第二章-3-系统传递函数的计算-非线性系统线性化
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第二章-1-建模的基本概念-电路-传递函数-方块图
6
引言
系统建模
模型是实际物理系统的抽象，它是对实际物理系统作简化 假设的结果。 模型提取系统的相关物理特征，从而描述相应的系统特性。 因此，同一个物理系统可以由若干不同的模型描述，这些 模型对应着不同的、待研究的系统特性。 例：晶体管分别具有高频模型和低频模型。 同一个模型可以对应不同的实际物理系统（如，弹簧-质 量-阻尼系统和电阻-电感-电容电路都可以由二阶线性微分 方程描述）。
我们将利用实际物理系统的定量数学模型来进行控制系统的 分析与设计。系统动态行为通常由常微分方程描述。 我们将研究多种类型的物理系统，包括：电气系统、机械系 统、热力系统、液压系统等。由于绝大多数物理系统是非线性 系统，我们还将讨论线性近似方法，以便于利用拉普拉斯变换 方法进行分析。 我们将推导以传递函数形式描述的元件及子系统的输入输出 关系。 我们将会把传递函数方块引入方块图或信号流图，以图的形 式描述系统结构。
20
电路及组成
例2：电阻电感电容（RLC）串联电路
在图2.2中, R, L, C 为已知常数, e(t) 是输入；uc(t)（可以是其他变量）
是输出。请列写关于电路输出 uc(t) 和输入 e(t) 的方程。
第一步: 根据基尔霍夫定律
v L + v R + vC = e
e
1 LDi + Ri + i=e CD
线性代数基本概念
线性代数基本概念 基本概念回顾: 向量、矩阵 转置矩阵 矩阵加减运算 矩阵与矩阵相乘运算 矩阵与标量相乘运算 单位矩阵 矩阵的微分 矩阵的积分
33
状态的基本概念
状态的基本概念
系统微分方程是输入输出模型，它仅仅描述了系统 输入变量与输出变量之间的关系。 -----经典控制理论模型
《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数解析
称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：
机械工程控制基础--第二章
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
机械控制工程基础(第二章)ppt课件
dt
a0x0t
bm
dmxi t
dtm
bm1
dm1xi t
d tm1
b1
d xi t
dt
b0xi
t
在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换
ansnan 1sn 1 a 1sa0X 0s b m smb m 1sm 1 b 1sb 0X i s
故得系统（或环节）的传递函数为
G sX X 0 is sb a m n s sm n a b n m 精 1 1 选s sn Pm P 1 T1 课 件 a b 1 1 s s a b 0 0
x0(t)Txi(t)
精选PPT课件
16
例 下图是简化了的直流发电机组。激磁电压 v恒i 定，磁通不变。
此时电枢电压 与转v速0 成正比•。若 为输入，输出是电压 ，
试v求0此系统的传递函数。
R
•
解：v 0 T
vi i
LM
式中 T——常数
v0 VsT s s 0
GsV 0ssTs
即直流发电机作为测速发电机时，可认为是微分环节。
2
x0
0
精选PPT课件
xi
3
x• 0
0
精选PPT课件
xi
4பைடு நூலகம்
F
0
x?
F
0
x?
精选PPT课件
5
线性化方法：
利用台劳公式 f(x)k n 1 0f(k k )!(a)(xa)kR n(x)
f(a)k n 1 1f(k k )!(a)(x a)kR n(x)
f( x ) f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 )
物理系统的数学模型
及传递函数
a0x0t
bm
dmxi t
dtm
bm1
dm1xi t
d tm1
b1
d xi t
dt
b0xi
t
在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换
ansnan 1sn 1 a 1sa0X 0s b m smb m 1sm 1 b 1sb 0X i s
故得系统（或环节）的传递函数为
G sX X 0 is sb a m n s sm n a b n m 精 1 1 选s sn Pm P 1 T1 课 件 a b 1 1 s s a b 0 0
x0(t)Txi(t)
精选PPT课件
16
例 下图是简化了的直流发电机组。激磁电压 v恒i 定，磁通不变。
此时电枢电压 与转v速0 成正比•。若 为输入，输出是电压 ，
试v求0此系统的传递函数。
R
•
解：v 0 T
vi i
LM
式中 T——常数
v0 VsT s s 0
GsV 0ssTs
即直流发电机作为测速发电机时，可认为是微分环节。
2
x0
0
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xi
3
x• 0
0
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xi
4பைடு நூலகம்
F
0
x?
F
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精选PPT课件
5
线性化方法：
利用台劳公式 f(x)k n 1 0f(k k )!(a)(xa)kR n(x)
f(a)k n 1 1f(k k )!(a)(x a)kR n(x)
f( x ) f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 )
物理系统的数学模型
及传递函数
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(a)原始结构图 (b) 等效结构图 图(3) 引出点后移的变换
挪动后的支路上的信号为:
R
1 G(s) R R G(s)
15
系统传递函数的计算
综合点与引出点的移动:
d. 相邻引出点之间的移动
若干个引出点相邻，引出点之间相互交换位置，完全不会改 变引出信号的性质。如图(4)所示。
图(4) 相邻引出点的移动
自动控制理论 自动控制
第二章 连续时间控制系统的数学模型
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
第 章要点 第二章要点
引言 电路及组成 线性代数与状态的基本概念 传递函数及方块图 机械传递系统 其他的数学建模实例 系统传递函数的计算 非线性系统的线性化 系统整体传递函数的确定 仿真图 信号流图 从传 函数到状 从传递函数到状态空间模型的转换 间模 的转换
信息不变原理：变换前后信息不改变 E1＝u+H2y;
H1 (s) H 2 (s) 1 G (s) H 2 (s) 1 H 1 (s) H 2 (s)
E2＝{u(1/H2)+y}H2=u+H2y
10
系统传递函数的计算
方块图简化
u1 u2
引出点
y
引出点后移
u1
H (s)
??
y
H (s)
1 R1C1s 1 GLOOP1 ( s ) 1 1 R1C1s 1 R1C1s
1 R2C2 s 1 GLOOP 2 ( s) 1 1 R2C2 s 1 R2C2 s
29
系统传递函数的计算
系统传递函数
例4: 推导如下图所示系统的传递函数
30
系统传递函数的计算
系统传递函数
系统传递函数的计算
系统传递函数
步骤2: 引出点后移
H6 H2
u
_
H1 1 H1H 3
H2
H5
y
H4
步骤3: 利用串并联及反馈关系化简
u
H 1H 2 1 H 1H 3 H 1H 2 H 1 1 H 1H
4 3
H H5 6 H2
y
18
系统传递函数的计算
系统传递函数
G ( s) Y (s) H 2 ( s ) H1 ( s ) U (s)
N 个方块串联
4
系统传递函数的计算
方块图：并联 方块图： 并联
u1
u
H1 ( s)
y1
u2
H 2 (s)
y2
y
G(s)
Y ( s) H1 ( s ) H 2 ( s ) U ( s)
Y ( s ) Y1 ( s ) Y2 ( s ) H1 ( s )U1 ( s ) H 2 ( s )U 2 ( s ) H1 ( s ) H 2 ( s ) U ( s )
例5: 求如图所示系统输出的表达式。(2007年)
解：移动相加点：N2 前移， N3越过H1、G1 后移
31
系统传递函数的计算
系统传递函数 统传 函数
例5: 求如图所示系统输出的表达式。(2007年）
解：移动相加点： 解 移动相加点 N2前移， 前移 N3越过H1、G1后移
G2 G2 G2 R(s) [ N 1 ( s ) N 2 ( s )] G1 H 1 N 3 ( s ) G1 1 G2 H 2 1 G2 H 2 1 G2 H 2 y(s) G2 1 G1 H 1 1 G2 H 2 G 2 N 1 ( s ) G 2 N 2 ( s ) G1 H 1G 2 N 3 ( s ) G1G 2 R ( s ) 1 G 2 H 2 G1 H 1G 2
a. 综合点前移
图(1)表示了综合点前移的等效变换。
(a) 原始结构图
(b) 等效结构图
图(1)综合点前移的变换
挪动前的结构图中，信号关系为: 挪动后，信号关系为:
C G ( s) R Q
C G ( s )[ R G ( s) 1 Q]
13
系统传递函数的计算
综合点与引出点的移动:
H ( s )U1 ( s ) H ( s )U 2 ( s )
u1
Y ( s ) H ( s )U1 ( s ) ?? U 2 ( s )
?? H ( s )
H (s)
H (s)
y
u2
Y ( s ) H ( s )U 1 ( s ) H ( s )U 2 ( s )
u2
Y ( s ) H ( s )U 1 ( s );U 2 ( s ) U 1 ( s )
Y ( s ) H ( s )U1 ( s );U 2 ( s ) ?? Y ( s )
u1
H (s)
1
H ( s)
y
U 2 ( s ) ?? H ( s )U1 ( s ) U1 ( s ) ?? =H ( s ) 1
b. 综合点之间的移动
图(2)为相邻两个综合点前后移动的等效变换。
(a)原始结构图 (b) 等效结构图 (2) ) 相邻综合点的移动 图(
挪动前，总输出信号 : 挪动后，总输出信号 :
C R X Y
C R Y X
14
系统传递函数的计算
综合点与引出点的移动:
c. 引出点后移
在图(3)中给出了引出点后移的等效变换。
H6
u
_
H1 1 H1H 3
H2
H5
y
H4
H2
步骤3: u
H1 1 H1 H 3 H1 H 2 H 4
y
H6 H2 H5
20
系统传递函数的计算
系统传递函数
最后，根据串联关系得到整体系统的传递函数 引出点后移
u
H1H 2 1 H1H 3 H1H 2 H 4
H H5 6 H2
24
系统传递函数的计算
系统传递函数
例2: 推导如下图所示系统的整体传递函数 步骤4：推导得到整体系统的传递函数，见图(d)
25
系统传递函数的计算
系统传递函数
例2: 推导如下图所示系统的整体传递函数
a c b
系统的闭环传递函数为 传
GB ( s)
G1G2G3G4 C (s) R( s ) 1 G2G3 H 2 G3G4 H 3 G1G2G3G4 H1
21
系统传递函数的计算
系统传递函数
例2: 推导如下图所示系统的整体传递函数
b a c
前向通路有2个综合点： 个综合点 a 和 b 步骤1: (1) 将点
a c
从 a 后移至 c
G2(s) () b
(2) 交换
和
的位置，得到图 (a)
22
回路 1
步骤2：对内回路 对内回路1应用反馈，得到图 应用反馈 得到图(b)，并代入回路 并代入回路1的传递函数
y1
y
U(s)
H1 (s) 1 H1 (s) H 2 (s)
Y(s)
y2
u2
Y ( s ) H1 ( s )U1 ( s ) H1 ( s )U ( s ) Y2 ( s ) H1 ( s )U ( s ) H 2 ( s )Y ( s ) Y ( s )1 H1 ( s ) H 2 ( s ) H1 ( s )U ( s )
u2
Y ( s ) H ( s )U 1 ( s );U 2 ( s ) U 1 ( s )
11
系统传递函数的计算
方块图简化
引出点前移
u1
H (s)
y1
y
u1
H (s)
y
??
引出点
y1
Y ( s ) H ( s )U1 ( s ); Y1 ( s ) Y ( s )
u1
Y ( s ) H ( s )U1 ( s );U1 ( s ) H ( s ) 1 Y ( s )
u2
Y ( s ) H ( s )U1 ( s ) H ( s ){ 1
H (s)
U 2 ( s )}
9
系统传递函数的计算
方块图简化
u
综合点前移
E1
E2
H1 (s)
y
u
1 H 2 (s)
H 2 (s)
H1 (s)
y
H 2 (s)
综合点前移
H 1 (s) Y (s) G (s) U (s) 1 H 1 (s) H 2 (s)
C ( s) G (s) GB ( s ) R( s) 1 G ( s) H ( s)
正反馈
C (s) G ( s) GB ( s ) R( s) 1 G ( s ) H ( s)
Note! 注意！
负反馈
6
系统传递函数的计算
方块图：反馈 方块图： 反馈
u
±
u1
H1 ( s) H 2 (s)
例1’:推导如下图所示系统的整体传递函数
H6
u
_
H1
H3
H2
H5
y
引出点
步骤1: 应用反馈关系化 简 H1 u
H4
H6
_
1 H1H 3
H2
H5
y
引出点前移
H4
19
系统传递函数的计算
系统传递函数
例1’:推导如下图所示系统的整体传递函数 步骤2: 引出点前移