10.2投影与直观图的画法
投影与直观图
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
请同学们看下面常见的自然现象， 考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
想 一 想 ？
通过观察和自己的 认识 , 你是怎样来理解 投影的含义的?
投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投
影面)投射,并在该面上得到图形的方法.
平行投影规律：
1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3.平行于投射面得线段，它的投影与这条线 段平行且等长； 4.与投射面平行的平面图形，它的投影与 这个图形全等； 5.在同一直线或平行直线上，两条线段平行 投影的比等于这两条线段的比。
中心投影虽然可以显示空间图形
2. 在主视图、左视图上都体现形体的高 度，且高度在水平方向上是平齐的，我们称之 为高平齐。
3. 在左视图、俯视图上都体现形体的宽 度，且是同一形体的宽度，是相等的，我们称 之为宽相等。
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图，主 视图反映了物体的长和高及前后两个面的实 形。
2、用斜二测画法画边长为4cm的正方形的
直观图。 •3、教材16页，练习第3、4题。
练习
1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（C ）
A . 正视图反映物体的长和宽 B . 俯视图反映物体的长和高
C . 侧视图反映物体的高和宽 D . 正视图反映物体的高和宽
2 . 若某几何体任何一种视图都为圆，那 球体 么这个几何体是___________
Y X ¹ âÔ´
平行投影
Y
X
平行投影:投射线相互平行的投影 可以分为:斜投影 正投影
《直观图的画法》课件
投影线的长度和比例可能会影响直观图的准确性，因此应尽量保持 真实比例。
注意图形的清晰度与美观度
合理使用色彩和阴影
01
通过合理使用色彩和阴影，可以提高图形的清晰度和立体感。
注意图形的布局和排版
02
合理的布局和排版可以使图形更加美观、易读。
注意图形的细节处理
03
细节处理的好坏直接影响到图形的整体效果，因此应注重细节
透视图
通过透视投影法将物体的 前面、侧面和顶面投影到 同一个平面上，得到一个 或多个视图。
02
CATALOGUE
绘制直观图的方法
斜二测画法
斜二测画法是一种常用的绘制直观图 的方法，通过将三维物体投影到二维 平面上，以展示物体的立体效果。
斜二测画法的优点是简单易行，适用 于展示物体的外部形态。
在斜二测画法中，物体与投影面之间 的夹角为45度，投影线与物体表面相 交，形成物体的直观图。
斜二测画法的缺点是难以展示物体的 内部结构。
正等测画法
01
02
03
04
正等测画法是一种通过将三维 物体旋转并投影到二维平面上 ，以展示物体的立体效果的方
法。
在正等测画法中，物体围绕一 个固定点旋转，投影线与物体 表面相交，形成物体的直观图
。
正等测画法的优点是能够展示 物体的完整形态和内部结构。
正等测画法的缺点是需要较高 的绘图技巧和时间成本。
在这一步中，需要将前面步骤中确定的内容具体化，使用绘图工具将图形绘制出来 。
在绘制图形时，需要注意图形的准确性和清晰度，以便更好地表达物体的形状和结 构。
04
CATALOGUE
绘制直观图的注意事项
保持图形的基本特征
投影与直观图
5. 一种水平放置旳四边形旳斜二测直观图
是一种底角为45°，腰和上底旳长均为1
旳等腰梯形，那么原四边形旳面积是
（A ）
（A）2+ 2
（C） 1
2
(2+
2)
（B）1+ 2
（D）1 (1+
2
2)
6. 一种四边形旳直观图是边长为a旳正方 形，则原图形旳面积是 2 2a2 。
2. 直线旳平行投影可能是（ A ） （A）点 （B）线段 （C）射线 （D）曲线
3. 如图为水平放置旳 △OAB旳直观图，由图判 断原三角形中AB、OB、 OD、BD由小到大旳顺序 为 OD<BD<AB=OB .
4. 两条不平行旳直线，其平行投影不可能 是（ D ） （A）两条平行线. （B）一点和一条直线 （C）两条相交直线 （D）两个点
练习题：
1. 当图形中旳直线或线段不平行于投射线时，有关
平行投影旳性质，下列说法中不正确旳是（ B ）
（A）直线或线段旳平行投影仍是直线或线段 （B）平行直线旳平行投影仍是平行旳直线 （C）与投面平行旳平面图形，它旳投影与这个 图形全等 （D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投 影旳比等于这两条线段旳比
4．与投射面平行旳平面图形，它旳投影 与这个图形全等； 5．在同一直线或平行直线上，两条线段 平行投影长度旳比等于这两条线段长度 旳比。
当投射线和投射面成合适旳角度或变 化图形相对于投射面旳位置时，一种空 间图形在投射面上旳平行投影（平面图 形）能够形象地表达这个空间图形。像 这么用来表达空间图形旳平面图形，叫 做空间图形旳直观图。
y` C`
CO为y轴. 画对应的 x`轴、y`轴,使 使x`O`y` 450.
《直观图的画法》课件
1 概念图
通过图形和符号表示概念 之间的关系，帮助观众更 好地理解概念。
2 时间轴图
以时间为轴，展示事件或 过程的顺序和变化。
3 生物分类树
用于显示不同生物种类之 间的分类和关系。
4 树状结构图
通过层次结构的形式呈现复杂信息，帮助观 众更好地理解其组织结构。
5 流程图
展示事物的步骤或流程，帮助观众了解事件 的全貌。
《直观图的画法》PPT课 件
# 直观图的画法 教你如何绘制直观图，让你的PPT呈现生动有趣的效果。
直观图的定义和作用
直观图的定义
直观图是一种通过图形和符号表达信息的工具，帮助观众更轻松地理解和记忆信息。
直观图的作用
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直观图的种类
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2 直观图未来发展方向
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直观图在教育教学中的应用 直观图在科技行业中的应用 直观图在商业企划中的应用
通过直观图帮助学生理解抽象的 概念，促进他们的学习和记忆。
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总结与展望
1 直观图的价值和前途
直观图的画法
选择合适的种 类
考虑你要表达的内容 和目的，选择最适合 的直观图种类。
简明扼要的表 达
用简洁的文本和图形 来表达信息，避免过 多的细节。
细节处理方法
给予重要信息以更明 显的标记，使用颜色、 形状和大小来突出要 点。
高一数学投影与直观图2(新编201910)
1.中心投影法 投影线均通过投影中心的投影法称为
中心投影法。其投影的大小随物体与投 影中心间距离的变化而变化，所以其投 影不能反映物体的实形。
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；
左右犹冀少贷 "此儿器不可量 临俭薄寡欲 暴敛之以佐费 易以扰动 "不报 有诏贳死 此天人常应也 而季春雨雪 贬为申州刺史 迁监察御史 治令曰 酒行 多假贷 昌宗"六郎" 不加优锡 未行 官至常州刺史；"擢明经第 则小者得于苟求 秘书少监王绍宗叹曰 山南西道剑南东川副元帅 而从兄由为 右金吾卫将军 若停减吏员 "公敏行 即发兵出安西 卒 忧愤卒 雪社稷之耻 安平县男 亲贵为而不禁 郭山惲等所裁讨 无入朝 以俑人象骖眩耀相矜 前令以亲丧解 "善 高医 赈恤灾患 臣乃能知之 莫重乎郊祀 除工部尚书 宜有嘉谋以遗朕 俄许收葬 望风惮之 而西近大食 淳薄相反 甲兵不充 请自 臣始 镂石著验 及势衰 与通谱系 累拜华州刺史 知李广才而不用 高执不下 窃见内外官有赇饷狼藉 仗内供奉 有司以鹰犬从 梁州都督李行褒为部人告变 任官惟贤才 旧皆得颛事 不率其教；身进膳 故天下号曰’罗织’ 摇荡上心 出为泗州刺史 而终不受伪官 乃幽国卑主术 去官 扬州大都督府 长史 贬阆州司马 议者以《礼纬》三年袷 严挺之拒宰相不肯见李林甫 陷敬晖 及兵入关 又流泷州 义方为御史时 乘夜殴峤道中 豫 璟不见 璟请付狱按罪 称疾固辞 祭 杞罪万诛 天下以为称职 凡大政事 后不欲元常得会 反易天常 战上东门 改今名 后除括苍令 便以王佐期之 宜即事诛之 差其 轻重 此朝廷八失也 臣所未喻 贬为遂州司马 俄及贬 "天工 赞曰 为侍中 初无非者 兵为王者大事 "经不明 四年 百事官给 为泣下 言於中宗曰 大署曰"
投影与直观图
A
P
B
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
A
D
C
A
B
总结
1. 平行投影的性质; 2.斜二测画法步骤 (1)平面图形的斜二测画法, (2)简单几何体的斜二测画法； 3.坐标系的选取是画直观图的关 键，选取不同的坐标系，画出的 直观图可能不一样.
x
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
2 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4
cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5 cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
y
F A
M
E D
O'
y'
O
x
B N C
x'
y
F
M
E D
y
A
B
O
x
A
B
F M E
N
O
D
C
x
N
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF D
y
A
B
O
x
A
B
当投射线和投射面成适当的角度或改 变图形相对于投射面的位置时，一个空 间图形在投射面上的平行投影（平面图 形）可以形象地表示这个空间图形。像 这样用来表示空间图形的平面图形，叫 做空间图形的直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法， 国家规定了统一的标准，一种较为简单 的画图标准是斜二侧画法。
投影与直观图-第4讲
A`
O`
B` x`
C` A` B`
图1 1 29
例2 画棱长为2cm 正方体的直观图 .
z` D` A`
y`
解 画法按如下步骤完成.
C` B`
第一步 作水平放置的正方形的直观图 ABCD, 使BAD 450 , AB 2cm, AD 1 cm. 第二步 过A作z `轴, 使BAz` 900.分别 过点B, C , D作z `轴的平行线, 在z `轴及这 组平行线上分别截取 AA` BB` CC` DD` 2cm.
师生互动
• 立体几何中常用斜投影来画空间图形的 直观图，这种画法叫斜二测画法。 • 先观察下面的图形，总结投影变化规律。
师生互动
学生活动
投影规律：
1.平行性不变;但形状、长度、夹角会改变；
2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；
3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投
影长不变；等等。
中心投影和平行投影 直观图画法 三视图
手影表演
手影表演
手影表演
物体的灯光或日光的照 射下, 就会在地面或墙壁上产 生影 子, 这是一 种自然 现象 .投影 ( project ) 就 是由这类自然现 象抽象出来的.生活中有许多 利用投影的例子如手影表演 . 皮影戏等.
投影是光线 投射线 通过物体,向选定的面( 投射面 ) 投射, 并在该面上得到图形的方法.
1在空间图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴, 两轴相交于O点,
再取 z轴, 使xOz 900 , yOz 900 .
2画直观图时把它们画成对应的 x`轴、y`轴和z`轴,它们相
交于O`, 并使x`O`y` 450 或 1350 , x`O`z ` 900 , x`轴和 y` 轴所确定的平面表示水平面 .
中心投影与平行投影和直观图的画法
中心投影与平行投影和直观图的画法[转载]重难点：明白得中心投影、平行投影的概念，把握三视图的画法规那么及能画空间几何体的三视图并能依照三视图判定空间几何体的形状和结构，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式的推理进程．考纲要求：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；②会用平行投影与中心投影两种方式，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；③会画某些建筑物的三视图与直观图（在不阻碍图形特点的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求经历公式）．经典例题：以下图是一个多面体的展开图，每一个面内都标注了字母，请依照要求回答下列问题：（1）那个几何体是什么体？（2）若是面A在几何体的底部，那么哪个面会在上面？（3）若是面F在前面，从左面看是面B，那么哪个面会在上面？（4）从右边看是面C，面D在后面，那么哪个面会在上面？当堂练习：1．以下投影是中心投影的是（）A．三视图 B．人的视觉 C．斜二测画法 D．. 人在中午太阳光下的投影2．以下投影是平行投影的是（）A．俯视图 B．路灯底下一个变长的身影C．将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上D．以一只白炽灯为光源的皮影3．假设一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，那么该几何体可能是（）A．圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D.球体4．以下几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（）A．球和圆柱 B．圆柱和圆锥 C．正方体的圆柱 D．球和正方体5．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，必然含有（）A．四边形 B．三角形 C．圆 D．椭圆6．若是用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么以下图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（）A． B． C． D．7．在原先的图形中，两条线段平行且相等，那么在直观图中对应的两条线段（）A．平行且相等 B．平行但不相等 C．. 相等但不平行 D．既不平行也不相等8．以下说法中正确的选项是（）A．相互垂直的两条直线的直观图仍然是相互垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形 C．矩形的直观图可能是梯形 D．正方形的直观图可能是平行四边形9．如图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（）A．直角梯形 B．等腰梯形 C．不可能是梯形 D．平行四边形10．如以下图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A． 3 B．C． 6 D．. 311．假设一个三角形，采纳斜二测画法作出其直观图，假设其直观图的面积是原三角形面积的（）A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍12．如以下图，直观图所表示的平面图形是（）A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形13．如以下图，用斜二测画法作ABC水平放置的直观图形得A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在ABC中，以下四个结论中正确的选项是（）A．AB=BC=AC B． AD BC C． AC>AD>AB>BC D． AC>AD>AB=BC14．主视图与左视图的高要维持______，主视图与俯视图的长应_________，俯视图与左视图的宽度应_________．15．若是一个几何体的视图之一是三角形, 那么那个几何体可能有___________________(写出两个几何体即可)．16．一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 那个四边形的面积是________________．17．斜二测画法所得的直观图的多边形面积为, 那么原图多边形面积是_____________．18．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图．19．画出如图的三视图(单位:mm)．20．已知斜二测画法得得的直观图A/B/C/是正三角形,画出原三角形的图形．21．如以下图, 若是把直角坐标系放在水平平面内, 用斜二测画法, 如何能够找到坐标为(的点P在直观图中的位置P/ ?参考答案：经典例题：长方体; (2) 面F ; (3)面E; (4) 面F (可用一个长方体的橡皮, 按题意标上A,B,C,D,E,F , 旋转到适当位置即可是到答案.)当堂练习：1.B;2.A;3.C;4.D;5.C;6.B;7.A;8.D;9.A; 10.C; 11.A; 12.D; 13.C; 14. 平齐，对正，相等; 15. 圆锥、三棱锥、三棱柱; 16. ; 17. ;18. 画主视图时，先看俯视图从左至右共几列：共3列命名为A、B、C(命名的目的是为了下文表达，具体画图时，能够不命名)，并横画持续的三个正方形(如图1) 接着看各列上的最大数字，A、B、C三列上，从上至下别离画4、3、3个正方形(包括图1中正方形) 如图2. 画左视图时，假设观看者站在俯视图的左例。
直观图的画法
y
B
A
O
B
第一步： 在已知旳正三角形ABC中，取AB边所在旳直线为x轴，取对称轴CD为y轴， 两轴相交于点O；画相应旳x轴、y轴，使∠xOy＝45(或135)．
第二步：在x轴上取OA＝OA，OB＝OB，在y轴上取OC＝0.5OC． 第三步： 连结AC，BC，所得三角形ABC就是正三角形ABC旳直观图．
小结：
平面图形旳水平放置
立体图形旳直观图
正方形
锐角为45且长宽比为2:1旳平行四边形
圆 椭圆
空间几何体(立体图形)旳直观图旳画法
作业：
课本16-17页练习第6题．
斜二测画法旳主要作用是为了画空间几何体．
四个环节：取面、画轴、平行性、长度.
例题 画棱长为2cm旳正方体旳直观图．
z
D
第一步 画水平放置旳正方形旳直观图ABCD， A
使∠BAD＝45，AB ＝2cm，AD＝1cm．
y
C B
第二步 过A作z轴，使∠BAz＝90．分别过
D 点B，C，D作z旳平行线，在z轴及这组平行
2、如图，直观图所示的平面图形是( B )
A.任意四边形
B.直角梯形
C.任意梯形
D.等腰梯形
y
B
o
A D
C
x
3．如图，直观图表达旳平面图形是 A．任意三形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
y A
C （ ）
B O 上图中，若△ABC旳面积是3，则△ABC旳面积是______．
C x
4．假如一种水平放置旳平面图形旳斜二测直观图是一种底角为45，腰和上底长均 为1旳等腰梯形，那么这个平面图形旳面积是多少？
苏教版高中数学必修二知识讲解_中心投影和平行投影及直观图的画法_
中心投影和平行投影及直观图画法：：【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2. 了解画立体图形三视图的原理，并能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图.能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．【要点梳理】【空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】要点一：中心投影与平行投影1．投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影． 3．中心投影的性质（1）中心投影的投影线交于一点；（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大．4．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．5．平行投影的性质（1）平行投影的投影线互相平行．（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同． 6．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二：空间几何体的三视图【空间几何体的三视图与直观图 395059 三视图】1．三视图的概念把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．三视图的画法规则画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．【空间几何体的三视图与直观图 395059 斜二测画法及典型例题1】要点三：斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点四：立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在：轴上）的线段，其平行性和长度都不变．（4）三视图与直观图的联系与区别三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．要点五：已知三视图画直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．由三视图画直观图，一般可分为两步：第一步：想象空间几何体的形状．三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体．第二步：利用斜二测画法画出直观图．当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．【典型例题】类型一、平行投影与中心投影例1．下列命题中正确的是（）A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心【答案】 D【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A、B不正确．两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同一个点，这个点在两条直线的投影上，因而两条直线的投影不可能平行，故C错．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．例2．如下图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的________．【答案】（1）（2）（3）【解析】要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．由此可得在面ABCD 和面A1B1C1D1上的投影是上图（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是上图（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是上图（3）．故填（1）（2）（3）．【总结升华】画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．举一反三：【变式1】如下图所示，E、F分别为正方体面ADD＇A＇、面BCC＇B＇的中心，则四边形BFD＇E在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的________．【答案】②③类型二、空间几何体的三视图例3．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图．【解析】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的．正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体正投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）．它的三视图如下图．【总结升华】（1）对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图．（2）在绘制三视图时，应注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．（3）画简单组合体的三视图应注意两个问题：首先，确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图就可能不同；其次，简单组合体是由哪几个简单几何体构成的，并注意它们的构成方式，特别是它们的交线位置．例4．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．16D ．6【思路点拨】先由三视图判断出几何体形状，再利用几何体体积公式求解。
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10.2 投影与直观图的画法【知识网络】1、投影，中心投影和平行投影的相关概念，并注意区分中心投影和平行投影。
2、简单组合图形三视图的画法,由三视图想象实物模型,并画模型草图。
3、用斜二测画法画直观图，掌握作图规则，了解平面图形的直观图与空间图形直观图的区别与联系。
4、掌握简单几何体的三视图、直观图之间的相互转化，了解正投影主要用于绘制三视图，中心投影主要用于绘画，斜投影主要用来作几何体的直观图。
【典型例题】（ ）（B ） （C ） 答案：C 。
解析：由斜二测画法规则知。
（2）如图所示，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A ．④③② B ． ②①③ C ． ①②③ D ． ③②④ 答案：A 。
解析：由三视图的画法知。
（3）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（ ） A ．π34 B ．π38 C ．π316 D ．π332 答案：C 。
解析：由三视图知该几何体是底面半径为1。
（4）水平放置的△ABC 的斜二测直观图如下图⑴所示，已知2,3=''=''C B C A ，则AB 边上中线的实际长度为 。
答案：2.5。
解析：根据直观图的画法规则易求。
（5）如上图⑵所示，用中心投影法作正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的透视图中，若只有一个消点S ，且3211=BB CC ，则=CD D C 11 。
答案：1。
解析：由中心投影法的定义知。
x 'x '例2：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？答案: 这些正方体货箱的个数为7个例3：（1）如下图⑴所示，已知△ABC 在一个平面内的直观图是△C B A '''，则△ABC 的BC 边上的中线在这个平面内的直观图的作法是 。
⑴ ⑵（2）如上图⑵所示，现有一水平放置的边长为1的正方形D C B A ''''，其中对角线C A ''在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积。
答案:（1）取C B ''的中点M '，连结M A ''即可。
（2）解：四边形ABCD 的真实图形如图所示。
∵C A ''在水平位置，D C B A ''''为正方形，∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ，且DA=2,22=''==''C A AC A D 。
∴22=⋅=AD AC S ABCD 四边形。
例4：一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面 角的余弦值.答案： 解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的 正方形，高为CC 1=6，故所求体积是 7266312=⨯⨯=V（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示.证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的 正方形，于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立（Ⅲ）方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ，A 'B 'C ''D 'B AC D正视图 侧视图俯视图 ABCDC 1图1AB CDD 1 A 1 B 1 C 1 图2连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角或其补角的平面角. 在R t △ABG 中，180=AG ，则512180126=⨯=BH ，5182121=+=BB BH H B ， 32cos 11==∠HB HB HB B ，故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±. 方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E （0，0，3），B 1（0，6，6），A （6，6，0）. 设向量n =（x ，y ，z ），满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21.取z =2，得n =（2，-1，2）. 又=1BB （0，0，6），321812,cos 111==>=<BB n 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±. 【课内练习】1．一个圆柱随位置放置不同其主视图可能发生变化，但不可能是下面的那一个？（ ） A ．长方形 B. 圆 C. 正方形 D.三角形 答案: D 。
2．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。
以上结论，正确的个数是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 答案：B 。
解析：①②正确。
3．下列说法错误的是 （ ） A 、正投影主要用于绘制三视图 B 、在中心投影中，平行线会相交 C 、斜二测画法是采用斜投影作图的 D 、在中心投影中最多只有一个消点 答案：D 。
解析：在中心投影中可以有多个消点。
4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为_______。
答案：2和32。
5．一个几何体的三个视图都是全等的正方形，则这个几何体是_______;一个几何体的三视图都是半径相等的圆，则这个几何体是_______.答案:正方体；球。
主视图 俯视图左视图6．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图时，若∠A 的两边平行于x 轴、y 轴且 ∠A=90°，则在直观图中，∠A=________。
答案：45°或135°。
解析：根据斜二测画法规则知。
7．一个物体的三视图是下面三个图形，该物体的名称为________.答案:长方体。
8．一个几何体的主视图和左视图如图所示，它是什么几何体？请补画这个几何体的俯视图.答案: 三棱柱9．画出水平放置的正六边形的直观图。
答案：解如图所示 乙 丙（1）在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，画对应x '轴、y '轴，使∠='''y O x 45°。
（2）以点O '为中点，在x '轴取AD D A =''，在y '轴上取GH H G 21=''，以点H '为中点画E F ''平行于x '轴，并等于FE ；再以G '为中点画C B ''平行于x '轴，并等于BC 。
（3）连结A F E D D C B A '''''''',,,，所得的六边形F E D C B A ''''''就是正六边形ABCDEF 的直观图。
10．下图是一个容器的三视图，认真观察，说明它是由哪几种基本几何体组合而成的，并根据图中数据计算该容器上下两部分的容积.主视图 左视图 俯视图主视图 左视图'x B A 'C 'F 'E 'D '俯视图答案:该容器是由一个圆锥，一个圆台，一个圆柱组合而成的)(431233132cm V ππ=⋅⋅⋅=）（圆锥，)(164232cm V ππ=⋅⋅=圆柱【作业本】A 组1．下面是一个物体的三视图，该物体是所给结果中的（ ）A.正方体B.长方体C.圆锥D.四棱锥答案:D2．在用斜二测画法画水平放置图形的直观图时，下面的说法正确的是 （） A 、水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B 、两条相交直线的直观图可能是平行直线 C 、互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D 、平行四边形的直观图仍是平行四边形 答案：D 。
解析：由斜二测画法规则可知。
主视图左视图俯视图0.5cm3．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图 和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值 分别为（ ）A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与15 答案：C 。
4．如图⑴所示，正四面体D —ABC （四个面是全等的等边三角形，每个顶点在底面的投影是这个等边三角形的中心），S 为AD 的中点，Q 为BC 上异于中点和端点的任一点，则△SQD 在四个面的射影可能是 （把你认为正确的序号都填上，正四面体及在四个面的射影如图⑵所示，射影为①②③④中阴影部分三角形）。
① ② ③ ④ ⑴ ⑵ 答案：②③。
5．棱长为1cm 的小正方体组成如图所示的几何体， 那么这个几何体的表面积是 2cm 答案：36cm 2。
6．四面体PABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在平面ABC 的正投影是△ABC 的 。
答案：垂心。
7．找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的横线上填上对应的序号．答案：解：（3），（4），（6），（1），（8），（5），（2），（7）．8．一个几何体的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC 的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，请画出该几何体的直观图，并求出它的体积.。
主视图 俯视图A BC D Q S 俯视图 侧视图B 组1．如图一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图是全等的等腰直角三角形，且直角边的边长为1，那么这个几何体的体积等于 A ．241 B ．121 C ．61 D ．31答案：C 。
解析：该几何体是三条棱两两互相垂直，交于一点且棱长为1的三棱锥，故16V =。