2019-2020学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试卷及答案一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）
A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M
2．（5分）下列函数为偶函数的是（）
A．y＝|x|B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3
3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．
4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）
A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．
6．（5分）下列各式正确的是（）
A．B．
C．D．
7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100B．900C．81D．9
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）
A．当t＜0或t≥2时，有0个交点
B．当t＝0或时，有1个交点
C．当时，有2个交点
D．当0＜t＜2时，有2个交点
10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）
A．对于任意实数a，f（x）为偶函数
B．对于任意实数a，f（x）＞0
C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减
D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．
12．（5分）sin的值为．
13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）
14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：
①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；
②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．
16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：
①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；
②第8个月浮草的面积超过60平方米；
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．
其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）
四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．
（1）求∁U A；
（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．
18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．
19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．
（1）求tanβ的值；
（2）求的值．
20．（16分）已知函数f（x）＝．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）的单调性并说明理由；
（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．
21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝
对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．
（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；
（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；
（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．
数学试题参考答案
1-8.CADAB BDC9.AB10.ACD
11.（﹣1，1）12.﹣13.f（x）＝（）x14.①A∩B②A∪C
15.；0或116.①②④
17.解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．
因为全集U＝R，
所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，
（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，
若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，
所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．
18.解：（1）因为，所以．
又因为φ∈，所以φ＝．
所以．
所以f（x）最的小正周期．
（2）因为x∈[0，2π]，
所以．
当，即时，f（x）有最大值2，
当，即x＝2π时，f（x）有最小值．
19.解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．
因为，所以．
所以．
（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，
故＝＝＝．
20.解：（1）f（x）为奇函数．
因为f（x）定义域为R，，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）．
所以f（x）为奇函数；
（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．
因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，
且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，
所以在（﹣∞，+∞）是增函数，
（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，
所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．
所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．
令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．
则只需，
解得所以﹣1＜x≤0．
所以x的取值范围为（﹣1，0]．
21.解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，
∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，
∴A*B＝{1，4，5}；
（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，
所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，
所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），
②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，
所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，
所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），
③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．
所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．
所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．
④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．
所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．
所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．
综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；
（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，
所以A*B＝B*A．
因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，
所以（A*B）*C＝A*（B*C）．。
北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设P={x|x<4}，Q={x|－2<x<2}，则A. P ⊆QB. Q ⊆PC. P ⊆R QD. Q ⊆RP2. 下列函数在区间[0，π]上是减函数的是A. y=sin xB. y=cos xC. y=tan xD. y=23. 已知a=log3+log 3，b=21log9，c=log2，则a ，b ，c 的大小关系是 A. b<a<cB. c<a<bC. a<b<cD. c<b<a4. 已知α为第二象限角，sin α=53，则cos α= A. －43 B. －54 C. 54 D. 435. 要得到函数y=cos （2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向左平移21个单位D. 向右平移21个单位 6. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=2x －x ，则f （1）=A. －3B. －1C. 1D. 37. 函数f （x ）=xcosx 在区间[0，2π]上的零点个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 函数y=a －a （a>0，a ≠1）的图象可能是9. 如图所示，单位圆中弧的长为x ，f （x ）表示孤与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x ）的图象是10. 定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）－f （－x ）=0，且对任意x ，x ∈[0，+∞）（x ≠x ），都有0)()(1212<--x x x f x f ，则A. f （3）<f （－2）<f （1）B. f （1）<f （－2）<f （3）C. f （－2）<f （1）<f （3）D. f （3）<f （1）<f （－2）二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
北京市清华大学附属中学2019-2020学年高一上学期数学期末考试卷带讲解
则方程 ，即 在 内有实数根，
若函数 在 内有零点．
则 ，解得 ，或 ．
（1） ， ． ．
对称轴： ．
① 时， ， ， （1） ，因此此时函数 在 内一定有零点． 满足条件．
② 时， ，由于 （1） ，因此函数 在 内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数 的取值范围是 ， ．
【详解】因为 ，所以 ； ； ； .
故 最大.
故选：B.
【点睛】本题考查了根据实数范围比较实数大小，属于基础题.
5.“ ， ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 可解得 或 ，即可判断.
【详解】若 ，则 ， ，
即 或 ，
则可得“ ， ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
6.下列区间包含函数 零点的为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.
【详解】 ， ，
， ，
，又 为 上单调递增连续函数
故选：C .
7.函数 的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
2.下列函数在定义域内单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B， ，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C， ，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
东城区2019-2020第一学期期末数学答案(终稿)(1)
高三数学参考答案及评分标准
2020.1
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）D
（2）C
（3）B
（5）B
（6）C
（7） A
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9） 4
（11） 0 （答案不唯一） （13） 2 或10
3
...................................................................................................7 分
（Ⅱ）由正弦定理得 sin B= b sin C 2
3 2
1,
c
23 2
又因为 0 B ， 3
则切线 l
方程为
y
1 3
x03
x02
3ax0
( x02
2x0
3a)(x
x0 ) .
又直线 l
过
P(1, b)
，有 b
1 3
x03
x02
3ax0
( x02
2x0
3a)(1
x0 )
，
即
2 3
x03
2 x02
+2x0
3a
b
0
.
设 g(x) 2 x3 2x2 2x 3a b ， 3
g '(x) 2x2 4x 2 2(x 1)2 0 .
（4）A （8）C
（10） 1 45 24
（12） 4 （14）②
三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分）
北京市东城区2019-2020学年高一下学期期末考试统一检测数学试题(含答案解析)
北京市东城区2019-2020学年高一下学期期末考试统一检测数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习北京市东城区2019-2020学年高一下学期期末考试统一检测数学试题（含答案解析）1 复数的虚部为（）A. 2B.C. 1D. i【答案解析】 C【分析】直接利用复数的基本概念得答案.【详解】解：复数的虚部为1.故选：C.【点睛】此题考查复数的有关概念，属于基础题2 已知向量，若，则（）A. B. C. －3 D. －6【答案解析】 A【分析】根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.【详解】解：向量，；若，则，即，解得.故选：A.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题3 在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（）A. 某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B. 某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C. 某顾客消费210元，一定不能中奖D. 某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案解析】 B【分析】根据概率的定义进行判断.【详解】解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题4 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案解析】 D【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论.【详解】解：只要将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：D.【点睛】此题考查函数的图象变换，属于基础题5 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案解析】 B【分析】化简复数，找出对应点得到答案.【详解】对应点为在第二象限故答案选B【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.6 设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案解析】 D【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.C.若，，则可能，所以不正确.D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.所以，所以有，所以正确.故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.7 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 B【分析】根据必要条件、充分条件的定义即可判断.【详解】解：由可不一定推出四边形为平行四边形，但由四边形为平行四边形一定可得，故“”是“四边形为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B.【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题8 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求.【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，∴细沙的体积为.细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，则，得.∴.故选：A.【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题9 若函数，则的值为______.【答案解析】【分析】由已知利用二倍角公式可求，进而根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】解：∵，∴.故答案为：.【点睛】此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题10 已知复数z满足，那么__________，__________．【答案解析】 ;【分析】利用复数除法运算得到复数，进而求出其共轭与模即可.【详解】复数，故，．【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题.11 已知在△ABC中，，，，则B=______.【答案解析】60°或120°.【分析】由已知利用正弦定理可得，结合，可得范围，即可求解B 的值.【详解】解：∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，可得，∴，或.故答案为：，或.【点睛】此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题12 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.【答案解析】 0.79.【分析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，∴，解得.∴a的最大值是0.79.故答案为：0.79.【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题13 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案解析】若，，则【分析】若，，则，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论.【详解】解：l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，可得若，，则，理由：在内取两条相交直线a，b，由可得.，又，可得.，而a，b为内的两条相交直线，可得.故答案：若，，则【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题14 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为；③当时，；④当时，.其中正确结论的序号是______.【答案解析】①④.【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可.【详解】解：对于①，由为定值，所以，解得；由题意知时，单调递减，所以单调递增，即越大越费力，越小越省力；①正确.对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误.对于③，当时，，所以，③错误.对于④，当时，，所以，④正确.综上知，正确结论的序号是①④.故答案为：①④.【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题15 已知函数，其，_____.（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数的最大值和最小值.从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.【答案解析】若选①（1）；（2）最小值，最大值；若选②（1），（2）最大值，最小值.【分析】（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；（2）由已知角x的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.【详解】解：选①，（1）因为，，故函数的周期；（2）因为，所以，当即时，函数取得最小值，当即时，函数取得最大值，选②，（1），，故函数的一个周期，（2）由可得，时即时，函数取得最大值，当时即时，函数取得最小值.【点睛】此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题16 某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.【答案解析】（Ⅰ）样本空间见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；（Ⅱ）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；（Ⅲ）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率.【详解】解：（Ⅰ）设2名医生记为，，3名护士记为，，，1名管理人员记为C，则样本空间为：.（Ⅱ）设事件M：选中1名医生和1名护士发言，则，∴，又，∴（Ⅲ）设事件N：至少选中1名护士发言，则，∴，∴.【点睛】本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式．用列举法写出事件空间中的所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法．17 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB和DD1的中点.（1）求证：平面；（2）在棱C1D1上是否存在一点M，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案解析】（1）证明见解析；（2）存在，1.【分析】（1）取的中点G，连接，，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，取M为的中点，连接，，，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论.【详解】解：（1）取的中点G，连接，，因为F为的中点，所以∥，且，在正方体中，因为E为的中点，所以∥，且，所以∥，，可得四边形为平行四边形，所以∥，又因为平面，平面，则∥平面；（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，取M为的中点，连接，，，因为F为的中点，所以∥，因为，可得，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故.【点睛】此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定和性质的应用，考查面面垂直的判定，考查推理能力，属于中档题18 在△ABC中，，D是的中点，，. （1）求B；（2）求△ABC的面积.【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）直接由已知条件和正弦定理求出B的值.（2）根据余弦定理求出c的值，再根据面积公式即可求出.【详解】解：（1）由及正弦定理，可得：，所以：，由于：，，因为，解得：；（2）延长线段到E，使得，因为D是的中点，所以是的中位线，所以，因为，所以，在中，由余弦定理可得，解得，所以.【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题19 对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式（determinant），记作，（1）求下列行列式的值：①；②；③；（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；（3）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.【答案解析】（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当时，有唯一解，，.【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.（2）若向量与向量共线，由和时，分别推导出；反之，若，即，当c，d不全为0时，不妨设，则，，推导出，，当且时，，与共线，由此能证明向量与向量共线的充要条件是.（3）求出，，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，并能求出解.【详解】解：（1）解：①②；③.（2）证明：若向量与向量共线，则：当时，有，即，当时，有，即，∴必要性得证.反之，若，即，当c，d不全为0时，即时，不妨设，则，∴，∵，∴，∴，∴与共线，当且时，，∴与共线，充分性得证.综上，向量与向量共线的充要条件是.（3）用和分别乘上面两个方程两端，然后两个方程相减，消去y得：，①同理，消去x，得：，②∴当时，即时，由①②得：，，∴当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题20 已知向量，，若，那么m的值为（）A. B. C. 2 D. －2【答案解析】 C【分析】由两个向量垂直得数量积等于零，列方程可求出m的值【详解】向量，，若，则，即，解得.故选：C.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题21 的值等于（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】利用和角的正弦公式化简求值得解.【详解】由题得.故选：【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.22 已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（）A. B. C. D.【答案解析】 B【分析】本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果.【详解】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积，故选：B.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的计算，若圆柱的底面半径为，高为，则侧面积，考查计算能力，是简单题.23 给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两个平面互相垂直；②平行于同一平面的两个平面互相平行；③垂直于同一直线的两个平面互相垂直；④平行于同一直线的两个平面互相平行，其中正确命题的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案解析】 B【分析】通过举例的方式逐一验证各选项的对错.【详解】①垂直于同一平面的两个平面可能垂直，也可能平行，比如正方体的下底面和左右侧面互相垂直，但是左右侧面互相平行，故错误；②平行于同一平面的两个平面互相平行，比如用平行于正方体上下底面的平面截正方体，所得截面和上下底面互相平行，故正确；③垂直于同一直线的两个平面互相平行，比如正方体的一条侧棱垂直于上下底面，且上下底面互相平行，故错误；④平行于同一直线的两个平面可能相交，比如正方体的下底面的一条棱平行于侧面和上底面，而侧面和上底面相交，故错误.故选：B.【点睛】本题考查空间直线、平面的位置关系的判断，常用的方法是采用作图或举例子的方式去判断对应命题的真假，主要是考查学生的空间想象能力，难度一般.24 化简向量等于（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】直接利用向量的加减法法则求解即可【详解】.故选：A.【点睛】此题考查向量的加减法法则的应用，属于基础题25 关于函数，下列命题正确的是（）A. 存在，使f(x)是偶函数B. 对任意的，f(x)都是非奇非偶函数C. 存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数D. 对任意的，f(x)都不是奇函数【答案解析】 A【分析】由三角函数的图象性质结合诱导公式，对每一选项进行逐一判断即可.【详解】对于A，当，时，函数是偶函数，所以A正确；对于B，当，时，函数是奇函数，所以B错误；对于C，由选项A, B的分析，不存在，使函数既是奇函数，又是偶函数，所以C错误；对于D，，时，函数是奇函数，所以D错误.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的奇偶性的分析，属于基础题.26 已知非零向量、满足，且，那么等于（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】本题首先可根据得出，然后根据得出，即可求出的值.【详解】因为非零向量、满足，且.所以，，，故选：C.【点睛】本题考查向量的运算，考查向量的模的相关性质，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.27 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】由题意分析可知为的最小值，为的最大值，故最小时为半个周期.【详解】的周期，由题意可知为的最小值，为的最大值，的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象及性质，属于简单题，分析清楚题目意思是关键.28 等于________.【答案解析】【分析】直接逆用余弦的二倍角公式求解即可【详解】，故答案为：.【点睛】此题考查余弦的二倍角公式的应用，属于基础题29 已知，且，那么等于________；等于________.【答案解析】；.【分析】给等式两边平方，再利用正弦的二倍角公式可求出，而，从而可求出的值【详解】，且，，.把所给的等式平方可得，.再根据.求得，或（舍去），故答案为：；.【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查二倍角公式的应用，考查转化思想，属于基础题30 在△ABC中，，且,则边AB的长为．【答案解析】 1试题分析：因为，所以考点：向量数量积31 在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么b等于________.【答案解析】【分析】由三角形面积公式求出边，再由余弦定理计算可得；【详解】解：，，，，由余弦定理可得.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题.32 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么△ABC的最大内角的余弦值为________.【答案解析】【分析】由边的大小关系可知是最大角，然后利用余弦定理求解.【详解】角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，则是最大角，则，故答案为：.【点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题.33 已知△ABC，，，，如果P点是△ABC所在平面内一点，且，那么的值等于________.【答案解析】 13【分析】由条件可得，，可得，由，可得出答案.【详解】，，，，，，，，，又，.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.34 已知向量，.（1）若，共线，求x的值；（2）若，求x的值；（3）当时，求与夹角的余弦值.【答案解析】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量共线的坐标表示即可求解；（2）分别求出和的坐标，利用向量垂直的坐标表示即可求解；（3）利用向量夹角的公式即可求解.【详解】（1），共线，，解得；（2），且，，解得；（3）当时，，，，，.【点睛】本题主要考查了向量共线、向量垂直。
北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．5，则（）7．已知，，c=log3A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（ ） A ．55% B ．65% C ．75% D ．80%10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数y=f （x ）的定义域为{x|﹣2≤x ≤3，且x ≠2}，值域为{y|﹣1≤y ≤2，且y ≠0}，则y=f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．关于x 的方程（a ＞0，且a ≠1）解的个数是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为 ．14．已知角α为第四象限角，且，则sin α= ；tan （π﹣α）= ．15．已知9a =3，lnx=a ，则x= ．16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．17．已知，且满足，则sin αcos α= ；sin α﹣cos α= ．18．已知函数若存在x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使f （x 1）=f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}【考点】交集及其运算．【分析】由题意求出集合M，由交集的运算求出M∩N．【解答】解：由题意知，M={x∈R|x2+2x=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【考点】弧长公式．【分析】由已知利用弧长公式即可计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由⊥，求出x=3，从而=（3，3），由此能求出||．【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】要向量组可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底，这两个向量必不共线（平行），画出图形，利用图象分析向量之间是否共线后，可得答案．【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．【解答】解：对于A，函数g（x）=x﹣1（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（x）==|x﹣1|（x≠1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（x）==x﹣1（x≥1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（x）==|x﹣1|（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．已知，，c=log35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的运算性质及其对数函数的单调性即可得出．【解答】解： =，1＜=log34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由函数的奇偶性易得g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，解m的方程可得．【解答】解：∵函数，g（x）=f（x）﹣m为奇函数，∴g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】由已知中的折扣办法，将2700代入计算实际付款额可得实际折扣率．【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数=cosx的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）=cos（x+）的图象，令x+=kπ，求得x=kπ﹣，k∈Z，则g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，故选：D．11．若函数y=f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域和值域以及与函数图象之间的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．当x=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和x对应的图象，∴C错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0，令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为（﹣∞，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：函数，∴3﹣x≥0，解得x≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．已知角α为第四象限角，且，则sinα= ﹣；tan（π﹣α）= 2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sinα和tan（π﹣α）的值．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．已知9a=3，lnx=a，则x= ．【考点】对数的运算性质．【分析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得x的值．【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a=，∴lnx==ln，∴x=故答案为：16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出两个向量的数量积，然后求出|﹣|的平方，再开方求值．【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，所以=﹣3，所以|﹣|2==4+9+6=19，那么|﹣|=；故答案为：．17．已知，且满足，则sinαcosα= ；sinα﹣cosα= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，直接由条件求得sinαcosα的值，可得α∈（π，），再根据sinα﹣cosα=﹣，计算求得结果．【解答】解：∵，且满足，∴+==8，∴sinαcosα=，∴sinα＜0，cosα＜0，且sinα＜cosα．∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：；﹣．18．已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【考点】分段函数的应用．【分析】当x≥0时，2x﹣1≥0，故若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则当x＜0时，存在不小于0的函数值，进而得到答案．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）根据交集的定义计算即可，（Ⅱ）根据集合的元素特征，即可求出，（Ⅲ）根据交集的定义即可求出【解答】解：（Ⅰ）集合A={x∈R|2x﹣3≥0}=[，+∞），B={x|1＜x＜2}=（1，2），∴A∪B=（1，+∞），（Ⅱ）∵C={x∈N|1≤x＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，（Ⅲ）∵C={x∈N|1≤x＜a}=[1，a），A∩C=∅，∴1≤a≤220．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据f（）=g（），求得φ的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到h（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得h（x）的增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin﹣=cos（+φ），即 cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）=sin（ωx）﹣的图象，若h（x）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（x）=sin（2x）﹣．令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得h（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）函数f（x）=kx2+2x为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，即可求实数k的值；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，分类讨论，求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=kx2+2x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，0＜a＜1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递减，x=2时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；a＞1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递增，x=﹣1时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）由新定义，讨论2x﹣1＞x，2x﹣1=x，2x﹣1＜x，解不等式即可得到所求函数F （2x﹣1）；（Ⅱ）讨论x＞1，x=1，x＜1，由F（2x﹣1），求得F（|x﹣a|），运用恒成立思想，即可得到a的值；（Ⅲ）由h（x）=0可得cosx=0或F（x+sinx）=0，结合新定义和三角函数的图象与性质，可得零点个数；由x+sinx＞x，x+sinx=x，x+sinx＜x，化简h（x），分别求得值域，即可得到所求h（x）在时的值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；当2x﹣1＜x，可得x＜1，则F（2x﹣1）=﹣1；可得F（2x﹣1）=；（Ⅱ）当x＞1时，F（2x﹣1）=1，F（|x﹣a|）=﹣1，即有|x﹣a|＜x恒成立，即为a2≤2ax在x＞1恒成立，即有a2≤2a，解得0≤a≤2；当x=1时，F（2x﹣1）=0，F（|x﹣a|）=0，可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；当x＜1时，F（2x﹣1）=﹣1，F（|x﹣a|）=1，即有|x﹣a|＞x恒成立，即为a2≥2ax在x＜1恒成立，即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；则a的值为0或2；（Ⅲ）当时，h（x）=cosx•F（x+sinx）=0，可得cosx=0或F（x+sinx）=0，即有x=；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，则h（x）的零点个数为2；当x+sinx＞x，即≤x＜π时，h（x）=cosx∈（﹣1，]；当x+sinx=x，即x=π时，h（x）=0；当x+sinx＜x，即π＜x≤时，h（x）=﹣cosx∈[，1）．综上可得，h（x）的值域为（﹣1，1）．。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
2019-2020学年北京市东城区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市东城区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}0M ＝，1,{}0,1N ＝﹣，那么下列结论正确的是（ ） A ．M =∅ B ．M N ∈ C ． M N D ．N ⫋M【答案】C【解析】利用集合与集合的关系直接求解． 【详解】∵集合{}0M ＝,1,{}0,1N ＝﹣, ∴M N ． 故选：C 【点睛】本题考查集合的关系的判断,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题． 2．下列函数为偶函数的是（ ） A ．y x = B ．y lnx = C ．x y e = D ．3y x =【答案】A【解析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案． 【详解】解：根据题意,依次分析选项： 对于A ,y x =,是偶函数,符合题意；对于B ,y lnx =,是对数函数,不是偶函数,不符合题意；对于C ,xy e =,是指数函数,不是偶函数,不符合题意；对于D ,3y x =,是幂函数,不是偶函数,不符合题意；故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性,属于基础题． 3．已知函数y sinx =在区间M 上单调递增，那么区间M 可以是（ ） A ．()0,2pB ．()0,πC ．30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】结合正弦函数的单调性即可得出区间M . 【详解】解：由正弦函数的性质得 函数y sinx =的单调增区间为：|2222x k x k ppp p 禳镲-+＃+睚镲铪, 所以区间M 可以是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭. 故选： D 【点睛】本题考查正弦函数的单调性,是基础题. 4．命题“x A ∀∈,2x B ∈”的否定为（ ）A ．x A ∃∈,2xB ∉ B ．x A ∃∉,2x B ∈C ．x A ∀∈,2x B ∉D ．x A ∀∉,2x B ∈【答案】A【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】解：命题为全称命题,则命题“x A ∀∈,2x B ∈”的否定为： “x A ∃∈,2x B ∉”, 故选：A 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础． 5．若a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．22a b >C ．1122a b >D ．11a b< 【答案】B【解析】直接利用不等式性质的应用和函数的单调性的应用求出结果． 【详解】解：由于a b >,且a 和b 的正负号不确定,所以选项ACD 都不正确．对于选项B ，由于函数2xy =为单调递增函数,且a b >,故正确故选：B函数的单调性的应用,不等式的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．6．下列各式正确的是（ ）A ． 6sin sin 55ππ<B ．cos cos 36ππ⎛⎫-< ⎪⎝⎭C ．2tan tan 55ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22sincos77ππ< 【答案】B【解析】利用诱导公式、三角函数单调性求解. 【详解】 解：选项A ：6sin sin55ππ<, 因为6sinsin 55=-ππ,又因为sin 05π>, 所以6sin sin sin555>-=πππ,故A 错误； 选项B ：cos cos 36ππ⎛⎫-< ⎪⎝⎭, 因为cos cos 33⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,cos y x =在()0,π单调递减, 又因为36ππ>,cos cos 36⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ, 所以cos cos 36ππ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立,故B 正确； 选项C.：2tan tan 55ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,所以2tan tan 55⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ, 故2tan tan 55⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,故C 错误； 选项D ：22sincos 77ππ<, 因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,且sincos44=ππ,2sinsin 74ππ>,2cos cos 74<ππ, 故22sincos 77>ππ,故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查诱导公式在三角函数化简中的应用,考查利用三角函数单调性比较三角函数值的大小，属于中档题.7．“a ，b 为正实数”是“a b +>的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】可以取特殊值讨论充分与必要性都不成立． 【详解】解：a ,b 为正实数,取1a =,1b =,则a b +=则“a ,b 为正实数” 不是“a b +>的充分条件；若a b +>取1a =,0b =,则b 不是正实数,则“a b +>不是 “a ,b 为正实数''的必要条件；则“a ,b 为正实数”是“a b +>的既不充分也不必要条件, 故选：D ． 【点睛】本题考查命题充分条件与必要条件的定义,以及不等式的性质,属于基础题．8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为v ＝31log 2100O，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ） A ．8100 B ．900C ．81D ．9【答案】C【解析】利用鲑鱼游速为2m /s 时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可. 【详解】解：当鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量：1312log 2100O =,解得18100O =；当鲑鱼游静止时的耗氧量：2310log 2100O =,解得2100O =；所以12810081100O O ==. 故选：C 【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.二、多选题9．关于函数()1f x cosx +=，,23x pp 骣琪Î琪桫的图象与直线y t =（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ） A ．当0t <或2t ≥时，有0个交点 B ．当0t =或322t ≤<时，有1个交点 C ．当302t <≤时，有2个交点 D ．当02t <<时，有2个交点【答案】AB【解析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果． 【详解】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A ：当0t <或2t ≥时,有0个交点,故正确． ②对于选项B ：当0t =或322t ≤<时,有1个交点,故正确． ③对于选项C ：当32t =时,只有一个交点,故错误． ④对于选项D ：当322t ≤<,只有一个交点,故错误． 故选：AB【点睛】函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．10．已知函数()||24x f x x a ++=，下列命题正确的有（ ）A ．对于任意实数a ，()f x 为偶函数B ．对于任意实数a ，()0f x >C ．存在实数a ，()f x 在(),1-∞-上单调递减D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞【答案】ACD【解析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果． 【详解】解：函数()||24x f x x a ++=,①对于选项A ：由于x ∈R ,且()()f x f x -＝,故函数()f x 为偶函数．故选项A 正确． ②对于选项B ：当0x =时2a =-时,()0f x <,故选项B 错误．③对于选项C ：由于函数()f x 的图象关于y 轴对称,在0x >时,函数为单调递增函数,在0x <时,函数为单调递减函数,故()f x 在(),1-∞-上单调递减,故选项C 正确．④对于选项D ：由于函数的图象关于y 轴对称,且在0x >时,函数为单调递增函数,在0x <时,函数为单调递减函数,故存在实数0a =时, 使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞,故选项D 正确． 故选：ACD. 【点睛】函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于综合题型．三、填空题11．函数()()21f x ln x -=的定义域是_____． 【答案】()11﹣, 【解析】根据对数的真数大于0,解不等式210x ->即可． 【详解】解：令210x ->,解得11x -<<,即函数的定义域为()11﹣,． 故答案为：()11﹣, 【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解,属于基础题． 12．sin611π等于_____. 【答案】12-【解析】直接运用正弦的诱导公式，结合特殊角的正弦值求接求出即可. 【详解】 1sinsin(2)sin 6662π11πππ=-=-=-. 故答案为：12- 【点睛】本题考查了正弦的诱导公式，考查了特殊角的正弦值，属于基础题. 13．函数()f x 的值域为()0,+?，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数()f x 可以为_____．（写出符合条件的一个函数即可）【答案】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】由函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,+?,且在定义域R 内单调递减,即是符合要求的一个函数． 【详解】解：∵函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,+?,且在定义域R 内单调递减,∴函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭即是符合要求的一个函数, 故答案为：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题．14．在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}，{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校}，{|C x x =是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____． 【答案】AB AC U【解析】①利用交集定义直接求解,②利用并集定义直接求解． 【详解】解：①设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校},{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校},{|C x x =是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A B ．故答案为：AB ．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A C U ． 故答案为：A C U ． 【点睛】本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．15．已知函数()1,12,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则()2f -=_____；若()1f t =，则实数t =_____．【答案】140或1 【解析】结合已知函数解析式,把2x =-代入即可求解()2f -,结合已知函数解析式及()1f t =,对t 进行分类讨论分别求解．【详解】()1,12,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩,则()22112224f --===； ()1f t =,①当1t ≥ 时,可得11t=,即1t =, ②当1t <时,可得21t =,即0t =, 综上可得0t =或1t =． 故答案为：14；0或1 【点睛】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题． 16．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y （平方米）与时间t （月）之间的函数关系式是1(0t y a a =>﹣且1)a ≠，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为123t t t ，，，则2132t t t >+．其中正确命题的序号有_____．（注：请写出所有正确结论的序号）【答案】①②④【解析】直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：浮草蔓延后的面积y （平方米）与时间t （月）之间的函数关系式是1(0t y a a =>﹣且1)a ≠,函数的图象经过()2,2所以212a =﹣,解得2a =． ①当0x =时12y =,故选项A 正确． ②当第8个月时,8172212860y ===>﹣,故②正确． ③当1t =时,1y =,增加0.5,当2t =时,2y =,增加1,故每月的增加不相等,故③错误． ④根据函数的解析式11210t -=,解得12101t log +=, 同理22201t log +=,32301t log +=,所以2221222220240023002t log log t t log =+=+=+>+, 所以则2132t t t >+．故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．四、解答题17．已知集合2{|320}A x x x +=+<，全集U =R ． （1）求U A ð ；（2）设{|}1B x m x m =-＃，若U B A ⊆ð，求m 的取值范围． 【答案】（1）{|2x x ≤-或}1x ?；（2）(][)20,ト+?-，-．【解析】（1）根据题意,求出集合A ,进而由补集的性质分析可得答案； （2）根据题意,结合集合间的关系分析可得答案． 【详解】解：（1）根据题意,因为232021{|}{|}A x x x x x +=-=+＜＜＜-． 因为全集U =R ,所以{|2U A x x =-≤ð或}1x ?, （2）根据题意,{|2U A x x =-≤ð或}1x ?, 若U B A ⊆ð,当11m -?或2m ≤-,即0m ≥或2m ≤-, 所以m 的取值范围为(][)20,ト+?-，-．【点睛】本题考查集合的补集运算,涉及集合的子集关系,属于基础题． 18．已知函数，()12sin ,0,22f x x πφφ⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()0f ． （1）求()f x 的解析式和最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,2π上的最大值和最小值．【答案】（1）()12sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，4T π=；（2）最大值2，最小值【解析】（1）先将()0f 代入()12sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭φ,结合0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πφ求出函数解析式,再用2T πω=公式求出最小正周期.（2）根据[]0,2x π∈,求出123x π+的范围,再求出12sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π的范围,即可得出()f x 在区间[]0,2π上的最大值和最小值.【详解】解：（1）因为()12sin ,0,22f x x πφφ⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()0f =所以()102sin 02f ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭φ,所以sin φ=又因为0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πφ,所以3πφ=,故()f x 的解析式为()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最小正周期为2412T ππ==. （2）因为[]0,2x π∈,所以143233x p p p ??,所以1sin 1223x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π,则12sin 223x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭π,故()f x 在区间[]0,2π上的最大值2,最小值.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用,三角函数的性质,注重对基础知识的考查. 19．在平面直角坐标系xOy 中，角α，β02παβπ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 的非负半轴，终边分别与单位圆交于,A B 两点，,A B 两点的纵坐标分别为45,513（1）求tan β的值；（2）求()()sin cos sin cos 22αβπβππαβ++-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． 【答案】（1）512-；（2）2714 【解析】（1）利用三角函数的定义求出sin β和cos β,即可求出tan β的值.（2）分别求出sin α、cos α、sin β、cos β,再根据三角函数诱导公式、和差公式,即可求()()sin cos sin cos 22αβπβππαβ++-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【详解】解：（1）因为在平面直角坐标系xOy 中,角α,β02παβπ⎛⎫<<<<⎪⎝⎭的顶点与坐标原点O 重合,终边分别与单位圆交于,A B 两点,,A B 两点的纵坐标分别为45,513. 所以4sin 5α=,3cos 5α=,5sin 13β=,12cos 13b =-,所以5sin 51312cos 1213tan βββ===--. （2）由题知4sin 5α=,3cos 5α=,5sin 13β=,12cos 13b =-, 所以()sin sin cos cos sin a b a b a b +=+ 41235481533513513656565骣琪=?+?-+=-琪桫,所以()()sin cos sin cos 22αβπβππαβ++-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin cos cos sin αββαβ+-=-33123360272765136565653539251414513656565-+-+====--【点睛】本题考查三角函数的定义,诱导公式与和差公式,属于基础题.20．已知函数()332x x f x --=（1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）判断()f x 的单调性并说明理由；（3）若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立,求x 的取值范围． 【答案】（1）奇函数,证明见解析；（2）增函数,理由见解析；（3）(]1,0- 【解析】（1）求出()f x 的定义域,再计算()f x -与()f x 比较,即可判断奇偶性； （2）对函数求导，判断导函数大于0，即可的()f x 的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性和将()()120f ax f x -+->转化为1ax x >-，再分情况讨论即可得出x 的取值范围． 【详解】解（1）判断：()f x 是奇函数.证明：因为()332x xf x --=,定义域为R , ()()333322x x x xf x f x ----=-=--=所以()f x 是奇函数；（2）判断：()f x 在R 上是增函数.证明：因为()()332x xx R f x -=-∈所以()()()'''23323322xx x x f x ---⨯--=⨯113ln 32334xx ln ⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13ln 332304xx ln ⎡⎤⎛⎫+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>=所以()f x 在R 上是增函数.（3）若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立,求x 的取值范围． 因为()()120f ax f x -+->所以()()12f ax f x ->--, 由（1）知()f x 是奇函数,则()()12f ax f x ->- 又由（2）知()f x 在R 上是增函数,则12ax x ->-1ax x >-,对任意(],2a ∈-∞恒成立,①当0x = 时,01>-,符合题意； ②当0x > 时,111x a x x->=-, 因为(],2a ∈-∞，无最小值,所以不合题意； ③当0x < 时,111x a x x-<=-, 则112x->,解得1x -<,所以10x -<<，符合题意； 综上所述：(]1,0x ∈-.故若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，x 的取值范围为(]1,0-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明,以及利用函数的奇偶性、单调性解不等式,是基础题.21．对于集合A ，定义函数()1,1,A x Af x x A∉⎧⎨-∈⎩=对于两个集合A ，B ，定义运算()(){|}1A B A B x f x f x *=?-．（1）若{1,2,3}A =，2345{}B =，，，，写出()1A f 与()1B f 的值，并求出*A B ； （2）证明：()()()*A B A B f x f x f x ×=；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即**A B B A =，()()****A B C A B C =． 【答案】（1）()11A f =-，()11B f =，*15{}4A B =，，；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）由新定义的元素即可求出()1A f 与()1B f 的值,再分情况求出*A B ； （2）对x 是否属于集合A ,B 分情况讨论,即可证明出()()()*A B A B f x f x f x ×=； （3）利用（2）的结论即可证明出运算具有交换律和结合律． 【详解】 解：（1）3}2{1A =，，,2345{}B =，，，,()11A f \=-,()11B f =,*145{}A B \=，，；（2）①当x A ∈且x B ∈时,()()1A B f x f x ==-, 所以*x A B Ï ．所以()*1A B f x =, 所以()()()*A B A B f x f x f x ×＝,②当x A ∈且x B ∉时,()1A f x =-,()1B f x =, 所以*x A B Î．所以()*1A B f x =-, 所以()()()*A B A B f x f x f x ×＝,③当x A ∉且x B ∈时,()1A f x =,()1B f x =-． 所以*x A B Î．所以()*1A B f x =-． 所以()()()*A B A B f x f x f x ×＝． 综上,()()()*A B A B f x f x f x ×＝；④当x A ∉且x B ∉时,()()1A B f x f x == ． 所以*x A B Ï．所以()*1A B f x =． 所以()()()*A B A B f x f x f x ×＝． （3）因为()(){*|}1A B A B x f x f x =?-,()()()()*1{|}{|}1B A A B B A x f x f x x f x f x ×==?-=- ,所以**A B B A =．因为()()()()()()***11{|}{|}A B C A B C A B C x f x f x x f x f x f x ==?-鬃=-,()()()()()()***11{|}{|}A B C A B C A B C x f x f x x f x f x f x ==?-鬃=- ,所以()()****A B C A B C =． 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是难题．。
2019-2020年北京市东城区高一上册期末数学试卷(有答案)
北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={∈R|2+2=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．∅D．{﹣2，0，2}2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．（3分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．（3分）二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．（3分）已知函数f（）=|﹣1|，则与y=f（）相等的函数是（）A．g（）=﹣1 B．C． D．7．（3分）已知，，c=log 35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．（3分）已知函数，若g（）=f（）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（）的图象，则g（）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．11．（3分）若函数y=f（）的定义域为{|﹣2≤≤3，且≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（3分）关于的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为．14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=；tan（π﹣α）=．15．（4分）已知9a=3，ln=a，则=．16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|=．17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα=；sinα﹣cosα=．18．（4分）已知函数若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={∈R|2﹣3≥0}，B={|1＜＜2}，C={∈N|1≤＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．（10分）已知函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（）图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）的图象，若h（）的最小正周期为π，求ω的值和h（）的单调递增区间．21．（10分）已知函数f（）=2+2为奇函数，函数g（）=a f（）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求g（）在[﹣1，2]上的最小值．22．（10分）已知函数f（），定义（Ⅰ）写出函数F（2﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|﹣a|）+F（2﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（）=cos•F（+sin）的零点个数和值域．北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={∈R|2+2=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．∅D．{﹣2，0，2}【解答】解：由题意知，M={∈R|2+2=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．（3分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+=0，解得=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．（3分）二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．（3分）已知函数f（）=|﹣1|，则与y=f（）相等的函数是（）A．g（）=﹣1 B．C． D．【解答】解：对于A，函数g（）=﹣1（∈R），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（）==|﹣1|（≠1），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（）==﹣1（≥1），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（）==|﹣1|（∈R），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．（3分）已知，，c=log 35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【解答】解：=，1＜=log 34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．（3分）已知函数，若g（）=f（）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵函数，g（）=f（）﹣m为奇函数，∴g（﹣）+g（）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（）的图象，则g（）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=cos的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（）=cos（+）的图象，令+=π，求得=π﹣，∈，则g（）图象的一条对称轴的方程为=，故选：D．11．（3分）若函数y=f（）的定义域为{|﹣2≤≤3，且≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A．当=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和对应的图象，∴C错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．（3分）关于的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【解答】解：由题意a=﹣2+2+a，﹣2+2+a＞0．令f（）=a，g（）=﹣2+2+a，（1）当a＞1时，f（）=a在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（）=﹣2+2+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（）＜g（），∵g（）在＜0及＞1时分别有一个零点，而f（）恒大于零，∴f（）与g（）的图象在＜0及＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（）=a在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（）=﹣2+2+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（）与g（）有一个交点，又g（）在＞1时有一个零点，而f（）恒大于零，∴f（）与g（）的图象在＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为（﹣∞，3] ．【解答】解：函数，∴3﹣≥0，解得≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=﹣；tan（π﹣α=2．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．（4分）已知9a=3，ln=a，则=．【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a=，∴ln==ln，∴=故答案为：16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|=．【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，所以=﹣3，所以|﹣|2==4+9+6=19，那么|﹣|=；故答案为：．17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα=；sinα﹣cosα=﹣．【解答】解：∵，且满足，∴+==8，∴sinαcosα=，∴sinα＜0，cosα＜0，且si nα＜cosα．∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：；﹣．18．（4分）已知函数若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：当≥0时，2﹣1≥0，当＜0时，若a=0，则f（）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（）＜2﹣3a，若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（）＜2﹣3a，若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={∈R|2﹣3≥0}，B={|1＜＜2}，C={∈N|1≤＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A={∈R|2﹣3≥0}=[，+∞），B={|1＜＜2}=（1，2），∴A∪B=（1，+∞），（Ⅱ）∵C={∈N|1≤＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，（Ⅲ）∵C={∈N|1≤＜a}=[1，a），A∩C=∅，当C=∅时，即a＜1时满足，当C≠∅，可得1≤a≤2，综上所述a的范围为（﹣∞，2]20．（10分）已知函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（）图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）的图象，若h（）的最小正周期为π，求ω的值和h（）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin﹣=cos（+φ），即cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）=sin （ω）﹣的图象，若h（）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（）=sin（2）﹣．令2π﹣≤2≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得h（）的增区间为[π﹣，π+]，∈．21．（10分）已知函数f（）=2+2为奇函数，函数g（）=a f（）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求g（）在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（）=2+2为奇函数，∴f（﹣）=﹣f（），即2﹣2=﹣2﹣2，∴=0；（Ⅱ）g（）=a2﹣1，0＜a＜1，函数g（）在[﹣1，2]上单调递减，=2时g（）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；a＞1，函数g（）在[﹣1，2]上单调递增，=﹣1时g（）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．（10分）已知函数f（），定义（Ⅰ）写出函数F（2﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|﹣a|）+F（2﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（）=cos•F（+sin）的零点个数和值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2﹣1＞，可得＞1，则F（2﹣1）=1；当2﹣1=，可得=1，则F（2﹣1）=0；当2﹣1＜，可得＜1，则F（2﹣1）=﹣1；可得F（2﹣1）=；（Ⅱ）当＞1时，F（2﹣1）=1，F（|﹣a|）=﹣1，即有|﹣a|＜恒成立，即为a2≤2a在＞1恒成立，即有a2≤2a，解得0≤a≤2；当=1时，F（2﹣1）=0，F（|﹣a|）=0，可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；当＜1时，F（2﹣1）=﹣1，F（|﹣a|）=1，即有|﹣a|＞恒成立，即为a2≥2a在＜1恒成立，即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；则a的值为0或2；（Ⅲ）当时，h（）=cos•F（+sin）=0，可得cos=0或F（+sin）=0，即有=；+sin=，即sin=0，解得=π，则h（）的零点个数为2；当+sin＞，即≤＜π时，h（）=cos∈（﹣1，]；当+sin=，即=π时，h（）=0；当+sin＜，即π＜≤时，h（）=﹣cos∈[，1）．综上可得，h（）的值域为（﹣1，1）．。
2019-2020北京高一上期末试卷合集
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北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末教学统一检测 数学试题Word版解析
北京市东城区2019-2020学年上学期期末教学统一检测高一数学试题第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在表格中.1.符号“U A ð”可表示为 A ．}{x x U x A∈∈且B ．}{x x U x A∈∉且C ．}{x x U∈ D ．}{x x A ∉2.sin 43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的值等于 A ．12B ．3 C．2 D．23.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为 A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x=D ．||y x x = 4.已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα+-的值是A.15B.13C.35D. 15.三个数23.0=a ，3.022,3.0log ==c b 之间的大小关系是A ．b c a << B.c b a << C.b a c << D.a c b << 6.函数2ln y x =的图象可能是7.函数()e 2xf x x =+-的零点所在的区间是A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28.要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将x y 2sin =的图象A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度9.汽车的油箱是长方体形状容器，它的长是a cm ，宽是b cm ，高是c cm ，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车的耗油量是n cm 3/km ，汽车行驶的路程y （km ）与油箱剩余油量的液面高度x (cm)的函数关系式为A. ()(0)ab y c x x c n =-≤≤ B. ()(0)ny c x x c ab =-≤≤ C. ()(0)c y n x x c ab =-≤≤ D. ()(0)aby n x x c c=-≤≤10.设函数31(),0,()2,0.xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩ 若)(a f >1，则a 的取值范围是A ．(－1,1)B ．),1(+∞-C ． (,2)(0,)-∞-+∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞第二部分（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中横线上.11.已知集合{1,1,2,4},{1,0,2}A B =-=-,则A B =___________．12.若角α的终边经过点(,3)P m -，且54cos -=α，则m 的值为 ． 13.求值：12311(2)log 427--= ．14.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，则(1)=f - ．15.设当x q =时，函数()sin f x x x =-取得最大值，则cos θ= .16．给定k +∈N ，设函数:f ++→N N 满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-． （1）设1k =，则(2014)=f ；（2）设3k =，且当3n ≤时，()23f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 ．三、解答题：本大题共4个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知：函数()lg(39)xf x =-的定义域为A ，集合}{20,B x x a a R =-<∈.（Ⅰ）求集合A ； （Ⅱ）求A B I .18．（本题满分10分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-．（Ⅱ） 求函数()f x 的单调递增区间．19．（本题满分10分） 已知函数()1xf x x =-. （Ⅰ）求(1)(1)f x f x ++-的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1,)+∞上是减函数.已知函数()2sin(2+)+13f x x π=.（I ）当43x π=时，求()f x 值； （II ）若存在区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)，使得()y f x =在[,]a b 上至少含有6个零 点，在满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值.21.（本题满分8分）已知函数()f x 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保 值区间.（I ）求函数()2f x x =形如[)(),n n R +∞∈的保值区间；（II ）函数()()110g x x x=->是否存在形如[](),a b a b <的保值区间？若存在，求出实数,a b 的值，若不存在，请说明理由.北京市东城区2019-2020学年上学期期末教学统一检测高一数学试题参考答案第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在表格中.1.符号“U A ð”可表示为 A ．}{x x U x A∈∈且B ．}{x x U x A∈∉且C ．}{x x U∈ D ．}{x x A ∉2.sin 43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的值等于A ．12B ． 3C ．2D ．23.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为 A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x=D ．||y x x =4.已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα+-的值是A.15B.13C.35D. 15.三个数23.0=a ，3.022,3.0log ==c b 之间的大小关系是A ．b c a << B.c b a << C.b a c << D.a c b <<6.函数2ln y x =的图象可能是7.函数()e 2xf x x =+-的零点所在的区间是A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28.要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将x y 2sin =的图象A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度【解析】9.汽车的油箱是长方体形状容器，它的长是a cm ，宽是b cm ，高是c cm ，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车的耗油量是n cm 3/km ，汽车行驶的路程y （km ）与油箱剩余油量的液面高度x (cm)的函数关系式为A. ()(0)ab y c x x c n =-≤≤ B. ()(0)ny c x x c ab =-≤≤ C. ()(0)c y n x x c ab =-≤≤ D. ()(0)aby n x x c c=-≤≤10.设函数31(),0,()2,0.xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩ 若)(a f >1，则a 的取值范围是A ．(－1,1)B ．),1(+∞-C ． (,2)(0,)-∞-+∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞第二部分（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中横线上.11.已知集合{1,1,2,4},{1,0,2}A B =-=-,则AB =___________．12.若角α的终边经过点(,3)P m -，且54cos -=α，则m 的值为 ．13.求值：12311(2)log 427--= ．14.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，则(1)=f - ．15.设当x q =时，函数()sin f x x x =-取得最大值，则cos θ= .16．给定k +∈N ，设函数:f ++→N N 满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-． （1）设1k =，则(2014)=f ；（2）设3k =，且当3n ≤时，()23f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 ．三、解答题：本大题共4个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分9分）已知：函数()lg(39)x f x =-的定义域为A ，集合}{20,B x x a a R=-<∈.（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）求A B I .18．（本题满分10分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-．（Ⅱ） 求函数()f x 的单调递增区间．19．（本题满分10分） 已知函数()1x f x x =-. （Ⅰ）求(1)(1)f x f x ++-的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1,)+∞上是减函数.20．（本题满分9分） 已知函数()2sin(2+)+13f x x π=. （I ）当43x π=时，求()f x 值； （II ）若存在区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)，使得()y f x =在[,]a b 上至少含有6个零 点，在满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值.21.（本题满分8分）已知函数()f x 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保 值区间.（I ）求函数()2f x x =形如[)(),n n R +∞∈的保值区间； （II ）函数()()110g x x x=->是否存在形如[](),a b a b <的保值区间？若存在，求出实数,a b 的值，若不存在，请说明理由.。