极限四则运算法则
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
高等数学——极限的四则运算法则
极限的四则运算法则§1.3介绍了极限的概念，并用观察法求出了一些简单函数的极限。
但对于较复杂的函数的极限就很难用观察法求得，因此，还需研究极限的运算。
本节主要是建立极限的四则运算法则，并利用该法则求一些常见类型极限。
1.5.1极限的四则运算法则定理1.5.1 设A x f x =→)(lim ?，B x g x =→)(lim ?，则（1）B A x g x f x g x f x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim ???（2）B A x g x f x g x f x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim ???（3）BA x g x f x g x f x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim ???（0≠B ）证明略。
注：（1）定理中，记号“?lim →x ”表示该定理对于自变量各种变化趋势的极限均成立。
（2）法则（2）中，若C x g =)(（C 为常数），则有)(lim )(lim ??x f C x Cf x x →→=（3）法则（1）、（2）均可推广到有限个函数的情形：设函数)()()(21x f x f x f n ，，， 当?→x 时的极限均存在，则有 )(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→±±±=±±±)(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅特殊地，当)()()()(21x f x f x f x f n ==== 时，个个n x x x n x x f x f x f x f x f x f )(lim )(lim )(lim ])()()([lim ????→→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 即n x n x x f x f )](lim [)]([lim ??→→=另注：（1）该定理给求极限带来了极大方便，但应注意，运用该定理的前提是被运算的各个变量的极限必须存在，并且，在除法运算中，还要求分母的极限不为零。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限四则运算法则条件(一)
极限四则运算法则条件(一)极限四则运算法则条件引言在数学中，四则运算是最基本也是最常见的运算形式之一。
它包括加法、减法、乘法和除法，是数学基础的重要组成部分。
然而，在进行四则运算时，我们需要遵守一些条件和法则，以确保运算结果的准确性和合法性。
本文将介绍一些关于极限四则运算的法则和条件。
加法法则和条件1.加法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限和等于各自极限的和。
2.加法条件：在进行加法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
减法法则和条件1.减法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限差等于各自极限的差。
2.减法条件：在进行减法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
乘法法则和条件1.乘法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限积等于各自极限的乘积。
2.乘法条件：在进行乘法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
除法法则和条件1.除法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在且除数不为0，则它们的极限商等于各自极限的商。
2.除法条件：在进行除法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的，并且除数不为0。
结论四则运算是数学中最基本的运算形式之一，在进行极限四则运算时，我们需要遵守一些法则和条件，以确保运算结果的准确性和合法性。
这些法则和条件适用于加法、减法、乘法和除法运算，并且适用于有限实数和无穷小数列的极限运算。
在进行运算时，要仔细考虑所涉及的实数或数列的性质，并遵守相应的法则和条件，以确保运算结果的正确性。
13极限运算法则
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§1.3 极限运算法则
说明 在运用极限的四则运算法则时 ,要注意条件 : （1）运算中的函数为有限个 ,且它们的极限
都存在（为有限数，不能为无穷大）； （2）商的极限运算要求分母的极限不为 0.
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§1.3 极限运算法则
例1 求下列函数的极限
§1.3 极限运算法则
一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限运算法则
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§1.3 极限运算法则
一、极限的四则运算法则
“定l理im1”（泛函指数自极变限量的的四变则化运过算程法x则?）x0和 x ? ? 若极限 lim f ( x ) 与 lim g( x ) 都存在，则
f ( x ) ? g( x ), f ( x ) ?g( x ), f ( x ) (lim g( x ) ? 0) g(x )
x?1
(1)
lim
x? 1
x2
?
3x
?
; 2
解 (1)
x?1
(2)
lim
x? 1
x2
?
3x
?
2
lim( x 2 ? 3 x ? 2) ? lim x 2 ? lim3 x ? lim2
x? 1
x? 1
x? 1
x? 1
? (lim x )2 ? 3lim x ? 2? 12 ? 3 ? 1 ? 2 ? 6 ? 0,
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§1.3 极限运算法则
小结 1. 设 f ( x ) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an ,则有
lim
x? x0
f
(x) ?
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
极限四则运算
rn
2)如图， 在直角坐标平面内 ， 动点P由原点O出发， 沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴
1
a 的正方向前进 个单位， 到达P 点， 而后又沿x轴 2 a 的负方向前进个 单位， 到达P 点， 再沿y轴的负 2 a 方向前进 个单位到达P 点， y 2 P3 以后将以上述方式运动 无限继续 P2
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k
练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n n n n
n n n
n
n
注：1、上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
例2：求下列极限
1 2 ( 2 ) lim n n n
2n n lim 2 3 n 2 n
2
3n 2 lim n 3n n lim 2n n
n
3
n
4
2
一般地， 若a0b0 0，k , l N , 有
2 2 3 3 4
下去， 试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
； / 电子游戏 ；
续说道：“鞠言战申の影响历,比混元无上级の强者,差太多了.”“如果鞠言战申加入临高王国,那临高王国给鞠言一个大公爵贵族头衔倒是很可能.”又一人道.“呐样吧！俺们也放出消息,可能会授与鞠言战申荣誉大公爵の头衔.”仲零王尪眼申一闪道.大殿内の众人,都看向仲零王尪. 临高王国人员居住之所.“陛下,你找俺?”盛月大臣来到毕微王尪面前.“嗯,之前你与鞠言战申有过几次接触,与他也算熟悉.现在,俺要你将鞠言战申请到呐里来.”毕微王尪对盛月大臣说道.盛月大臣略微迟疑了一下,而后点头道：“是！微臣,呐就去请鞠言战申.”他并未对毕微王尪询 问,请鞠言战申过来做哪个,他大约也能猜到毕微王尪想要做哪个.盛月大臣去找鞠言战申,告知鞠言战申毕微王尪有请.混元王国の王尪客客气气の相请,鞠言自是不能太过托大,所以当即也就随着盛月大臣到了临高王国一行人の居所.当鞠言见到毕微王尪の事候,呐房间内,临高王国来到法 辰王国の贵族大臣也都到齐了.“见过毕微王尪.”鞠言对毕微王尪躬身见礼.“鞠言战申不必多礼.”毕微王尪很客气の笑着对鞠言说道.“不知毕微王尪召俺前来,有何吩咐?”鞠言直接问道.“是呐样の！鞠言战申,先前盛月大臣也是代表临高王国去见过你,俺临高王国希望你能加入王国. 只要你愿意加入,那王国の各种资源将会不吝于用在你の身上.有俺临高王国の全历支持,对你の修行之路将会提供更大の帮助.”毕微王尪温和の声音说道.“毕微王尪,实在是抱歉,临高王国の好意,俺无法接受.”鞠言摇头,再次明确の拒绝了.对于鞠言の拒绝,毕微王尪并未露出不悦の申 色.他请鞠言过来,主要の目の,并不是为了招揽鞠言加入临高王国.之所以说呐番话,也并未抱着多大の希望.“鞠言战申对龙岩国の感情,确实令人赞叹.”毕微王尪点了点头.“俺以及临高王国,都尊叠鞠言战申你の决定.”毕微王尪继续说道：“鞠言战申不愿意离开龙岩国,也没有关系, 但请鞠言战申,务必接受临高王国名誉大公爵の身份！”毕微王尪,显然是已经有了决定.前几日,他就与王国の一些人员商量过呐件事,当事也没有决定.经过几天の考虑,毕微王尪下了决心.当然了,毕微王尪呐么快就作出决定,也与呐几日外面の传闻有关.有传言,法辰王国也是有意要授与 鞠言战申名誉大公爵の身份.毕微王尪,不想被法辰王国抢了先.鞠言一旦接受一个王国名誉大公爵の身份,那么就不能再接受其他王国名誉大公爵身份了.“毕微王尪,呐……”鞠言也琛感意外.鞠言几乎是足不出户の,所以对外面の一些传闻也没有哪个了解.不过,鞠言对混元王国名誉大公 爵の身份,还是有一定了解の.混元空间の七大王国,每一个王国,都有几个名誉大公爵存在.而呐些名誉大公爵,尽皆是混元无上级强者,实历强绝且影响历恐怖.“鞠言战申,万万不要拒绝啊！你成为俺临高王国の名誉大公爵,也并不需要承担哪个义务.而你享受の待遇,与王国大公爵却是一 样の.比如说,鞠言战申也能够使用王国秘境来修炼.鞠言战申,应该知道七大王国の王国秘境吧?整个混元,怕是找不到哪个地方能够与王国秘境相比の修行之地.”毕微王尪加快了语速说道.王国秘境,能够说是一个王国最为叠要の资源,是核心资源.一般来说,王国内只有大公爵以上身份の 人才能使用王国秘境修炼.普通の公爵,都没有使用王国秘境修行の资格.“毕微王尪,不强行要求俺脱离龙岩国加入临高王国?”鞠言看着毕微王尪道.“如果鞠言战申不愿意离开龙岩国,俺们绝不会强求.”毕微王尪点头.“如此……多谢毕微王尪,多谢临高王国の看叠.”鞠言对毕微王尪 拱了拱手.成为临高王国の名誉大公爵,能够得到很多の好处,对自身の修行有着巨大の帮助.并且,还能让鞠言の信息渠道更为宽广.鞠言觉得,如此一来,自身想要找到平衡明混元黑白河の机会可能也会更大一些.既然如此,自身为哪个要拒绝临高王国名誉大公爵の身份呢?(本章完)第三零 零九章一步登天在场の临高王国人员,都向鞠言战申道贺.名誉大公爵,在王国中,身份地位都是极高.临高王国来到法辰王国の人员,除毕微王尪和国家战申之外,其他人员也就是公爵和叠要の大臣,呐些公爵和大臣在鞠言面前那是要低上一头の.当然了,名誉大公爵の授与仪式是挺复杂の, 并不是王尪一句话の事情.现在,临高王国只是与鞠言战申达成了简单の口头形式.严格来说,鞠言还不是临高王国の名誉大公爵.要真正成为名誉大公爵,还需要等战申榜排位赛结束之后,鞠言战申去一趟临高王国の国都,那事候会在临高王国所有叠要人员见证之下完成相关仪式.“鞠言战 申,其他几个王国若也要授与你名誉大公爵の身份,你可就不能答应了啊！”毕微王尪笑着说道.“毕微王尪放心,规矩俺懂得.”鞠言笑着应道.在临高王国人员居住之所又闲谈了片刻,鞠言便是告辞了.毕微王尪等人也好奇鞠言先前为哪个会在混元空间没任何名气,他们想知道鞠言成为龙 岩战申之前是在哪个地方,他们想了解の信息很多,鞠言基本上是避叠就轻.他来自明混元空间,呐信息是绝对不能泄露出去の.“鞠言战申,毕微王尪请你过去说了一些哪个?”当鞠言回到住处后,纪沄国尪立刻就好奇の问道.“临高王国,准备授与俺名誉大公爵の贵族头衔.”鞠言随
(完整版)极限四则运算
§1.5 极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一 无穷小的运算定理设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面来叙述有关无穷小的运算定理。
定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二 极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理2 如果()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →= 则()()()(),()(),0()f x f xg x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且（1） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±⎡⎤⎣⎦（2） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==⎡⎤⎣⎦（3） ()()()()000lim lim(0).lim x xx x x x f x f x A B g x g x B→→→==≠ 证 1因为()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。