第3章 方差分析
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
误差平方和SSE：
方法一：将空出列按一因素计算，得出值为SSE；
方法二：用公式 SSE＝SST－SSA－SSB－SSC
ST = S A + S B + ... + S E
fT = f A + f B + ... + f E
正交设计方差分析表
项目
平方和SS
自由度DF
均方MS
F值
因素A 因素B 因素C 误差（空白列） 总和
ˆ ˆ μ = y = 50 ， a3 = T13 − y = 61 − 50 = 11 ，
ˆ c 2 = T32 − y = 57 − 50 = 7 ，
•A3C2 水平组合下指标均值的无偏估计可以取为： ˆ ˆ ˆ ˆ μ 3⋅2 = μ + a3 + c 2 = 50+11+7=68。
区间估计
F0.90(2,2)=9.0, F0.95(2, Nhomakorabea)=19.0
因 FC>F0.90(2,2)=9.0，FA>F0.95(2,2)=19.0，故因子 A 与 C 分别 在显著性水平 0.05 与 0.10 上是显著的，因子 B 不显著。
对显著因子应该选择其最好的水平， 因为其水平变化会 造成指标的显著不同，而对不显著因子可以任意选择水平， 实际中常可根据降低成本、操作方便等来考虑其水平的选 择。 在例 3.3 中因子 A 与 C 是显著的，所以要选择其最好 的水平，按前所述，应取 A3C2，对因子 B 可以选任意水平， 譬如为了节约时间可选 B1。 综上， 我们在直观分析中从 9 个结果看到的最好水平组 合是 A3B2C2，而通过方差分析可以得到各因子最佳水平组 合是 A3 B C2，因子 B 可以选任意水平，它是从 27 个可能 结果中选出的，两者并不完全相同。
第三章 正交试验设计中的方差分析2-例题分析
由极差看B的影响最小，即络合剂是测定的次要因素。 由极差看 的影响最小，即络合剂是测定的次要因素。 的影响最小 第五步，进一步画出指标－因素趋势图观察。 第五步，进一步画出指标－因素趋势图观察。
24 23 22 21 Abs
Abs 21.5 21 20.5 20 19.5 19 18.5
Abs 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15
三．实际应用举例 例8：用原子吸收光谱测定铝合金中痕量铁时， ：用原子吸收光谱测定铝合金中痕量铁时， 需要选择以下三个因素的最适宜条件： ） 需要选择以下三个因素的最适宜条件：1）酸度 (用1:1盐酸的体积代表 ；2）络合剂（5％的8用 盐酸的体积代表 盐酸的体积代表)； ）络合剂（ ％ 羟基喹啉）加入量；3）释放剂（20mg/ml的锶 羟基喹啉）加入量； ）释放剂（ 的锶 盐）加入量。每个因素考虑三个水平，分别是： 加入量。每个因素考虑三个水平，分别是： 4ml、7ml、10ml；3ml、6ml、9ml；1ml、 、 、 ； 、 、 ； 、 9ml、17ml。如何安排这个试验，并对结果进 、 。如何安排这个试验， 行分析。 行分析。
同样： 同样：QB=10.9；QC=76.2； ； ；
总的方差和Q 如下计算： 总的方差和 T如下计算：
那么试验误差的差方和就可如下计算： 那么试验误差的差方和就可如下计算： Qe＝QT－（ A＋QB＋QC） －（Q －（66.9＋10.9＋76.2） ＝168.2－（ －（ ＋ ＋ ） ＝14.2 其次，计算自由度： 其次，计算自由度： fT＝n－1＝9－1＝8； － ＝ － ＝ ； fA＝fB＝fC＝m－1＝3－1＝2 ； － ＝ － ＝ fe=fT－fA－fB－fC＝2 。
正交试验设计的方差分析小结
第三章正交试验设计中的方差分析2例题分析
第三章_正交试验设计中的方差分析2-例题分析第三章中的例题分析是关于正交试验设计中的方差分析的。
本例题分析主要涉及到两个因素和一个响应变量，通过正交试验设计的方法，对这两个因素的影响进行分析。
首先，我们需要了解正交试验设计的基本原理。
正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择合适的试验因素和水平，使得每个试验条件都能够得到充分的信息，从而降低试验误差，提高试验效率。
在正交试验设计中，试验因素之间是相互独立的，这样可以更好地分析每个因素对响应变量的影响。
在本例题中，我们有两个因素，分别记作因素A和因素B，每个因素有两个水平。
我们还有一个响应变量Y，需要确定因素A、因素B和Y之间的关系。
接下来，我们需要进行方差分析。
方差分析是一种用于比较不同因素对响应变量的影响的统计方法。
在本例题中，我们可以使用两因素方差分析来分析因素A和因素B对响应变量Y的影响。
首先，我们需要计算总平方和（SST），表示响应变量的总变异。
然后，我们需要计算因素A的平方和（SSA），表示因素A对响应变量的影响，以及因素B的平方和（SSB），表示因素B对响应变量的影响。
同时，我们还需要计算交互作用的平方和（SSAB），表示因素A和因素B之间的交互作用对响应变量的影响。
接下来，我们可以计算各个平方和的自由度和均方差，从而得到F值。
F值可以用来判断因素对响应变量的影响是否显著。
如果F值大于临界值，则说明该因素对响应变量的影响是显著的。
最后，我们可以进行多重比较，比较每个因素水平之间的差异。
多重比较可以帮助我们确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
通过以上的分析，我们可以得出因素A、因素B和响应变量Y之间的关系。
同时，我们还可以根据多重比较的结果，确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
总结起来，本例题分析主要涉及到正交试验设计中的方差分析。
通过对两个因素和一个响应变量进行分析，我们可以确定因素对响应变量的影响是否显著，并确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
多元统计分析第三章假设检验及方差分析
第3章 多元正态总体的假设检验与方差分析从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。
统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。
按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。
由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。
所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。
统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。
统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。
参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多大?”之类的问题,而假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。
本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断， 两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。
3.1一元正态总体情形的回顾一、 假设检验在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为0H 和1H 。
1、显著性检验为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2σμN 的样本，我们要检验假设100:,:μμμμ≠=H H （3.1）原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有一个正确。
备择假设的意思是，一旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。
当2σ已知时，用统计量nX z σμ-=在原假设0H 成立下，统计量z 服从正态分布z )1,0(~N ，通过查表，查得)1,0(N 的上分位点2αz 。
对于检验问题（，我们制定这样一个检验规则（简称检验）： 当2αz z >时，拒绝0H ；当2αz z ≤时，接受0H 。
第三章_方差分析
i （xij、
方差分析的线性模型
（5-4）、（5-6）两式告诉我们： 每 个 观 测 值 都包含处理效应（μi-μ 或 xi . x..），与误差（ x ij i 或 xij xi. )，故 kn个观测值的总变异可分解为处理间的变异 和处理内的变异两部分。
平方和与自由度的剖分
表中
x ij 表示第i个处理的第j个观测值
（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；
x x 表示第i个处理n个观测值的和；
i. j 1
n
n
ij
x..
xij xi .
i 1 j 1
n ij
k
k
表示全部观测值的总和； 表示第i个处理的平均数； 表示全部观测值的总平均数；
方差分析的基本思想和原理
（方差的比较）
1. 如果不同变异(水平)对株高(结果)没有影响，那么
在处理间方差中只包含有随机误差，而没有系统 误差。这时，处理间方差与处理内方差就应该很 接近，两个方差的比值就会接近1 如果不同的水平对结果有影响，在处理间方差中 除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这 时处理间方差就会大于处理内方差，处理间方差 与处理内方差的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平 之间存在着显著差异
总平方和的剖分 在表5-1中，反映 全部观测值总变异的总 平方和是各观测值xij与总平均数的离均差平 方和，记为SST。即
SST ( x ij x.. )
i 1 j 1
k
n
2
因为
( x
i 1 j 1 k n i 1 j 1 k
k
n
ij
x..) ( xi . x..) ( xij xi .)
31单因素方差分析-文档资料
② 从 Yi 中抽取的样本 yi1, yi2 ,, yini 相互独立．
则 yij ~ N(i , 2 ) 且相互独立， j 1, 2,, ni 令 ij yij i ~N(0,2)
则 yij i ij ---均值 i 与随机误差 ij 迭加
ST SSA SSE S
总离差 回归平 平方和 方和
残差平 方和
总平方 因素平 偏差平
和
方和
方和
变量•• 自回（变归定定计量分性量量：析变非量不随取）机可值量可化量(化因计 计回素数 量归)用给变 变分语变量 量析言量 或赋不连代值••连续自方号(续变取赋差标量取值分予明(（析因值(代定属 身素(码性,次性 高)标(：变性温数,量明 非人别度）,随一数,机)品,二)种等))
11 , 12 ,, 1n1
ni
1 1 j / n1 j 1
Ai N (i , 2 )
……
yi1, yi2 ,, yin1i
ni
yi yij / ni j 1
i1, i2 ,, ini
ni
i ij / ni j 1
Aa N (a , 2 )
则 i i
表明第 i 个总体均值是一般平均
与效应的迭加，总效应为 0．
5
因素 A 各水平下 的水平 总体
因变量 Y 各水平下样本
表 3.1
因变量 Y 各水平下均值
各水平下 随机误差
各水平下 随机误差均值
A1 N (1, 2 )
……
y11, y12 ,, y1n1
n1
y1 y1 j / n1 j 1
Y的 总变化
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第3章 试验的方差分析知识讲解
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA） 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性
试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数
因素（experimental factor） 影响试验指标的条件 可控因素（controllable factor）
④计算均方
MS A
SS A df A
SS A r 1
MSB
SSB df B
SSB s 1
MSe
SSe dfe
(r
SSe 1)(s 1)
⑤F检验
FA
MS A MSe
FB
MSB MSe
FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布；
FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布；
对于给定的显著性水平 ，查F分布表：
下的试验结果服从正态分布 在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验 判断因素A对试验结果是否有显著影响
（3） 单因素试验数据表
试验次数 A1
A2
…
1
x11
x21
…
2
x12
x22
…
…
…
…
…jBiblioteka x1jx2j…
…
…
…
…
ni
x1n1
x2n2
…
Ai
…
Ar
xi1
…
xr1
xi2
…
xr2
… ……
xij
1 r s
x rs
i 1
xij
j 1
Ai水平时 ：
xi•
1 s
s
xij
j 1
第三章多组均数间比较的方差分析
第三章多组均数间比较的方差分析在统计学中，方差分析是一种用来比较两个或更多组之间均数差异的方法之一、它可以用于分析实验设计或观察研究中的多组数据，并确定这些组之间的差异是否显著。
本文将重点介绍第三章多组均数间的方差分析。
方差分析有两种类型：单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（自变量）在不同组之间的均数差异，而多因素方差分析则用于比较多个因素对组间均数的影响。
在多组均数间的方差分析中，我们首先要确定所要比较的多个组是否具有显著的差异，这可以通过计算组间差异的方差来实现。
如果组间差异显著，则说明这些组有明显的均数差异，可以进一步进行事后的比较。
进行多组均数间的方差分析时，首先需要建立一个原假设和备择假设。
原假设通常是假定多个组之间没有均数差异，而备择假设则认为至少有一组与其他组有显著的均数差异。
在进行方差分析之前，还需要进行一些前提检验，如正态性检验和方差齐性检验，以确保数据符合进行方差分析的假设。
接下来，可以使用各种统计软件进行方差分析的计算。
常见的方差分析方法包括单因素方差分析、双因素方差分析和重复测量方差分析等。
这些方法的具体计算过程和统计指标略有不同，但都可以提供组间差异的显著性水平。
在进行多组均数间的方差分析时，还需要注意事后比较的问题。
如果方差分析结果显示组之间有显著差异，那么需要进一步比较各个组之间的均数差异。
常用的事后比较方法包括Tukey HSD法、Duncan法和Bonferroni法等。
这些方法可以提供详细的组间均数差异情况，帮助研究者更好地理解结果。
总之，多组均数间的方差分析是一种常用的统计方法，可以用于比较多个组之间的均数差异。
通过进行方差分析，我们可以确定这些组之间是否存在显著差异，并进行事后的比较分析。
研究者在进行多组均数间分析时，需要注意数据的前提检验以及使用合适的方法和指标进行分析。
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3.2.2 ：方差分析的基本思想
组间方差
SSA MSA r 1
F=
SSE 组内方差 MSE nr
如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间 方差中只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1 如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组 内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之 间存在显著差异，或者说因素A对结果有显著影响。
第3章 方差分析
Analysis of Variance (ANOVA)
3.1 方差分析简介 3.2 单因素方差分析 3.3 双因素方差分析
3.1 方差分析中的基本概念 和假设
2
失业保险案例：为什么要进行方差 分析？
为了减小失业保险支出、促进 就业，政府试图为失业者提供再 就业奖励：如果失业者可以在限 定的时间内重新就业，他将可以 获得一定数额的奖金。政策会有 效吗？
因素A导致的变差
随机因素导致的变差
SST＝SSA＋SSE
18
3.2.2 ：组间方差和组内方差
各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了 消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要 将其平均，这就是均方。 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 SST 的自由度为n-1，n为全部观察值的个数 SSA的自由度为r-1，其中r为因素水平的个数 SSE 的自由度为n-r
27
几种饲料的方差检验（ANOVA）结果
猪重 Sum of Squares Between Groups 20538.698 df 3 Mean Square 6846.233 F 157.467 Sig. .000
Within Groups
Total
652.159
21190.858
15
18
43.477
随机效应模型：因素的水平是从多个可能 的水平中随机选择的。 固定效应和随机效应模型在假设的设置和 参数估计上有所差异，本章研究的都是固 定效应模型。
11
3.1.2：方差分析中的基本假设
（1）在各个总体中因变量都服从正态分布； （2）在各个总体中因变量的方差都相等； （3）各个观测值之间是相互独立的。
28
第4步 多重比较分析：通过上面的步骤，只能判 断4种饲料喂猪效果是否有显著差异。如果想进一 步了解究竟是哪种饲料与其他组有显著性的均值差 别（即哪种饲料更好）等细节问题，就需要在多个 样本均值间进行两两比较。由于第3步检验出来方 差具有齐性，故选择一种方差相等的方法，这里选 LSD方法；显著性水平默认取0.05；
8
3.1.1 方差分析中的几个基本概念
因变量：我们实际测量的、作为结果的变 量，例如失业持续时间。 自变量：作为原因的、把观测结果分成几 个组以进行比较的变量例如奖金水平。 在方差分析中，自变量也被称为因素 (factor)。 因素的不同表现，即每个自变量的不同取 值称为因素的水平。
9
饲料A 133.8 125.3 饲料B 151.2 149.0 饲料C 193.4 185.3 饲料D 225.8 224.6
143.1
128.9 135.7
162.7
143.8 153.5
182.8
188.5 198.6
220.4
212.3
25
第1步 分析：由于考虑的是一个控制变量（饲料） 对一个观测变量（猪体重）的影响，而且是4种饲 料，所以不适宜用独立样本T检验（仅适用两组数 据），应采用单因素方差分析。 第2步 数据的组织：数据分成两列，一列是猪的 体重，变量名为“weight”，另一变量是饲料品种 （变量值分别为1,2,3,4），变量名为“fodder”，输 入数据并保存。 第3步 方差相等的齐性检验：由于方差分析的前 提是各个水平下（这里是不同的饲料folder影响下 的体重weight）的总体服从方差相等的正态分布， 且各组方差具有齐性。其中正态分布的要求并不是 很严格，但对于方差相等的要求是比较严格的，因 此必须对方差相等的前提进行检验。
29
第5步
运行主要结果及分析：
多重比较（Multiple Comparisons）结果
猪重 LSD (I) 饲料品种 1 (J) 饲料品种 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 Mean Difference （I-J） -18.68000* -56.36000* -87.41500* 18.68000* -37.68000* -68.73500* 56.36000* 37.68000* -31.05500* 87.41500* 68.73500* 31.05500* Std. Error 4.17024 4.17024 4.42321 4.17024 4.17024 4.42321 4.17024 4.17024 4.42321 4.42321 4.42321 4.42321 Sig. .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound -27.5687 -9.7913 -65.2487 -47.4713 -96.8428 -77.9872 9.7913 27.5687 -46.5687 -28.7913 -78.1628 -59.3072 47.4713 65.2487 28.7913 46.5687 -40.4828 -21.6272 77.9872 96.8428 59.3072 78.1628 21.6272 40.4828
X ij i ij i ij
17
3.2.2 ：总变差（离差平方和）的分解
总变差
SST ( xi x )2
i 1 n
组间离差平方和
SSA m( xi x )
i 1 r 2
组内离差平方和
SSE ( xij xi )2
i 1 j 1 r m
26
不同饲料的方差齐性检验结果 Test of Homogeneity of Variances 猪重
Levene Statistic
.024
df1
3
df2
15
Sig.
.995
方差齐性检验的H0假设是：方差相等。从上表可看出相伴根据 Sig.=0.995> （0.05）说明应该接受H0假设（即方差相等）。故 下面就用方差相等的检验方法。
21
3.2.3 ：方差分析的步骤
1.检验数据是否符合方差分析的假设条件。 2.提出零假设和备择假设：
零假设：各总体的均值之间没有显著差异，即
H0 : 1 2 r
备择假设：至少有两个均值不相等，即
H1 : 1, 2 ,, r不全相等
22
3.2.3 ：方差分析的步骤
f(X)
X
3 1 2 4
5
X
失业保险案例：实验结果……
110 100 90 80 70 1 2 3 4
失 业 时 间
奖金水平
1=无奖金 2=低奖金 3=中奖金 4=高奖金。根 据实验结果，可以认为各总体的平均失业 时间相同吗？
6
研究方法：两样本的t检验？
用t检验比较两个均值： 每次只能比较两个均值，要解决上述问题 需要进行6次t检验……
15
3.2. 单因素方差分析
3.2.1 单因素方差分析模型 3.2.2 方差分析的基本原理 3.2.3 单因素方差分析的步骤
16
3.2.1 单因素方差分析模型
单因素方差分析: 模型中有一个自变量 （因素）和一个因变量。 在失业保险实验中假设张三在高奖金组，则 张三的失业时间 =高奖金组的平均失业时间 +随机因素带来的影响 =总平均失业时间 +高奖金组平均值与总平均值之差 + 随机因素带来的影响
12
（1）正态性的检验
各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， K-S检验*
13
（2）等方差性的检验
经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2 Levene检验 * 奖金水 平 1 2 3 4
3.1.1 基本概念
方差分析主要用来研究一个定量因变量与 一个或多个定性自变量的关系 只有一个自变量的方差分析称为单因素方 差分析。
研究多个因素对因变量的影响的方差分析 称为多因素方差分析，其中最简单的情况 是双因素方差分析。
10
固定效应与随机效应模型
固定效应模型：因素的所有水平都是由实 验者审慎安排而不是随机选择的。
在整体检验中犯第一类错误的概率显著增 加： 如果在每次t检验中犯第一类错误的概率 等于5%，则在整体检验中等于1-(10.05)6=0.2649
7
方差分析可以用来比较多个均值
方差分析（Analysis of variance，ANOVA） 的主要目的是通过对方差的比较来检验多 个均值之间差异的显著性。 可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时 与t检验等价。 20世纪20年代由英国统计学家R. A. Fisher 最早提出的，开始应用于生物和农业田间 试验，以后在许多学科中得到了广泛应用。
上表是几种饲料方差分析的结果，组间（Between Groups）平方和 （Sum of Squares）为20538.698，自由度（df）为3，均方为6846.233； 组内（Within Groups）平方和为652.159，自由度为15，均方为43.477； F统计量为157.467。由于组间比较的相伴概率Sig.（p值）=0.000<0.05， 故应拒绝H0假设（四种饲料喂猪效果无显著差异），说明四种饲料对养猪 的效果有显著性差异。