an) = na。
四、等比数列的性质1. 等比数列的比值恒定：对于等比数列中的任意两项an和an+1，它们的比值都等于公比r，即an+1 / an = r。
2. 等比数列前n项的和与后n项的和的关系：等比数列的前n项和Sn与后n项和Sn'的关系是Sn' = Sn × r^n。
3. 等比数列的性质与对数函数的关系：等比数列与指数函数和对数函数密切相关，等比数列的通项公式可以看作是指数函数的离散形式，而求和公式则与对数函数有着密切的联系。
五、等比数列的应用等比数列在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 财务分析：某企业每年的盈利额按等比数列递增或递减，通过求和公式可以计算出多年的总盈利额。
2. 投资计算：等比数列可以用来计算复利的本金增长情况，根据投资年限和年复利率，可以计算出多年后的本金总额。
3. 几何形状分析：等比数列可以用来分析几何形状中的边长、面积、体积等相关问题，如等比缩放、等比放大等。
等比数列的求和与通项
等比数列的求和与通项在数学中，等比数列是指每一项与它前一项的比值都相等的数列。
它的一般形式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an是第n项，a1是首项，r是公比，n是项数。
在本文中，我们将讨论等比数列的求和与通项的计算方法。
求和公式求等比数列的部分和是数学中的基础问题之一。
为了求得等比数列的和，我们需要使用一个求和公式。
假设等比数列的首项为a1，公比为r，项数为n，等比数列的和为Sn。
那么，求和公式可以表示为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a1是首项，r是公比，n是项数。
通过这个求和公式，我们可以迅速计算出等比数列的和。
下面，我们将通过一个例子来演示求解等比数列的和。
例子：假设有一个等比数列，首项为2，公比为3，我们要求前5项的和。
解题过程如下：a1 = 2, r = 3, n = 5代入求和公式：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)计算得：Sn = 2 * (1 - 243) / (-2)Sn = 2 * (-242) / (-2)Sn = 242因此，前5项等比数列的和为242。
通项公式除了求等比数列的和之外，我们还可以通过通项公式计算等比数列中任意一项的值。
通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1是首项，r是公比，n是项数。
通过通项公式，我们可以方便地求解等比数列中的任意一项。
下面，我们将通过一个例子来演示求解等比数列的通项。
例子：假设有一个等比数列，首项为4，公比为2，我们要求第6项的值。
解题过程如下：a1 = 4, r = 2, n = 6代入通项公式：a6 = 4 * 2^(6-1)计算得：a6 = 4 * 2^5a6 = 4 * 32a6 = 128因此，等比数列中的第6项的值为128。
综上所述，等比数列的求和与通项的计算方法为数学中的基础知识之一。
通过求和公式，我们可以快速求解等比数列的和；通过通项公式，我们可以方便地求解等比数列中的任意一项。
等比数列所有公式
等比数列所有公式
等比数列的所有公式如下：
1. 通项公式：an=a r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
这个公式可以用来求解等比数列中任意一项的值。
2. 前n项和公式：Sn = a (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项的和。
这个公式可以用来求解等比数列前n项的和。
3. 最后一项公式：an = a r^(n-1)，其中an表示最后一项，a表示首项，r 表示公比。
这个公式可以用来求解等比数列的最后一项。
4. 前n项平均值公式：Avg = (a (1 - r^n)) / (1 - r) / n，其中Avg表示前n项的平均值。
这个公式可以用来求解等比数列前n项的平均值。
5. 前n项和与后n项和的关系公式：Sn = a (1 - r^n) / (1 - r)，S2n = a (1 - r^(2n)) / (1 - r)。
以上是等比数列的所有公式，希望对解决您的问题有所帮助。