第3章 函数的基本性质 3.6 函数的基本性质(2)
高中数学第三章函数的概念与性质3-2函数的基本性质3-2-1函数的单调性与最值学生用书湘教必修第一册
3．2 函数的基本性质 3．2.1 函数的单调性与最值教材要点要点一 函数最大(小)值设D 是函数f (x )的定义域，I 是D 的一个非空的子集．(1)如果有a ∈D ，使得不等式f (x )≤f (a )对一切x ∈D 成立，就说f (x )在x ＝a 处取到最大值M ＝f (a )，称M 为f (x )的最大值，a 为f (x )的最大值点；(2)如果有a ∈D ，使得不等式f (x )≥f (a )对一切x ∈D 成立，就说f (x )在x ＝a 处取到最小值M ＝f (a )，称M 为f(x )的最小值，a 为f (x )的最小值点．状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝－x 2(x ∈R )的最大值是0，有f (0)＝0.要点二 增函数与减函数的定义状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1＜x 2； (3)属于同一个单调区间． 要点三 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)________，区间I 叫作y ＝f (x )的________．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f (x )≤1恒成立，则f (x )的最大值是1.( )(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，+∞).( )(4)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )在区间[a ，c ]上在x ＝b 处有最小值f (b )．( )2．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调递减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(−∞，34]D ．[34，+∞)3．(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( )A ．f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0C ．f (a )≤f (x 1)＜f (x 2)≤f (b )D ．f (x 1)＞f (x 2)4．函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．题型1 利用图象求函数的单调区间例1 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象写出它的单调区间．方法归纳(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．跟踪训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3，1)∪(1，4)B．(－5，3)∪(−1，1)C．(－3，－1)，(1，4)D．(－5，－3)，(－1，1)(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是__________，递减区间是__________________．题型2 函数的单调性判断与证明例2 用定义证明函数f(x)＝x＋k(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．x方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 已知函数f (x )＝xx 2+4，判断并用定义证明f (x )在(0，＋∞)上的单调性．题型3 函数单调性的应用 角度1 比较大小例3 已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则( ) A ．f (34)＞f (a 2－a ＋1) B ．f (34)＜f (a 2－a ＋1)C ．f (34)≥f (a 2－a ＋1) D ．f (34)≤f (a 2－a ＋1)状元随笔 利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．角度2 解不等式例4 f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，若f (m －1)＞f (2m －1)，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．0＜m ＜32 C ．－1＜m ＜3D ．－12＜m ＜32状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内．角度3 利用函数的单调性求参数的取值范围例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2m在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围x+1是( )A．(－∞，0)∪(0，1] B.(−1，0)∪(0，1]C．(0，＋∞) D．(0，1]方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．角度4 求函数的最值例6 已知函数f(x)＝2(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．x−1方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图象的对称轴为直线x ＝2，则下列关系式正确的是( )A ．f (－1)＜f (1)＜f (2)B ．f (1)＜f (2)＜f (－1)C ．f (2)＜f (1)＜f (－1)D ．f (1)＜f (－1)＜f (2)(2)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，+∞)(3)已知函数f (x )＝|2x －a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． (4)已知函数f (x )＝32x−1，求函数f (x )在[1，5]上的最值．易错辨析 忽视函数的定义例7 已知函数f (x )＝{−x 2−ax −5(x ≤1)，ax(x ＞1)，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．－3≤a ＜0B ．a ≤－2C ．a ＜0D ．－3≤a ≤－2解析：函数f (x )＝{−x 2−ax −5(x ≤1)，ax (x ＞1)，是R 上的增函数，则f (x )＝－x 2－ax －5(x ≤1)单调递增，故它的对称轴－a 2≥1，即a ≤－2，此时f (x )＝ax (x ＞1)也单调递增，所以a ＜0，要保证在R 上是增函数．还需在x ＝1处满足－12－a ×1－5≤a1，即a ≥－3.综上所述，－3≤a ≤－2.答案：D 易错警示课堂十分钟1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y ＝f (x )的图象，则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1，4]上单调递增C ．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减D ．函数在区间[－5，5]上没有单调性 2．函数y ＝1x−1的单调减区间是( )A ．(－∞，1)，(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(1，+∞) C{x ∈R |x ≠1}D ．R3．函数y ＝2x+1在[2，3]上的最小值为( ) A ．1B ．13 C ．23D ．124．设关于x 的函数y ＝(k －2)x ＋1是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 5．已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围．3．2 函数的基本性质3．2.1 函数的单调性与最值新知初探·课前预习要点二f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数减函数要点三单调性单调区间[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√，+∞).2．解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是[34答案：D3．解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．故选AB.答案：AB4．解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(－2，－1)是最低点，∴y max＝2，y min＝－1.答案：－1，2题型探究·课堂解透例1 解析：(1)f (x )＝x 2－4|x |＋3＝{x 2−4x +3，x ≥0，x 2+4x +3，x <0.(2)如图．(3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)．跟踪训练1 解析：(1)在某个区间上，若函数y ＝f (x )的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3＝{−x 2+2x +3，x ≥0，−x 2−2x +3，x <0.画出函数图象如图，由图可知函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间是：(－∞，－1]，(0，1].递减区间是：[－1，0]，[1，＋∞)．答案：(1)C (2)(－∞，－1]，(0，1] [－1，0]，[1，＋∞) 例2 证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1+k x 1)−(x 2+k x 2)＝(x 1－x 2)＋(k x 1−k x 2)＝(x 1－x 2)＋k ·x 2−x1x 1x2＝(x 1－x 2)－k ·x 1−x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2−k x 1x 2，因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0.当x 1，x 2∈(0，√k ]时，x 1x 2－k <0⇒f (x 1)－f (x 2)>0，此时函数f (x )为减函数； 当x 1，x 2∈(√k ，＋∞)时，x 1x 2－k >0⇒f (x 1)－f (x 2)<0，此时函数f (x )为增函数． 综上，函数f (x )＝x ＋kx (k >0)在区间(0，√k ]上为减函数，在区间(√k ，＋∞)上为增函数．跟踪训练2 解析：f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． 证明如下：∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 1x +124－x2x +224＝x 1(x +224)－x2(x +124)(x +124)(x +224)＝(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x +124)(x +224)，因为0<x 1<x 2，所以x 2−x 1>0，(x +124)(x 22＋4)>0.当x >2时，x 1x 2−4>0，(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x +124)(x +224)>0，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时f (x )单调递减． 当0<x <2时，x 1x 2−4<0，(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x +124)(x +224)<0，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时f (x )单调递增．所以，f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．例3 解析：∵a 2－a ＋1＝(a −12)2＋34≥34.又∵函数y ＝f (x )在[0，＋∞)是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34).故选C.答案：C例4 解析：由题意知{−2<m −1<2，−2<2m −1<2，m −1<2m −1，解得0<m <32.故选B.答案：B例5 解析：函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1，g (x )＝2m x+1的图象由y ＝2m x 的图象向左平移一个单位长度得到的，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得m 的取值范围是(0，1].故选D.答案：D例6 解析：∀x 1，x 2∈[2，6]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1−1−2x 2−1＝2[(x 2−1)−(x 1−1)](x 1−1)(x 2−1)＝2(x 2−x 1)(x 1−1)(x 2−1). 由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以，函数f (x )＝2x−1在区间[2，6]上单调递减．因此，函数f (x )＝2x−1在区间[2，6]的两个端点处分别取得最大值与最小值．在x ＝2时取得最大值，最大值是2；在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.跟踪训练3 解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝2，所以f (x )在(－∞，2]上单调递减，因为2>1>－1，所以f (2)<f (1)<f (－1)．故选C.(2)因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.故选C.(3)f (x )＝|2x －a |＝{2x −a ，x ≥a 2−2x +a ，x <a 2， 所以f (x )＝|2x －a |的单调递减区间是(−∞，a 2)，单调递增区间是[a 2，+∞)， 若函数f (x )＝|2x －a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 2＝3，解得a ＝6.(4)先证明函数f (x )＝32x−1的单调性，设x 1，x 2是区间(12，+∞)上的任意两个实数，且x 2>x 1>12， f (x 1)－f (x 2)＝32x1−1−32x 2−1＝6(x 2−x 1)(2x 1−1)(2x 2−1). 由于x 2>x 1>12，所以x 2－x 1>0，且(2x 1－1)·(2x 2－1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )＝32x−1在区间(12，+∞)上是单调递减的，所以函数f (x )在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f (x )＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f (1)＝3，最小值为f (5)＝13.答案：(1)C (2)C (3)6 (4)见解析 [课堂十分钟]1．解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“∪”连接．故选ABD.答案：ABD2．解析：单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C ，D 不对，B 表达不当．故选A.答案：A3．解析：∵函数y ＝2x+1在[2，3]上单调递减，∴当x ＝3时，y ＝2x+1有最小值12. 故选D.答案：D4．解析：f (x )为R 上的增函数，则k －2>0，k >2.答案：(2，＋∞)5．解析：∵f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，∴{−1≤x −2≤1，−1≤1−x ≤1，x −2<1−x ，解得1≤x <32， 所以x 的取值范围为1≤x <32.。
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
函数的基本性质(2)函数单调性
课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性学 科：高中数学课程类型：基础型课式类型：新授课执教老师：田红兵授课班级：高一（2）班一、教学目标1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征，能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函数的单调性。
2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论证和语言表达的能力。
3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良好的思维习惯。
二、教学重点及难点重点：函数单调性的概念难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明三、教学用具准备：多媒体课件四、教学过程设计 策略与方法（一）情景引入1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ）问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课，趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念预案：随年份的增加而增加。
在生活的原型，认识研问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。
预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数值是增大还是减小，对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续研究这个问题。
(二).归纳探索，形成概念1.借助图象，直观感知问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=，x y 1=的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类(2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图(3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。
§3.4.2 函数的基本性质(2) 函数奇偶性的定义及运用
§3.4.2函数的基本性质——函数的奇偶性的定义及运用1．熟悉掌握函数奇偶性的定义及运算；2．掌握处理有关函数奇偶性的常用方法； 3．知道有关奇偶性的一些运算性质.问1 试总结判断函数奇偶性的方法.问2 试总结关于奇偶函数的重要结论.（龙门P148）例1 证明：（1）一次函数(0)y kx b k =+≠是奇函数的充要条件是0b =；（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数的充要条件是0b =； （3）函数()y f x =既是奇函数又是偶函数的充要条件是()0f x =.[举一反三] 判断函数()f x ax b =+的奇偶性例2 已知5()4f x ax bx =++，其中a ，b 为常数，(2)3f =，求(2)f -的大小.[举一反三]（1）已知函数()f x 与()g x 满足()2()1f x g x =+，且()g x 为R 上的奇函数，(1)8f -=，求(1)f .（2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，定义域为[1,2]a a -，则______a =，______b =例3 分别根据下列条件，求实数a 的值：（1）设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数； （2）函数1()21x f x a =++是定义域上的奇函数.（若改成“1()21x f x a =+-”呢？）[举一反三] （1）判断函数11()()312x f x x =+-的奇偶性；（2）已知2()(1)f x mx m x m =+++是R 上的偶函数，求实数m 的值.例4 已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x +=+， 求函数()f x 、()g x 的表达式.[练习] 设()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，（1）判断2()[()]3()F x f x g x =-的奇偶性；（2）若23()3()623f x g x x x +=-+，求()f x ，()g x 的解析式.[抽象函数的奇偶性]*例5 已知函数()f x 的定义域为R ，且不恒为0，对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，求证：()f x 为奇函数.*例6 已知函数()f x 不恒为零，并且对一切,x y R ∈，都有()()()1x yf x f y f xy++=+， 求证：()f x 为奇函数.1. 若函数()()()F x f x f x =--，则函数()F x 的奇偶性是________________.2. 已知函数),,(,6)(35为常数c b a cx bx ax x f -++=，若8)8(=-f ，则)8(f = _____ . 3. 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且2()()23f x g x x x -=++，则()()__________f x gx +=.4. 已知函数121)(+-=x a x f ，若)(x f 为奇函数，则a = 5. 以下四个函数① ()21f x x =-；② 1()1x f x x -=+；③ 221()1x f x x -=+；④ 53()f x x x =+，既不是奇函数又不是偶函数的是_______________. 6. 已知2()(1)()21x F x f x =+-（0x ≠）是奇函数，且()f x 不恒为零，则()f x 的奇偶性为________. 7. 已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有8个交点，则方程()0f x =的所有实数根之和为_____________.8. 已知定义域为R 的任意奇函数)(x f ，都有（ ）A.0)()(>--x f x f ；B. 0)()(≤--x f x f ；C. ()()0f x f x ⋅-≤；D. ()()0f x f x ⋅->.9. ()f x 、()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x 、()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．非充分非必要条件.10. 已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列函数中一定是奇函数的是（ ）A.[][]22)()(x g x f +； B. [])(x g f ； C. )()(x g x f -； D. )()(x g x f .11. 已知⎩⎨⎧<--->+-=0,10,1)(22x x x x x x x f ，则)(x f 为（ ）A.奇函数；B. 偶函数；C. 非奇非偶函数；D. 不能确定12. ()f x 是定义在A 上的奇函数，且()0f x ≠，而()()g x y f x =是定义在B 上的偶函数，则()g x 是（ ） A ．在A 上的奇函数； B ．在A 上的偶函数；C ．在B 上的奇函数；D ．在B 上的偶函数；13. 已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，函数()y f x =的图像如图所示，则函数(||)f x 的图像是（ ）14. 函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，其中,,a b c Z ∈，若(1)2f =，(2)3f <，求,,a b c 的值.15. 已知二次函数()f x 是偶函数，且经过点(3,6)，求它的一个解析式.16. 若0a >，1a ≠，()F x 为奇函数，11()()12x G x F x a ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦，试判断()G x 的奇偶性.17. 已知.12)(x xx f +=（1）求)1()(xf x f +；（2）求1210012100(1)(2)(100)()()()()()()222100100100f f f f f f f f f ++⋯⋯++++⋯⋯++⋯⋯+++⋯⋯+的值.18. 定义在R 上的函数()f x 对任意x y R ∈、都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅，且(0)0f ≠，判断()f x 的奇偶性并加以证明.（A ） （B ） （C ） （D ）第13题图。
第三节函数的基本性质
第三节函数的基本性质1、判断函数的单调性【例1】试讨论函数()1log 1ax f x x +=-中的单调性（其中0a >且1a ≠）。
练习：判断函数2()1axf x x =- (a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性。
点评：（1）证明函数单调性时，一定要严格按照定义来证明，主要步骤是：①设元；②作差（商）；③变形；④判断符号；⑤定论。
变形要彻底，一般通过因式分解、配方等手段，直到符号的判定非常明显。
（2）判断函数单调性的常用方法：①定义法。
②两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）数当f(x)恒为正或恒为负时，)x (f 1y =与)x (f y =的单调性相反。
③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。
④如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数。
⑤如果)u (f y =和)x (g u =单调性相同，那么)]x (g [f y =是增函数；如果)u (f y =和)x (g u =单调性相反，那么)]x (g [f y =是减函数。
⑥如果f(x)在区间D 上可导且)x (f '在区间D 上恒大于（小于）零，则)x (f y =在区间D 上单调递增（减）。
2、求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：（1）;2x 3x )x (f 2-+-= （2）|;x |3)x (f =（3）;3|x |2x )x (f 2++-= （4）).0x (x 9x )x (f >+=分析：求给定函数的单调区间通常采用以下方法：①利用已知函数的单调性；②图象法；③定义法（利用单调性的定义探讨）。
点评：①函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行．②可以熟记一些基本函数的单调性，化一些复杂的函数为基本函数组合形式后利用已知结论判断．③函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．3．判断函数的奇偶性【例3】 判断下列函数的奇偶性，并说明理由。
第三章 函数的概念与性质(课堂笔记)
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念1.概念的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =f (x ),x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f x x ∈A }叫做函数的值域．2.函数三要素：定义域、对应关系、值域。
3.区间若a ,b ∈R ,且a <b ，则（1）x |a ≤x ≤b =a ,b 闭区间（2）x |a <x <b =a ,b 开区间（3）x |a ≤x <b =a ,b ) 半开半闭区间x |a <x ≤b =(a ,b ]半开半闭区间∞表示无穷大，R =-∞,+∞（4）x |x <a =-∞,a x |x ≤a =-∞,a ] （5）x |x >a =(a ,+∞)x |x ≥a =[a ,+∞)4.常见求函数定义域方法(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根号下被开方数大于等于零；(3)零的零次方无意义；a 0=1,a ≠0(4)对数式的真数大于零；(5)定义域多个取值范围同时满足，求交集。
例：函数f (x )=-x 2+4x +12+1x -4的定义域是.解：要使函数有意义，需满足-x 2+4x +12≥0x -4≠0，即-2≤x ≤6x ≠4 .即-2≤x <4或4<x ≤6，故函数的定义域为[-2,4)⋃4,6 ．5.判断函数为同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系也完全一致，那么这两个函数是同一个函数。
3.1.2函数的表示方法1.函数的表示方法：表格法、图像法、解析式法2.分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同的对应关系，则称其为分段函数。
第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2第2课时奇偶性的应用
课堂 小结 提素 养
1．记牢 2 个知识点 (1)利用奇偶性，求函数的解析式． (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式． 2．理解 2 个特点 具有奇偶性的函数的单调性的特点 (1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性． (2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
[跟进训练] 1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函 数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A [由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增 函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自 变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞ f(－3)＞f(－2)，故选A.]
即f(x)－g(x)＝x＋1 1.
②
联立①②得
f(x)＝x2－x 1，g(x)＝x2－1 1.
利用函数奇偶性求解析式的方法 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区 间上设. 2要利用已知区间的解析式进行代入. 3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx. 提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0， 但若为偶函数，未必有f0＝0.
(2) fx＋gx＝x－1 1 ―用―－―x代――式―中→x
得f－x＋g－x＝－x1－1 ―奇―偶―性→
1 得fx－gx＝－x＋1
―解―方―程―组→
[解] (1)设 x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，f(x)＝－x－1. 又 x＝0 时，f(0)＝0，
函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
3.2函数的基本性质(单调性、最值、奇偶性)(新课改2019新版人教A版高中数学必修第一册)
6
3.2函数的基本性质
• 2.单调性
• (3)判断单调性：借助图形；定义.
• (4)证明单调性：定义法.
(5)步骤：
若 若① ② ③fff计(((xxxx算1111,)))xf2(xfff1((()Dxxx,222
且)f与(xx012比)，较x2将；：其分解为若干可以直接确定符号的式子； ) 0，则f (x)在D上单调递增； ) 0，则f (x)在D上单调递减.
当k 0时, f ( 所以函数y
x1 ) kx
bf在(xR2 )上单0即调f递(x1增) ，f即(x函2 ).数y
kx
b是增函数.
当k 0时, f ( 所以函数y
x1 ) kx
bf在(xR2 )上单0即调f递(x1减) ，f即(x函2 ).数y
kx
b是减函数.
9
3.2函数的基本性质
• 2.单调性
11
3.2函数的基本性质
函数的最值与单调性密切相联.
• 3.最值
• (1)定义 一般地，设函数y f (x)的定义域为I，
若存在实数M 满足： 则①称xM是I，y 都 有f (fx)(的x)最 M大；值②. x0 I，使得f (x) M .
y
y=x²
O
x
若存在实数M 满足：
y
①x I，都有f (x) M；②x0 I，使得f (x) M . 则称M 是y f (x)的最小值. 函数y f (x)在闭区间[a,b]上单调递增或递减，
x
2取1 得最大值，在x
6处取得最小值.
O
由f (2) 2 2, f (6) 2 0.4. 所以该函2数1的最大值为26，最1 小值为0.4.
x
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们f x，()的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
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一、解答题
沪教版(上海) 高一第一学期 新高考辅导与训练 第3章 函数的基本性质 3.6 函数的基本性质（2）
1.
用定义证明函数，在区间为单调增函数.
2. 写出函数的单调区间.
3. 已知函数，其中a为常数.问当a 为何值时，在上单调递增.
4. 写出下列各函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3），其中k 是常数且；
（4）.
5. 求证：函数在R上单调递增.
二、填空题6. 求证：在上单调递减.
7.
求函数的单调区间.
8.
已知函数在区间上单调递增，求实数k 的取值范围.
9. 已知
是定义在上的奇函数，且在上单调递减.若，试确定a 的取值范围.
10.
画出函数的大致图象，并根据图象写出这个函数的单调区间.
11. 已知函数，试写出函数的单调区间.
12. 函数的单调递减区间是__________.
13. 已知二次函数的图象为开口向上且对称轴是
的抛物线，则，
，的大小关系是________.
14. 已知定义在R 上的偶函数在上单调递增，则在上的单调性是________.
15. 已知下列各命题：①若在定义域内存在使得成立，则函数是增函数；②函数在其定义域内是减函数；
③函数在其定义域内是增函数.其中是真命题的是___________（填写序号）.
16. 函数的单调递增区间是__________.
17. 函数的单调递减区间是__________.
18. 函数的单调递增区间是____________.
19. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________.。