人教版高中数学教案立体几何14

课题：9. 5空间向量及其运算（三）

教学目的：

1.了解空间向量基本定理及其推论；

2?理解空间向量的基底、基向量的概念.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出

T

3?学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物.

教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）

教学难点：空间作图.

授课类型：新授课.

课时安排：1课时.

教具：多媒体、实物投影仪”

教学过程：

一、复习引入：

1.空间向量的概念：在空

间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就

是一个向量 *

⑵向量一般用有向线段表示+同向等长的有向线段表示同一或相等的向量+

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示?

2.空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

■* ? N 1 B?* = N ■■

OB =0A AB =a b ; BA =0A -OB = a -b ; OP = a（'二R）

运算律：⑴加法交换律： a b = b a

D'----------- ----------------------C'

⑵加法结合律：(a b) c=a (b c)

A B'

- _ - a

⑶数乘分配律：■ (a b) =，a ：r b

3?平行六面体：

C \ / I jf if

平行四边形ABCD平移向量a到AB CD的轨迹所形A B

成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCO A B C D ?它的六个面都是平行

四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱”

4.平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使b =疔.

要注意其中对向量a的非零要求.

5 ”共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫 做共线向量 或平行向量.a 平行于b 记作a 〃b .

当我们说向量a 、b 共线(或a / b )时，表示a 、 直线可能是同一直线，也可能是平行直线. 6.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、b (b 丰0 ), a // b 的充要条件是

存在实数人使a = xb .

推论：如果I 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于 任意一点0,点P 在直线|上的充要条件是存在实数 t 满足等式

OP =0A t a .其中向量a 叫做直线I 的方向向量?

空间直线的向量参数表示式：

OP -0A t a 或 OP =0A t(OB —0A)

—t)OA tOB ,

中点公式.OP =-(OA OB)

2

7.向量与平面平行：

』

已知平面〉和向量a ，作OA

=I ，如果直线OA 平行 于〉或在〉内，那么我们说向量a 平行于平面- a

II -.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做 说明：空间任

意的两向量都是共面的

.

&共面向量定理： 如果两个向量a,b 不共 线，p 与向量

a,b 共面的充要条件是存在实

数 x, y 使 p = xa yb +

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分 必要条件是存在有序实数对 x, y ，使

MP = xMA yMB

①

或对空间任一点o ，有 |

OP =$M _xMA 斗MB_

或OP =xOA yOB zOM ,(x y z =1)

上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式* 、讲解新课:

b 的有向线段所在的

〉，记作： 共面向量

③

1 +空间向量基本定理： 如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ,

存在一个唯一的有序实数组

x, y, z ,使 xa yb zc +

证明：（存在性）设a,b,c 不共面,

■ ■ ■ I

??? OP=OA OB OC =xOA yOB zOC

所以 p = xa yb zc

（唯一性）假设还存在 x ；y ；z 使 xa y b zc ?- xa yb zc xa yb zc

? (x _x )a (y _ y )b (z _z )c 0

综上两方面，原命题成立?

*44 耳片 ___

4

｛plpma+yb+zcx 匸Ry^Rz 匸F ｝，这个集合可以看作由向量 a,b,c 生成的，所以

我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个 基底，a,b,c 叫做基向量，可以知道，空间任

推论：设O,代B,C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个

过点0作 OA =a ,OB =b,OC =c,OP =p ； 过点P 作直线PP ?平行于0C ，交平面OAB 于点P ; 在平面OAB 内，过点P ?作直线P A //OB, PB //OA , 分别与直线OA,OB 相交于点A, B ?，于是，存在三个实 数 x, y,z ，使 OA = xOA 二 xa ,

OB = yOB = yb , C

P

B'

OC = zOC = zc ,

不妨设x = x 即x -x 債

：二 c

x -x x -x

??? a,b,c 共面此与已知矛盾

该表达式唯一一

由此定理，若三向量

ab,c 不共面，则所有空间向量所组成的集合是

意三个不共面的向量都可以构成空间的一个

基底+

有序实数 x, y, z ,使 OP =xOA yOB zOC 一 三、讲解范例： 例1已知空间四边形 OABC ，其对角线OB, AC ，M ,N 分别是对边OA, BC T T T 的中点，点 G 在线段MN 上，且MG =2GN ，用基底向量 OA,OB,OC 表示 向量OG. 解：OG =OM MG =OM -MN 3

1 二 1OA 2(ON_OM )

2 3 2 1 1 * OA [丄(OB OC) OA] 2 1 -

2

「1 -2 3,2 1 1

?

OA (OB OC) OA=—OA —OB —OC 2

3 亠 亠― 1亠八 1 - 6 3 例2+如图，在平行六面体

A D : D D,D C ?的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1) EG // AC

(2) 平面EFG //平面ABC + 3 , , 1 ??? OG 二 OA =OB OC 3 ABCD-ABCD 中，E,F, C

证明：取基底：AA', AB,AD ,

1?

(1 )??? EG 二 ED' D'G AD 2 A

4

AB

， AC=AB AD=2EG , /? EG // AC 1 1 (2)??? FG = FD ' D'G AA' AB , AB AB AA' =2FG 2 2

二 FG//AB',由(1) EG//AC ,二平面 EFG // 平面 ABC. 四、 课堂练习：课本P32练习1-5 ” 五、 小结：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理， 它与平面向量基本定

理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项” ?证明 的思路、步骤也基本相同?空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的 位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直 角坐标运算作准备. * 六、 课后作业： 七、 板书设计(略)? 八、 课后记：

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高效能人士的50个习惯

在行动前设定目标

有目标未必能够成功，但没有目标的肯定不能成功。著名的效率提升大师博思?崔西説：“成功就是目标的达成，其他都是这句话的注释。”现实中那些顶尖的成功人士不是成功了才设定目标，而是设定了目标才成功。一次做好一件事著名的效率提升大师博思?崔西有一个著名的论断：“一次做好一件事的人比同时涉猎多个领域的人要好得多。” 富兰克林将自己一生的成就归功于对“在一定时期内不遗余力地做一件事”这一信条的实践。培养重点思维从重点问题突破，是高效能人士思考的一项重要习惯。如果一个人没有重点地思考，就等于无主要目标，做事的效率必然会十分低下。相反，如果他抓住了主要矛盾，解决问题就变得容易多了。发现问题关键在许多领导者看来，高效能人士应当具备的最重要的能力就是发现问题关键能力，因为这是通向问题解决的必经之路。正如微软总裁兼首席软件设计师比尔。盖茨所説:

“通向最高管理层的最迅捷的途径，是主动承担别人都不愿意接手的工

作，并在其中展示你出众的创造力和解决问题的能力。”把问题想透彻把问题想透彻，是一种很好的思维品质。只要把问题想透彻了，才能找到问题到底是什么，才能找到解决问题最有效的手段。不找借口美

国成功学家格兰特纳说过这样的话：“如果你有为自己系鞋带的能力，你就有上天摘星星的机会！” 一个人对待生活和工作是否负责是决定他能否成功的关键。一名高效能人士不会到处为自己找借口，开脱责任；相反，无伦出现什么情况，他都会自觉主动地将自己的任务执行到底。要事第一创设遍及全美的事务公司的亨瑞。杜哈提说，不论他出多小钱的薪水，都不可能找到一个具有两种能力的人。这两种能力是：第一，能思想；第二，能按事情的重要程度来做事。因此，在工作中，如果我们不能选择正确的事情去做，那么唯一正确的事情就是停止手头上的事情，直到发现正确的事情为止。运用20/80法则二八法则向

人们揭示了这样一个真理，即投入与产出、努力与收获、原因和结果之间，普遍存在着不平衡关系。小部分的努力，可以获得大的收获；起关键作用的小部分，通常就能主宰整个组织的产出、盈亏和成败。合理利用零碎时间所谓零碎时间，是指不构成连续的时间或一个事务与另一事务衔接时的空余时间。这样的时间往往被人们毫不在乎地忽略过去，零碎时间虽短，但倘若一日、一月、一年地不断积累起来，其总和将是相当可观的。凡事在事业上有所成就的

人，几乎都是能有效地利用零碎时间的人。习惯10、废除拖延对于一名高效能人士来説，拖延是最具破坏性的，它是一种最危险的恶习，它使人丧失进取心。

一旦开始遇事推托，就很容易再次拖延，直到变成一种根深崹蒂固的习惯。习惯11、向竞争对手学习一位知名的企业家曾经说过，“对手是一面镜子，可以照见自己的缺陷。如果没有了对手，缺陷也不会自动消失。对手，可以让你时刻提醒自己：没有最好的，只有更好。”习惯12、善于借助他人力量年轻人要成就一番事业，养成良好的合作习惯是不可少的，尤其是在现代职场中，靠个人单打独斗的时代已经过去了，只有同别人展开良好的合作，才会使你的事业更加顺风顺水。如果你要成为一名高效能的职场人士，就应当养成善于借助他人力量的好习惯。习惯13、换位思考在人际的相处和沟通里，“换位思考”扮演着相当重要的角色。用“换位思考”指导人的交往，就是让我们能够站在他人的立场上，设身处地理解他人的情绪，感同身受地明白及体会身边人的处境及感受，并且尽可能地回应其需要。树立团队精神一个真正的高效能人士，是不会依仗自己业务能力比别人更优秀而傲慢地拒绝合作，或者合作时不积极，倾向于一个人孤军奋战。他明白在一个企业中，只有团队成功，个人才能成功。善于休息休息可以使一个人的大脑恢复活力，提高一个人的工作效能。身处激烈的竞争之中，每一个人