第三节条件概率解析
由题意可知： 1
P(H1) 2
P(H2
)
1 3
P(H3 )
1 6
P(A H1) 0.1 P(A H2 ) 0.3 P(A H3 ) 0.6
P(A) P(H1)P(A H1) P(H2 )P(A H2 ) P(H3)P(A H3) 0.25
贝叶斯（bayes）公式
定理3：
设 H1,H2,…….Hn为一完备事件组，且
第三节 条件概率
条件概率的含义 条件概率的定义及计算 条件概率的性质 关于条件概率的三个重要公式
➢乘法公式 ➢全概率公式 ➢贝叶斯（bayes）公式
条件概率的含义
在已知事件B发生条件下，事件A发生的概率称 为事件A的条件概率，记为P（A|B）。
条件概率P（A︱B）与无条件概率P（A）通常是不相等的
A={集成电路能正常工作到2000小时} B={集成电路能正常工作到3000小时}
显然AB
P(A)=0.94
P(B)=P(AB)=0.87 P(B A) P( AB) 0.87 0.926
P( A) 0.94
*条件概率的性质
➢基本性质
1、(非负性）对任意事件A，0 P(A B) 1
2、（规范性） P(B)=1
条件概率的计算通常有两种办法： (1)由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型） (2)由条件概率的定义计算。
例2， 一盒子内有黑球5个白球3个，连续从中无 放回地取两个球，每次取一个，若已知第一次取 出的是白球，求第二次仍取出的是白球的概率为 多少？
A={第一次取的是白球}
B={第二次取的是白球}
➢乘法公式
定理1:
如果PB 0，则有P AB PB P A B
如果P A 0，则有P AB P A PB A
例6：设袋中装有a个白球和b个红球，现依次不 放回地从袋中取两个球，试求两次均取白球的概 率。
A=｛第一次取白球｝ B=｛第二次取白球｝
P(A) a ab
P(B A) a 1 a b 1
n
AHi
n
P
AHi
n
P
Hi
P
A
Hi
i1
i1
i1
例9：设有一电路板是由电阻器、电容器和晶体管三种元 件组成，三种元件的数目之比为 3:2:1。已知在电压升高 一倍时，三种元件损坏的概率分别为0.1，0.3和0.6，试求 在电压升高一倍后，任测一元件它是被损坏的概率。
H1、H2、H3分别表示被测元件是电阻器、电容器和晶体管的事 件，则三者构成完备事件组，A表示被测元件是已损坏的事件。
PHi 0i 1,2,, n
则对于任意事件A有
n
P A PHi P A Hi i 1
证：由于
n
Hi 且对于任意
i j, Hi H j
i1
n
n
于是A=A =A( Hi ) AHi且对于任意i j, AHi AH j
i 1
i 1
于是由概率的可加性及乘法公式便得
P
A
P
P( AB) P( A)P(B A) a(a 1) (a b)(a b 1)
例7:已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有 75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的 为一级的概率.
A=｛合格品｝
B=｛一级品｝
P(A) 96%
P(B A) 75%
P(B) P(AB) P(A)P(B A) 72%
方法一：直接利用概率的含义：P(B A) 2
7
方法二：用条件概率的定义
P( A) 3 8
P(AB) 3 2 3 P(B A) P( AB) 2
8 7 28
P( A) 7
例3：某种集成电路使用到2000小时还能正 常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正 常工作的概率为0.87 .有一块集成电路已工作 了2000小时,向它还能再工作1000小时的概率 为多大?
例1：某一工厂有职工500人，男女各一半，男女职工中非熟练工人 分别为40人和10人，即该工厂职工人员结构如下：
现从该厂中任选一职工，令 A= {选出的职工为非熟练工人} B= {选出的职工为女职工}
则：
PA 50 , PB 250 , PAB 10
500
500
500
而：
P
A
B
10 250
10 500
250 500
P AB PB
P( A)
PB
A
10 50
B)
条件概率的定义及计算
设A、B为两事件，如果P（B）>0，则称
P
A
B
P AB PB
为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率。
同样，如果P（A）>0,则称
PB
A
P AB P A
为在事件A发生条件下，事件B的条件概率。
3、（可加性）设A1，A2，..... 是两两互不相容的事 件， 则有
P An B P An B
n1
n1
➢其他性质
(1)P( A) 0
(2)P(A B) 1 P(A B) (3)(加法公式） P(A C B) P(A B) P(C B) P(AC B)
关于条件概率的三个重要公式
推广：如果 P A1A2 An1 0,则有
P A1A2 An P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
特例：
P A1A2 0,则有
P A1A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1A2
全概率公式
（1）完备事件组:如果一组事件 H1, H 2 , , H n 在每次试验中必发生且仅发生一个,即
n
H i 且H i H j (i j),
i 1
则称此事件组为该试验的一个完备事件组。
例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备 事件组：
① {1}，{2}， {3}，{4}，{5}，{6}； ② { 1，2，3}，{4，5 }， {6 }；
③ Ａ ， A （A为试验中任意一事件）
（2）全概率公式 定理2： 设 H1, H 2 ,H n 为一完备事件组，且
PH i 0(i 1,2,n),
又设A为任意事件，且 P(A) >0，则有
PHk
A
PHk PA Hk
n
PHi PA Hi
i 1
证：由乘法公式和全概率公式即可得到
PHk
A
P(Hk A) P( A)
P
n
Hk PA Hk PHi P A Hi
i 1
例10：设有一箱产品是由三家工厂(甲、乙、丙)生产的， 已知其中1/2是甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占1/4， 已知甲、乙两厂产品的2%是次品，丙厂产品的4%是 次品，求
第3节条件概率讲解
本节重点是条件概率定义及计算,有些事件虽然它的概率不 易直接计算,但容易求出它在各种情况下条件概率,于是设法由这 事件的诸条件概率求这事件概率.
一. 条件概率: 引例 1(古典概型分析):
投掷一枚骰子,设 A={出奇数点},B={出质数点},求 PB, PB | A.
解: 1,2,3,4,5,6, B 2,3,5, A 1,3,5
所以 P A P A1 P A2 | A1
P An | A1A2
An1
1 2
2 3
n 1.
n 1 n 1
2.全概率公式(将无条件概率条件化) 定理:设 B1, B2, Bn 是样本空间 的一个划分
(即 BiBj (i j),i, j 1,
P
i1
Bi
|
A
i1
P Bi
|
A.
其它性质仍满足如:
P | A 0;
PB | A 1 PB | A;
P B1 B2 | A PB1 | A PB2 | A PB1B2 | A等.
例:有 100 张彩票,其中有 3 张可中奖,有两人各买一张 (1) 已知第一人中奖,求第二人中奖的概率; (2) 不知第一人是否中奖,分别求第一人与第二人中奖的概率.
P A1 P H1 P A1 | H1 PH2 P A1 | H2
1 40 1 30 7 2 50 2 50 10
P A1A2 P H1 P A1A2 | H1 P H2 P A1A2 | H2
P
A1A2 | H1
40 10 A520
8 49
P
A1A2 | H2
P B 3 1 , P B | A nAB 2
62
nA 3
概率论与数理统计03-第三节-条件概率与全概率公式
第三节 条件概率与全概率公式先由一个简单的例子引入条件概率的概念.内容分布图示★ 概念引入★ 条件概率的定义 ★ 例1 ★ 例2★ 乘法公式★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 全概率公式 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 贝叶斯公式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-4内容要点：一、 条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称)()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。
一般地，)|(A B P )(B P ≠.注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.2. 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。
二、乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。
它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
概率论与数理统计第3讲
3
一般地, 对于A,B两个事件, P(A)>0, 在事件A发 生的条件下事件B发生的概率称为条件概率 条件概率, 条件概率 记为P(B|A).
4
例1 一个家庭中有两个小孩, 已知其中一个是 女孩, 问另一个也是女孩的概率是多少(假定 男生女生是等可能的)? 解 由题意, 样本空间为 Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} A表示事件"其中一个是女孩", B表示事件"两 个都是女孩", 则有 A={(男,女),(女,男),(女,女)} B={(女,女)} 由于事件A已经发生, 所以这时试验的所有可 能结果只有三种, 而事件B包含的基本事件只 占其中的一种, 所以有P(B|A)=1/3.
20
例5 已知某厂家的一批产品共100件, 其中有5 件废品. 为慎重起见, 某采购员对产品进行不 放回的抽样检查, 如果在被他抽查的5件产品 中至少有一件是废品, 则他拒绝购买这一产品. 求采购员拒绝购买这批产品的概率. 解设 Ai={被抽查的第i件产品是废品}, i=1,2,3,4,5, A={采购员拒绝购买}, 5 则 A= A
17
例3 活到50岁的概率为0.90718, 活到51岁的概 率为0.90135. 问现在已经50岁的人, 能够活到 51岁的概率是多少? 解 记A={活到50岁}, B={活到51岁}. 则B⊂A. 因此, AB=B. 要求P(B|A). 因为P(A)=0.90718, P(B)=0.90135, P(AB)=P(B)=0.90135, 从而 P ( AB ) 0.90135 P ( B | A) = = ≈ 0.99357 P ( A) 0.90718 由此可知, 该城市的人在50岁到51岁之间死亡 的概率约为0.00643. 在平均意义下, 该年龄段 中每千个人中约有6.43人死亡. 18
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
概率论-3.3 条件分布
同理，已知 X=1的条件下Y的条件分布律为：
Y k
01
PY k | X 1 1 3
44
2020年4月26日星期日
3
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二、连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限
lim
0
PY
y
|
x
X
x
lim
0
Px X x ,Y Px X x
y
存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函
数。记为 FY|X ( y | x)
由于
FY |X
(y
|
x)
lim
0
PY
y
|
x
X
x
Px X x ,Y y
lim 0
Px X x
2020年4月26日星期日
4
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lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
布律定义为：
P Y yj | X xi
P
X xi ,Y y j
PX xi
pij , j 1, 2,L pi
2020年4月26日星期日
1
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例：已知(X, Y)的分布律如下:
X
求:(1).已知 Y=1的条件下X的
Y
0 1 p j 条件分布律。
0 0.4 0.1 0.5
x
e y y
,
0,
x 0, y 0, 其它.
因此
P
X 1Y y
第三节_条件概率
概率论
应用 定义
P( AB) 3 36 1 解法1: P( A | B) = 解法 = = P(B) 6 36 2 3 1 解法2: P( A | B) = = 解法 6 2
在B发生后的缩减样本 发生后的缩减样本 空间中计算
二、乘法公式(Multiplication Law of Probability) P( AB) 由条件概率的定义： 由条件概率的定义： P( A | B) = P(B)
)=3/10， 则 P(A )=3/10，
3 3 10 P( AB) = P(A|B) = = 7 7 10 P(B)
一、条件概率(Conditional Probability)
1. 条件概率的概念
概率论
在解决许多概率问题时， 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附 加信息(条件 下求事件的概率. 条件)下求事件的概率 加信息 条件 下求事件的概率 如在事件B发生的条件下求事件 发生的概率， 如在事件 发生的条件下求事件A发生的概率 发生的条件下求事件 发生的概率， 将此概率记作P(A|B). 将此概率记作
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大
概率论
表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” ＝ 解: 我们用 Ai 表示“第i个人抽到入场券”, i＝1,2,3,4,5. 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A 表示“第i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5 ， 1＝ 也就是说， 1个人抽到入场券的概率是 也就是说， 个人抽到入场券的概率是 第 个人抽到入场券的概率是1/5. 因为若第2个人 因为若第 个人 由乘法公式 抽到了入场券， 抽到了入场券， 个人肯定没抽到. 个人肯定没抽到 P( A ) = P( A )P( A | A ) 第1个人肯定没抽到 2 1 2 1 也就是要想第2个人抽到入场券 必须第1个人未抽到， 也就是要想第 个人抽到入场券, 必须第 个人未抽到， 个人抽到入场券 个人未抽到 计算得： 计算得：P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 由于
第三节 事件的条件概率和三个基本公式
∵ B ⊂ A ∴ B = BA .
P( B ) = P( BA) = P( A) ⋅ P( B A) = 0.96 × 0.75 = 0.72 ，
即一等品率为72%. 即一等品率为 %.
8
Hale Waihona Puke 一场精彩的足球赛将要举行， 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券 个球迷好不容易才搞到一张入场券. 个球迷好不容易才搞到一张入场券 大家都想去,只好用抽签的方法来解决 只好用抽签的方法来解决. 大家都想去 只好用抽签的方法来解决
P( A B ) ≥ 0 ；
P( B) = 1；
是两两不相容的事件， (3) 可列可加性 设 A ,⋯, An ⋯是两两不相容的事件，则 1
∞ ∞ P ∪ Ai B = ∑ P( Ai B ) i =1 i =1
并由此推出条件概率的其它性质： 并由此推出条件概率的其它性质：
0.1 = 0.25 . = 0.4
7
某厂产品的废品率为4%,而合格品在中有75% %,而合格品在中有 例2 某厂产品的废品率为 %,而合格品在中有 %是 一等品,求一等品率. 一等品,求一等品率. ：合格品； ：一等品， 解 记A：合格品；B：一等品， 由题意 , P( A) = 1 − 4% = 96% , P( B A) = 75% ，
P ( B ) = P ( A)P ( B A) + P ( A )P ( B A )
a a −1 b a a = ⋅ + ⋅ . = a + b a + b−1 a + b a + b−1 a + b
可以想见，第三次 第四次… 可以想见 ， 第三 次 、 第四次 … 摸出白球的概率仍为
D1-3 条件概率及事件的独立性
P AB P A P B
A, B 是相互独立的
定理1: ① A, B 相互独立 P A B P A P B 0
P B A P B P A 0
② 若事件A与B独立， A与 B 、 与B 、A 与 B 也 则 A 相互独立. 证: P AB P A B P A P AB
P A P A P B P A 1 P B P A P B
P AB P A B 1 P A B
1 P A P B P AB 1 P A P B P A P B
两两独立
1 1 但 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P A2 P( A3 ) 4 8
即三个事件不相互独立
一般地， A1 , A2 ,, An是n个事件， 设 若以下等式成立
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj )
1 i j n,
1 i j k n, P ( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ) P( A1 A2 An ) P( AБайду номын сангаас )P( A2 ) P ( An )
500 0.03 0.001593 25000 ②由贝叶斯公式得： 500 0.03 P( A) P( E | A) 25000 P( A | E ) 0.001593 PE
全概率公式与贝叶斯公式说明： 令 Ai -“原因”， B-“结果”， 则
P Ai -第 i 种原因发生的概率.
概率论基础3——条件概率
一、条件概率生活中很多概率都是在某些特殊条件下的概率。
比如你想知道你在家感染新冠的概率，这是取决于很多方面的，比如，政策有没有放开、是否位于高风险区等等。
只有在这些条件的限制下，我们才能较为准确的求出你想知道的概率。
基本概念：设A，B是随机试验E的两个随机试验，且P(B)>0，称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。
韦恩图：上面A、B分别有两个椭圆，代表了他们的事件范围。
我们想要求在B的条件下A发生的概率，那么直观上分母应该是P(B)，因为条件是事件B就相当于要以事件B作为基础；而由于事件B的限制，事件A中不属于B的部分应该被舍去，它们不在B的控制之下。
所以也很容易理解，分子是A和B的和事件（交集）的概率。
性质条件概率也属于概率，所以它也满足概率的基本性质，只不过会有所改变。
（1）对于每一事件A，0≤P(A|B)≤1（2） P(\Omega|B)=1（3）若A_1,A_2,……,A_n 互不相容，则P(\bigcup_{i=1}^{m} A_i|B)=\sum_{i=1}^mP(A_i|B) （4） P(A|B)+P(\overlineA|B)=1（5）容斥原理： P(A\bigcup B|B)=P(A|B)+P(B|B)-P(AB|B)二、乘法公式在上文我们知道条件概率的公式为： P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 。
那如果我们此时知道P(B)和P(A|B)，相求P(AB)，可以通过移项转化成下列公式： P(A|B)P(B)=P(AB)同理，我们也可以得到： P(B|A)P(A)=P(AB) 这两个公式我们称其为乘法公式。
上面两个式子在实际计算中要根据问题灵活选择。
我们也可以将其拓展到n个事件中：P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)…P(A_n|A_n…A_2A_1) 我们可以这样理解：$P(A_1)$是假设A1正确，$P(A_2|A_1)$是假设A1正确的情况下A2正确，以此类推三、全概率公式有限划分基本概念：设 \Omega 为随机试验E的样本空间，B1，B2 ，…，Bn为E的一组事件，若(1) Bi∩Bj =f ,i ≠ j(2) B_1∪B_2 ∪…∪B_n=\Omega则称B1，B2，…，Bn 为 \emptyset 的一个有限划分，或称完备事件组。
第三节条件概率全概率公式
第三节条件概率全概率公式条件概率、全概率公式是概率论中两个重要的概念和方法。
在实际问题中，我们常常需要考虑一些事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，即条件概率。
而全概率公式则是一种根据一组互斥事件的概率可以计算出其他事件概率的方法。
本节将详细介绍条件概率和全概率公式的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在一个已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
记为P(A，B)，读作“A在B下的概率”。
其计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率具有以下性质：1.非负性：对于任意的事件A和B，有P(A，B)≥0。
2.规范性：当P(B)>0时，有P(B，B)=13.直积性：对于任意的事件A和B，有P(A∩B)=P(B)×P(A，B)。
4.反转性：若P(B)>0，有P(A，B)=P(A∩B)/P(B)=P(B，A)×P(A)/P(B)。
条件概率在实际应用中非常重要。
例如，在医学诊断中，我们常常需要计算一些疾病在一些检查结果呈阳性的条件下的概率，以判断该疾病的可能性大小。
全概率公式是指通过一组互斥事件的概率可以计算出另一个事件的概率的方法。
假设事件B1、B2、..、Bn互不相容且构成样本空间S，即B1、B2、..、Bn是一组完备事件，且P(Bi)>0，那么对任意事件A有：P(A)=P(A，B1)×P(B1)+P(A，B2)×P(B2)+...+P(A，Bn)×P(Bn)全概率公式的核心思想是将事件A在各个互斥事件的条件下进行考虑，并加权求和得到事件A的概率。
全概率公式的应用非常广泛。
例如，在市场营销中，一个产品的销量可能受到不同市场环境的影响。
我们可以通过对不同市场环境下产品销售的数据进行分析，运用全概率公式计算出在不同市场环境下产品销售的概率，进而制定相应的营销策略。