利用导数研究函数的单调性-高中数学知识点讲解

利用导数研究函数的单调性
1．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例 1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为
（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
1/ 3
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例 2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的t∈[1，2]，函数푔(푥)=
푥3+푥2[푓′(푥) +푚
2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
푙푛2（Ⅲ）求证：
2×
푙푛3
3
×
푙푛4
4
×⋯×
푙푛푛1
푛(푛≥2，푛∈
푁∗)．
＜
푛
解：（Ⅰ）푓′(푥) =푎(1―푥)
푥(푥＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）푓′(2) =―
푎
2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3 푚
∴푔(푥)=푥3+(2―2푥，
2+2)푥
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
2/ 3
∴{푔′(푡3))＜0
＞0(8 分)
由题意知：对于任意的 t ∈[1，2]，g ′（t ）＜0 恒成立，
푔′(1)＜0
所以有：{
푔′(2)＜0，∴
― 푔′(3)＞0 37 3 ＜푚＜ ― 9（10 分）
（Ⅲ）令 a ＝﹣1 此时 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3，所以 f （1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当 x ∈（1，+∞）时 f （x ）＞f （1），即﹣lnx +x ﹣1＞0，
∴lnx ＜x ﹣1 对一切 x ∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n ≥2，n ∈N *，则有 0＜lnn ＜n ﹣1，
푙푛푛 푛 ― 1
∴0＜
＜
푛 푛
푙푛2∴ 2 ⋅ 푙푛33 ⋅ 푙푛44 ⋅⋅ 푙푛푛 1 2 ⋅ ＜ 푛
2 3 ⋅ 3 4 ⋅⋅ 푛 ― 1 푛 = 1 푛(푛 ≥ 2，푛 ∈ 푁 ∗) 【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使 f ′（x ）＝0，在其余的点恒有 f ′（x ）＞0，则 f （x ）仍为增函数（减函数的情形完 全类似）．即在区间内 f ′（x ）＞0 是 f （x ）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
3/ 3。