§6.3 全同粒子的特性
专题讲座9-全同粒子
专题讲座9-全同粒子全同粒子: 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的粒子称为全同粒子。
在一个微观体系中，全同粒子是不可区分的。
费米子：自旋为1/2, 3/2, 5/2……, 体系的波函数是反对称的, 两个全同费米子不能处于同一个状态.波色子: 自旋为0, 1, 2, 3, 体系的波函数是反对称的, 两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态.交换力假设我们有一个两粒子体系, 一个粒子处于()a x ψ,另一个处于()b x ψ态.(简单起见,先不考虑自旋)如果两个粒子是可以区分的,粒子1处于()a x ψ,粒子2处于()b x ψ态,那么体系的波函数为1212(,)()()a b x x x x ψψψ=如果是全同玻色子, 波函数必须是对称的]1212211(,)()()()()a b a b x x x x x x ψψψψψ+=+ 如果两个态相同 a b =1212(,)()()a a x x x x ψψψ=对于费米子, 波函数必须是反对称的]1212211(,)()()()()a b a bx x x x x xψψψψψ-=-两个费米子的状态不能相同,否则波函数为零.我们来求两个粒子坐标差平方的期待值222121212()2x x x x x x-=+-1.可区分粒子222 2222 111122111()()()a b a a x x x dx x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2222222 211222222()()()a b b b x x dx x x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2212111222()()a b a bx x x x dx x x dx x xψψ==⎰⎰所以22212()2a bd a bx x x x x x-=+-2.对全同粒子()22211122112221()()()()212a b a ba bx x x x x x dx dxx xψψψψ=±=+⎰同样有其中显然有：同可分辨粒子情况相比较,两者差别在最后一项和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同波色子（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而全同费米子（取下面的-号项）更趋向于相互远离。
全同粒子
对于全同粒子多体系, 任何两个粒子交换一下, 对于全同粒子多体系 任何两个粒子交换一下 其量子态是不变的, 即要求该体系的波函数对于粒 其量子态是不变的 即要求该体系的波函数对于粒 子交换具有一定的对称性. 子交换具有一定的对称性 那么, 忽略粒子相互作用的情况下, 那么 在忽略粒子相互作用的情况下 如 何去构造 构造具有完全交换对称性或反对性的波 何去构造具有完全交换对称性或反对性的波 函数? 函数 接下来我们将对这问题做一般的讨论. 接下来我们将对这问题做一般的讨论 考虑 N个全同粒子组成的多体系的情况 个全同粒子组成的多体系的情况. 个全同粒子组成的多体系的情况
1 2 N
经过
各种可能的置换P， 各种可能的置换 ，得到 P , ψ k1 ( q1 )ψ k2 ( q2 )Lψ k N ( qN ) 一共得出N！ 一共得出 ！项，即行列式展开后得出的N! 项. 即行列式展开后得出的
4.3.4 N个全同 个全同Bose子组成的体系 个全同 子组成的体系
Bose 子不受 子不受Pauli原理限制，可以有任意数目 原理限制， 原理限制 可以有任意数目 子处于相同的单粒子态 的Bose子处于相同的单粒子态 设有 ni 个Bose子 子处于相同的单粒子态. 子 N 处于 ki 态上 ( i = 1, 2,L , N ) ， n i = N ，这些 ni 中， ∑ i =1 有些可以为0，有些可以大于1.此时 此时， 有些可以为 ，有些可以大于 此时，对称的多粒 子波函数可以表示成 P ψ k1 ( q1 )Lψ k1 qn1 ⋅ψ k2 qn1 +1 Lψ k2 qn1 + n2 L ∑ 144 2444 1444 24444 4 3 4 3 P n1个 n2个
3
第六章 自旋与全同粒子)
第六章自旋与全同粒子非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。
这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。
在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。
§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点一．实验事实1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。
解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条,说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态 , ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。
即自旋磁矩。
2．碱原子光谱的双线结构如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成3．反常塞曼(Zeeman)效应1912年，Passhen 和 Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。
二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是为玻尔磁子这个比值称为电子自旋的回转磁比率.轨道运动的回转磁比率是三．电子自旋的特点乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。
但把电子的自转看成机械的自转是错误的。
设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。
第六章 全同粒子体系
第六章 全同粒子体系§6.1 电子自旋及其描述 1. 电子自旋的发现Stern-Gerlach 实验：测量氢原子的磁矩。
经典理论的预言是M M M z≤≤-，连续变化。
实验结果是：.B z M M ±= eB m e M 2≡(Bohr 磁子) 结论：电子有磁矩，其投影是量子化的。
推论：电子有自旋（内禀角动量），其投影也是量子化的。
Uhlenbeck-Goudsmit 假设(1925)：电子有自旋角动量，其投影只能取两个值：,2±=z S这自旋角动量又导致电子有自旋磁矩，其投影为.2B ez e z M m e S m e M ==-= (SI 制) 写成矢量关系，自旋角动量算符记为∧S ，自旋磁矩算符记为s M ∧，则.∧∧-=S m e M es2. 电子自旋的描述自旋有纯量子力学的起源，只能用矩阵描写。
自旋的分量只有两个可能的测量值，所以算符zy x S S S ˆ,ˆ,ˆ都是22⨯矩阵。
通常选z S ˆ是对角矩阵，这些矩阵是： .10012ˆ,002ˆ,01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x S i i S S 引入Pauli 矩阵.1001,00,0110⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z y x ii σσσ则.2σ=∧SPauli 矩阵的主要性质是：,z x y y x i σσσσσ=-= 和x z y x →→→的轮换,222I z y x ===σσσ I 是22⨯单位矩阵显然，zS ˆ的对应于本征值2±的本征矢量是：,01,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+v S z.10,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-v S z3. 带有自旋的电子波函数现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。
由叠加原理，-+⋅ψ+⋅ψ=ψv t r v t r t r ),(),(),(21,),(),(21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ=t r t r 这称为电子的二分量波函数，又称为旋量。
全同粒子的概念
全同粒子的概念
嘿，朋友们！今天咱来聊聊全同粒子这个神奇的玩意儿。
你说啥是全同粒子呀？就好比一群长得一模一样、没啥区别的小家伙。
咱打个比方，就像一筐红彤彤的苹果，你能分得清哪个是哪个吗？它们在本质上没啥不同呀。
全同粒子可有意思啦！它们就像是一群默契十足的小伙伴，一起在微观世界里玩耍。
比如说电子吧，在一个原子里的电子，那可都是全同粒子呢。
它们就像是一个模子里刻出来的，有着相同的性质。
这就好像一个班级里的同学们，大家都穿着一样的校服，有着相似的身份，但每个人又有自己独特的性格和行为。
全同粒子也是这样，虽然它们本质一样，但在不同的环境和情况下，表现也会不一样哦。
想象一下，如果这个世界没有全同粒子，那会变成啥样呢？科学研究可就难咯！好多奇妙的现象都没法解释啦。
全同粒子还和很多重要的科学理论紧密相关呢。
比如说量子力学，那可是个高深莫测的领域。
全同粒子在里面就像是主角一样，演绎着各种精彩的故事。
咱再换个角度想想，生活中不也有很多类似全同粒子的情况吗？比如说，同一批生产出来的商品，它们不也很相似吗？但每个商品又会有自己的命运，被不同的人买走，去到不同的地方。
全同粒子的存在让我们对世界有了更深刻的认识，让我们知道在微观世界里有着这么一群神奇的小家伙。
它们虽然微小，但却有着巨大的影响力。
全同粒子不就是大自然给我们的一个奇妙礼物吗？让我们能够窥探到微观世界的奥秘。
我们应该好好珍惜这个礼物，不断去探索、去发现。
所以啊，全同粒子可真是个了不起的东西！咱可得好好研究研究它们，说不定还能从中发现更多神奇的事情呢！。
系统微观运动状态的描述热力学
量子粒子：具有波粒二象性，非轨道运动，不可跟踪．
2) 系统的微观状态如何描述？
全同粒子可以分辨----------定每一个粒子的个体量子态。
-----------等概率原理
三、概率知识（数学） 1. 随机事件：一事件可能发生可能不发生 2.随机事件的概率： A：事件；N：总实验次数；NA：A事件发生次数 则A事件发生的概率为：
NA PA lim N N (0 PA 1)
3.概率的性质 a. 互斥事件：两随机事件不能同时发生，互为互斥事件。 互斥事件的概率：两随机事件或A或B发生的概率。 b.独立事件：两随机事件互不影响发生概率。 独立事件的概率：两随机事件A、B同时发生的概率。
[说明] 在确定的宏观状态下，系统可能的微观状态是大 量的，而且微观状态不断地发生着极其复杂的变化． 以理想气体为例，给定N、E、V只要求
N个分子的质心坐标都在体积V之内; N个分子的能量总和为E．
大量的微观状态可满足 三.宏观状态与微观状态的联系： 宏观状态量是相应微观物理量的统计平均值，
统计物理的根本问题：确定各微观状态出现的概率。
7.统计独立随机变量的联合分布
8.非统计独立随机变量的相关矩
( X X ) (Y Y ) XY X Y
量子态1 AA
量子态2 AA
量子态3
AA A A A A A A
6个不同 的状态!
������ c) 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态 最多容纳1个粒子．
������ 两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式：
第六章全同粒子体系
第六章全同粒⼦体系第六章全同粒⼦体系6.1 全同粒⼦体系之前所讨论的问题都是单粒⼦问题，在⾃然界中经常碰到由多个粒⼦所组成的体系，称为多粒⼦体系，这些体系或者由⾮全同粒⼦构成或者由全同粒⼦构成，⽽我们关注是由全同粒⼦构成的体系。
⾸先研究由全同粒⼦组成的多粒⼦体系的特性。
1、全同粒⼦我们称质量m，电荷q，磁矩M，⾃旋S等固有属性完全相同的微观粒⼦为全同粒⼦。
其中，固有属性⼜叫内禀属性，如所有的电⼦，所有的质⼦系都是全同粒⼦系，在相同的物理条件下，全同粒⼦体系中的全同粒⼦的⾏为应该是相同的。
全同粒⼦体系有个重要的特点，就是我们量⼦⼒学第5个基本假设给出的。
2、量⼦⼒学基本假设全同性原理假设（不能由量⼦⼒学中的基本假设推出）：全同粒⼦具有不可区分性，交换任何两个粒⼦不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量⼦⼒学中，粒⼦的状态是⽤波函数来描述的，如果描述两个粒⼦的波没有重叠，例如：把两个粒⼦分别置于两个不同的容器中，⾃然可以区分哪个是1粒⼦，哪个是2粒⼦；但如果描述两个粒⼦的波发⽣重叠，例如：氢原⼦中的两个电⼦，这两个全同电⼦就⽆法区分了，因为⼀切测量结果都不会因为交换⽽有所改变。
由于全同粒⼦的不可区分性，每个粒⼦都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒⼦并不形成新的状态。
在⾃然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒⼦体系的⼀些重要性。
3、全同粒⼦体系?H算符的交换不变性粒⼦不可区分，单体算符形式⼀样。
在量⼦⼒学情况下，微观粒⼦不存在严格意义的轨道，对于粒⼦的坐标，我们仅知道粒⼦在某处出现的⼏率，设有两个全同粒⼦在不同时刻给它们照相，根据照⽚上的位置，在某⼀时刻把它两个粒⼦编号，则在后⼀时刻的照⽚上没有任何根据能指出哪个是第⼀号，哪个是第⼆号，即使两次的照⽚时间间隔再短，也⽆法分辨。
但我们⼜必须给粒⼦的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N =），因为不可能把各个粒⼦的不同坐标的哦要⽤⼀个变量q来表⽰，这样，12,N q q q 代表第⼀个位置（含⾃旋），第⼆个位置，……各有⼀个粒⼦，不能规定是哪⼀个粒⼦；于是，12,N q q q 表⽰粒⼦的坐标（含⾃旋），但每⼀个坐标q 都不专属于某⼀个粒⼦，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N =各有⼀个粒⼦。
第六章：对称性与全同粒子
第六章：对称性与全同粒子对称性是一个体系最重要的性质。
1.守恒量定义：若力学量的平均值不随时间变化0d Fdt=，则称力学量F 为守恒量。
由ˆF Fψψ=和Schroedinger 方程ˆi H tψψ∂=∂ ，有ˆˆˆˆ1ˆˆ,d F F F F dtt t t F F H t i ψψψψψψ∂∂∂=++∂∂∂∂ =+∂若ˆF不显含时间t ， 1ˆˆ,d F F H dt i =按照定义，若ˆF与ˆH 对易，则ˆF 为守恒量。
例如：a ）对于自由粒子体系，2ˆˆ2p H m=，动量ˆp 不显含时间t ，且ˆˆ,0p H = ，有动量守恒；b ）对于一般体系，()2ˆˆ2p H V x m=+，ˆˆ,0p H ≠ ，动量不守恒； c ）对于中心场体系，()()222222ˆˆˆ222p L H V r r V r m mr r r mr∂∂ =+=−++ ∂∂ ，轨道角动量算符2ˆL , ˆi L 均不显含时间t ，且2ˆˆˆˆ,,0i L H L H ==，有轨道角动量及其任意分量守恒；d ）若ˆH 不显含时间t ，ˆˆ,0H H =，有能量守恒。
一个力学量是否为守恒量，由体系的ˆH决定。
守恒量的性质：a ）在任意态的平均值与时间无关（定义）；b ）在任意态的取值几率与时间无关 证明：ˆˆ,0F H =，ˆF ，ˆH 有共同完备本征矢n ， ˆnF n F n =，ˆn Hn E n =对于任一态()()nt nn t ψψ=∑， ()()n C t n t ψ=，ˆF 取值为n F 的几率为2()n C t 。
因为1ˆ()()()()()n n n n E E dC t n t n H t n t C t dtt i i i ψψψ∂====∂，故()(0)n i E t n n C t C e−= ，22()(0)n n C t C =与时间无关。
推论：a ）若体系初始时处于守恒量的本征态，则恒处于该本征态；b ）若体系初始时不处于守恒量的本征态，则恒不处于该守恒量的本征态；c ）量子力学中习惯用描述力学量本征值的量子数来标志状态，例如中心场中的状态nlm 用能量，角动量，角动量分量的量子数描述。
全同粒子的波函数特点
全同粒子的波函数特点
全同粒子是指具有完全相同量子态的一组粒子。
全同粒子的波函数具有以下特点：
1. 交换相干性
全同粒子的波函数具有交换相干性，即任意两个粒子交换后，波函数的幅度和相位不会发生改变。
这种特性也称为“交换不变性”。
交换相干性是全同粒子波函数最基本的特性之一，也是量子力学中对称性的体现之一。
2. 占据相同空间
全同粒子的波函数具有占据相同空间的特性。
在量子力学中，波函数是一种概率幅，描述了粒子的概率分布。
对于全同粒子，它们的波函数会占据相同的空间位置，即它们的位置概率分布是相同的。
3. 反对称性
全同粒子的波函数具有反对称性。
如果我们将全同粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数将发生符号反转。
具体来说，如果我们将两个粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数的符号将会发生改变。
这种特性也称为“反对称性”。
4. 球对称性
全同粒子的波函数具有球对称性。
在量子力学中，粒子的自旋和轨道运动是相互耦合的。
对于全同粒子，它们的自旋和轨道运动是相互独立的，因此它们的波函数可以具有球对称性。
具体来说，全同粒子的波函数可以表示为球谐函数的形式。
5. 唯一性
全同粒子的波函数具有唯一性，即对于一组全同粒子，它们的波函数是唯一的，不会因为不同的测量或不同的初始条件而发生改变。
这种唯一性也是量子力学中不可观察量的一个重要特性之一。
总之，全同粒子的波函数具有交换相干性、占据相同空间、反对称性、球对称性和唯一性等特点。
这些特性是量子力学中对称性和不可观察量的体现之一。
全同粒子
具体说明
具体说明
全同粒子的存在是客观物质世界的一项基本实验事实，也是被物理学界所普遍接受的一项基本理论信念。仍 以电子的电荷为例，虽然实验测量受到精确度的限制，而且各次测量结果在最后几位有效数字上有出入，但是当 前绝大多数物理学家仍一致相信，所有电子（包括未被测量过的电子）的电荷值应该完全相同，没有丝毫差别。 任何物理理论，尤其是量子理论，都是在这种信念的基础上建立起来的。
地位
地位
全同粒子是量子力学的基本概念之一。指内禀属性（质量、电荷、自旋等）完全相同的粒子。它们可以是基 本粒子，也可以是由基本粒子构成的复合粒子（如α粒子）。
量子力学
量子力学
量子力学是研究微观粒子运动规律的理论，是现代物理学的理论基础之一。量子力学是在本世纪20年代中期 建立起来的。19世纪末，人们发现大量的物理实验事实不能再用经典物理学中能量是完全连续性的理论来解释。 1900年，德国物理学家普朗克提出了能量子假说，用量子化即能量具有的不连续性，解释了黑体辐射能量分布问 题。1905年，爱因斯坦在此基础上提出了光量子假说，第一次揭示出光具有波粒二象性，成功地解释了光电效应 问题。1906年，爱因斯坦又用量子理论解决了低温固体比热问题。接着，丹麦物理学家玻尔提出了解释原子光谱 线的原子结构的量子论，并经德国物理学家索末菲等人所修正和推广。1924年，德国物理学家德布罗意在爱因斯 坦光量子假说启示下，提出了物质波假说，指出一切实物粒子也同光一样都具有波粒二象性。1925年，德国物理 学家海森堡和玻恩、约尔丹以矩阵的数学形式描述微观粒子的运动规律，建立了矩阵力学。接着，奥地利物理学 家薛定谔以波动方程的形式描述微观粒子的运动规律，建立了波动力学。不久，薛定谔证明，这两种力学完全等 效，这就是今天的量子力学。量子力学用波函数描写微观粒子的运动状态，以薛定谔方程确定波函数的变化规律。 应用量子力学的方法解决原子分子范围内的问题时，得出了与实验相符的结果;量子力学用于宏观物体或质量、能 量相当大的粒子时，也能得出与经典力学一样的结论。因此，量子力学的建立大大促进了原子物理、固体物理和 原子核物理学的发展，并推动了半导体、激光和超导等新技术的应用。它标志着人类认识已从宏观领域深入到微 观领域。量子力学为哲学研究的发展开辟了新的领域，它向人们提出了一系列新的哲学课题，诸如微观客体的存 在特征、微观世界是否存在因果关系、主客体在原则上是否不可分、主客体之间的互补问题等等。深入和正确地 回答这些问题，无疑将会推动马克思主义哲学的深入发展。
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§6.3 全同粒子的特性
重点：
全同粒子的分类及其特性
我们称质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。
例如所有的电子都是全同粒子，所有的质子也都是全同的粒子。
全同粒子具有下面一些特性：
（一）全同粒子的不可区分性
由全同粒子的不可区分性，使得在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变，这个论断被称为全同性原理，它是量子力学的基本原理。
（二）对称波函数和反对称波函数
微观全同粒子的不可区分性，对全同粒子的波函数提出了一个严格的要求，为了讨论方便，我们讨论两个粒子组成的体系，以q1表示第一个粒子的坐标r1和自旋S1，q2表示第二个粒子的坐标r2和自旋S2。
体系的哈密顿算符为
（6.3-1）
式中
、分别表示第一粒子和第二粒子在外场中的势能，表
示两个粒子之间的相互作用能。
由上式可见，将两个粒子互相调换后，体系的哈密顿算符保持不变：
（6.3-2）
体系的薛定谔方程
（6.3-3）
在方程两边，将
相互调换，得
（6.3-4）
这表示如果波函数
是体系薛定谔方程的解，则在这波函数中将1和2粒子互
换后得出的新函数
根据全同性原则，
间只能相差一常数因子，以
表示这常数因子，则
和互换，则有
在等式两边将
将上式代入（6.3-5）式右边，则有
所以
，即，这样就得到
上式取正号时，两粒子互换后波函数不变，
是对称波函数，我们以表示，即
（6.3-8）
是反对称波函数，我们用来表示，
式（6.3-7）取负号时，两粒子互换后波函数变号，
即
（6.3-9）
上面的讨论对两个以上全同粒子的体系同样成立，这时（6.3-7）式应改为
（6.3-10）
由此得出结论：描写全同粒子的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。
（三）费密子和玻色子
的奇数倍的粒子（如电子、质子、中子等），遵从费密-狄喇
（1）自旋为
成的全同粒子体系的波函数是反对称的。
的整数倍的粒子（如介子S=0，光子S=），遵从玻色-爱因
（2）自旋为零或为
斯坦统计，称为玻色子，由玻色子
组成全同粒子体系的波函数是对称的。
原子、原子核等复合粒子，到底属于哪一类粒子，则取决于它们所含费米子的奇偶数而决定。
由奇数个费米子组成
的复合粒子遵循费米统计，仍为费米子。
由偶数个费米子组成的复合粒子遵循玻色统计，则为玻色子。
由玻色子组
成的复合粒子，仍是玻色子。