等腰三角形的存在性问题

等腰三角形的存在性问题解题策略如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．例题精讲1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 在坐标为(3，4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标．解析．因为D （3，4），所以OD ＝5，3cos 5DOP ∠=． ①如图1，当PD ＝PO 时，作PE ⊥OD 于E ． 在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠==，52OE =，所以256OO =．此时点P 的坐标为25(,0)6． ②如图2，当OP ＝OD ＝5时，点P 的坐标为(5，0)．③如图3，当DO ＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6，0)．2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 以2个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求t 的值．解析．在Rt △ABC 中，10862222=+=+=BC AB AC .因此4cos 5ACB ∠=. 在△PQC 中，CQ ＝t ，CP ＝10－2t .①如图1，当CP CQ =时，102t t =-，解得103t =(秒). ②如图2，当QP QC =时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM ＝152PC t ==-. 在Rt △QMC 中，45cos 5CM t QCM CQ t -∠===，解得259t =(秒). ③如图3，当PC PQ =时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则CN ＝1122QC t ==. 在Rt △PNC 中，142cos 5102tCNPCN CP t∠===-，解得8021t =(秒). 综上所述，当t 为秒秒、秒、2180925310时，△PQC 为等腰三角形.3．如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q ，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．解析．由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2． 如图，由△AOB ∽△QOP 得，OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1． 设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)．因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．①当AP ＝AQ 时，AP 2＝AQ 2，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或43m =-．所以符合条件的点P 不存在． ②当P A ＝PQ 时，P A 2＝PQ 2，解方程(2m ＋1)2＝5m 2，得25m =±．所以(425,0)P +． ③当QA ＝QP 时，QA 2＝QP 2，解方程m 2＋1＝5m 2，得12m =±．所以(1,0)P ． 4．如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析．（1）如图，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ． 在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得3a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)y x x x x =--=-+．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-．5．如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2 解析．（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图1）．②当P A＝PD时，24m+244(2)m=+-．解得43m=（如图2）或4m=（不合题意，舍去）．③当DA＝DP时，2(4)m-244(2)m=+-．解得23m=（如图3）或2m=（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PC MBCM BA==．因此12PC=，32m=．②如图2，当P A＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42m m-=．解得43m=．（3）点H所经过的路径长为54π．思路是这样的：如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解析．(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EBCE BF=，即8m x x y -=． 整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图1，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况． 因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ． 将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图2）； 将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图3）．第6题图1 第6题图2 第6题图37．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．解析．（1）4BE t =+，5(4)8EF t =+．（2）△DEF 中，∠DEF ＝∠C 是确定的．①如图1，当DE ＝DF 时，DE EFAB BC =，即5(4)481016t +=．解得15625t =． ②如图2，当ED ＝EF 时，54(4)8t =+．解得125t =．③如图3，当FD ＝FE 时，FE AC DE BC=，即5(4)108416t +=．解得0t =，即D 与B 重合．第7题图1 第7题图2 第7题图3（3）MN 是△FDE 的中位线，MN //DE ，MN ＝2，MN 扫过的形状是平行四边形． 如图4，运动结束，N 在AC 的中点，N 到BC 的距离为3； 如图5，运动开始，D 与B 重合，M 到BC 的距离为34．所以平行四边形的高为39344-=，面积为99242⨯=．第7题图4 第7题图58．如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝32，直线y ＝323-x 经过点C ，交y 轴于点G ．（1）点C 、D 的坐标分别是C （ ），D （ ）；（2）求顶点在直线y ＝323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y ＝323-x 平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为点E （顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？ 若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．解析．（1）(4,23)C ，(1,23)D ．（2）顶点E 在AB 的垂直平分线上，横坐标为52，代入直线y ＝323-x ，得3y =．设抛物线的解析式为253()2y a x =-+，代入点(4,23)C ，可得23a =．所以物线的解析式为22353()2y x =-+．（3）由顶点E 在直线y ＝323-x 上， 可知点G 的坐标为(0,23)-，直线与y 轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF ＝30°．设点E 的坐标为(,323)m m -，那么EG ＝2m ，平移后的抛物线为223()323y x m m =-+-．所以点F 的坐标为223(0,323)m m +-．①如图1，当GE ＝GF 时，y F －y G ＝GE ＝2m ，所以22332m m m +=．解得m ＝0或332-．m ＝0时顶点E 在y 轴上，不符合题意．此时抛物线的解析式为223373(3)32y x =-++-．②如图2，当EF ＝EG 时，FG ＝23E x ，所以2233233m m m +=．解得m ＝0或32．此时抛物线的解析式为22333()322y x =--．③当顶点E 在y 轴右侧时，∠FEG 为钝角，因此不存在FE ＝FG 的情况．第8题图1 第8题图2 9．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ．（1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．备用图 备用图解析．（1）当D 为BC 的中点时，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，CE 83=． （2）如图1，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ， 所以∠1＝∠2．又因为AB ＝AC ，所以∠C ＝∠B ．所以△DCE ∽△ABD ．因此DC CEAB BD=，即86x y x -=． 整理，得21463y x x =-+．x 的取值范围是0≤x ≤8．（3）①如图1，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2． ②如图2，当AD ＝AE 时，D 与B 重合，E 与C 重合，此时x ＝0．③如图3，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此8668x -=．解得72x =．第9题图1 第9题图2 第9题图3。