常微分方程第四章知识总结

一n 阶线性微分方程的一般理论
1. n 线性微方程，它的一般形式为：
++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …)()()(1t f t a dt
dx
t a n n =++- 齐次线性方程
++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …0)()(1=++-t a dt
dx
t a n n 非齐次线性方程:()0f t ≠ 2. n 阶线性齐次方程的一般理论
(1)定理2(叠加原理) 如果)(,),(),(1t x t x t x k i ⋯是方程(4.2)的k 个解，则它们的线性组合)()()(2211t x c t x c t x c n n +⋯++也是方程(4.2)的解，这里
12,,,n c c c ⋯是任意常数
(2)函数线性相关性
定义在区间],[b a 上的函数)()(),(21t x t x t x k ⋯，如果存在不全为零的常数
k c c c ,,,21⋯使得
0)()()(2211≡+⋯++t x c t x c t x c k k
在],[b a 上恒成立，我们称这些函数是线性相关的，否则称这些函数线性无关。

(3)Wronsky 行列式
由定义在],[b a 上k 个k-1次可微的函数)()(),(21t x t x t x k ⋯所作成的行列式
)
()()()()()()()
()
()]()(),([)
1()1(2)1(1212121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x W k k k k k k k ---⋯⋯
⋯
⋯
⋯
'⋯
''⋯≡
⋯
称为这些函数的Wronskiy 行列式，也写作W(t).
(4)定理3 若函数)()(),(21t x t x t x n ⋯在区间b t a ≤≤上线性相关，则在],[b a 上它们的Wronskian 行列式0)(≡t W 。

(5)定理 4 如果齐次方程的解)()(),(21t x t x t x n ⋯在区间b t a ≤≤上线性无关，则)]()(),([21t x t x t x W n ⋯在这个区间的任何点上都不等于零，即
0)(0≠t W (b t a ≤≤).
由方程(4.2)的n 个解构成的Wronskian 行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。

定理5 n 阶线性方程(4.2)一定存在n 个线性无关的解。

(6)通解的结构
如果)()(),(21t x t x t x n ⋯是方程(4.2)的n 个线性无关的解，则方程(4.2)的通解可表为
)()()(2211t x c t x c t x c x n n +⋯++=
其中n c c c ,,,21⋯是任意常数，且通解(4.6)包含了方程(4.2)的所有解。

3.n 阶线性非齐次方程的一般理论 (1) 解的性质
性质1 n 阶线性非齐次方程的通解等于它的对应齐次方程(4.2)的通解与它本身的一个特解之和.
性质2 n 阶线性非齐次方程的任意两个解之差是对应齐次方程
(2) 解的求法(常数变易法)
设12,,,n y y y L 是(4.1)的对应齐次方程(4.2)的n 个线性无关解，
12(),(),,()n C x C x C x L 满足下面的非齐次方程组
1212
12(1)(1)(1)12()()()()0()0()()
()()()()
()()n n n n n n n y x y x y x C x C x y x y x y x C x f x y x y x y x ---⎡⎤'⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦L L
M M M M
M
L
二n 阶常系数线性方程的解法
1. ()
(1)110n n n n y
a y a y a y --'++++=L
特征方程:11()0n n n P a a λλλ-≡+++=L
(1)求常系数齐次方程通解的步骤：
第一步：求(4.21)的特征方程及特征根n λλλ,,,21Λ. 第二步：计算方程(4.21)相应的解
（a ）对每一个实单根k λ，方程有解k
x k y e λ=.
（b ）对每一个m>1重实根k λ，方程有m 个解1,,,k
k
k
x x x m e xe x e λλλ-L .
（c ）对每一个重数是一的共轭复根βαi ±，方程有两个解
cos ,sin x x e x e x ααββ.
（d ）对每一个重数是m>1的共轭复根βαi ±，方程有2m 个为以下形式的解：
1cos ,cos ,,cos ,x x m x e x xe x x e x αααβββ-L
1sin ,sin ,,sin .x x m x e x xe x x e x αααβββ-L
（2）欧拉方程
1
1111...0n n n
n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx ----++++= 其特征方程为:
1(1)...(1)(1)...(2)...0n K K K n a K K K n a --++--+++=
（a ）特征方程有m 重实根K
000021,ln ,ln ,...,ln K K K K m x x x x x x x -
（b ）特征方程有m 重复根0K i αβ=+
11
cos(ln ),ln cos(ln ),...,ln cos(ln )sin(ln ),ln sin(ln ),...,ln
sin(ln )
m m x x x x x x x x x x x x x x x x αααα
α
α
ββββββ--
2. 非齐线性方程
1111[]....()
n n n n n n d x d x dx
L x a a a x f t dt dt dt
---≡++++=
（1）比较系数法 （a ）类型Ⅰ
1011()(...)m m t m m f t b t b t b t b e λ--=++++
方程有形如1011(...)k m m t m m x
t B t B t B t B e λ--=++++% 的特解； （b ）类型Ⅱ
()[()cos ()sin ]t f t A t t B t t e αββ=+
方程有形如[()cos ()sin ]k t x
t P t t Q t t e αββ=+% 的特解； （2）拉普拉斯变换法
三 高阶微分方程的降阶
1.可降阶的类型
（1)方程不显含未知数x ，
()(1)()(,,,...,)0
(1)k k n F t x x x k n -=≤≤
解法：令()k x y =，则方程即降为关于y 的n-k 阶方程
'()(,,,...,)0n k F t y y y -=
(2)不显含自变量 t 的方程
'()(,,...,)0n F x x x =
解法：令x y '=，''dy
x y
dx
=,视x 为新自变量。

则方程可降低一阶。

'(1)(,,,...,)0n F x y y y -=
(3) 齐线性方程
111 ()()0 n n n n n d x d x
a t a t x dt dt
--+++=L 若知道方程的k 个线性无关的特解，则可以通过一系列同类型的
变换，=.k x x zdt ⎰,使方程降低k 阶。

并且新得到的n-k 阶方程也是齐线性的。

2.二阶线性方程的幂级数解法。