2018年初中数学联赛试题及答案详解

2018年初中数学联赛试题及答案详解

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第 二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相 应的分数．

第一试(A)

一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)

1.

设二次函数2

2

22

a y x ax =++的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C ．当ABC △为等边三角

形时，其边长为()

A ．．D ． 【答】C.

由题设知2

(,)2

a A a --，设(,0),(,0)B x C x ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则

12||BC x x =-==

又AD =

，则2||2a -=26a =或20a =（舍去）

所以△ABC 的边长BC ==. 2.

如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，115AB CAE =∠=?，，则BE =()

A B C 1D 1 【答】D.

延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .

由已知得∠BAF = ∠F AD = ∠AFB = ∠HEF =45?，BF =AB =1，∠EBH = ∠ACB =30?.

设BE =x ，则HF =HE =

2

x

，BH =.

因为BF=BH+HF ,所以12

x

=+，解得1BE x =. 3.

设p q ，均为大于3的素数，则使2254p pq q ++为完全平方数的素数对(p ，q )的个数为()

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案：B

设22254p pq q m ++=（m 为自然数），则22(2)p q pq m ++=，即(2)(2)m p q m p p pq --++= 由于p ,q 为素数，且2,2m q p p m q p q ++>++>，所以21m q p --=，2m q p pq ++=，

从而2410pq p p ---=，即(4)(2)9p q --=，所以(p ,q )=(5,11)或(7,5).

所以，满足条件的素数对(p ,q )的个数为2. 4.

若实数a ，b 满足2a b -=，

()

()

2

2

114a b b

a

-+-

=，则55a b -=()

A ．46

B ．64

C ．82

D ．128

【答】C.

由条件

()()2

2

114a b b

a

-+-

=得22332240a b a b ab a b ----+-=，

即22()2[()4]()[()3]0a b a b ab a b a b ab ---++--+=

又2a b -=，所以22[44]2[43]0ab ab -+++=，解得1ab =，所以222()26a b a b ab +=-+=

33255223322()[()3]14,()()()82a b a b a b ab a b a b a b a b a b -=--+=-=+---=. 5.

对任意的整数x ，y ，定义@x y x y xy =+-，则使得()()@@@@x y z y z x ++()@@0z x y =的

整数组(x ，y ，z )的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D

()()()(@@@)x y z x y xy z x y xy z x y xy z x y z xy yz zx xyz =+-=+-+-+-=++---+，

由对称性，同样可得

()()@@@@.y z x x y z xy yz zx xyz z x y x y z xy yz zx xyz =++---+=++---+，

所以，由已知可得

0111 1.()()()x y z xy yz zx xyz x y z ++---+=---=-，即

所以，x,y,z 为整数时，只能有以下几种情况： 111111x y z -=??-=??-=-?，或111111x y z -=??-=-??-=?，或111111x y z -=-??-=??-=?或111111x y z -=-??

-=-??-=-?

所以，(x ,y ,z )=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组. 6.

设111

1201820192020

2050M =

++++

，则1M

的整数部分是() A ．60B ．61C ．62D ．63 答案：B 因为1120185

336120183333

M M = 又11

111

1()()20182019

203020312032

2050M =+++

++++

111345

13202030205083230

>?+?=

所以1832301185

61

13451345

M <=，故的整数部分为61.

二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)

7.

如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB CE AB =⊥，于E ，F 为AD 的中点，若AEF ∠48=?，

则B ∠=． 【答】84°.

设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形

由AB ∥FG ∥DC 及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又CE ⊥AB ，所以CE ⊥FG ，所以FH 垂直平分CE ，故

∠DF =∠GFC =∠EFG =∠AEF =48°.

所以∠B =∠FGC =180248=84-?

8.

若实数x y ，

满足()33115

42

x y x y ++

+=，则x y +的最大值为．

【答】3.

由3115()42x y x y 3+++=可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即22115

()()42

x y x xy y +-++=

令x y k +=，注意到2222131

()04244

y x xy y x y -++=-++>，故0x y k +=>

又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115

342k xyk k -+=，所以

3115

423k k xy k

+=

=

于是，x ,y 可看作关于t 的一元二次方程321154203k k t kt k

+

=-+

=的两根，所以 化简得3211542()403k k k k

+

=?=--?

≥，化简得3300k k +-≤，即2(3)(310)003k k k k -++≤?<≤ 故x + y 的最大值为3.

思路：从目标出发，判别式法，因式分解 9.

没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．

【答】21504.

显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.

当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为87876????=18816个.

当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为8876???=2688个.

所以，满足条件的五位数的个数为18816+2688=21504（个）.

10. 已知实数a b c ，，满足0a b c ++=，2

2

2

1a b c ++=，则555

a b c abc

++=．

答案：

52

由已知条件可得222233311

[()()],322

ab bc ac a b c a b c a b c abc ++=++-++=-++=，所以

555222333233233233()()[()()()]a b c a b c a b c a b c b a c c a b ++=++++-+++++ 2222222222223[()()()]3()abc a b a b a c a c b c b c abc a b c a c b b c a =-+++++=+++

3()abc abc ab bc ca =+++.

所以55552

a b c abc ++=

第一试(B)

一、选择题：(本题满分42分，每小题7分) 1.

满足()

2

211x x x ++-=的整数x 的个数为()

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案：C

当20x +=且210x x +-≠时，2x =- 当211x x +-=时，2x =-或1x = 当211x x +-=-且2x +为偶数时0x = 所以，满足条件的整数x 有3个 2.

已知123x x x ，，(123x x x <<)为关于x 的方程()32320x x a x a -++-=的三个实数根，则

222

11234x x x x -++=()

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解析：方程即2(1)(2)0x x x a --+=，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必

有一根小于1，另一根大于1，于是2131,2x x x =+=，故

222

112331311314()()412()15x x x x x x x x x x x -++=+-++=++=

3. 已知点E F ，分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，4CD CE EFB FBC =∠=∠，，则t a

n ABF ∠=

()

A ．12

B ．3

5

C D 解析：不妨设4CD =，则1,3CE DE ==

设DF x =，则4,AF x EF =-作BH EF ⊥与点H ，因为,90,EFB FBC AFB BAF BHF BF ∠=∠=∠∠==∠公共，所以BAF BHF ???，

所以4BH BA ==

由ABF BEF DEF BCE ABCD S S S S S ????=+++四边形得21111

44(4)43412222x x =??-+???+??，解得

8

5

x =

所以1245AF x =-=，3tan 5

AF ABF AB ∠==.

4.

=()

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：令y =0y ≥，且29x y =- 解得1,6y or y ==，从而8x =-或27x =

检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.

5.

设a ，b ，c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的

三元数组(a ，b ，c )的个数为() A ．4B ．5C ．6D ．7

解析：由已知得，

201720182017201820172018a bc b ac c ab +=+=+=，，，两两作差，可得12017012()()()(0170120170)(.)()a b c b c a c a b --=--=--=，，

由120()()170a b c --=，可得1

,2017

a b or c ==

（1）当a b c ==时，有2201720180a a +-=，解得a =1，或2018

2017

a =-

（2）当

a b c =≠时，解得12017a b ==，1

20182017

c =- （3）当a b ≠时，12017c =

，此时有：1

2017

a =，120182017

b =-，或120182017a =-，12017b = 故这样的三元数组(a ,b ,

c )共有5个. 6.

已知实数a ，b 满足3232351355a a a b b b -+=-+=，，则a b +=()

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答】A.

有已知条件可得331212()()()(1212)a a b b -+-=--+-=，

，两式相加得

33121121()()()()0a a b b -+-+-+-=，

因式分解得22211()[()()()2()11]0a b a a b b +-----+-+=

因为2222()()()()[13

111121(1)(1)4

(202)a a b b a b b ----+-+=---+-+>

所以20a b +-=，因此2a b +=.

二、填空题：(本题满分28分，每小题7分) 7.

已知p q r ，，为素数，且pqr 整除1pq qr rp ++-，则p q r ++=．

【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr ++-=

=++-，由题意知k 是正整数，又,,2p q r ≥，所以3

2

k <

而1k =，即有1pq qr rp pqr ++-=，于是可知,,p q r 互不相等. 当2p q r ≤<<时，13pqr pq qr rp qr =++-<，所以3q <，故

2q =. 于是2221qr qr q r =++-

故2)23()(q r --=，所以21,23q r -=-=，即

3,5q r ==，所以，()(),,2,3,5p q r =. 再由 ,,p q r 的对称性知，所有可能的数组( ,,p q r )共有6组，

即()()()()()() 2,3,5?2,5,33,2,53,5,25,2,35,3,2.，，，，， 于是10p q r ++=. 8.

已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．

【答】8.

设这两个数为22),(m n m n >，则221000m n m n +=-，即2()

110(101)m n --= 又100110011143791117713=?=?=?=?，所以()2

1,1()1001,1m n --＝或(143,7)或 (91,11)(77,13)，验证可知只有()2

1,(1143,)7m n --=满足条件，此时2144,8m n ==. .

9.

已知D 是ABC △内一点，E 是AC 的中点，610AB BC BAD BCD ==∠=∠，，，EDC ∠=

ABD ∠，则DE =．

【答】4.

1

//2

CD F DF DC DE AF DE AF ==

延长至，使，则且 ,,,AFD EDC ABD A F B D ∠=∠=∠所以，故四点共圆，于是

10BFD BAD BCD BF BC BD FC ∠=∠=∠==，所以，且⊥， 90.FAB FDB ∠=∠=?故

6AB AF =又，故，所以1

4.2

DE AF ==

已知二次函数()()

222

221450y x m n x m n =++++++的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数

对(m ，n)的个数为． 解析：16.

因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以2

22[()]

(22)144500m n m n ?=++-++<，整理得 42449mn m n ++<，即()(5122

)1

1m n ++<.因为,m n 为正整数，所以()(

122.)15m n <++ 又

12m +≥，所以25

212

n +<，故5n ≤. 当n

=1时，1m +25

3

≤，故223m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有8个；

当n

=2时，1m +5≤，故m ≤4，符合条件的正整数对(m,n)有4个； 当n

=3时，1m +25

7

≤，故187m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；

当n

=4时，1m +25

9

≤，故179m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；

当n

=5时，1m +25

11

≤，故1411m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个

综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有

8421116＋＋＋＋＝个

第二试(A)

一、(本题满分20分)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程210110x cx d --=的根， c ，d 为方程2100x ax b --=的根，求a b c d +++的值．

解由韦达定理得1010a b c c d a +=+=，，两式相加得1)0(a b c d a c +++=+.

因为a 是方程2

10110x cx d --=的根，所以210110a ac d --=，又

10d a c =-，所以 211011100.a a c ac -+-=①

类似可得211011100.c c a ac -+-=② ①－②得)((1210)a c a c -+-=

因为a c ≠，所以121a c +=，所以(11210)0a b c d a c +++=+=.

二、(本题满分25分)如图，在扇形OAB 中，9012AOB OA ∠=?=，，点C 在OA 上，4AC =， 点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F ． (1)当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ； (2)求2CE DE +的最小值．

解 (1)分别过O ,E 作CD 的垂线，垂足为M ,N . 由6,8OD OC ==，得10CD =.所以

(111

101260222)DOCD DECD S S S CD OM EN CD OE =+=?+≤?=??=

当OE DC ⊥时，S 取得最大值60.

6836

12=105

EF OE OF ?=-=-此时，

212,.OB G BG OB GC GE ==（）延长至点，使，连结

因为

1,2OD OE DOE EOG OE OG ==∠=∠，所以ODE OEG ∽，所以1

2

DE EG =

故2EG DE =，所以2CE DE CE EG CG +=+≥==C ,E ,G 三点共线时等号成立

2CE DE +故的最小值为

三、(本题满分25分)求所有的正整数m ，n ，使得

()

3322

2

m n m n m n +-+是非负整数．

解：记()

3322

2

m n m n S m n +-=

+，则

()

2

2223322

2

2

()[()3]3()()m n m n mn m n m n m n mn mn S m n m n m n m n m n ++--+-??

=

==+-- ?+++??+

,,(,?,,1).mn

m n p q p q p q m n

==+因为为正整数，故可令

为正整数，且 于是22

2233()()q q pq q S m n m n p p p +=+--=+-

因为S 是非负整数，所以2|p q ,11()() .|p q p m n mn ==+，又，故，即①

所以2n mn n m n m n

=-

++是整数，所以2()|m n n +，故2n m n ≥+，即2n m n -≥ 332200.S m n m n +-≥≥又由，知②

32232223(.)n m n m m n m m n n m --≥≥=≥所以，所以

3m n m n =由对称性，同理可得，故

34|2 2.20 2.m n m m m n m m m =≥=≥-≤把代入①，得，则把代入②，得，即 2.m =故

,2 2.m n m n ==所以，满足条件的正整数为，

第二试(B)

一、(本题满分20分)若实数a ，b ，c 满足()1119

5555

a b c a b c b c a c a b ??++++= ?+-+-+-??，求

()111a b c a b c ??

++++

??

?的值． 解：a b c x ab bc ca y abc z ++=++==记，，，则

()1111

11555666a b c x a b c b c a c a b x a x b x c ????++++=++

? ?

+-+-+----????

22323[312()36()](936)

6()36()216536216x x a b x ab bc ca x x y x a b c x ab bc ca x abc x xy z -+++++-+==++++++--+- 结合已知条件可得23

(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得27

2xy z = 所以()11127

2xy a b c a b c z

??++++== ???.

二、(本题满分25分)如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，ABC △和CDE △都是等腰直角三 角形，AB AC DE DC ==，． (1)证明：AD BC ∥；

(2)设AC 与DE 交于点P ，如果30ACE ∠=?，求

DP

PE

．

145,,ACB DCE BC EC ∠=∠=?解（）由题意知，所以,

AC DC

DCA ECB BC EC

∠=∠=

，所以ADC BEC ??∽，故

45DAC EBC ∠=∠=，所以DAC ACB ∠=∠，所以AD BC ∥

（2）设AE x =，因为30ACE ∠=

，可得,2,AC CE x DE DC ====

因为90,EAP CDP EPA CPD ∠=∠=∠=∠，所以APE DPC ??∽，故可得1

2

APE DPC S S ??=

又2

2,=EPC APE AEC EPC DPC CDE S S S x S S S x ??????+==

+=，于是可得

2(2DPC S x ?=

，21)EPC S x ?=

所以DPC EPC S DP PE S ??===

三、(本题满分25分)设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为1m x +，的各位数字之和为n ，并 且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数．求x ．

( ,.) 2x m n m n =解设与的最大公约数为大于的素数

91,19(.)d n m m n d ≠=+==若，则，所以，矛盾，故

()(9198,,829.)c n m m m n m c ≠=+-=-==若，则，故，它不可能是大于的素数，矛盾，故

991()(99926,, 2613)b a n m m m n m =≠=+---=-==若，显然，所以，故，但此时可得13263936.n m n ≥=+≥>，，矛盾

若9199()()17,,171717,34b n m m m n m n m ≠=+--=-====，则，故，只可能

88999799.x =于是可得或