薛定谔方程及提出背景
《薛定谔方程》PPT课件
1993年 用STM 技术镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表 面的扫描隧道显微镜照片。Fe 原子形成“电子围栏” （半径7.13nm），可看到围栏中的同心圆状驻波， 直观地证实了电子的波动性。
由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。
没有向-x方向的
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
这称为“量子隧道效应”。
计算结果表明（不证）， 粒子的穿透率为
T e
2a
2m(U0 E)
若 m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。 例如，★ 放射性核的 粒子衰变 ★ 隧道二极管 ★ 扫描隧穿显微镜
1 2
2
x
2
，
Hn是厄密（Hermite）多项式， 最高阶是 (x)n，
上两式相加得 2 (l1 l2 ) π l π
式中 l 也是整数。 所以有 l π
2 l 0 时，有 o Asin kx --奇函数 l 1 时，有 e Acos kx --偶函数
l 的其他数值所对应的解都不是独立的，
因为它们和 0、 e 的形式一样，只可能有正负 的区别，这并不影响 2 ,即概率密度的分布不变。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦-薛定谔方程（Einstein-Schrödinger equation）是一个量子力学中的方程，将爱因斯坦的相对论和薛定谔方程结合在一起，描述了物质和场相互作用的行为。
这个方程是在广义相对论和量子力学之间的理论框架下提出的。
具体而言，爱因斯坦-薛定谔方程描述了物质在引力场中的行为，以及粒子与电磁场的相互作用。
它是一个偏微分方程，通常被写成：iħ∂ψ/∂t = (c^2√(p^2c^2 + m^2c^4) + eφ)ψ。
其中，ψ是波函数，描述了量子态的演化；t是时间；ħ是约化普朗克常数；c是光速；p是动量算符；m是粒子的静质量；e是元电荷；φ是电磁场势。
爱因斯坦-薛定谔方程是一个非常复杂的方程，它描述了物质在引力场和电磁场中的量子行为。
这个方程在理论物理的研究中扮演着重要的角色，帮助我们理解微观世界的行为。
但是，由于其复杂性，解析解很难找到，通常需要使用数值方法进行求解。
量子力学薛定谔方程
量子力学薛定谔方程引言量子力学是描述微观粒子行为的物理理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，它描述了微观粒子的波动性质和运动规律。
本文将详细介绍量子力学薛定谔方程的背景、推导过程以及其在解释微观世界中粒子行为方面的重要性。
背景在20世纪初，科学家们发现了一些无法用经典物理学解释的现象，比如黑体辐射、光电效应和原子光谱等。
这些现象表明，在微观尺度下，经典物理学的规律不再适用。
为了解释这些现象，物理学家们开始寻找一种新的理论来描述微观世界。
波粒二象性根据实验结果和理论分析，科学家们得出了一个重要结论：微观粒子既具有粒子性又具有波动性。
这就是所谓的波粒二象性。
根据这一概念，物理学家们开始研究如何用波动方程来描述微观粒子的行为。
薛定谔方程的推导薛定谔方程的推导基于波动方程和量子力学的基本假设。
首先，我们假设微观粒子的运动状态可以用一个波函数来描述。
这个波函数是一个复数函数，它包含了关于粒子位置和动量等信息。
然后，根据经典波动理论，我们可以得到微观粒子的波动方程。
接下来，通过引入哈密顿算符和能量守恒原理，我们得到了薛定谔方程。
薛定谔方程的一般形式为：ĤΨ=iℏ∂Ψ∂t其中，Ĥ是哈密顿算符，Ψ是波函数，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数。
薛定谔方程的意义薛定谔方程在解释微观世界中粒子行为方面起着重要作用。
首先，通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观粒子的能级和能量分布情况。
这对于研究原子、分子以及固体材料的性质具有重要意义。
其次，薛定谔方程还可以描述微观粒子的运动轨迹和概率分布。
根据波函数的模平方，我们可以计算出粒子在不同位置的概率密度。
这为我们理解粒子在空间中的行为提供了依据。
此外，薛定谔方程还可以用于描述微观粒子之间的相互作用和碰撞过程。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到相互作用势能和散射截面等重要物理量。
薛定谔方程的应用薛定谔方程在量子力学研究领域有着广泛的应用。
量子力学：薛定谔人物简介
波函数
• 波函数是描述微观粒子状态的数学函数 • 包含了关于粒子的所有信息 • 波函数的模平方表示粒子在某个位置出现的概率密度
薛定谔方程
• 薛定谔方程是描述波函数随时间变化的微分方程 • 提供了求解波函数的方法 • 为量子力学的理论框架奠定了基础
薛定谔的粒子波动性与测量问题
薛定谔的理论对后世物理学的影响
对后世物理学的影响
• 薛定谔的理论为量子力学的发展奠定了基础 • 对量子场论、量子计算等领域产生了重要影响
对科学哲学的影响
• 薛定谔的科学哲学思想对后世产生了重要影响 • 强调了观测者在科学理论中的作用 • 对科学解释和科学方法论等问题进行了深入的探讨
04
薛定谔的个人品质与哲学思想
• 尼尔斯·玻尔是薛定谔的导师之一 • 两人在量子力学和原子物理学等领域进行了合作研究
薛定谔在量子力学中的历史地位
历史地位
• 被誉为量子力学的奠基人之一 • 与阿尔伯特·爱因斯坦、尼尔斯·玻尔等人共同奠定了量子 力学的基础
对后世的影响
• 薛定谔的工作为量子力学的发展提供了重要理论支持 • 对原子物理学、核物理学和粒子物理学等领域产生了深 远影响
• 在维也纳和瑞士接受教育 • 对数学和物理学产生浓厚兴趣 • 1910年获得维也纳大学物理学博士学位
03 教育背景
• 在维也纳大学和苏黎世大学学习 • 受到了恩斯特·马赫和阿尔伯特·爱因斯坦的影响 • 在普朗克和玻尔的指导下进行研究工作
薛定谔的科研生涯与主要贡献
科研生涯
• 1911年开始在维也纳大学担任物理学讲师 • 1914年加入奥地利皇家科学院 • 1920年代开始在柏林大学和剑桥大学担任教授
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
薛定谔
埃尔温·薛定谔奥地利物理学家。
概率波动力学的创始人。
主要研究有关热学的统计理论问题，写出了有关气体和反应动力学、振动、点阵振动的热力学以及统计等方面的论文，同时还研究过色觉理论。
1925年底到1926年初，薛定谔在A.爱因斯坦关于单原子理想气体的量子理论和L.V.德布罗意的物质波假说的启发下，从经典力学和几何光学间的类比，提出了对应于波动光学的波动力学方程，奠定了波动力学的基础。
1926年3月,薛定谔发现波动力学和矩阵力学在数学上是等价的,是量子力学的两种形式，可以通过数学变换,从一个理论转到另一个理论。
薛定谔起初试图把波函数解释为三维空间中的振动，把振幅解释为电荷密度,把粒子解释为波包。
但他无法解决“波包扩散”的困难。
最后物理学界普遍接受了玻恩提出的波函数的几率解释。
1924年，L.V.德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性，即不仅具有粒子性，同时也具有波动性。
在此基础上，1926年薛定谔提出用波动方程描述微观粒子运动状态的理论，后称薛定谔方程，奠定了波动力学的基础，因而与P.A.M.狄拉克共获1933 年诺贝尔物理学奖。
1944年当法国物理学家德布罗意的“微观粒子也像光一样具有波粒二象性”的假说被美国物理学家戴维逊和革末利用“电子的晶体粉末散射实验”证实后，有一天，薛定谔就这一奇特现象作了一个讲座，他受到了一位物理学家——彼得·德拜的挑战，他问薛定谔：如果电子是用波来描述的，那么它们的波动方程是什么？自从牛顿创造了微积分，物理学家们得以用微分方程描述波，因此薛定谔将德拜的问题——写出微分方程当成一项挑战。
那个月薛定谔外出度假，当回来的时候他已经写出了方程。
正如在他之前的麦克斯韦采用法拉第的力场，提炼出了光的麦克斯韦方程；薛定谔采用德布罗意的物质波，提炼出了光子的薛定谔方程。
荣誉1926年他提出著名的薛定谔方程，为量子力学奠定了坚实的基础。
方程的提出只是稍晚于沃纳·海森堡的矩阵力学学说，此方程至今仍被认为是绝对的标准，它使用了物理学上所通用的语言即微分方程。
薛定谔方程 量子力学
薛定谔方程量子力学
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和态演化的方程。
它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被认为是量子力学的基本方程之一。
薛定谔方程的一般形式如下：
iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数（描述粒子的态），t是时间，H是哈密顿算符（描述粒子能量和势能的算符）。
薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律，从而了解粒子的能谱、位置概率分布等物理性质。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，为我们理解微观领域的粒子行为提供了重要的工具。
它在量子力学的各个领域中都有广泛的应用，比如描述电子的行为、原子和分子的结构以及固体物理等。
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薛定谔方程在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。
(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
类似地，方程 (2) 变为。
历史背景与发展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。
他建议光子的能量与频率成正比。
在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。
1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。
电子也有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。
1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。
然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。
戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。
于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。
哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。
这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。
哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。
可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。
这也是薛定谔所成就的。
他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。
借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。
薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。
但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。
薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势内的量子行为。
薛定谔计算出这方程的定态波函数。
可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。
虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。
因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。
1926年，正式发表于物理学界[2]。
从此，给予了量子力学一个新的发展平台。
薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。
薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度，但却失败了。
1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。
可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。
就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。
在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。
含时薛定谔方程导引启发式导引含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：假设(1) 一个粒子的总能量可以经典地表达为动能与势能的和：；其中，是动量，是质量。
特别注意，能量与动量也出现于以下两个关系方程。
(2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频率成正比：其中，是普朗克常数，是角频率。
(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数来表达。
粒子的动量与伴随的波函数的波长有关：；其中，是波数。
用矢量表达，。
波函数以复值平面波来表达波函数1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：。
他想到，因此。
并且相同地由于，因此得到。
再由经典力学的公式，一个粒子的总能为，质量为，在势能处移动：。
薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程：。
薛定谔的导引思考一个粒子，运动于一个保守的位势。
我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程；其中，是哈密顿主函数。
由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：；其中，不相依于时间的函数是哈密顿特征函数，是能量。
将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到；哈密顿主函数随时间的全导数是。
思考哈密顿主函数的一个常数的等值曲面。
这常数的等值曲面在空间移动的方程为。
所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向移动的速度是。
这速度是相速度，而不是粒子的移动速度：。
我们可以想像为一个相位曲面。
既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与成比例的波函数：；其中，是常数，是相依于位置的系数函数。
将哈密顿主函数的公式代入波函数，成为。
注意到的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论；其中，是约化普朗克常数，是角频率。
设定，粒子的波函数变为；其中，。
的波动方程为。
将波函数代入波动方程，经过一番运算，得到。
注意到。
稍加编排，可以导引出薛定谔方程：。
特性线性方程态叠加原理薛定谔方程是一个线性方程。
满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。
假若与是某薛定谔方程的解。
设定，其中，与是任何常数。
则也是一个解。
证明根据不含时薛定谔方程 (1) ，，。
线性组合这两个方程的解，。
所以，也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。
类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。
实值的本征态不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。
但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。
假若两个波函数与都是某不含时薛定谔方程的，能量为的解答，则这两个不同的波函数解答为简并的。
任何线性组合也是能量为的解答。
对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数是某薛定谔方程的解答，则其共轭函数也是这薛定谔方程的解答。
所以，的实值部分或虚值部分，都分别是解答。
我们只需要专注实值的波函数解答。
这限制并不会影响到整个不含时问题。
转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。
给予某含时薛定谔方程的解答。
其替代波函数是另外一个解答：。
这解答是复共轭对称性的延伸。
称复共轭对称性为时间反转。
幺正性在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ，称这特性为幺正性。
薛定谔方程能够自动地维持幺正性。
用波函数表达，。
(3)为了满足这特性，必须将波函数归一化。
假若，某一个薛定谔方程的波函数尚未归一化。
由于薛定谔方程为线性方程，与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程的波函数。
设定；其中，是归一常数，使得。
这样，新波函数还是这个薛定谔方程的解答，而且，已经被归一化了。
在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数相依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。
在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。
薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。
这样，量子系统永远地满足幺正性。
所以，薛定谔方程能够自动地维持幺正性。
证明总概率随时间的微分表达为。
(4) 思考含时薛定谔方程，。
其复共轭是。
所以，代入方程 (4) ，在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。
所以，。
薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。
完备基底能量本征函数形成了一个完备基底。
任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。
这就是数学的谱定理 (spectral theorem) 。
在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。
相对论性薛定谔方程薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。
对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。
为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。
试想能量质量关系式，；其中，是光速，是静止质量。
直接地用这关系式来推广薛定谔方程：。
或者，稍加编排，；其中，，是达朗贝尔算符。
这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。
但是，它是一个时间的二阶方程。
所以，不能成为波函数的方程。
并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。
一个平面波函数解答遵守；其中，是角频率，可以是正值或负值。
对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。
虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。
保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-½粒子量子态的波函数方程：，其中，是自旋-½粒子的质量，与分别是空间和时间的坐标。
狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。
为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。
因为，相对论与单粒子图案互不相容。
一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。
假若，一个粒子被局限于一个长度为的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性。
假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定性大约为。
当盒子的长度等于康普顿波长时，能量的不确定性等于粒子的质能。
当盒子的长度小于康普顿波长时，我们无法确定盒子内只有一个粒子。
因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。
我们用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。
解析方法自由粒子主条目：自由粒子当位势为 0 时，薛定谔方程为。
解答是一个平面波：，其中，是波矢，是角频率。
代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系：。
由于粒子存在的概率必须等于 1 ，波函数必须先归一化，然后才能够表达出正确的物理意义。
对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。
因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。
在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。
自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。
：；其中，积分的区域是所有的-空间。
为了简化计算，只思考一维空间，；其中，因子是由傅里叶变换的常规而设定，振幅是线性叠加的系数函数。