(浙江专用)高考数学第四章三角函数、解三角形7第7讲正弦定理与余弦定理教学案

第7讲正弦定理与余弦定理

1．正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

内容

a

sin A

＝

b

sin B

＝

c

sin C

＝2R(R为△ABC外

接圆半径)

a2＝b2＋c2－2bc cos__A；

b2＝c2＋a2－2ca cos__B；

c2＝a2＋b2－2ab cos__C 变形形式

a＝2R sin__A，b＝2R sin__B，

c＝2R sin__C；

sin A＝

a

2R

，sin B＝

b

2R

，

sin C＝

c

2R

；

a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；

a＋b＋c

sin A＋sin B＋sin C

＝

a

sin A

cos A＝

b2＋c2－a2

2bc

；

cos B＝

c2＋a2－b2

2ca

；

cos C＝

a2＋b2－c2

2ab

2.三角形解的判断

A为锐角

A为钝角

或直角图形

关系式a＝b sin A b sin Ab 解的

个数

一解两解一解一解(1)S＝

1

2

ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝

1

2

bc sin A＝

1

2

ac sin__B＝

1

2

ab sin C；

(3)S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝

1

2

(a＋b＋c)．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .( )

(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .( )

(4)在△ABC 中，a 2

＋b 2

是△ABC 为钝角三角形的充分不必要条件．( ) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× [教材衍化]

1．(必修5P10A 组T4改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π

6 B.π3 C.

2π3

D.5π6

解析：选C.因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得

cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2

3

π.

2．(必修5P18练习T1改编)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．

解析：因为23sin 60°＝4

sin B ，所以sin B ＝1，所以B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC

＝1

2

×2×23＝2 3. 答案：2 3 [易错纠偏]

(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．

1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解

D ．有解但解的个数不确定

解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝c

sin C

，

所以sin B ＝

b sin C

c

＝40×32

20

＝3>1.

所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．

2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，

B 的关系为________．

解析：sin A ＝sin B ?a ＝b ?A ＝B ； sin A >sin B ?a >b ?A >B . 答案：A ＝B A >B

3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π

2

，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形

利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点)

利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：

(1)由已知求边和角； (2)三角恒等变换与解三角形． 角度一 由已知求边和角

(1)(2020·金华市东阳二中高三调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，

b ，

c ，若3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，则tan A 的值是( )

A ．－2 2

B ．－ 2

C ．2 2

D. 2

(2)(2019·高考浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________．

【解析】 (1)因为△ABC 中，由余弦定理得

c cos A ＋a cos C ＝c ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋b 2－c 2

2ab

＝b .

所以根据题意，3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ＝b ，

两边约去b ，得3cos A ＝1，所以cos A ＝1

3>0，

所以A 为锐角，且sin A ＝1－cos 2

A ＝223，

因此，tan A ＝sin A

cos A

＝2 2.

(2)在Rt △ABC 中，易得AC ＝5，sin C ＝AB AC ＝45.在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝

BC

sin ∠BDC

×sin ∠BCD ＝

322

×45

＝1225，sin ∠DBC ＝sin[π－(∠BCD ＋∠BDC )]＝sin (∠BCD ＋∠BDC )

＝sin ∠BCD cos ∠BDC ＋cos ∠BCD sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD ＋∠DBC ＝π

2，

所以cos ∠ABD ＝sin ∠DBC ＝

72

10

. 【答案】 (1)C (2)1225 72

10

角度二 三角恒等变换与解三角形

在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；

(2)若cos B ＝2

3

，求cos C 的值．

【解】 (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，

故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．

又A ，B ∈(0，π)， 故0＜A －B ＜π，

所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .

(2)由cos B ＝23得sin B ＝5

3，

cos 2B ＝2cos 2

B －1＝－19，

故cos A ＝－19，sin A ＝45

9

，

cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝22

27

.

(变问法)本例条件不变，若△ABC 的面积S ＝a 2

4，求角A 的大小．

解：由S ＝a 2

4，得12ab sin C ＝a

2

4，故有

sin B sin C ＝1

2sin 2B ＝sin B cos B ，

因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ， 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π

2

±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π

2；

当C －B ＝π2时，A ＝π

4.

综上，A ＝π2或A ＝π

4

.

(1)正、余弦定理的选用

解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

(2)三角形解的个数的判断

已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )

A.π12

B.π6

C.π4

D.π3

解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin

A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C ·(sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，

所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A

a ＝

2×

2

22＝12，又0

6

.故选B.

2．(2020·绍兴市一中高三期末检测)△ABC 中，D 为线段BC 的中点，AB ＝2AC ＝2，tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，则BC ＝________．

解析：由正弦定理可知sin ∠CAD sin ∠BAD ＝2，又tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，则sin ∠CAD

cos ∠CAD ＝sin (∠CAD

＋∠BAD )，利用三角恒等变形可化为cos ∠BAC ＝

1

2

，据余弦定理BC ＝AC 2＋AB 2－2·AC ·AB ·cos ∠BAC ＝1＋4－2＝ 3.

答案： 3

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin

A ，则△ABC 的形状为( )

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

(2)若a 2

＋b 2

－c 2

＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

【解析】 (1)由正弦定理得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2

A ，则sin(

B ＋

C )＝sin 2

A ，由三角形内角和，得sin(

B ＋

C )＝sin A ＝sin 2

A ，即sin A ＝1，所以∠A ＝π2.即△ABC 为直

角三角形．

(2)法一：利用边的关系来判断：

由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c

2b

.

又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ，

所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

，

即c 2

＝b 2

＋c 2

－a 2

，所以a 2

＝b 2

， 所以a ＝b .又因为a 2

＋b 2

－c 2

＝ab .

所以2b 2

－c 2

＝b 2

，所以b 2

＝c 2

，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形．

法二：利用角的关系来判断：

因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，

所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.

又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2

＋b 2

－c 2

＝ab ，

由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝1

2

，

又0°

判定三角形形状的两种常用途径

[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c

b

＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形

D ．等边三角形

解析：选A.已知c b ＜cos A ，由正弦定理，得sin C

sin B

＜cos A ，即sin C ＜sin B cos A ，所

以sin(A ＋B )＜sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A ＜0，所以cos B sin

A ＜0.又sin A ＞0，于是有cos

B ＜0，B 为钝角，所以△AB

C 是钝角三角形．

2．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a sin B ＋b

sin A ＝2c ，则△ABC

是( )

A ．等边三角形

B ．锐角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

解析：选C.因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin B

sin A

＝2sin C ，而

sin A sin B ＋sin B

sin A ≥2sin A sin B ·sin B

sin A

＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号，所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.

又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以∠C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，可得A ＝B ，故三角形为等腰直角三角形，故选C.

与三角形面积有关的问题(高频考点)

求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：

(1)求三角形的面积；

(2)已知三角形的面积解三角形；

(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题． 角度一 求三角形的面积

(1)(2020·台州市高考模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

已知a ＝1，2b －3c ＝2a cos C ，sin C ＝

3

2

，则△ABC 的面积为( ) A.3

2

B.34

C.32或34

D.3或

32

(2)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC ＝________．

【解析】 (1)因为2b －3c ＝2a cos C ，

所以由正弦定理可得2sin B － 3 sin C ＝2sin A cos C ， 所以2sin(A ＋C )－3sin C ＝2sin A cos C ， 所以2cos A sin C ＝3sin C ， 所以cos A ＝3

2

，所以A ＝30°， 因为sin C ＝

3

2

，所以C ＝60°或120°. A ＝30°，C ＝60°，B ＝90°，a ＝1，

所以△ABC 的面积为12×1×2×32＝3

2

，

A ＝30°，C ＝120°，

B ＝30°，a ＝1，

所以△ABC 的面积为12×1×1×32＝3

4

，故选C.

(2)在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝

42＋22－42

2×4×2

＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝15

2.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝1

2

∠ABC ，则cos ∠CDB ＝

cos ∠ABC ＋12＝10

4

. 【答案】 (1)C (2)

152

104

角度二 已知三角形的面积解三角形

(1)(2020·杭州市七校高三联考)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边长依次为

a 、

b 、

c ，若△ABC 的面积为S ，且S ＝a 2－(b －c )2，则

sin A

1－cos A

＝________．

(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2

＝12c 2.

①求tan C 的值；

②若△ABC 的面积为3，求b 的值．

【解】 (1)因为△ABC 的面积为S ，且S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2

＋2bc ＝12bc ·sin A ，

所以由余弦定理可得－2bc ·cos A ＋2bc ＝1

2bc ·sin A ，

所以4－4cos A ＝sin A ，

所以sin A 1－cos A ＝4－4cos A 1－cos A ＝4.故填4.

(2)①由b 2－a 2

＝12c 2及正弦定理得

sin 2

B －12＝12sin 2

C ，

所以－cos 2B ＝sin 2

C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝3

4π，得

－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.

②由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝5

5

.

因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ? ??

??π4＋C ，

所以sin B ＝310

10.

由正弦定理得c ＝22b

3

，

又因为A ＝π4，1

2bc sin A ＝3，

所以bc ＝62， 故b ＝3.

角度三 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题

(1)(2020·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，

C 所对的边，其面积满足S △ABC ＝14a 2，则c

b

的最大值为( )

A.2－1

B. 2

C.2＋1

D.2＋2

(2)(2020·绍兴市一中期末检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且

a cos C －1

2

c ＝b .

①求角A 的大小；

②若a ＝3，求△ABC 的周长l 的取值范围．

【解】 (1)选C.根据题意，有S △ABC ＝14a 2＝12

bc sin A ，应用余弦定理，可得b 2＋c 2

－2bc cos

A ＝2bc sin A ，令t ＝c

b

，于是t 2＋1－2t cos A ＝2t sin A ．于是2t sin A ＋2t cos A ＝t 2＋1，

所以22sin ?

????A ＋π4＝t ＋1t ，从而t ＋1t ≤22，解得t 的最大值为2＋1.

(2)①由a cos C －1

2c ＝b 得

sin A cos C －1

2

sin C ＝sin B ，

又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以1

2sin C ＝－cos A sin C ，

因为sin C ≠0， 所以cos A ＝－1

2

，

又0＜A ＜π，所以A ＝2π

3.

②由正弦定理得b ＝

a sin B

sin A

＝23sin B ，c ＝23sin C ， l ＝a ＋b ＋c ＝3＋23(sin B ＋sin C )

＝3＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝3＋23? ??

??

12sin B ＋32cos B

＝3＋23sin ?

????B ＋π3， 因为A ＝2π3，所以B ∈? ????0，π3，

所以B ＋π3∈? ????

π3，2π3，

所以sin ? ????B ＋π3∈? ??

??32，1， 则△ABC 的周长l 的取值范围为(6，3＋2 3 ]．

与三角形面积有关问题的解题策略

(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1

2bc sin A ，一般是已知

哪一个角就使用含哪个角的公式．

(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．

(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．

1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c

2b

，sin

B ＝

74，S △ABC ＝574，则b 的值为________． 解析：由sin A sin B ＝5c 2b ?a b ＝5c 2b ?a ＝52

c ，①

由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得1

2ac ＝5，②

联立①②解得a ＝5，c ＝2，由sin B ＝

74且B 为锐角知cos B ＝34

，由余弦定理知b 2

＝

25＋4－2×5×2×3

4

＝14，b ＝14.

答案：14

2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2

－(b －c )2

，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．

解析：由题意得4×12

bc sin A ＝a 2－b 2－c 2

＋2bc ，

又a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ? ????A ＋π4＝1，又0

＝12bc sin A ＝1

2bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8.

答案：8

3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，

b ＝2.

(1)求c ；

(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.

在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2

－4c cos 2π3，

即c 2

＋2c －24＝0. 解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π

2，

所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝

π6

. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 12AB ·AD ·sin π6

1

2

AC ·AD ＝1.

又△ABC 的面积为1

2×4×2sin ∠BAC ＝23，

所以△ABD 的面积为 3.

核心素养系列9 数学运算——三角形中最值问题

一、求角的三角函数值的取值

若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 【解析】 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，所以cos C

＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3a 2＋2b 28ab －24≥6－2

4

( 3 a ＝ 2 b 时取等号)，故cos C 的最小值是

6－24

. 【答案】

6－2

4

在△ABC 中，a 2

＋c 2

＝b 2

＋2ac . (1)求B 的大小；

(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 【解】 (1)由余弦定理和已知条件可得

cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝2

2

，

又因为0

4.

(2)由(1)知A ＋C ＝3π

4，所以

2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ? ??

??3π4－A

＝2cos A －22cos A ＋2

2

sin A ＝

22cos A ＋22sin A ＝cos ?

????A －π4. 因为0

4

时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.

此类问题主要考查余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值和基本不等式；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式．

二、求边的最值

(1)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． (2)如图，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，AB ＝BC ＝1，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，

当∠ABC 变化时，BD 的最大值为________．

【解析】 (1)因为BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3

sin 60°

，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，

因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin ?

??

??2π3－A ＋4sin A ＝5sin A ＋3cos A ＝27sin(A ＋

φ)，

因为φ∈(0，2π)，A ∈?

????0，2π3，所以AB ＋2BC 的最大值为27. (2)设∠ACB ＝θ? ????0<θ<π2，则∠ABC ＝π－2θ，∠DCB ＝θ＋π2，由余弦定理可知，AC

2

＝AB 2＋BC 2

－2AB ·BC cos ∠ABC ，即AC ＝DC ＝2＋2cos 2θ＝2cos θ? ????0<θ<π2，由余弦定

理知，BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos ∠DCB ，即BD 2＝4cos 2

θ＋1－2×1×2cos θ·cos ? ????θ＋π2＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝22sin ?

????2θ＋π4＋3.由0<θ<π2，可得π4<2θ＋π4<5π4，则

()

BD 2max

＝22＋3，此时θ＝π

8，因此(BD )max ＝2＋1.

【答案】 (1)27 (2)2＋1

边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解．有时也可利用均值不等式求解．

三、求三角形函数的最值

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC

的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为________．

【解析】 在△ABC 中，2c cos B ＝2a ＋b ，由正弦定理，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin

B ．又A ＝π－(B ＋

C )，所以sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B

＋C )＋sin B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，

得2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，又0

2

3π.由S ＝3c ＝12ab sin C ＝12ab ×32，得c ＝ab 4

.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2

－2ab ·cos C ＝

a 2

＋b 2

＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，所以? ??

??ab 42

≥3ab ，得ab ≥48，所以

ab 的最小值为48.

【答案】 48

利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是解决此类问题的一种常规方法．

[基础题组练]

1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2

＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.

2

4

B ．－

24

C.34

D ．－34

解析：选B.由题意得，b 2

＝ac ＝2a 2

，b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 2

2a ×2a

＝

－

2

4

，故选B. 2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )

A ．2∶3

B ．4∶3

C ．3∶1

D ．3∶2

解析：选C.由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，选C.

3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝22

3

，a ＝3，S △

ABC

＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2

D ．2或3

解析：选D.因为S △ABC ＝22＝1

2bc sin A ，

所以bc ＝6，又因为sin A ＝

223，所以cos A ＝13

，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2

－2bc cos A ＝b 2

＋c 2

－4，b 2

＋c 2

＝13，可得b ＝2或b ＝3.

4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，

且b 2

＝ac ，则

a ＋c

b

的值为( ) A.22

B. 2 C ．2

D ．4

解析：选C.在△ABC 中，由b sin A －3a cos B ＝0， 利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0， 所以tan B ＝3，故B ＝π

3

.

由余弦定理得b 2

＝a 2

＋c 2

－2ac ·cos B ＝a 2

＋c 2

－ac ， 即b 2

＝(a ＋c )2－3ac ，

又b 2

＝ac ，所以4b 2

＝(a ＋c )2

，求得

a ＋c

b

＝2. 5．(2020·杭州市高三期末检测)设点P 在△ABC 的边BC 所在的直线上从左到右运动，设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ，当点P 不与B ，C 重合时( )

A ．λ先变小再变大

B ．当M 为线段B

C 中点时，λ最大 C ．λ先变大再变小

D ．λ是一个定值

解析：选D.设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为r 1，r 2，则2r 1＝

AB

sin ∠APB

，2r 2＝

AC

sin ∠APC

，

因为∠APB ＋∠APC ＝180°， 所以sin ∠APB ＝sin ∠APC ， 所以r 1r 2＝

AB

AC

， 所以λ＝r 21

r 22＝AB 2AC

2.故选D.

6．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →

|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21

B.321

4

C.

212

D ．321

解析：选B.设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为AC →·AB →＝|AC →－AB →

|＝3， 所以bc cos A ＝a ＝3.

又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A

2

，

所以cos A ≥25，所以0

5

，

所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝321

4，故△ABC 面积的最大值为

321

4

. 7．在△ABC 中，A ＝π4，b 2

sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．

解析：因为b 2

sin C ＝42sin B ， 所以b 2

c ＝42b ，所以bc ＝42，

S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×

2

2

＝2. 答案：2

8．若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 解析：由面积公式，得S ＝1

2×AB ×AC ×sin A ＝103，

所以sin A ＝2035×8＝32.因为 A ∈(0，π2)，所以A ＝π

3.

由余弦定理，得BC 2

＝AB 2

＋AC 2

－2AB ×AC ×cos A ＝25＋64－2×5×8×cos π

3＝49，所以BC ＝7.

答案：7

9．(2020·温州市高考模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，记

S 为△ABC 的面积，若A ＝60°，b ＝1，S ＝

33

4

，则c ＝________，cos B ＝________． 解析：因为A ＝60°，b ＝1，S ＝334＝12bc sin A ＝12×1×c ×3

2，所以解得c ＝3.

由余弦定理可得a ＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ＝

1＋9－2×1×3×1

2

＝7，

所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝7＋9－12×7×3＝57

14

.

答案：3

5714

10．(2020·金丽衢十二校联考模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、

c ，a cos B ＝b cos A ，4S ＝2a 2－c 2，其中S 是△ABC 的面积，则C 的大小为________．

解析：△ABC 中，a cos B ＝b cos A ， 所以sin A cos B ＝sin B cos A ，

所以sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 所以A ＝B ，所以a ＝b ； 又△ABC 的面积为S ＝1

2ab sin C ，

且4S ＝2a 2

－c 2

，

所以2ab sin C ＝2a 2

－c 2

＝a 2

＋b 2

－c 2

，

所以sin C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

＝cos C ，

所以C ＝π

4.

答案：π4

11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .

(1)求角A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由题意知，

根据正弦定理得2a 2

＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2

＝b 2

＋c 2

＋bc .①

由余弦定理得a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ， 故cos A ＝－1

2

，

A ＝120°.

(2)由①得sin 2

A ＝sin 2

B ＋sin 2

C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝1

2

.

因为0°

12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝4，b sin A ＝3. (1)求tan B 及边长a 的值；

(2)若△ABC 的面积S ＝9，求△ABC 的周长． 解：(1)在△ABC 中，a cos B ＝4，b sin A ＝3， 两式相除，有

b sin A a cos B ＝sin B sin A sin A cos B ＝tan B ＝3

4

，

又a cos B ＝4，所以cos B >0，则cos B ＝4

5，故a ＝5.

(2)由(1)知，sin B ＝3

5，

由S ＝1

2

ac sin B ＝9，得c ＝6.

由b 2

＝a 2

＋c 2

－2ac cos B ＝13，得b ＝13. 故△ABC 的周长为11＋13.

[综合题组练]

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝1，a ＝2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为( )

A.33

B.36

C.23

3

D. 3

解析：选B.当C 取最大值时，cos C 最小， 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3c 2＋14c ＝14? ????3c ＋1c ≥3

2，

当且仅当c ＝

3

3

时取等号， 且此时sin C ＝1

2，

所以当C 取最大值时，

△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×2c ×1×12＝3

6.

2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，

a sin A ＋

b sin B －

c sin C sin B sin C ＝23

3

a ，

a ＝2 3.若

b ∈[1，3]，则

c 的最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．2 2

D ．2 3

解析：选B.由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝3

3sin C ．由余弦定理

可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2

＝

b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，

c 取最小值3.

3．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2a sin B ＝3b ，b ＝2，c ＝3，AD 是内角的平分线，则BD ＝________．

解析：由2a sin B ＝3b 及正弦定理得 2sin ∠BAC ·sin B ＝3sin B ，所以sin ∠BAC ＝32

. 因为∠BAC 为锐角，所以∠BAC ＝π

3.

因为AD 是内角平分线，

所以BD DC ＝AB AC ＝c b ＝32

.

由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2

－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×12＝7，

所以BC ＝7，BD ＝3

57.

答案：35

7

4．(2020·金华十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1

S 2

的值为____________．

解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，

又A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5

12

π.

由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R (a 、b 、c 为△ABC 中角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC

的外接圆半径)可得，a ＝sin A sin C ·c ，b ＝sin B sin C ·c ，R ＝c

2sin C

.

所以S 1＝12ab sin C ＝12·sin A sin C ·sin B sin C ·c 2

·sin C

＝12sin A ·sin B ·sin C ·c

2

sin 2C

，