回归系数的统计推断
计量经济学t统计量
计量经济学t统计量
在计量经济学中，t 统计量是用于推断回归系数是否显著的统计指标之一。
t 统计量的计算基于以下公式：
t = (b - β) / SE(b)
其中，b 表示回归系数的估计值，β表示回归系数的真实值（在假设检验中通常为零），SE(b) 表示回归系数估计值的标准误差。
t 统计量的分布遵循自由度为 n-k-1 的 t 分布，其中 n 是样本大小，k 是回归模型中解释变量的数量。
通过与 t 分布的临界值进行比较，可以判断回归系数是否显著。
如果计算得到的 t 统计量的值大于临界值，则拒绝零假设，即认为回归系数与零有显著差异，回归系数估计值是显著的；如果 t 统计量的值小于或等于临界值，则不能拒绝零假设，即认为回归系数与零没有显著差异，回归系数估计值不显著。
t 统计量在计量经济学中常用于进行假设检验，例如检验回归系数是否为零，检验变量间的线性关系是否存在等。
它提供了一种用于评估模型参数的显著性和可靠性的方法。
需要注意的是，t 统计量的使用需要满足一些前提条件，如样本大小足够、正态性假设等。
在实际应用中，需要对数据进行适当的诊断和检验，以确保 t 统计量的有效性。
希望这个解释对你有帮助。
如果你对 t 统计量或计量经济学有其他问题，我将很愿意继续为你提供帮助。
统计师如何使用回归分析进行因果推断
统计师如何使用回归分析进行因果推断回归分析作为一种常见的统计方法，在统计学和经济学等领域中被广泛应用。
它不仅可以用于预测和描述依赖变量与自变量之间的关系，还可以用于进行因果推断。
因果推断是指通过回归分析来确定自变量是否对因变量产生了明确的因果影响。
本文将介绍统计师如何使用回归分析进行因果推断的具体方法和注意事项。
一、确定研究目标和研究问题在使用回归分析进行因果推断之前，统计师需要明确研究的目标和问题。
例如，假设研究目标是了解某个政策对经济增长的影响，那么研究问题可以是：“该政策对经济增长是否产生了正向影响？”或者“该政策对经济增长的影响程度如何？”通过明确研究目标和问题，可以有效指导后续的数据选择和模型建立。
二、选择合适的数据和样本为了进行回归分析，统计师首先需要收集和选择合适的数据和样本。
数据和样本的选择应该与研究问题和目标相匹配，并尽可能具有充分的覆盖范围和可靠性。
比如，在研究政策影响经济增长的问题时，应该选择包含了政策实施前后的经济数据，并尽量避免样本的选取偏差。
三、建立回归模型在数据和样本准备好之后，统计师可以开始建立回归模型。
回归模型通常包括一个或多个自变量和一个因变量。
在进行因果推断时，自变量通常是我们感兴趣的变量，而因变量是我们想要明确其原因的变量。
在建立模型时，需要考虑变量之间的相关性和可能的混杂因素。
四、检验模型的合理性和稳健性建立回归模型后，需要对模型的合理性和稳健性进行检验。
合理性检验包括判断模型的拟合优度和回归系数的显著性。
稳健性检验则是为了检验模型对异常值、异方差和相关性等问题的鲁棒性。
通过合理性和稳健性的检验，可以确保回归模型的结果具有可靠性和有效性。
五、进行因果推断在建立和检验回归模型后，可以利用模型进行因果推断。
回归模型中自变量的系数可以用来判断自变量对因变量的因果影响。
如果系数为正且显著，说明自变量对因变量有正向的因果影响；如果系数为负且显著，说明自变量对因变量有负向的因果影响。
医学统计学 简单回归分析
（三）总体回归系数β的统计推断：
样本
样本回归方程 Yˆ a bx
由于样本回归系数b与总体回归系数存在抽样误 差，即：一般情况下， b i ，因此需要考虑抽样
误差对统计推断是否存在重大影响？
就总体而言，这种回归关系是否存在？ 即总体回归方程是否成立？
Yˆ a bx
➢ 称 Ｙˆ 为Y 的预测值；其意义为固定 x，Y 的
总体均数 μ Y∣X 的估计值。
➢ a与b分别为回归模型参数α和β的估计值。
以样本数据，可算出α和β的估计值a 和 b。后在 直角坐标系以X为横坐标，Y 为纵坐标作图，图 形是一条直线，斜率为b，截距为a。
5800
5300
基础代谢(kJ/d)
10.1 什么是回归？
1. 线性回归分析 linear regression analysis
：研究一个变量和另外一些变量间线性数量关系的 统计分析方法。
简单线性回归 simple linear regression
：模型中只包含两个有“依存关系”的变量，一
分
个变量随另一个变量的变化而变化，且呈直线变
基础代谢 （kg/d）
3970.6 3983.2 5050.1 5355.5 4560.6 4874.4 5029.2
体重 （kg）
48.6 44.6 58.6 71.0 59.7 62.1 61.5
基础代谢(kJ/d)
由散点图看基础代谢与体重可能是直线关系
5800 5300 4800 4300 3800 3300 2800
：非独立的、受其它变量影响的变量，常用 “Y”表示。
自变量 independent variable或预测因子 predictor 或 解释变量explanatory variable
(完整word版)医学统计学公式整理
集中趋势的描述算术均数： 频数表资料（X0为各组段组中值）n fX ffX x OO∑∑∑==几何均数：n nX X X G ...21= 或)log (log 1nX G ∑-=频数表资料：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∑∑∑--n X f f X f G log lg log log 11 中位数:(1）*21+=n XM (2） )(21*12*2++=n n X X M百分位数⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+=L X X f n X f i L P 100其中:L 为欲求的百分位数所在组段的下限 , i 为该组段的组距 , n 为总频数 , X f 为该组段的的频数 ， L f 为该组段之前的累计频数方差: 总体方差为:式（1）; 样本方差为 式（2） （1）N X 22)(μσ-∑=（2)1)(22--∑=n X X S标准差：1)(2--∑=n X X S或 1/)(22-∑-∑=n nX X S频数表资料计算标准差的公式为1/)(22-∑∑∑-∑=f f fx fx S变异系数:当两组资料单位不同或均数相差较大时,对变异大小进行比较，应计算变异系数%100⨯=X SCV常用的相对数指标 （一）率 (二)相对比（三）构成比1.直接法标准化NpN p ii∑='∑=i i p NN p )('2.间接法标准化预期人数实际人数=SMR∑=ii P n rSMRSMR P P ⨯='正态分布：密度函数：)2/()(2221)(σμπσ--=X e X f分布函数: 小于X 值的概率，即该点正态曲线下左侧面积 )()(x X P x F <=特征:（1)关于x=μ对称。
（2）在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，在σμ±=x 处有拐点，表现为钟形曲线。
（3）曲线下面积为1。
（4）μ决定曲线在横轴上的位置，σ决定曲线的形状 .(5）曲线下面积分布有一定规律标准正态分布：对任意一个服从正态分布的随机变量，作如下标准化变换σμ-=X u ，u 服从总体均数为0、总体标准差为1的正态分布。
题目什么是线性回归模型请简要解释OLS估计方法
题目什么是线性回归模型请简要解释OLS估计方法线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于探索自变量与因变量之间的线性关系。
它基于一组自变量的观测数据，通过拟合一个线性方程来预测因变量的值。
OLS（Ordinary Least Squares）估计方法是线性回归模型中最常用的参数估计方法之一。
该方法通过最小化残差平方和来估计回归模型中的系数。
线性回归模型的基本形式可以表示为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε其中，y是因变量，x1、x2、...、xp是自变量，β0、β1、β2、...、βp是模型的回归系数，ε是随机误差项。
OLS估计方法的目标是选择使得残差平方和最小化的系数值，具体步骤如下：1. 数据准备：收集自变量和因变量的观测数据，并对数据进行清洗和转换。
2. 模型拟合：根据观测数据，使用OLS方法拟合线性回归模型。
在拟合过程中，计算残差（观测值与模型预测值之间的差异）。
3. 残差分析：对残差进行统计学分析，以评估模型的拟合程度。
常见的分析方法包括残差图和残差分布检验。
4. 参数估计：使用OLS估计方法，通过最小化残差平方和，确定回归系数的估计值。
OLS估计方法可以通过最小二乘法求解，但也涉及复杂的矩阵计算。
5. 统计推断：对回归系数进行统计学检验，评估自变量与因变量之间是否存在显著线性关系。
常见的检验包括t检验和F检验。
6. 模型评估：利用一些指标来评估模型的拟合程度和预测能力，如R方值、调整R方值、残差标准误、置信区间等。
7. 模型应用：利用估计得到的线性回归模型，进行因变量的预测或假设检验等应用。
总结起来，线性回归模型是一种用于探索自变量与因变量之间线性关系的统计分析方法。
OLS估计方法是一种常用的线性回归参数估计方法，通过最小化残差平方和来确定回归系数的估计值。
该方法在模型拟合、残差分析、参数估计、统计推断、模型评估和模型应用等方面都有明确的步骤和方法。
回归系数的统计推断详解演示文稿
(4) 代入样本信息,F落入否定域则否定原假设,线性关系显著; 落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
3.回归系数的相关系数检验法
(1) 提出原假设: H0: b = 0 ;
(2) 选择统计量
R
l xy l xxl yy
(3) 对给定的显著性水平α，查临界值rα(n-2)，得否定域为 R >rα(n-2);
当lyy 给定后, 由U与Q的相 对大小可刻画 x 对Y 的线性 影响程度：
即比值 U 越大,说明x 对
Q
Y 的线性影响就越强.
七、回归方程的显著性检验
假设变量Y与x变量满足 Y= a + bx+ε (*)
其中ε是随机误差,假定ε～N(0,σ2). 若 H0:b=0成立,则(*)变成 Y= a +ε,自变量x对因变量Y没有
bˆ lxy 6.3 l xx
aˆ y bˆx 0.4
回归方程为 yˆ 0.4 6.3x
例1 为确定某商品供给量 y 和价格 x 之间的关系，任取10对
数据作为样本, 算得平均价格为 x 8(元), 平均供给量为
n
n
n
y 50(公斤), 且 xi2 840, yi2 33700, xi yi 5260
原假设, 即认为回归方程是显著的.
1.回归系数的F检验 (1) 提出原假设 H0:b=0; (2) 选择统计量
F (n 2)U ~ F (1, n 2) Q
α
Fα(1, n-2)
F
(3) 对给定的显著性水平α, 查临界值Fα (1,n-2), 得否定域 为F >Fα (1,n-2);
单侧假设检验
i 1
i 1
i 1
(1) 试建立供给量对价格的线性回归方程;
部分线性变系数空间面板回归模型的统计推断
中文图书分类号:O212.7密级:公开UDC:510学校代码:10005论文题目:部分线性变系数空间面板回归模型的统计推断论文作者:黄建杰学科:统计学指导教师:谢田法副教授论文提交日期:2018年5月UDC:510学校代码:10005中文图书分类号:O212.7学号:S201506084密级:公开北京工业大学理学硕士学位论文题目:部分线性变系数空间面板回归模型的统计推断英文题目:STATISTICAL INFERENCE OF PARTIALLY LINEARV ARYING-COEFFICIENT SPATIAL PANEL REGRESSION MODEL论文作者:黄建杰学科专业:统计学研究方向:应用统计申请学位:理学硕士指导老师:谢田法副教授所在单位:应用数理学院答辩日期:2018年5月授予学位单位:北京工业大学独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名:黄建杰日期:2018年5月25日关于论文使用授权的说明本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
（保密的论文在解密后应遵守此规定）签名:黄建杰日期:2018年5月25日导师签名:谢田法日期:2018年5月25日摘要面板数据同时包含截面数据和时间序列，是近年来计量经济学和统计学的研究热点之一。
部分线性变系数回归模型结合了参数模型和非参数模型的特点，具有灵活、容易解释的优点，较经典模型有更好的拟合效果，在统计学和计量经济等领域有广泛的讨论和应用。
简单回归分析(4)
30
y1 y2 y3
y变异程度为S y
Xp
31
总体回归线的95%置信带*
yp hat的变异不仅决定于y的均数( )，同y 时也取决于回归系数的作用
(
yˆp yb(xp)x)
根据方差的特性:
Var[y b(xp x)]Var(y)Var[b(xp x)]
Var(
y)
Var(
y)
/
n
S2 y.x
如果两个变量间的回归关系的确存在，则变异度减少将十 分之“显著”，即SS回归大于SS残，大到何种程度才认为 具有统计学意义？
计算以下统计量：
对于简单线F 性= 回S S 归S S残 回 ，//有ν ν回 残 tb2~ =FF(ν回 =1,ν残 =n-2)
27
决定系数(Coefficient of determination)
y—— 因变量，响应变量：尿肌酐含量(mmol/24h)
(dependent variable, response variable)
x ——自变量，解释变量：体重(kg)
(independent variable, explanatory variable)
b —— 回归系数，斜率(mmol/24h*kg)
R2=SS回/SS总 取值介于0~1，表示回归解释了因变量变异的比
例；其值越大表示回归预测效果越好 在实际应用中，通常需要用决定系数反映回归的
实际效果 对于简单线性回归，有r2=决定系数
28
五、总体回归线的95%置信带*
通过样本资料得到的回归直线为： yˆ abx
其中y hat为相应的总体条件均数my|x的估计值，
上述例题中，回归系数的95%的可信区间为： 0 . 1 3 9 2 2 . 4 4 7 0 . 0 3 0 4 ( 0 . 0 6 4 8 ,0 . 2 1 3 6 )
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l xx 0.225, t 0.025 (10) 2.228
进一步可得总体需求函数的95%置信带
300 250 200 150 100 50 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
此置信带有95%的置信度包含了相应的总体值.
下限
上限
182.4361 170.5002 158.5319 146.5089 134.3836 122.0373 109.1191 94.62254 77.56355 58.92609 39.7168 20.28655 0.753925
238.4519 218.8322 199.2449 179.7123 160.282 141.0727 122.4353 105.3763 90.87965 77.96151 65.6152 53.48985 41.46688
8 6
下面求得个点95%置信区间为
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
其中
ˆi y
210.444 194.6662 178.8884 163.1106 147.3328 131.555 115.7772 99.9994 84.2216 68.4438 52.666 36.8882 21.1104
例2 某市场连续12天卖 出黄瓜的价格和数量的调 查数据如下：
x i(元/公斤） yi (公斤)
1.00 0.90 0.80 0.70 0.70 0.70 0.70 0.65 0.60 0.60 0.55 0.50 55 70 90 100 90 105 80 110 125 115 130 130
2 2
2 ( x x ) 2 2 1 i 其中 Sy ˆi S n l xx
六、y的样本变差的分解
ˆx ˆ a ˆb y
ˆ i ( yi y ˆi ) yi y
n
n
ˆx , y a ˆx ˆi a ˆb ˆ y b i
ˆ i y ) ( yi y ˆi ) yi y ( y
且
x
i 1
n
2 i
840, yi 33700, xi yi 5260
2 i 1
n
(1) 试建立供给量对价格的线性回归方程; (2) 对所建立的线性回归方程进行显著性检验 (α =0.05). 销量 价格 解 (1) 计算 l xx
10
2 2 x 10 x 200 i i 1 10
U 即比值 越大,说明x 对 Q Y 的线性影响就越强.
ˆl , ˆ i y )2 b U ( y xy
i 1 n
n
ˆl ˆ i )2 l yy b Q ( yi y xy
i 1
七、回归方程的显著性检验 假设变量Y与x变量满足 Y= a + bx+ε (*)
其中ε是随机误差,假定ε～N(0,σ2).
ˆl 793.6, Q l U 762 ，代入得 U b xy yy
( n 2)U F 83.34 5.32 Q
所以拒绝原假设,供给量 y 和价格 x 线性关系显著.
九．利用Excel进行回归分析的步骤 (1) 将试验数据录入到Excel表中，建立数据文件； (2) 在Excel菜单“插入”的下拉菜单中依次选择 “图表”、 “散点图”，并根据问题的实际情况选择合适的散点图类型， 并在“输入区域”输入正确的数据范围或用鼠标拖过数据区， 依次单击“下一步”及“确定”，即可得两变量的散点图; (3) 根据散点图做初步的直观分析， 如果两变量之间具有 比较明显的线性关系，再进一步作一元线性回归分析； (4) 在Excel的菜单“工具”的下拉菜单中选择“数据分 析”，并在分析工具窗口选择“回归”，单击“确定”； (5) 在“输入区域”分别输入正确的X值与Y值的数据范围 或用鼠标拖到相应的数据区，根据实际问题的需要再分别设 置输出选项（标志、常数项为零、置信度、残差情况及正态 概率图等），单击“确定”；并选择“输出区域”为新工作 表（也可指定为本工作表的一个数据区域）； (6) 根据软件分析的结果，做出相应的分析。
0
~ F (1, n 2)
因此对于给定的显著性水平α,当 F >Fα (1,n-2)时,则
否定原假设, 即认为回归方程是显著的.
1.回归系数的F检验
(1) 提出原假设 H0:b=0;
(2) 选择统计量
( n 2)U F ~ F (1, n 2) Q
(3) 对给定的显著性水平α, 查临界值Fα (1,n-2), 得拒绝域
率值 p =4.34×10-6 << 0.05，所以认为回归方程是显著的。
(3) a 的95%置信区间是 (182.435 , 238.454) b 的95%置信区间是 （-197.047 , -118.508）
(4) 经验回归方程：
ˆ i 210.444 157.778 xi y (1.21 10 ) ( 4.34 10 )
第8.4节
回归系数的统计推断
一、估计量的性质
二、回归估计量的方差
三、总体方差 2的一个无偏估计量 四、a和b 的区间估计
五、 E ( yi )的区间估计
六、y 的样本变差的分解 七、回归方程的显著性检验 八、回归分析的表述
九、利用Excel进行回归分析的步骤
一、估计量的性质
ˆ均为相互独立正态变量 (3) 由于a y1 , ˆ, b
若 H0:b=0成立,则(*)变成 Y= a +ε,自变量x对因变量Y 没有线性影响,即回归方程不显著;若假设不成立,则自变 量x对因变量Y有线性影响,即线性方程是显著的.所以,假 设检验的原假设为 H0: b = 0 ; 备择假设为 H1: b ≠ 0. 由于
F
Q
U ( n 2) H 成 立
α
Fα(1, n-2) F
单侧假设检验
为F >Fα (1,n-2);
(4) 代入样本信息,F落入拒绝域则拒绝原假设,线性关系 显著; 落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
八、回归分析的表述 我们从一组样本数据进行回归系数的估计，得到经 验回归方程，因为还要进行区间估计、显著性检验，所 以必须求出回归估计量的标准误 S a ，以及判定系 ˆ , Sb ˆ 数 R 2，通常可写成表达式：
2
n
n
n
ˆl ˆ i )2 l yy b Q ( yi y xy
i 1
i 1
i 1
总平方和lyy(SST) = 回归平方和U(SSR) + 残差平方和Q(SSE)
其中
l yy ( yi y )2 ,
i 1
n
当lyy 给定后, 由U与Q的相
对大小可刻画 x 对Y 的线性 影响程度：
ˆx ˆi a ˆ b y R2 i ( ) ( )
其中括号内填写相应的t-检验显著性概率值。这样就较全
面地表述了样本回归估计式.
例1 为确定某商品供给量 y 和价格 x 之间的关系，任取10 对数据作为样本，算得平均价格为 x 8(元), 平均供给量为
n i 1
y 50(千克),
二、回归估计量的方差
2 2 x 1 ˆ) (2) Var (a ˆ) ( ), Var (b n l xx l xx 2
ˆ 分别是a、b 的无偏估计量； (1) 估计量 a ˆ, b
y2 , , yn
的
线性组合，根据正态分布的性质，它们也一定是正态的.
(1) 扰动
(2) 自变量
2 2
ˆ t ( n 2) S ˆ , b ˆ t ( n 2) S ˆ ) (b b b
2 2
E ( yi ) 的区间估计 五、
E ( yi )的置信水平为 1 的区间估计是
ˆ i t ( n 2) S y ˆ i t ( n 2) S y (y ˆi , y ˆi )
解 打开Excel，建立数据文件如下 表所示 ：
数据文件
试就黄瓜销量与价格进行 回归分析.
调用线性回归分析程序：单击“工具”—“数据分析”— “回归”— 确定，便得到如下图所示的对话框
确定后，便输出结果
由此可知：
(1) R2 = 0.889， S = 8.360 = (698.889/10)0.5， 平方和分解 SST = 6300 =5601.111+698.889=SSR+SSE (2) 回归方程的显著性检验，从 t 检验和F检验均有显著性概
l xy xi yi 10 xy 1260
l xy ˆ b 6.3 l xx
回归方程为
i 1
l yy yi2 10 y 2 8700
i 1
10
ˆ x 0.4 ˆ yb a
ˆ 0.4 6.3 x y
解 (2) H0: b=0 查表得
F (1, n 2) F0.05 (1,8) 5.32 ， 故拒绝域为F >5.32
n
回 ˆ i 的分散程度,(由x因素引起） 故 U ( y ˆ i y )2 反映了 y 归 i 1 平 n 方 ˆ i )2 反映了由其他因素对 y i影响程度, Q ( yi y i 1 残差平方和 和
且U
ˆ x (a ˆ x )] b ˆ 2 ( x x )2 b ˆ 2l b ˆl ˆ ˆ [( a b b i i xx xy
n
n
ˆ i y ) 2 ( yi y ˆ i )2 U Q l yy ( yi y ) ( y
2 i 1
n
n
n
i 1