反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附Matlab程序
矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。
矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。
其基本思想是任取一个非零的初始向量。
由所求矩阵构造一向量序列。
再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。
本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。
计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。
然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。
关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIXABSTRACTPhysics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximum characteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.Key words: Matrix；Eigenvalue；Eigenvector；Iteration methods;目录1 引言 (1)2 相关定理。
实验6反幂法求矩阵按模最小特征值
西华数学与计算机学院上机实践报告课程名称：计算方法A年级： 上机实践成绩： 指导教师：严常龙姓名： 上机实践名称：反幂法求矩阵按模最小特征值 学号：上机实践日期： 上机实践编号：1上机实践时间： 一、目的1．通过本实验加深对反幂法的构造过程的理解；2．能对反幂法提出正确的算法描述编程实现，得到计算结果。
二、内容与设计思想自选方阵，用反幂法求解其按模最小特征值。
可使用实例：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=90688465441356133A三、使用环境操作系统：Windows XP软件环境：Microsoft Visual C++四、核心代码及调试过程#include<stdio.h>#include<math.h>#define MAX_N 20 //矩阵最大维数#define MAXREPT 100#define epsilon 0.00001 //求解精度int main(){int n;int i,j,k;double xmax,oxmax;static double a[MAX_N][MAX_N];static double l[MAX_N][MAX_N],u[MAX_N][MAX_N];static double x[MAX_N],nx[MAX_N];printf("\n 请输入矩阵阶数n:"); //输入矩阵维数scanf("%d",&n);if(n>MAX_N){printf("the input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n");return 1;}if(n<=0){printf("please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N);return 1;}//输入A矩阵printf("请输入矩阵的值a[i][j] i,j=0...%d;\n",n-1);for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)scanf("%lf",&a[i][j]);for(i=0;i<n;i++)x[i]=1;oxmax=0;for(i=0;i<MAXREPT;i++){for(j=0;j<n;j++) //幂乘{nx[j]=0;for(k=0;k<n;k++)nx[j]+=a[j][k]*x[k];}xmax=0.0;for(j=0;j<n;j++) //规范化if(fabs(nx[j])>xmax)xmax=fabs(nx[j]);for(j=0;j<n;j++)nx[j]/=xmax;for(j=0;j<n;j++)x[j]=nx[j];if(fabs(xmax-oxmax)<epsilon){printf("solve...max lamda=%lf\n",xmax); //输出printf("the vector is:\n");for(i=0;i<n;i++)printf("%f\n",nx[i]);break;//return 0;}oxmax=xmax;}//printf("after %d repeat ,max no result ...\n",MAXREPT); for(i=0;i<n;i++)u[i][i]=1; //U矩阵对角元为for(k=0;k<n;k++){for(i=k;i<n;i++) //计算L矩阵{l[i][k]=a[i][k];for(j=0;j<=k-1;j++)l[i][k]-=(l[i][j]*u[j][k]);}for(j=k+1;j<n;j++) //计算U矩阵{u[k][j]=a[k][j];for(i=0;i<=k-1;i++)u[k][j]-=(l[k][i]*u[i][j]);u[k][j]/=l[k][k];}}for(i=0;i<n;i++)x[i]=1;for(i=0;i<MAXREPT;i++){for(j=0;j<n;j++) //反幂乘{nx[j]=x[j];for(k=0;k<=j-1;k++)nx[j]-=l[j][k]*nx[k];nx[j]/=l[j][j];}for(j=n-1;j>=0;j--){x[j]=nx[j];for(k=j+1;k<n;k++)x[j]-=u[j][k]*x[k];}xmax=0.0;for(j=0;j<n;j++)if(fabs(x[j])>xmax)xmax=fabs(x[j]);for(j=0;j<n;j++)x[j]/=xmax;if(fabs(xmax-oxmax)<epsilon){printf("solve... min lamda=%lf\n",1/xmax); //输出printf("the vector is:\n");for(i=0;i<n;i++)printf("%f\n",x[i]);break;//return 0;}oxmax=xmax;}return 1;}五、总结本次试验利用C语言实现了用反幂法求解其按模最小特征值，通过本实验加深对反幂法的构造过程的理解。
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
幂法和反幂法
此例中比值为 2 2 . 1 3
例2：用幂法计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。
解： 取初始向量 01
2 4 A 3 9
4 16
v u 1 1 1 ,按(3.7)迭代5次得到数据T如下 表: 00
1 11
11
ukT
6 15 36
k
vkT
(规范化向量)
5 0.1859 0.4460 1 8.156 19.57 43.88
v (i) k 1 v (i) k
1?
即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值一定收敛到主特征值？
不一定. 先讨论以下情况：
情形1: 设n n阶实矩阵A的特征值i (i 1, 2, , n) 满足 1 2 n 且与i (i 1, 2, , n)相应的特征
向量x1 , x2 , , xn 线性无关。
v (1) 2
v (1) 1
0.41 ,
v (2) 2
v (2) 1
0.41666,
v (1) 3
0.41260,
v (2) 3
0.41249,
v (1) 2
v (2) 2
v (1) 4
v (1) 3
0.41263,
v (2) 4
v (2) 3
0.41263,
问题:是否任何矩阵的幂法，当k比较大时，一定有
故按模特征值为:
1 43.88 对应的特征向量为:
u1 0.1859 0.4460 1.0000T
例3 用幂法求矩阵 的主特征值和主特征向量.
1 1 0.5 A 1 1 0.25
0.5 0.25 2
解 : 取初始向量u0 (1,1,1)T , 按(3.2)的计算结果如表9 1。
数值分析幂法和反幂法
| 1 |>| 1 |≥…≥| 1 |
n
n 1
1
对 A 1 实行幂法，就可得 A 1 的绝对值最大的特征值 1/ n 和相应的特征向量， 即 A 的绝对值最小的特征值和相应的特征向量。
由于用 A 1 代替 A 作幂法计算，因此该方法称为反幂法，反幂法的迭代格
说
（ I-A）x=0
（3）
明
的解，就可得到相应的特征向量。
上述方法对于 n 很小时是可以的。但当 n 稍大时，计算工作量将以惊
人的速度增大，并且由于计算带有误差，方程（2）未必是精确的特征方程，
自然就不必说求解方程（2）与（3）的困难了。幂法是一种计算矩阵主特
征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，特别是用于
按式（1）计算出 m k 和 u (k ) 满足
lim
k
m
k
=
1
,
lim u (k ) = x1
k
max(x1 )
（二）反幂法算法的理论依据及推导
反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对 幂法的修改，可以给出更快的收敛性。
1、反幂法的迭代格式与收敛性质
设 A 是非奇异矩阵，则零不是特征值，并设特征值为 | 1 |≥| 2 |≥…≥| n1 |>| n |
幂法流程图：
开始
输入 A；[m,u,index] =pow(A,1e-6)
k=0;m1= v=A*u
[vmax,i]=max(abs(v))
m1=m;k=k+1
m=v(i);u=v/m
abs(m-m1)< 1e-6
index=1;break; 输出：m，u，index
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量
(1)
lim
k
uk
xj
,
max (x j )
(2)
lim
k
max(
vk
)
j
1
p
,即
6
p
1 max (vk
)
j
(当k ),
且收敛速度由比值 r j p / mi确inj 定.i p
由该定理知，对 A(其p中I 可用来计算特征向量 x .j
) p应用反j 幂法，
只要选择的 是p 的一j 个较好的近似且特征值分离情
况较好，一般 r很小，常常只要迭代一二次就可完成特征
向量的计算.
反幂法迭代公式中的 是vk通过解方程组
( A pI )vk uk1
求得的. 为了节省工作量，可以先将 A 进pI行三角分解
7
P( A pI ) LU ,
x3 (1, 1 3, 2 3)T (1, 0.73205, 0.26795)T , 由此看出 u是2 的x3相当好的近似.
特征值3 1.2679 1/ 2 1.267949013 ， 的真值 3 3 3 1.26794912 .
v1 (12692, 9290.3, 3400.8)T ,
11
u1 (1, 0.73198, 0.26795)T , 由 LUv2 ，P得u1
v2 (20404, 14937, 5467.4)T , u2 (1, 0.73206, 0.26796)T ,
对3 应的特征向量是
如果矩阵 ( A 存p在I )，1 其特征值为
3
幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量(DOC)
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++======∑∑ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。
2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。
4方阵的特征值和特征向量的计算
3
4 5
8.168
8.157 8.157
19.60
19.57 19.57
43.92
43.88 43.88 10
0.1860
0.1859 0.1859
0.4463
0.4460 0.4460
1
1 1
三、 反幂法 反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的特征向量。 设A是非奇异矩阵，其特征值的次序为
6
注3 当|λ 1|>1时，迭代向量{vk}的各个分量将随着|λ 1|k变 得很大而使计算机“上溢”。当|λ 1|<1时，迭代向量{vk}的 各个分量将随着|λ 1|k变得很小vk 成为零向量。
为克服这两个弊端，常将向量序列规范化处理，就得到了 改进的乘幂法。 二、改进的乘幂法
设 v 为非零向量，将其规范化得到向量
| 1 || 2 |
| n1 || n |
相应的特征向量为
则A-1的特征值满足
x1 , x2 ,
1 | n | 1 | n1 |
, xn
1 | 1 |
只要求出A-1的按模最大的特征值，也就求出了A的按模最小的 特征值，及其相应的特征向量。 任取初始非零向量向量v0，构造向量序列
6 2 4 例4.2 求矩阵 A 3 9 15 4 16 36 按模最大的特征值和相应的特征向量 解 计算结果见下表
k 0
1 2
vk
1 12.00 8.357 1 27.00 19.98 1 56.00 44.57 1 0.2143 0.1875
uk
1 0.4821 0.4483 1 1 1
vk Avk 1 =
=A v0
3
产生的向量序列
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量
a(k) kn
a(k) k 1,n
a(k) n,k 1
a(k) nn
17
其中
ck
(ak( k)1,k
,,
a(k) nk
)T
Rnk ,
A1(1k ) 为
k 阶上海森伯
格阵，A2(2k ) R . (nk )(nk )
设 ck 0，于是可选择初等反射阵 Rk 使 Rkck ke1， 其中, Rk 计算公式为
13
（1） 设
a11 a12 a1n
A
a21
an1
a22
an 2
a2n
ann
a11 c1
A(1) 12
A(1) 22
,
其中 c1 (a21,, an1)T R n1，不妨设 c1 0, 否则这一 步不需要约化.
本节讨论两个问题 （1） 用初等反射阵作正交相似变换约化一般实矩阵A 为上海森伯格阵. （2） 用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵A 为 对称三对角阵. 于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上海森伯格阵 或对称三对角阵的特征值问题.
8.3.2 用正交相似变换约化一般矩阵为上海森柏格阵
设 A (aij ) R nn . 可选择初等反射阵U1,U2 ,,Un2 使 A 经正交相似变换约化为一个上海森伯格阵.
则
A2
U1 A1U1
a11 R1c1
A(1) 12
R1
R1
A(1) 22
R1
（3.1）
15
a11
天津大学《数值计算方法》在线作业二答案
A.按模最大
B.按模最小
C.全部
D.任意一个
?
正确答案：B
8. ()是利用函数的值求自变量的值。
A.三次样条插值
B.反插值
C.分段插值
D.爱尔米特插值
?
正确答案：B
9. A.
B.
C.
D.
?
正确答案：B
10.梯形公式是求解常微分方程的()阶方法。
《数值计算方法》在线作业二
一,单选题
1. A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
?
正确答案：A
2.设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为()。
A. -0.5
B. 0.5
C. 2
D. -2
?
正确答案：A
3.求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为()步法。
A.多
B. 2
C. 3
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
8.高斯-塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。()
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
9. A.错误
B.正确
?
正确答案：A
10.逐次超松弛迭代法是高斯-赛.正确
?
正确答案：B
A. 2
B. 4
C. 3
D. 5
?
正确答案：A
二,判断题
1.梯形方法是一种隐式的多步法。()
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
2.求解微分方程初值问题的向后Euler法是隐式方法。()
A.错误
B.正确
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3 对应的特征向量是
x3 (1, 1 3, 2 3 )T (1, 0.73205, 0.26795)T ,
由此看出 u2 是 x3 的相当好的近似.
特征值 1.2679 1 / 2 1.267949013 3
3 3 3 1.26794912.
12
u0 i xi
i 1 n
( j 0),
( A pI ) k u0 vk , ( k 1) max (( A pI ) u0 ) ( A pI ) k u0 uk , k max (( A pI ) u0 )
其中
( A pI )
k
u0 i (i p ) k xi ,
k u k k Rk ( (k sgn ( ak k ) , k ) aik ) 1 i k 1
n
2
1/ 2
,
ck k e1 ,
( k ( k ak k ) , k ), 1 T I k 1u k u k .
否则这一
T 选择初等反射阵 R1 I 11u1u1 使 R1c1 1e1 , 其中
14
1/ 2 n 1 sgn ( a21 ) ai2 , 1 i 2 u1 c1 1e1 , 1 1 ( 1 a21 ).
n 1
1
1
,
对应的特征向量为 xn , xn 1 ,, x1 . 因此计算 A 的按模最小的特征值n的问题就是计算 A1 的按模最大的特征值的问题.
1
对于 A1应用幂法迭代（称为反幂法），可求得矩阵 A1 的主特征值 1 / n ，从而求得 A的按模最小的特征值 n . 反幂法迭代公式为： 任取初始向量 v0 u0 0 ,
3
1 1 1 , ,, , 1 p 2 p n p
对应的特征向量仍然是 x1 , x2 ,, xn . 1 对矩阵 ( A pI ) 应用幂法，得到反幂法的迭代公式
u0 v0 0, 初始向量 vk ( A pI ) 1 uk 1 u v / max( v ) k k k (k 1,2, ).
(2 a22) 2
(3 a33)
n2
( ann ,2 )1 1 n n 1
17
( (k (k 其中 ck (akk ) ,k ,, ank ) )T R nk , A11 ) 为 k 阶上海森伯 1 A( k 格阵， 22 ) R ( n k )( n k ) .
设 ck 0，于是可选择初等反射阵 Rk 使 Rk ck k e1 ， 其中, Rk 计算公式为
8.3
8.3.1
豪斯霍尔德方法
引言
本节讨论两个问题 （1） 用初等反射阵作正交相似变换约化一般实矩阵 A 为上海森伯格阵. （2） 用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵A 为 对称三对角阵. 于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上海森伯格阵 或对称三对角阵的特征值问题. 8.3.2
U 设 A (aij ) R nn . 可选择初等反射阵 1 ,U 2 ,,U n 2 使 A 经正交相似变换约化为一个上海森伯格阵.
(2 a13 ) (2 a23) (2 a33 )
( an2 ) 2
( an2 ) 3
(2 a1n ) ( 2) a2 n (2 A11 ) ( a32 ) n 0 c 2 ( 2) ann
(2 A12 ) , ( 2) A22
13
用正交相似变换约化一般矩阵为上海森柏格阵
（1） 设
a11 a21 A a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n a11 c 1 ann
(1 A12) , (1) A22
其中 c1 (a21, , an1 )T R n 1，不妨设 c1 0, 步不需要约化.
8.2.3
反幂法
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量， 也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量. 设 A R nn 为非奇异矩阵， A 的特征值次序记为
1 2 3 n ,
相应的特征向量为 x1 , x2 ,, xn，则 A1的特征值为
1
n
1
(1) lim u k
k
xj max ( x j )
,
( 2)
1 lim max( vk ) ,即 k j p
6
1 p j max (vk )
(当k ),
且收敛速度由比值 r j p / min i p 确定. i j 由该定理知，对 A pI (其中 p j ) 应用反幂法， 可用来计算特征向量 x j . 只要选择的 p是 j 的一个较好的近似且特征值分离情 况较好，一般 r 很小，常常只要迭代一二次就可完成特征 向量的计算. 反幂法迭代公式中的 vk是通过解方程组
i 1
n
5
同理可得：
A n A 定理16 设 R nn 有 个线性无关的特征向量， 的特征值及对应的特征向量分别记为 i 及 xi (i 1,2,, n), 而 p为 j 的近似值，( A pI ) 1 存在，且
j p i p
(i j ).
则对任意的非零初始向量 u0 ( j 0) ，由反幂法迭代公式 （2.12）构造的向量序列{vk },{uk } 满足
P( A pI ) LU ,
其中
10
1 0 0 L 0 1 0 , 0.7321 0.26807 1 1 1 0.7321 U 0 1 2.7321 , 0 0 0.29405 10 3 0 P 0 1 1 0 0 0 1 . 0
（3.1）
令
1 U1 , R1
(1 A12) R1 (1) R1 A22 R1
则
a11 A2 U1 A1U1 R c 1 1
15
a11 1 0 0
(2 a12 ) (2 a22) (2 a32 )
由 Uv1 (1,1,1)T，得
v1 (12692, 9290.3, 3400.8)T ,
11
u1 (1, 0.73198, 0.26795)T ,
由 LUv2 Pu1，得
v2 (20404, 14937, 5467.4)T , u2 (1, 0.73206, 0.26796)T ,
(2 ( (2 其中 c2 (a32) , , an2) )T R n 2 , A22 ) R ( n 2 )( n 2) . 2
k (2) 第 步约化：重复上述过程，设对 A ，…，第 k 1步正交相似变换，即有
Ak U k 1 Ak 1U k 1 ,
已完成第1步
（2.13）
用回代求解（2.13）即得v1 ，然后再按公式（2.12）进行迭 代. 反幂法计算公式 1. 分解计算
8
P( A pI ) LU , 且保存L,U及P信息.
2. 反幂法迭代
(1) 解Uv1 (1,1, ,1)T 求v1
1 max( v1 ), u1 v1 / 1
（2.12）
如果 p是 A的特征值 j 的一个近似值，且设 j 与其 他特征值是分离的，即
j p i p
(i j ),
1 1 就是说 是 ( A pI ) 的主特征值，可用反幂法计算 j p
4
特征值及特征向量. nn 设 A R 有 n个线性无关的特征向量 x1 , x2 ,, xn， 则
( 2) k 2,3, 1) 解 Lyk Puk 1 求 yk 解 Uvk yk 求 vk 2) k max( vk ) 3) 计算 u k vk / k
9
例6
用反幂法求
2 A 1 0 1 3 1 0 1 4
的对应于计算特征值 1.2679 （精确特征值为 3 3 3 ) 的特征向量（用5位浮点数进行运算）. 解 分解为 用部分选主元的三角分解将 A pI (其中 p 1.2679 )
vk A1u k 1 vk u k max( vk )
构造向量序列
( k 1,2, ).
迭代向量 vk 可以通过解方程组
Avk uk 1
求得.
n A 定理15 设 为非奇异矩阵且有 向量，其对应的特征值满足
个线性无关的特征
2
1 2 n1 n 0,
则对任何初始非零向量 u0 ( n 0) ，由反幂法构造的向量 序列 {vk },{uk }满足
(1) lim u k
k
xk , max ( xk ) 1
( 2)
lim max( vk )
k
n 收敛速度的比值为 r . n 1
n
.
反幂法中也可以用原点平移法来加速迭代过程或求其 他特征值及特征向量. 如果矩阵 ( A pI ) 1存在，其特征值为
(k akk ) ( ak k ) , k 1
( ak kk)1 , ( ak k ) ,k 1 1
(k ank )
( ankk)1 ,
(k a1n ) (k ) a2 n (k ) akn (k ) ak 1,n (k ) ann
( A pI )vk uk 1
A 求得的. 为了节省工作量，可以先将 pI 进行三角分解