(苏教版)高一数学必修一配套练习：2.3.1对数的概念
高一苏教版数学必修1练习：2.3.1对数
1．如果a x＝N (a ＞0，a ≠1)，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数．记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对数式的书写格式：例如：将指数式化为对数式： ①42＝16，log 416＝2； ②102＝100，log 10100＝2； ③412＝2，log 42＝12；④10－2＝0.01，log 100.01＝－2．(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log 10N 简记为lg N ；(2)以无理数e ＝2.718 28…为底的对数，叫自然对数，并把自然对数log e N 简记为ln N . 例如：lg 5 ，lg 3.5是常用对数；ln 10，ln 3是自然对数．2．指数与对数的关系：设a ＞0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x . 对数式与指数式的互化如下表：log a N ＝x ⇔a x ＝N 对数式⇔指数式 对数底数←a →幂底数对数←x →指数 真数←N →幂数3.对数的性质．(1)在指数式中N >0，故零和负数没有对数，即式子log a N 中N 必须大于0； (2)设a ＞0，a ≠1，则有a 0＝1，∴log a 1＝0，即1的对数为0； (3)设a ＞0，a ≠1，则有a 1＝a ，∴log a a ＝1，即底数的对数为1. 4．对数恒等式．(1)如果把a b ＝N 中的 b 写成log a N ，则有：a log a N ＝N ； (2)如果把x ＝log a N 中的N 写成a x ，则有：log a a x ＝x . 5．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和．(2)log a MN＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差．(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例如：①lg(3×5)＝lg_3＋lg_5；②lg 5＋lg 2＝1；③ln e 2＝2． 6．几点注意：(1)对数的真数是多项式时，需将真数部分加括号，如lg(x ＋y )与lg x ＋y 的含义不同． (2)(lg M )n 与lg M n 的含义不同．(3)log 2[(－3)×(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是不成立的． (4)log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．(5)当心记忆错误：log a (MN )≠log a M ·log a N ；log a (M ±N )≠log a M ±log a N .7．对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．例如：log 35＝log a 5log a 3，其中a ＞0，且a ≠1.8．关于对数换底公式的证明方法有很多，可借助指数式证明对数换底公式． 例如：设a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0.求证：log a b ＝log c blog c a.证明：设log a b ＝x ，则b ＝a x .于是log c b ＝log c a x ，即x log c a ＝log c b .∴x ＝log c b log c a .∴log a b ＝log c blog c a.9．设a ＞0，b ＞0，且均不为1，由换底公式可加以求证： (1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝nmlog a b .例如：①log 23·log 32＝______________； ②log 89＝______________ .证明：(1)log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg alg b＝1.(2)log am b n＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n m log a b .①1 ②23log 23一、对数的概念指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 中，a 、b 、N 三者间的关系实质如下(a >0且a ≠1)： 项目 式子 a b N 意 义指数式 a b ＝N 底数 指数 幂a 的b 次幂等于N 对数式 log a N ＝b 底数 对数 真数 以a 为底N 的对数等于b 根式 a ＝b N方根数 根指数 被开方数 N 的b 次方根等 于a得到解决，求某些对数值就可以把它转化为指数问题．二、对数的运算性质(1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题． (3)对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值． (4)在计算真数是“ ± ”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”． (5)另外注意性质log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N 及log a N ＝log an N n (n ≠0，a >0，a ≠1，N >0)的应用．注意容易出错的几种现象：(1)对性质成立的条件把握不住．如log 2[(－4)×(－3)]是存在的，但log 2(－4)与log 2(－3)均不存在，故log 2[(－4)×(－3)]不能写成log 2[(－4)×(－3)]＝log 2(－4)＋log 2(－3)．(2)对数的运算性质特征要记牢，不要犯以下错误： log a (M ±N )＝log a M ±log a N ； log a (MN )＝log a M ·log a N ；log a MN＝log a M ÷log a N ；log a (M n )＝(log a M )n .基础巩固1．(2013·浙江卷)已知x 、y 为正实数，则(D )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 2．(log 29)·(log 34)＝(D) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.3．log (2＋1)(3－22)＝(C)A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：∵3－22＝(2－1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝(2＋1)－2，∴原式＝－2. 4．设log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5为(C )A ．p 2＋q 2 B.15(3p ＋2q )C.3pq 1＋3pqD ．pq 解析：由题知lg 3lg 8＝p ，∴p ＝lg 33lg 2，q ＝lg 5lg 3.∴lg 5＝q lg 3＝q (3p lg 2)＝3pq lg 105＝3pq (1－lg 5)，即：lg 5＝3pq －3pq lg 5，∴lg 5＝3pq1＋3pq.5．若y ＝log 56×log 67×log 78×log 89×log 910，则y ＝(B ) A ．1＋log 25 B ．1＋log 52C ．1－log 25D ．1－log 52解析：由题知y ＝lg 6lg 5·lg 7lg 6·lg 8lg 7·lg 9lg 8·lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝log 510＝1＋log 52.6．若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N ＋，则下列各式中恒成立的有2个． ①(log a x )n ＝n log a x ②(log a x )n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x ④log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y7．已知0<a <1，0<b <1，如果a log b (x －2)<1，则x 的取值范围是________． 解析：由0<a <1得log b (x －2)>0，由0<b <1得0<x －2<1⇒2<x <3. ★答案★：(2，3)8．x ＝log 23，4y ＝83，则x ＋2y 的值为________．解析：∵4y ＝83，∴22y ＝83.∴2y ＝log 283.∴x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.★答案★：39．若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，求a 的值．解析：由f (lg a )＝10得a lg a －12＝10，两边取常用对数得(lg a )2－12lg a ＝lg 10，即2(lg a )2－lg a －1＝0.∴lg a ＝1或lg a ＝－12.故a ＝10或1010.能力提升10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝(A) A ．1 B ．2 C ．5 D ．10解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.11．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(D )A.14B.12C ．1D ．2 解析：由韦达定理，lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.12．设a 、b 、c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，则(B ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2b D.2c ＝1a ＋2b解析：设3a ＝4b ＝6c ＝t ，则a ＝log 3t ，b ＝log 4t ，c ＝log 6t . ∴1a ＝log t 3，1b ＝log t 4，1c ＝log t 6. ∴2a ＋1b ＝log t 9＋log t 4＝2log t 6＝2c. 13．若2m ＝3n ＝36，则1m ＋1n＝________．解析：∵2m ＝3n＝36，∴m ＝log 236，n ＝log 336.从而：1m ＋1n ＝log 362＋log 363＝log 366＝12.★答案★：1214．(2013·上海卷)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．解析：去分母整理得32x －2·3x －8＝0⇒3x ＝4， ∴x ＝log 34.★答案★：log 3415．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝________． ★答案★：8116．计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64.解析：原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋（1－log 63）（1＋log 63）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.17．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得到根14、18；乙写错了常数c ，得到根12、64.求原方程的根．解析：原方程可变形为log 22x ＋b log 2x ＋c ＝0.由于甲写错了常数b ，得到的根为14和18，∴c ＝log 214·log 218＝6.由于乙写错了常数c ，得到的根为12和64，∴b ＝－⎝⎛⎭⎫log 212＋log 264＝－5. 故原方程为log 22x －5log 2x ＋6＝0.因式分解得(log 2x －2)(log 2x －3)＝0. ∴log 2x ＝2或log 2x ＝3， 即x ＝4或x ＝8.点评：此题取材与学生生活密切相关，将对数与一元二次方程结合．本题在解答时，利用了一元二次方程根与系数的关系，即⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1·x 2＝ca.已知二次项系数为1方程的根为x 1、x 2时，方程可写成(x －x 1)(x －x 2)＝x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.18．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求lg 2xy的值．解析：由lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )得xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，化为⎝⎛⎭⎫x y 2－5·x y＋4＝0，解得x y ＝4或x y ＝1.又∵x >0，y >0，x －2y >0，∴x y >2.故x y ＝4.∴log 2xy＝log 24＝log 2(2)4＝4.。
苏教版高中数学必修一同步课堂精练-3.2.1对数
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1．如果lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于________． 2．下列结论中，正确的序号是________．①lg2·lg3＝lg5；②lg 23＝lg9；③51log 2152=；④若log a M ＋N ＝b ，则M ＋N ＝a b (a ＞0且a ≠1)；⑤若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N .3．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n (a ＞0且a ≠1)则a 2m －n ＝________； (2)若a ＞0，2349a =，则23log a =________； (3)若5lg x ＝25，则x ＝________.4．已知lg(log 2x )＝0，7312log [log (log )]0y =，则log x y ＝________.5．已知log 7log 56m m a =，log n 8＝b log n 56(m 、n ＞0且m ≠1，n ≠1)，则a ＋b ＝________，17a =________. 6．(1)已知11.2a ＝1 000,0.011 2b ＝1 000，则11a b -=________. (2)若2a ＝5b ＝10，则11a b+=________. 7．求下列各式的值：(1)2log 525＋log 264－2 011log π1；(2)log 155·log 1545＋(log 153)2； (3)375111log log log 258149⋅⋅；(4)lg20lg0.717()2⨯； (5)2lg 5lg8000(lg 23)lg 0.06lg 6⋅++-；(6)28393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)+++．8．2015年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2015年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)参考答案 1.21a b b a++- 解析：∵lg2＝a ，lg3＝b ， ∴lg12lg3lg 4lg32lg 22.lg15lg3lg5lg31lg 21a b b a +++===++-+- 2．③⑤ 解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当log a (M ＋N )＝b 时，有M ＋N ＝a b ，∴④错；由log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，得log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ，即23log log M M N N =，上式只有当1M N=，即M ＝N 时成立，∴⑤正确． 3．(1)43(2)3 (3)100 解析：(1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3. ∴()22224.33m m m n n n a a a a a -==== (2)法一：∵a ＞0，2349a =，∴42log .93a = ∴222log .33a =，即21log .33a =，∴231log 3.2log 3a a == 法二：∵a ＞0，22342.93a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴22322332log log 23a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴232log 23a = ∴23log 3a = (3)∵5lg x ＝25＝52.∴lg x ＝2，x ＝102＝100.4．－3 解析：∵lg(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1，∴x ＝2， 又∵7312log log log 0y ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴312log log 1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12log 3y =，∴31128y ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ∴3221log log log 238x y -===-. 5．1 56 解析：由换底公式得56log 7log 7log 56m m a ==. 56log 8log 8log 56n n b ==，∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1.∵log 567＝a ，∴71log 56a =. ∴7log 5617756a==. 6．(1)1 (2)1 解析：(1)法一：用指数解：由已知得111.21000a =.10.01121000b =，两式相除得：1111.2100010000.0112a b -==， ∴111a b-=. 法二：用对数解．由题意，得a ×lg11.2＝3， b ×lg0.011 2＝3，∴()111lg11.2lg 0.011213a b -=-=. 法三：综合法解．∵11.2a ＝1 000,0.011 2b ＝1 000，∴a ＝log 11.21 000，b ＝log 0.011 21 000.∴100010001000100011.20.0112111111.2log 11.2log 0.0112log log 10001log 1000log 10000.0112a b -=-=-===(2)法一：由2a ＝5b ＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510， ∴251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 法二：对已知条件的各边取常用对数，得a lg2＝b lg5＝1，∴1lg 2a =，1lg5b =， ∴11lg 2lg5lg101a b+=+==. 7．解：(1)原式＝2log 552＋log 226－2011×0＝4＋6－0＝10.(2)原式＝log 155(1＋log 153)＋(log 153)2＝log 155＋log 153(log 155＋log 153)＝log 155＋log 153＝log 1515＝1.[或原式＝(1－log 153)(1＋log 153)＋(log 153)2＝1－(log 153)2＋(log 153)2＝1](3)原式111lglg lg 2lg54lg32lg 7258149lg3lg 7lg5lg3lg 7lg5---=⋅⋅=⋅⋅＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16. (4)设lg0.7lg20172x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则1lg lg 20lg 7lg 0.7lg 2x =⋅+⋅＝(1＋lg2)lg7＋(lg7－1)(－lg2)＝lg7＋lg2＝lg14.∴x ＝14，即lg0.7lg2017142⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.(5)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg 22－2＝3(1－lg 22)＋3lg 22－2＝3－2＝1.(6)原式2233323235915log 3log 32log 2log 2log 2log 3log 232322⎛⎫⎛⎫=+++=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 8．解：设经过x 年后国民生产总值是2015年的2倍．经过1年，总产值为a (1＋8%)，经过2年，总产值为a (1＋8%)2，……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x .由题意得a (1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2.方法一：两边取常用对数，得lg1.08x ＝lg2，即()lg 20.30109lg1.080.0334x =≈≈年． 方法二：用换底公式．∵1.08x ＝2，∴ ()1.08lg 2log 29lg1.08x ==≈年． 答：约经过9年，国民生产总值是2015的两倍．。
苏教版高一数学必修1课后导练：3.2.1对数的概念 Word版含解析
课后导练基础达标1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）A.100=1与lg1=0B.3127-=31与log 2731=-31 C.log 39=2与219=3D.log 55=1与51=5答案：C2.下列说法中错误的是（ ）A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可以化为对数式C.以10为底的对数叫做常用对数D.以e 为底的对数叫做自然对数解析：不是所有的指数式都可化为对数式，如（-5）2=25就不能转换，再如（-5）-2=251. 答案：B3.若lg ［log 2(lgx)］=0,则41-x 的值等于（ ）A.100B.10C.0.01D.1010 解析：∵lg1=0,∴log 2(lgx)=1,∴lgx=2,∴x=100. ∴41100-=41001=101=1010. 答案：D4.若log x 3y =z,则x 、y 、z 之间的关系满足（ ） A.y 3=x z B.y=x 3z C.y=7x z D.y=z 7x解析：由题意，得x z =3y =31y ,∴(x z )3=y,∴y=x 3z .答案：B5.以下四个结论中正确的是（ ）①lg(lg10)=0 ②lg(lne)=0 ③若10=lgx,则x=10 ④若e=lnx,则x=e 2A.①③B.②④C.①②D.③④ 解析：lg10=1,lne=1，∴①②正确.若10=lgx,则x=1010.若e=lnx ，则x=e e ，③④错误. 答案：C6.若log 3(921x -)=1,则x=____________.解析：log 3(921x -)=1,∴921x -=3， ∴1-2x=27，∴x=-13.答案：-137.log 6［log 4(log 381)］=__________________.解析：log 6［log 4(log 381)］=log 6(log 44)=log 61=0.答案：08.(1)要使log 3(3-4x)有意义，求x 的取值范围；（2）要使log (2-3x)3有意义，求x 的取值范围.解析：（1）由题意得3-4x>0,∴x<43. (2)2-3x>0，且2-3x ≠1, ∴x<32且x ≠31. 9.当底数是2时，求8的对数.解析：设所求的对数为x ，则2log8=x, ∴(2)x =8,∴22x =23, ∴2x =3， ∴x=6,故2log8=6. 10.试证明N a a log =N(对数恒等式)(a>0且a ≠1,N>0).证明：令a x =N ①,则x=log a N ②,把②式代入①式，则N a a log =N.综合训练11.给出三个命题，其中正确的命题是…（ ）①对数的真数是非负数 ②若a>0且a ≠1，则log a 1=0 ③若a>0且a ≠1，则log a a=1A.①②B.②③C.①③D.①②③ 解析：因对数的真数大于0，所以①错误，可排除A 、C 、D 选项.故选B.答案：B12.若N=（-a ）2,(a<0),则有（ ）A.log 2N=-aB.log 2(-a)=NC.log n (-a)=2D.log (-a)N=2 答案：D13.设f(10x )=x,则f(100)=_________________.解析：f(100)=f(102),∵f(10x )=x,∴f(102)=2.答案：214.设f(x)=⎩⎨⎧+∞∈-∞∈-),,1(,log ],1,(,281x x x x 则满足f(x)=41的x 的值为_____________. 解析：当x ∈(-∞,1)时，2-x =41=2-2,∴-x=-2, 而x=2不在（-∞,1）范围内，∴x=2舍去；当x ∈(1,+∞)时，log 81x=41， ∴4181=x ，∴x=3满足条件.答案：315.求满足log x y=1的y 与x 的函数关系式，并作出其图象.解析：根据对数的定义有y>0,x>0且x ≠1.∵log x y=1,∴x 1=y,即y=x.函数图象见右图，它是第一象限的角平分线，去掉（0，0）和（1，1）两点. 拓展提升16.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a ,a}是否存在a 的值使M ∩N={1}?解析：不存在a 的值使M ∩N={1}.事实上，若lga=1,则a=10，此时11-a=1,从而11-a=lga=1,与集合元素的互异性矛盾；若2a =1，则a=0,此时lga 无意义；若a=1，此时lga=0,从而M ∩N={0,1}与条件不符；若11-a=1，则a=10，从而lga=1,与元素的互异性矛盾.。
苏教版数学高一苏教版必修1学案3.2.1对数的概念
课堂导学三点剖析一、对数的定义【例1】 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式：(1)3x =271;(2)215=51;(3)x=log 2791. 答案：(1)log 3271=x;(2)log 551=-21;(3)27x = 91. 温馨提示(1)由对数定义，指数式a x =N 与log a N=x(a>0且a ≠1)可相互转化，因此本题容易完成转化.但是要注意两种表示形式中a 、x 、N 的相应位置.(2)x=log a N 实质上是N=a x 的另一种表示形式.二、对数概念的应用【例2】 求下列各式中的x 值： (1)x=161log 21; (2)21log x=-4;(3)log x 8=-3.解析：(1)把x=21log 161化成(21)x =161, 即(21)x =(21)4, ∴x=4. (2)把21log x=-4化为x=(21)-4=16. (3)把log x 8=-3化为x -3=8，即x=318 =21. 温馨提示对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可利用对数式和指数式的互化求出另外一个.三、对数的实际应用【例3】 一种放射性元素，最初质量为500 g ，按每年10%衰减.（1）求t 年后，这种放射性元素质量s 的表达式；（2）根据求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期.（精确到十分位）解析：（1）最初的质量为500 g.经过1年，s=500（1-10%）=500×0.9,经过2年，s=500×0.92,由此类推，t 年后，s=500×0.9t .(2)解方程：500×0.9t =250. 0.9t =0.5.lg0.9t =lg0.5,tlg0.9=lg0.5,t=9.0lg 5.0lg ≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为6.6年.温馨提示利用对数的定义解决有关的实际问题，有一定的能力要求，在解题过程中，要领会在什么时候取对数，怎样取对数，取了对数以后又怎样运算这些常见的问题.各个击破类题演练 1将下列指数形式化成对数形式：（1）54=625；（2）3-2=91.解析：（1）∵54=625，∴log 5625=4.(2)∵3-2=91,∴log 391=-2.变式提升 1将下列对数式化为指数式：（1）log 216=4；(2)log x 64=-6.答案：（1）24=16.（2）x -6=64.类题演练 2求下列各式中的x.（1）log 8x=-32;(2)log x 27=43.答案：（1）由log 8x=-32,得x=328-=323)2(-=2-2,即x=21.(2)由log x 27=43,得43x =27,即43x =33,故x=343)3(=34=81.变式提升 2(1)求log 84的值.（2）已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解析：（1）设log 84=x,根据对数的定义有8x =4.即23x =22,∴x=32,即log 84=32.(2)∵log a 2=m,log a 3=n,∴a m =2,a n =3,则a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12.类题演练 3生物死亡后，体内的碳-14含量P 的衰变规律是P=5730)21(t .湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳-14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代.解析：由对数与指数的关系，指数式P=5730)21(t 可写成对数式t=5 73021log P. 湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14的残留量约占原始含量的76.7%，即P=0.767,那么t=5 73021log 0.767.由计算器可得t ≈2 193.所以，马王堆古墓约是2 100多年前的遗址.变式提升 3某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）.解析：（1）x 年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x .(2)10年后人口数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).。
(苏教版)高一数学必修一配套练习：2.3.1对数的概念
苏教版高中数学必修1- 3.2.1第一课时 对数的概念 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.若log a 1＝0，则a 需要满足的条件是________． 解析：由于log a 1＝0，a 是底数，所以a >0且a ≠1. 答案：a >0且a ≠12.若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是________．解析：x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5＞0，x －1＞0，x －1≠1，∴x ＞54且x ≠2. 答案：x ＞54且x ≠2 3.若log 4x ＝－12，则x ＝________． 解析：log 4x ＝－12即4－12＝x ，∴x ＝12. 答案：124.已知log a 8＝－3，则a 等于________．解析：由于log a 8＝－3，则a －3＝8＝(12)－3，所以a ＝12. 答案：125.下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④由log 25x ＝12，得x ＝±5. 其中，正确的有________(填序号)．解析：lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确； lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；由log 25x ＝12，得x ＝2512＝5，④错误． 答案：①②6.若2log 3x ＝14，则x 等于________． 解析：∵2log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19. 答案：19二、解答题7.(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000； ②0.53＝0.125； ③(2－1)－1＝2＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0； ②log 30.8＝－0.203 1； ③lg 3＝0.477 1.解：(1)①lg11 000＝－3；②log 0.50.125＝3； ③log (2－1)(2＋1)＝－1.(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.8.求下列各式的值．(1)log 93；(2)log 20.25；(3)log 933；(4)log 0.532.解：(1)令log 93＝x ，则9x ＝3，即32x ＝3，∴2x ＝1，∴x ＝12，即log 93＝12. (2)令log 20.25＝x ，则2x ＝0.25，即2x ＝2－2，∴x ＝－2，即log 20.25＝－2. (3)令log 933＝x ，则9x ＝33，即32x ＝313.∴2x ＝13，∴x ＝16，即log 933＝16. (4)令log 0.532＝x ，则0.5x ＝32，即(12)x ＝213， ∴2－x ＝213，∴x ＝－13，即log 0.532＝－13. [高考水平训练]一、填空题1.若a ＞0，a 23＝49，则log 23a ＝________． 解析：∵a 23＝49，∴a ＝(49)32＝[(23)2]32＝(23)3，log 23a ＝log 23(23)3＝3.答案：32.若log 4{2log 2[1＋log 2(1＋log 2x )]}＝12，则x ＝________. 解析：由原等式，得2log 2[1＋log 2(1＋log 2x )]＝412＝2， 所以log 2[1＋log 2(1＋log 2x )]＝1. 所以1＋log 2(1＋log 2x )＝2. 故log 2(1＋log 2x )＝1，所以1＋log 2x ＝2. 所以log 2x ＝1，所以x ＝2. 答案：2二、解答题3.已知a >0且a ≠1，log a 2＝m ，log a 3＝n . 求a 2m ＋n 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m log a 3＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m ＋n ＝4×3＝12. 4.计算下列各式：(1)22log25；(2)2－log23；(3)log 39；(4)log 216. 解：(1)22log25＝(2log25)2＝52＝25.(2)2－log23＝(12)log23＝12log23＝13. (3)log 39＝log 332＝2log 33＝2.(4)log 216＝log 2(2)8＝8log 22＝8.。
苏教版数学必修一同步练习：3.2 3.2.1 第1课时 对数的概念 巩固训练
[学生用书P109(单独成册)])[A 基础达标]1．如果a 3＝N (a ＞0，a ≠1)，则有( )A ．log 3N ＝aB ．log 3a ＝NC ．log a N ＝3D ．log a 3＝N答案：C2．log a b ＝1成立的条件是( )A ．a ＝bB ．a ＝b 且b ＞0C ．a ＞0，a ≠1D ．a ＞0，a ＝b ≠1答案：D3．已知log 2x ＝3，则x －12等于( )A.13B ．123 C.133D ．24 解析：选D.因为log 2x ＝3，所以x ＝23＝8.所以x －12＝8－12＝122＝24. 故选D.4．已知log x 16＝2，则x 等于( )A ．±4B ．4C ．256D ．2解析：选B.因为log x 16＝2，所以x 2＝16，即x ＝±4，又因为x ＞0且x ≠1，所以x ＝4. 5．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n 等于( ) A ．3 B ．34C ．9D ．92 解析：选D.由已知得a m ＝12，a n ＝3. 所以a m ＋2n ＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝12×32＝92.故选D. 6.已知x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则log x (y x )的值是________．解析：因为x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，所以(x －2)2＋(y －1)2＝0, 即x ＝2且y ＝1，故log x (y x )＝log 21＝0.答案：07．若a ＞0，a 2＝49，则log 23a ＝________． 解析：由a ＞0，a 2＝49，可知a ＝23， 所以log 23a ＝log 2323＝1. 答案：18．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤1，log 81x ，x ＞1，则满足f (x )＝14的x 的值为________． 解析：由题意得①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－x ＝14或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，log 81x ＝14， 解①得x ＝2，与x ≤1矛盾，故舍去，解②得x ＝3，符合x ＞1.所以x ＝3.答案：39．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值． 解：因为log 12x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为log 14y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4. 所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －（2m ＋4）＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 10.求下列各式的值．(1)log 93；(2)log 20.25；(3)log 933；(4)log 0.532.解：(1)令log 93＝x ，则9x ＝3，即32x ＝3，所以2x ＝1，所以x ＝12，即log 93＝12. (2)令log 20.25＝x ，则2x ＝0.25，即2x ＝2－2，所以x ＝－2，即log 20.25＝－2.(3)令log 933＝x ，则9x ＝33，即32x ＝313.所以2x ＝13，所以x ＝16，即log 933＝16. (4)令log 0.532＝x ，则0.5x ＝32，即⎝⎛⎭⎫12x ＝213， 所以2－x ＝213，所以x ＝－13， 即log 0.532＝－13. [B 能力提升]1．若log 2[log 12(log 2x )]＝log 3[log 13(log 3y )]＝log 5[log 15(log 5z )]＝0，则x ，y ，z 的大小关系是________．解析：由log 5[log 15(log 5z )]＝0，得log 15(log 5z )＝1，log 5z ＝15，z ＝515＝(56)130， 由log 3[log 13(log 3y )]＝0，得log 13(log 3y )＝1，log 3y ＝13，y ＝313＝(310)130. 又由log 2[log 12(log 2x )]＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝212＝(215)130. 因为310＞215＞56，所以y ＞x ＞z .答案： z ＜x ＜y2．若log 4{2log 2[1＋log 2(1＋log 2x )]}＝12，则x ＝________. 解析：由原等式，得2log 2[1＋log 2(1＋log 2x )]＝412＝2，所以log 2[1＋log 2(1＋log 2x )]＝1.所以1＋log 2(1＋log 2x )＝2.故log 2(1＋log 2x )＝1，所以1＋log 2x ＝2.所以log 2x ＝1，所以x ＝2.答案：23．已知a >0且a ≠1，log a 2＝m ，log a 3＝n .求a 2m ＋n 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m ，log a 3＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝2，a n ＝3. 所以a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝4×3＝12.4．(选做题)设M ＝{0，1}，N ＝{lg a ，2a ，a ，11－a }，是否存在实数a ，使M ∩N ＝{1}? 解：不存在实数a ，使M ∩N ＝{1}．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾；若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义；若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0，1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾．综上，不存在实数a ，使M ∩N ＝{1}．由Ruize收集整理。
最新【苏教版】高一数学必修一：3.2.1《对数》同步练习(含答案)
最新教学资料·苏教版数学2.3 对数函数2．3.1 对数1．下列指数式与对数式的互化中，正确的个数是__________． ①100＝1与lg1＝0 ②27－13＝13与log 2713＝－13③log 39＝2与912＝3④log 55＝1与51＝5 ⑤lnx ＝2与x 2＝e2．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④3log 3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为__________．3．(1)已知log x 116＝－4，则x ＝__________；(2)若5lgx ＝25，则x ＝__________.4．式子log a na ＋log a 1a n ＋log a 1na (a ＞0且a ≠1)的化简结果是__________．5．方程9x －6·3x －7＝0的解是__________．6．(1)4log 23＝__________；(2)log 3264＝__________.7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x>0，3x ， x ≤0，则f(f(19))的值是__________．8．下列结论中，正确的序号是__________．①lg2·lg3＝lg5 ②lg 23＝lg9 ③5log 512＝12④若log a M ＋N ＝b ，则M ＋N ＝a b (a>0且a ≠1) ⑤若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N9．(1)已知log 23＝a ，log 25＝b ，则log 295＝__________(用a ，b 表示)；(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 1456＝__________(用a ，b 表示)． 10．若a ＞0，a 23＝49，则log 23a ＝__________.11．(易错题)对于a>0且a ≠1，下列说法中，正确的序号为__________．①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 212．求下列各式的值： (1)log 26－log 23； (2)lg5＋lg2； (3)log 23·log 27125·log 58.13．求下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)813－log 23；(3)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2×lg5.14．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lg 45的值．15．有以下四个结论： ①lg(lg10)＝0； ②ln(lne)＝0；③若10＝lgx ，则x ＝100； ④若e ＝lnx ，则x ＝e 2.其中正确的序号是__________．16．已知a>0且a ≠1，则下列等式中正确的个数是__________． ①log a (M ＋N)＝log a M ＋log a N(M>0，N>0) ②log a (M －N)＝log a M －log a N(M>0，N>0) ③log a M log a N ＝log a MN(M>0，N>0) ④logaM －log a N ＝log a MN(M>0，N>0)17．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ∈(0，＋∞)，x 2，x ∈(－1，0]，－2x ＋3，x ∈(－∞，－1]，则f{f[f(－2－3)]}＝__________.18．(1)若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝__________；(2)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ， x ∈(－∞，1]，log 81x ， x ∈(1，＋∞)，则满足f(x)＝14的x 值为__________．19．已知11.2a ＝1 000,0.011 2b ＝1 000，那么1a －1b＝__________.20.已知log 12(log 2x)＝log 13(log 3y)＝1，则x ，y 的大小关系是__________．21．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n(a>0且a ≠1)，则a 2m －n ＝__________；(2)已知f(x 6)＝log 2x ，那么f(8)的值为__________．22．已知log m 7log m 56＝a ，log n 8＝blog n 56(m 、n ＞0且m ≠1，n ≠1)，则a ＋b ＝__________，71a＝__________. 23．已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2444)的值等于__________． 24．(1)式子2(1＋12log 25)的值为__________．(2)lg5·lg8 000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6＝________. (3)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝__________.(4)lg4＋lg9＋2(lg6)2－2lg6＋1＝________.(5)2lg5＋23lg8＋lg5·lg20＋lg 22＝__________.(6)log 2125·log 38·log 1527＝__________.25．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．26．(易错题)(1)已知log89＝a，log25＝b，试用a，b表示lg3；(2)已知log32＝a,3b＝5，用a、b表示log330；(3)已知log189＝a,18b＝5，则用a、b表示log3645.27．2009年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2009年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)28．已知常数a(a>0且a≠1)，变量x，y之间有关系：log a x＋3log x a－log x y＝3，若y 有最小值8，求a的值．29．已知a>0且a≠1，若log2a＋log a8＝4，则(1)判断函数f(x)＝x a＋3的奇偶性；(2)计算log a27·log364的值；(3)判断函数g(x)＝a x的单调性．答案与解析基础巩固1．3 ∵log 39＝232＝9,912＝3log 93＝12，∴③不正确；∵lnx ＝2e 2＝x ，x 2＝e log x e ＝2，∴⑤不正确； ①②④都正确．2．2 ①③正确；②错误，如(－1)2＝1，不能写成对数式；④错误，因为log 3(－5)无意义．3．(1)2 (2)100 (1)将已知化为指数式得x －4＝116，∴x 4＝16＝24.又x ＞0且x ≠1，∴x ＝2. (2)∵5lgx ＝25＝52，∴lgx ＝2.∴x ＝102＝100.4．－n 原式＝log a a 1n ＋log a a －n ＋log a a －1n ＝1n log a a －nlog a a －1n log a a ＝1n －n －1n ＝－n.5．log 37 9x －6·3x －7＝(3x )2－6·3x －7＝0，令t ＝3x ＞0，则有t 2－6t －7＝0，解得t＝7(t ＝－1＜0舍去)，∴3x ＝7.∴x ＝log 37为原方程的解．6．(1)9 (2)65 (1)4log 23＝22log 23＝2log 232＝32＝9.(或4log 23＝4log 2232＝4log 49＝9)(2)log 3264＝log 264log 232＝65(或log 3264＝lg64lg32＝6lg25lg2＝65)．7.19 ∵19＞0， ∴f(19)＝log 319＝log 33－2＝－2，∵－2＜0，∴f(－2)＝3－2＝19.∴f(f(19))＝f(－2)＝19.8．③⑤ 由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确； 当log a (M ＋N)＝b 时，有M ＋N ＝a b ，∴④错；由log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，得log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ， 即log 2M N ＝log 3M N ，上式只有当MN ＝1，即M ＝N 时成立，∴⑤正确．9．(1)2a －b (2)3＋ab 1＋ab (1)log 295＝log 29－log 25＝log 232－log 25＝2a －b.(2)方法一：由log 23＝a ，log 37＝b ，得log 23·log 37＝ab ， ∴lg3lg2·lg7lg3＝lg7lg2＝log 27＝ab. ∴log 1456＝log 256log 214＝log 2(7×8)log 2(2×7)＝log 27＋log 28log 27＋log 22＝ab ＋3ab ＋1.方法二：∵log 23＝a ， ∴log 32＝1log 23＝1a .又log 37＝b ，∴log 1456＝log 356log 314＝log 37＋log 38log 37＋log 32＝b ＋31a b ＋1a＝ab ＋3ab ＋1.10.3 方法一：∵a ＞0，a 23＝49，∴log a 49＝23.∵log a 49＝log a (23)2＝2log a 23＝23，∴log a 23＝13.∴log 23a ＝1log a23＝3.方法二：∵a 23＝49＝(23)2，∴log 23a 23＝log 23(23)2＝2.∴23log 23a ＝2.∴log 23a ＝3. 11．② 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立；在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M>0，N>0，且M ＝N ，∴M ＝N 成立；在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M|＝|N|，但未必有M ＝N ，例如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N ；在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．∴只有②正确．点评：应用对数的定义及性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，所以在用公式前要特别注意它成立的前提条件，如lgMN ＝lgM ＋lgN ，只有当M>0，N>0时成立，若M<0，N<0，则MN>0，此时lgMN 有意义，但lgM 与lgN 均无意义，∴lgMN ＝lgM ＋lgN 就不成立．此类题看起来简单，其实做好不易，因为只有每小题都判断准确，才能做对答案，若稍微马虎就会出错，因此要切实打牢基础，把知识学透学好．12．解：(1)log 26－log 23＝log 263＝log 22＝1；(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1； (3)log 23·log 27125·log 58 ＝lg3lg2×lg125lg27×lg8lg5 ＝lg3lg2×3lg53lg3×3lg2lg5＝3. 13．解：(1)方法一：原式＝12(log 27－log 248)＋log 24＋log 23－12log 26－12log 27＝－12log 2(16×3)＋2＋log 23－12log 2(2×3)＝－12log 216－12log 23＋2＋log 23－12－12log 23＝－12×4＋2－12＝－12. 方法二：原式＝log 2(748×12×142) ＝log 27×12×143×7×6＝log 212＝log 22－12＝－12.(2)原式＝(23)(13－log 23)＝21－3log 23＝21－log 227＝22log 227＝227.(3)方法一：(运用立方和公式)原式＝(lg2＋lg5)(lg 22－lg2×lg5＋lg 25)＋3lg2×lg5＝lg 22－lg2×lg5＋lg 25＋3lg2×lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.方法二：(由lg2＋lg5＝1，得lg2＝1－lg5，再用两数差的立方公式)原式＝(1－lg5)3＋(lg5)3＋3(1－lg5)lg5＝1－3lg5＋3lg 25－lg 35＋lg 35＋3lg5－3lg 25＝1.14．解：方法一：lg 45＝12lg45＝12lg 902＝12(lg9＋lg10－lg2)＝12(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋12－12lg2 ＝0.477 1＋0.5－12×0.301 0＝0.826 6.方法二：lg 45＝12lg45＝12(lg5＋lg9)＝12(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋12－12lg2＝0.826 6.法三：设lg 45＝x ，即12lg45＝x ，∴lg45＝2x. ∴102x ＝45.∵lg2＝1－lg5＝0.301 0， ∴lg5＝0.699 0. ∴100.699 0＝5.① 又lg3＝0.477 1， ∴100.477 1＝3.∴(100.477 1)2＝32＝9.②由①×②得100.699 0×102×0.477 1＝5×9＝45＝102x ， ∴0.699 0＋2×0.477 1＝2x. ∴x ＝0.826 6.能力提升15．①② ①lg(lg10)＝lg1＝0，②ln(lne)＝ln1＝0，∴①②正确； ∵10＝lgx ，∴x ＝1010，∴③不正确； ∵lnx ＝e ，∴x ＝e e .∴④不正确．16．1 对比对数的运算性质知①②③错，④正确． 17．－4 f(－2－3)＝－2－2－3＋3＝－2－2＝－14，f(－14)＝(－14)2＝116，f(116)＝log 2116＝－4.18．(1)125 (2)3 (1)∵log 513·log 36·log 6x ＝lg13lg5×lg6lg3×lgx lg6＝2，即－lgxlg5＝2，∴lgx ＝－2lg5＝lg5－2＝lg 125.∴x ＝125.(或由－lgxlg5＝2，得－log 5x ＝2，即log 5x ＝－2，∴x ＝5－2＝125)． (2)当x ≤1时，f(x)＝2－x ＝14＝2－2，∴x ＝2与x ≤1矛盾(舍去)；当x ＞1时，f(x)＝log 81x ＝14，∴x ＝8114＝(34)14＝3，符合x ＞1，∴x ＝3.19．1 方法一：用指数解．由题意11.2＝1 0001a ，0.011 2＝1 0001b ，∴两式相除得1 0001a －1b＝11.20.011 2＝1 000. ∴1a －1b＝1. 方法二：用对数解．由题意，得a ×lg11.2＝3， b ×lg0.011 2＝3，∴1a －1b ＝13(lg11.2－lg0.011 2)＝1.方法三：综合法解．∵11.2a ＝1 000,0.011 2b ＝1 000， ∴a ＝log 11.21 000，b ＝log 0.011 21 000. ∴1a －1b ＝1log 11.21 000－1log 0.011 21 000＝log 1 00011.2－log 1 0000.011 2 ＝log 1 00011.20.011 2＝log 1 0001 000＝1.20．x<y ∵log 12(log 2x)＝1，∴log 2x ＝12，x ＝ 2.又log 13(log 3y)＝1，∴log 3y ＝13.∴y ＝33.∵2＝623＝68<69＝632＝33， ∴x<y.21．(1)43 (2)12 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3. ∴a2m －n＝a 2m a n ＝(a m )2a n ＝223＝43. (2)方法一：设t ＝x 6，则x ＝t 16，∴f(t)＝log 2t 16.∴f(8)＝log 2816＝log 2212＝12.方法二：∵8＝23＝(2)6，∴f(8)＝f((2)6)＝log 22＝12(即令已知中的x ＝2)．22．1 56 由换底公式得log m 7log m 56＝log 567＝a ，b ＝log n 8log n 56＝log 568，∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1. ∵log 567＝a ，∴1a ＝log 756.∴71a＝7log 756＝56.23．2 009 ∵f(3x )＝4xlog 23＋233. ∴f(3x )＝4log 23x ＋233， ∴f(x)＝4log 2x ＋233.∴f(2n )＝4log 22n ＋233＝4n ＋233，令n ＝444，则f(2444)＝4×444＋233＝2 009. 24．(1)25 (2)1 (3)1 (4)2 (5)3 (6)18(1)方法一：原式＝21＋log 25＝2log 22＋log 25＝2log 225＝2 5. 方法二：原式＝21·212log 25＝2·2log 25＝2 5.(2)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg 22－2＝3(1－lg 22)＋3lg 22－2＝3－2＝1.(3)方法一：由2a ＝5b ＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg2＋lg5＝lg10＝1. 方法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1， ∴1a ＝lg2，1b＝lg5. ∴1a ＋1b＝lg2＋lg5＝lg10＝1. (4)原式＝2lg2＋2lg3＋2(lg6－1)2＝2(lg2＋lg3)＋2(1－lg6)＝2lg6＋2－2lg6＝2. (5)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋lg 22 ＝lg 25＋2lg5·lg2＋lg 22＋2(lg5＋lg2)＝(lg5＋lg2)2＋2lg10＝lg 210＋2×1 ＝1＋2＝3.(6)原式＝lg125lg2×lg8lg3×lg27lg 15＝2lg15lg2×3lg2lg3×3lg3lg 15＝18. 25．解：∵二次函数f(x)有最大值， ∴lga<0.又当x ＝－1lga 时，f(x)有最大值，且f(x)max ＝16lg 2a －44lga ＝4lga －1lga＝3，∴4lg 2a －3lga －1＝0.令t ＝lga ，则方程为4t 2－3t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－14，即lga ＝1或lga ＝－14.∵lga<0，∴lga ＝－14. ∴a ＝10－14. 26．解：(1)方法一：∵log 89＝log 2332＝23log 23＝a ，∴log 23＝32a. ∴lg3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝32a 1＋b ＝3a 2(b ＋1). 方法二：∵log 89＝lg9lg8＝lg32lg23＝2lg33lg2＝a ， ∴lg3＝32alg2.① 又∵log 25＝lg5lg2＝1－lg2lg2＝b ， ∴lg2＝1b ＋1，代入①式得lg3＝32a·1b ＋1＝3a 2(b ＋1). (2)∵3b ＝5，∴b ＝log 35.又∵log 32＝a ，∴log 330＝12log 3(2×3×5) ＝12(log 32＋log 33＋log 35) ＝12(a ＋b ＋1)． (3)∵18b ＝5，∴log 185＝b.又log 189＝a ，∴log 182＝1－log 1819＝1－a ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b 1＋1－a ＝a ＋b 2－a. 点评：(1)题中已知与未知底数不同，所以为了求出未知，就要利用换底公式，将未知换成已知的底数(如方法一)，或都换成常用对数(如方法二)，以利于问题的解决．(2)用已知对数表示新的未知对数，一般方法是运用对数的运算法则及有关公式，将所求对数式转化为含有已知对数式的代数和的形式．只有将未知对数式的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，才好利用运算性质，但要注意运算性质只有在同底的情况下才能运用，当底数不同时，要用换底公式，一般要换成已知对数的底数(如第(3)小题)．27．解：设经过x 年后国民生产总值是2009年的两倍．经过1年，总产值为a(1＋8%)，经过2年，总产值为a(1＋8%)2，……经过x 年，总产值为a(1＋8%)x .由题意得a(1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2.两边取常用对数，得lg1.08x ＝lg2，即x ＝lg2lg1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)． (可由换底公式，得x ＝log 1.082＝lg2lg1.08.) 答：约经过9年，国民生产总值是2009年的2倍．拓展探究28．解：log a x ＋3log x a －log x y ＝3，∴log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3，log a y ＝log 2a x －3log a x ＋3. ∴y ＝a[(log a x)2－3log a x ＋3]＝a[(log a x －32)2＋34]． 当log a x ＝32时，(log a x －32)2＋34有最小值34，∴当y 有最小值时，a>1.从而y min ＝a 34＝8. ∴a ＝843＝24＝16. 29．解：∵log a 8＋log 2a ＝4，∴3log a 2＋log 2a ＝4.∴log 22a －4log 2a ＋3＝0.(log 2a －1)(log 2a －3)＝0，即log 2a ＝1或log 2a ＝3.∴a ＝2或a ＝8.(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3是偶函数；当a ＝8时，f(x)＝x 8＋3也是偶函数．∴f(x)＝x a ＋3为偶函数．(2)当a ＝2时，原式＝log 227×log 364＝lg27lg2×lg64lg3＝3lg3lg2×6lg2lg3＝18； 当a ＝8时，原式＝log 827×log 364＝lg27lg8×lg64lg3＝3lg3lg8×2lg8lg3＝6. (3)∵g(x)＝2x 或g(x)＝8x ，且2与8都大于1，∴g(x)＝a x 在R 上是增函数．。
精选高中数学第2章函数2.3.1对数第1课时对数的概念课时作业苏教版必修1
2．3.1 对 数 第1课时 对数的概念课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．1．对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即________，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作__________．其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做________，以e 为底的对数叫做________，log 10N 可简记为________，loge N 简记为________． 3．对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x＝N ⇔log a N ＝____.对数恒等式：log a Na ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质(1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数________．一、填空题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为________．2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是________．(填序号)3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是_____________________________．4．方程3log 2x＝14的解集是________．5．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是________．①b ＝a 5c ；②b 5＝a c ；③b ＝5a c ；④b ＝c 5a.6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为________．7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________. 8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a＝________. 二、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1； ③lg 3＝0.477 1.11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A＝12x ⎡⎢⎢⎢⎣的值．能力提升12．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是________． 13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a N a ＝N .2．在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．指数式与对数式的互化§2.3 对数函数 2．3.1 对 数 第1课时 对数的概念知识梳理1．a b＝N log a N ＝b 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数 lg N ln N 3.xNx 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数 作业设计 1．3解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x＝N 才能化为对数式． 2．①②解析 ∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确； ∵ln e ＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x ＝10，得1010＝x ，故x ≠100，故③错误；由e ＝ln x ，得e e ＝x ，故x ≠e 2，所以④错误． 3．2<a <3或3<a <5解析 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a －2>0，a －2≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <5，a >2，a ≠3⇒2<a <3或3<a <5.4．{x |x ＝19}解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．①解析 由log a 5b ＝c ，得a c＝5b ，∴b ＝(a c )5＝a 5c. 6．8解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12)－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.7.24解析 由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8，∴128-＝1218＝18＝122＝24. 8．3解析 由题意得：log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3， 又∵x >0，∴x ＝3. 9.110解析 依据a x＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1)，有a ＝102.431 0，b ＝101.431 0，∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 10．解 (1)①lg 11 000＝－3；②log 0.50.125＝3；③log 2－1(2＋1)＝－1.(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.11．解 A ＝12x ·11622xy -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝51213x y .又∵x ＝a 4，y ＝a 5，∴A ＝5353a a＝1.12．45解析 由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 5＝n ，得a n＝5. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.13．解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x －13＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a3.③由36a ＝2得32a＝6，所以log 26＝3a.。
2019—2020年苏教版高中数学必修一《对数》课时练习1及答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一3.2.1 对数（二）课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．1．对数的运算性质如果a>0，且a ≠1，M>0，N>0，那么： (1)log a (MN)＝________； (2)log a MN ＝___________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R)． 2．对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a>0，且a ≠1，b>0，c>0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a>0，且a ≠1，b>0，且b ≠1)．一、填空题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y)； ②(log a x)n ＝nlog a x ； ③log a x n＝log a n x ；④log a xlog a y＝log a x －log a y. 2．计算：log 916·log 881的值为__________． 3．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________.4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b＝2，则A ＝________. 5．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝________(用a 、b 表示)．6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg ab)2的值为________．7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝______________.8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 二、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b的值．11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(log a b＋log b a)的值．能力提升12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：组号一二三四五六七x 0.301030.477110.698970.778150.903091.000001.0791810x 2 3 5 6 8 10 12假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)1．在运算过程中避免出现以下错误： log a (MN)＝log a M ·log a N. log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N)n .log a M ±log a N ＝log a (M ±N)．2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式： log a b ＝log c blog c a (a>0且a ≠1，c>0且c ≠1，b>0)．由对数换底公式又可得到两个重要结论： (1)log a b ·log b a ＝1； (2)log n ma b ＝mnlog a b.3．对于同底的对数的化简常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．第2课时 对数运算知识梳理1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)nlog a M 2.1 作业设计 1．③ 2.83解析 log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.3.125解析 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 4.15解析 ∵3a ＝5b ＝A>0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A.由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.5.3a2(b ＋1)解析 ∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝a.∴log 23＝32a.lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a2(b ＋1).6．2解析 由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2， lg alg b ＝12.于是(lg ab)2＝(lg a －lg b)2＝(lg a ＋lg b)2－4lg alg b ＝22－4×12＝2. 7.65－3解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(325425－125425)＝2log 5(10×0.5)＋2131322255---＝2＋165－5＝65－3.8．1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 9．1 000解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1 000， 即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹． 10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13.方法二 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－13.(2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436， 所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.方法二 因为3a ＝4b ＝36，所以136a＝3,136b＝4， 所以(136a )2·136b＝32×4，即2136a b+＝36，故2a ＋1b＝1.11．解 原方程可化为2(lg x)2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab)·(log a b ＋log b a) ＝(lg a ＋lg b)·(lg b lg a ＋lg alg b )＝(lg a ＋lg b)·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b)·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝12. 12．二解析 由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ⇔x ＝lg N ， 将已知表格转化为下表： 组号 一 二 三 四 五 六 七 N235681012lg N0.301 030.477 110.698 970.778 150.903 091.000 001.079 18∵lg 2＋lg 5＝0.301 03＋0.698 97＝1， ∴第一组、第三组对应值正确． 又显然第六组正确，∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09， ∴第五组对应值正确．∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18， ∴第四组、第七组对应值正确． ∴只有第二组错误．13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x .依题意，得13＝0.75x ，即x ＝lg 13lg 0.75＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4.∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.。