2021年浙江中考数学总复习方法技巧专题(02) 数形结合思想训练
方法技巧专题(二)数形结合思想训练数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.1.为了证明数轴上的点可以表示无理数,老师给学生设计了如下材料:如图F2-1,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点由原点(记为点O)到达点A,点A对应的数是多少?从图中可以看出OA的长是这个圆的周长π,所以点A对应的数是π,这样,无理数π可以用数轴上的点表示出来,上述材料体现的数学思想是()图F2-1A.方程思想B.从特殊到一般C.数形结合思想D.分类思想2.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图F2-2①),把余下的部分拼成一个长方形(如图②),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证()图F2-2A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.a2-b2=(a+b)(a-b)3.甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F2-3所示.下列说法:①乙车的速度是120 km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的有()图F2-3A.4个B.3个C.2个D.1个4.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或35.方程x2+2x-1=0的根可看成函数y=x+2的图象与函数y=1的图象交点的横坐标,用此方法可推断方程x3+x-1=0x的实数根有()A.0个B.1个C.2个D.3个6.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表:x-10234y50-4-30下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1<x2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.57.已知m>0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是()A.x1<-1<2<x2B.-1<x1<2<x2C.-1<x1<x2<2D.x1<-1<x2<28.已知实数a,b在数轴上的位置如图F2-4所示,化简:√(a-b)2-|a+b|的结果为.图F2-49.已知关于x 的不等式组{x -a >0,3-x >0的整数解共有2个,则a 的取值范围为 .10.如图F2-5,已知函数y =x +b 和y =ax +3的图象交点为P ,则不等式x +b >ax +3的解集为 .图F2-511.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F2-6.图F2-6由图易得:12+122+123+…+12n = .12.当x =m 和x =n (m ≠n )时,代数式x 2-2x +3的值相等,则x =m +n 时,代数式x 2-2x +3的值为 .13.如图F2-7,在平面直角坐标系中,点P (-1,a )在直线y =2x +2与直线y =2x +4之间,则a 的取值范围是 .图F2-714.已知函数y ={(x -1)2+1(x <2),(x -4)2-2(x ≥2),使y =k 成立的x 的值恰好只有3个时,k 的值为 . 15.已知☉O 的直径AB =2,过点A 有两条弦,AC =√2,AD =√3,则∠CAD 的度数为 .16.如图F2-8,矩形纸片ABCD 的长AD =9 cm,宽AB =3 cm,将其折叠,使点D 与点B 重合,则折叠后DE 的长为cm,折痕EF 的长为 cm .图F2-817.在平面直角坐标系中,☉A的半径为2,点A的坐标为(5,12),P(m,n)是☉A上的一个动点,则m2+n2的最大值为.18.如图F2-9,四边形ABCD是一个正方形,已知A(1,2),B(5,2).(1)求点C,D的坐标;(2)若一次函数y=kx-2的图象过C点,求k的值;(3)若直线y=kx-2与正方形ABCD有交点,求k的取值范围.图F2-919.已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4).(1)求b,c满足的关系式;(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;(3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.【参考答案】1.C2.D3.B [解析] 甲、乙两车最开始相距80 km,0到2 h 是乙在追甲,并在2 h 时追上,设乙的速度为x km/h,可得方程2x -2×80=80,解得x =120,故①正确;在2 h 时甲、乙两车相距0 km,在6 h 时乙到达B 地,此时甲、乙之间的距离=(6-2)×(120-80)=160(km),故②正确; H 点是乙在B 地停留1 h 后开始原路返回,6 h 时甲、乙之间的距离是160 km,后面1 h 中只有甲在行驶,所以1 h 后甲、乙相距80 km,所以点H 的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回,直到在n h 时与甲相遇,初始距离80 km,所以相遇时间=80÷(120+80)=0.4(h),所以n =7.4,故④错误.综上所述,①②③正确,④错误,正确的有3个,故选B .4.B [解析] 由二次函数的顶点式y =(x -h )2+1,可知当x =h 时,y 取得最小值1. (1)如图①,当x =3,y 取得最小值时,{ℎ>3,(3-ℎ)2+1=5,解得h =5(h =1舍去);(2)如图②,当x =1,y 取得最小值时,{ℎ<1,(1-ℎ)2+1=5,解得h =-1(h =3舍去).故选B .5.B [解析] 把方程x 3+x -1=0变形为x 2+1=1x ,方程x 3+x -1=0的实数根可看成函数y =x 2+1图象与函数y =1x图象交点的横坐标,函数y =x 2+1的图象与函数y =1x 的图象如图所示:∵两个函数图象的交点只有1个,∴方程x 3+x -1=0的实数根有1个.故选B . 6.B [解析] 根据表中数据画出大致图象如下,观察图象易知①②④正确,③错误.⑤中,A ,B 点的位置各有两种情况,由于其位置关系不能确定,∴x 1,x 2的大小关系无法确定.故选B .7.A [解析] 关于x 的一元二次方程(x +1)(x -2)-m =0的解x 1,x 2可以看作二次函数m =(x +1)(x -2)的图象与x 轴交点的横坐标.如图,二次函数m =(x +1)(x -2)的图象与x 轴交点的坐标为(-1,0),(2,0), 当m>0时,抛物线位于x 轴上方,此时x<-1或x>2. 又∵x 1<x 2,∴x 1<-1<2<x 2.故选A .8.2a [解析] 由实数a ,b 在数轴上的位置可知:b<0,a>0,|b|>|a|,∴a -b>0,a +b<0, ∴√(a -b )2-|a +b|=a -b +a +b =2a.9.0≤a<1 [解析] 不等式组整理得{x >a ,x <3,解得a<x<3.由整数解共有2个,得到整数解为1,2,则a 的取值范围是0≤a<1.10.x>1 [解析] 由图知:当直线y =x +b 在直线y =ax +3的上方时,不等式x +b>ax +3成立;由于两直线的交点横坐标为x =1,观察图象可知,当x>1时,x +b>ax +3. 11.1-12n 12.313.0<a<2 [解析] 当P 在直线y =2x +2上时,a =2×(-1)+2=-2+2=0;当P 在直线y =2x +4上时,a =2×(-1)+4=-2+4=2,所以0<a<2.14.1或2 [解析] 画出函数的图象,要使y =k 成立的x 的值恰好只有3个,即函数图象与直线y =k 有3个交点.函数y ={(x -1)2+1(x <2),(x -4)2-2(x ≥2)的图象如图.根据图象知道,当y =1或2时,对应成立的x 值恰好有3个,∴k =1或2.故答案为1或2.15.75°或15° [解析] ①当弦AC ,AD 在圆心两侧时,如图①,作OE ⊥AC 于点E ,OF ⊥AD 于点F ,则cos ∠CAO =√22,cos ∠DAO =√32,所以∠CAO =45°,∠DAO =30°,从而得∠CAD =∠CAO +∠DAO =75°;②当弦AC ,AD 在圆心同侧时,如图②,同理可得: ∠CAD =∠CAO -∠DAO =15°. 所以∠CAD 的度数为75°或15°.16.5√10[解析] 设DE长为x cm,则AE=(9-x)(cm),BE=x cm.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.根据勾股定理得:AE2+AB2=BE2,即(9-x)2+32=x2,解得x=5,即DE长为5 cm.作EG⊥BC于G,如图所示,则四边形ABGE是矩形,∠EGF=90°,∴EG=AB=3,BG=AE=4,∵∠DEF=∠BEF,∠DEF=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,即BE=BF,∴GF=1,∴EF2=EG2+GF2=32+12=10,∴EF=√10.17.225[解析] ∵P(m,n),∴OP=√m2+n2,∴m2+n2的最大值即OP的最大值的平方.连结OA并延长与圆交于点P,此时OP最大,∵点A的坐标为(5,12),∴OA=13,又☉A的半径为2,∴OP=15,m2+n2的最大值为225.18.解:(1)∵A(1,2),B(5,2),∴AB=5-1=4,AB∥x轴,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=AB=4,AD∥BC∥y轴,∴C(5,6),D(1,6)..(2)把C(5,6)的坐标代入y=kx-2,得5k-2=6,解得k=85(3)把D(1,6)的坐标代入y=kx-2得k-2=6,解得k=8;把B(5,2)的坐标代入y=kx-2得5k-2=2,解得k=45,∴k的取值范围为45≤k≤8.19.解:(1)将(-2,4)代入y=x2+bx+c,得4=(-2)2-2b+c,∴c=2b,∴b,c满足的关系式是c=2b.(2)把c=2b代入y=x2+bx+c,得y=x2+bx+2b,∵顶点坐标是(m,n),∴n=m2+bm+2b,且m=-b2,即b=-2m,∴n=-m2-4m.∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m.(3)由(2)的结论,画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象.∵函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限,∴-4≤-b2≤0.①当-4≤-b2≤-2,即4≤b≤8时,如图①所示,当x=1时,函数取到最大值y=1+3b,当x=-b2时,函数取到最小值y=8b-b24,∴(1+3b)-8b-b 24=16,即b2+4b-60=0,∴b1=6,b2=-10(舍去);②当-2<-b2≤0,即0≤b<4时,如图②所示,当x=-5时,函数取到最大值y=25-3b,当x=-b2时,函数取到最小值y=8b-b24,∴(25-3b)-8b-b 24=16,即b2-20b+36=0,∴b1=2,b2=18(舍去).综上所述,b的值为2或6.。
中考数学 复习方法技巧九大专题：中考数学复习方法技巧专题一：数形结合思想解析
方法技巧专题一数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．数形结合也是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．主要含有以下三个层次：一、在有理数中的应用：【例题】如图，数轴上点A表示数a，则|a|是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】13：数轴；15：绝对值．【分析】直接根据数轴上A点的位置可求a，再根据绝对值的性质即可得出结论．【解答】解：∵A点在﹣2处，∴数轴上A点表示的数a=﹣2，|a|=|﹣2|=2．故选A．【同步训练】如图示，数轴上点A所表示的数的绝对值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上均不对【考点】13：数轴；15：绝对值．【分析】根据数轴可以得到点A表示的数，从而可以求出这个数的绝对值，本题得以解决．【解答】解：由数轴可得，点A表示的数是﹣2，|﹣2|=2，故选A．二、在代数式中的应用【例题】如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6．【考点】4G：平方差公式的几何背景．【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，=（a+3+3）（a+3﹣3），=a（a+6），∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+6．故答案为：a+6．【同步训练】利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．【解答】解：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．三、列方程（组）解应用题中的应用【例题】如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570，故选：A．【同步训练】某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫10 25白色文化衫8 20假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．【解答】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得，解得，答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．四、在函数中的综合应用【例题】某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第24天的日销售量是330件，日销售利润是660元．（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润=单件利润×日销售量即可求出日销售利润；（2）根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出线段DE的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D的坐标，此题得解；（3）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于640元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润．【解答】解：（1）340﹣（24﹣22）×5=330（件），330×（8﹣6）=660（元）．故答案为：330；660．（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx，将（17，340）代入y=kx中，340=17k，解得：k=20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x．根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x+450．联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，∴交点D的坐标为（18，360），∴y与x之间的函数关系式为y=．（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥640，解得：x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥640，解得：x≤26．∴16≤x≤26．26﹣16+1=11（天），∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．∵点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×2=720（元），∴试销售期间，日销售最大利润是720元．【同步训练】某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．（1）活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为2小时，他从活动中心返家时，步行用了0.4小时；（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据点A、B坐标结合时间=路程÷速度，即可得出结论；（2）根据离家距离=22﹣速度×时间，即可得出y与x之间的函数关系式；（3）由小宇步行的时间等于爸爸开车接到小宇的时间结合往返时间相同，即可求出小宇从活动中心返家所用时间，将其与1比较后即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，22），点B的坐标为（3，22），∴活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3﹣1=2小时．（22﹣20）÷5=0.4（小时）．故答案为：22；2；0.4．（2）根据题意得：y=22﹣5（x﹣3）=﹣5x+37．（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），∵0.8＜1，∴所用小宇12：00前能到家．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据离家距离=22﹣速度×时间，找出y与x之间的函数关系式；（3）由爸爸开车的速度不变，求出小宇从活动中心返家所用时间．五、在几何中的综合应用【例题】如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选（B）【同步训练】已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG；（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG，①求证：∠ODG=∠OCE；②当AB=1时，求HC的长．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）欲证明OE=OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；（2）①欲证明∠ODG=∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；②设CH=x，由△CHE∽△DCH，可得=，即HC2=EH•CD，由此构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD=OC，∴∠DOG=∠COE=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG=90°，∴∠ODG=∠OCE，∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE=OG．（2）①证明：如图2中，∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°OD=OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG=∠OCE．②解：设CH=x，∵四边形ABCD是正方形，AB=1，∴BH=1﹣x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH=∠EBH=45°，∴EH=BH=1﹣x，∵∠ODG=∠OCE，∴∠BDC﹣∠ODG=∠ACB﹣∠OCE，∴∠HDC=∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC=∠HCD=90°，∴△CHE∽△DCH，∴=，∴HC2=EH•CD，∴x2=（1﹣x）•1，解得x=或（舍弃），∴HC=．【达标检测】1.实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣|=﹣a．【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：∵a＜0，∴a﹣＜0，则原式=﹣a，故答案为：﹣a【点评】此题考查了实数与数轴，弄清绝对值里边式子的正负是解本题的关键．2.阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）3.解不等式组并在所给的数轴上表示出其解集．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．【解答】解：解不等式3x﹣1＜2（x+1），得x＜3解不等式≥1，得x≥﹣1∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．在数轴上表示解集如图：4.把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？【考点】完全平方公式的几何背景．【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD （2）利用S阴影=正方形的面积求解．【解答】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b=10，ab=20，2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．∴S阴影=a5.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x，即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），∴x=3，答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．6.如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，∴∠B′AD=∠EDC′，∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=，∴DB′==，∴△ADB′′∽△DEC，∴=，∴=，∴x=﹣2．∴CE=﹣2．（2）如图2中，∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，∴∠B′AF=∠B′FA=45°，∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，∴DF=FG，在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，∴AF=AB′=，∴DF=DG=﹣，=（﹣）2=﹣．∴S△DFG（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，在Rt△ADC中，∵tan∠DAC==，∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，∵∠C′AD=∠DAC=30°，∴∠CAC′=60°，∴的长==π．7.“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＞30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．8.荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m 的取值范围．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当t=30时，w最大=2450；②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴当t=41时，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450，令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件．（4）设日销售利润为w，根据题意，得：w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，解得：m≥5，又m＜7，∴5≤m＜7．。
初三数学数形结合思想知识精讲 浙江版
初三数学数形结合思想知识精讲 某某版一. 本周教学内容： 数形结合思想［复习知识综述］（1）函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何问题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其原因，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式出现。
（2）解答此类问题必须充分注意以下问题：a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化c. 理解二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x 轴的交点，横坐标是对应方程的根。
d. 熟练掌握几个距离公式： 点P （x ，y ）到原点的距离PO x y =+22AB x x a =-=||||12∆ e. 具备扎实的几何推理论证能力。
【模拟试题】一、填空题（每空5分，共50分）1. 如果a ，b 两数在数轴上的对应点如图所示：则化简：||||a b a b ++-=__________。
2. 已知A ，B 是数轴上的两点，AB=2，点B 表示数－1，则点A 表示的数为__________。
3. 已知△ABC 的三边之比是752：：，则这个三角形是__________三角形。
4. 已知点A 在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，则点A 的坐标是__________。
（写出符合条件的一个点即可）5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为CD 的中点，△BCE 的面积为1，则△ACD 的面积为__________。
6. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则由抛物线的特征写出如下含有系数a ，b ，c 的关系式：①abc >0②a b c -+=0③44122ac b a -=④a b +=0，其中正确结论的序号是__________（把你认为正确的都填上）7. 如图，AB 是半圆的直径，AB=10，弦CD ∥AB ，∠CBD=45°，则阴影部分面积为__________。
专题复习数形结合(含答案)
专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。
2。
」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
2021年中考数学复习专题4 数形结合、转化思想(教学课件)
x＋3.∵MN∥y 轴，∴点 N 的坐标为(m，－m＋3).∵抛物线的解析式为 y＝x2－4x
＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的对称轴为 x＝2，∴点(1，0)在抛物线的图象上，∴1
＜m＜3.∵线段 MN＝－m＋3－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－32 )2＋94 ，∴当
学 无 止 境
本课结束
4．(2020·遵义)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想
的重要体现，在计算 tan 15°时，如图．在 Rt△ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC＝30°，延长 CB 使 BD＝AB，连接 AD，得∠D
＝15°，所以 tan 15°＝CADC
＝2＋1
3
＝（2＋
2－ 3 3）（2－
3）
＝
2－ 3 .类比这种方法，计算 tan 22.5°的值为( B )
A．3 2
B．3 2 3
C．3 D．3 3
重重点点题题型型
题组训练
【解析】如图将圆锥侧面展开，把立体图形转化为平面图 形，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．
设∠BAB′＝n°.∵nπ18·0 6 ＝4π，∴n＝120
即∠BAB′＝120°.∵E 为弧 BB′中点，∴∠ AFB＝90°，∠BAF＝60°，∴BF＝AB·sin ∠
2021年中考数学复习
专题4 数形结合、转化思想
精讲释疑
类 型 一 以数解形
重重点点题题型型
题组训练
例1.如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线 y＝ax2＋bx＋c过A(1，0)，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点，过点M作MN∥y轴交 直线BC于点N，求线段MN的最大值．
2021年浙江中考数学复习练习课件：§8.2 数形结合思想
2.如图,函数y=mx-4m(m<0)的图象分别交x轴、y轴于点M,N,线段MN上A,B两点在x轴上的射影分别为A1, B1,若OA1+OB1>4,则△OAA1的面积S1与△OBB1的面积S2的大小关系是 ( )
A.S1>S2
B.S1=S2
C.S1<S2
D.不确定
答案
A
设A(a,am-4m),B(b,bm-4m),结合图象知,S1=
3.如图,已知函数y=x+b和y=ax+3图象的交点为P,则不等式x+b>ax+3的解集为
.
答案 x>1 解析 观察图象知,当x+b>ax+3时,x>1.
4.(2018湖北黄冈,24,14分)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象 限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度做匀速运动,点N从A出 发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长的速度做匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB 于P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停 止运动.
1
2a(am-4m),S2=
1
1
2b(bm-4m),S1-S2= 2
1
am(a-4)- 2
bm(b-
4)=
1 2
m×(a2-4a-b2+4b)=
1 2
m·[(a+b)(a-b)-4(a-b)]=
1 2
m(a-b)(a+b-4),∵OA1+OB1=a+b>4,m<0,a<b,∴S1-S2=
浙江省中考数学专题复习专题三5大数学思想方法第二节数形结合思想训练
.
专题三 5 大数学思想方法
第二节 数形结合思想
类型六 数形结合在实数中的应用) (2018·山东青岛中考)如图，点 A 所表示的数的绝对值是( )
A．3
B．－3
1
1
C.
D．－
3
3
【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可．
【自主解答】
5．(2018·四川成都中考)实数 a，b，c，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是( )
D．3
类型六 【例 6】 |－3|＝3.故选 A. 变式训练 5．D 6.B 类型七
1 【例 7】 (1)
2 (2)画树状图如下．
参考答案
共有 8 种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为 7， 7
∴甲队最终获胜的概率＝ . 8
变式训练 7．C 8.B 类型八 【例 8】 (1)如图，设 O 是△ABC 的外接圆的圆心， ∴OA＝OB＝OC.
.
.
.
.
∵∠BAC＝60°，∴AQ＝QC＝AC＝BQ＝3，
∴∠ABC＝∠QCB＝30°，∴∠ACB＝90°，
∴由勾股定理可知 BC＝3 3.
∵∠BOC＝60°，OB＝OC＝3 3，
Байду номын сангаас
∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝90°，
∴由勾股定理可知 OA＝3 7.
∵OP＝OB＝3 3，
A．a
B．b
C．c
D．d
6．(2018·山东枣庄中考)实数 a，b，c，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是( )
A．|a|＞|b|
B．|ac|＝ac
C．b＜d
D．c＋d＞0
浙江省中考数学复习题方法技巧专题一数形结合思想训练新版浙教版
方法技巧专题(一) 数形结合思想训练【方法解读】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方案(以形助数)，或利用数量关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
1.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.演绎B.数形结合C.抽象D.公理化2.若实数a,b,c在数轴上对应的点如图F1-1,则下列式子正确的是()图F1-1A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<-cD.-a-c>-b-c3.[2017·怀化] 一次函数y=-2x+m的图象经过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于点A,B,则△AOB的面积是 ()A BC.4D.84.[2018·仙桃] 甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1-2所示.下列说法:①乙车的速度是120 km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的有()图F1-2A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h 的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.[2018·白银] 如图F1-3是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,对于下列说法:①ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④a+b≥m(am+b)(m为常数),⑤当-1<x<3时,y>0,其中正确的是()图F1-3A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.如图F1-4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:.图F1-48.[2018·白银] 如图F1-5,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P(n,-4),则关于x解集为.图F1-59.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F1-6.图F1-6由图易得…= .10.当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2-2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2-2x+3的值为.11.已知实数a,b满足a2+1b2+1则2018|a-b|= .12.已知函数y=k成立的x的值恰好只有3个时,k的值为.13.(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图F1-7(2)观察图F1-8,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,并用含有n的代数式填空:图F1-81+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1= .14.[2018·北京] 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.参考答案1.B2.D3.B4.B[解析] 甲、乙两车最开始相距80 km,0到2 h是乙在追甲,并在2 h时追上,设乙的速度为x km/h,可得方程2x-2×80=80,解得x=120,故①正确;在2 h时甲、乙距离为0,在6 h时乙到达B地,此时甲、乙距离=(6-2)×(120-80)=160(km),故②正确;H点是乙在B地停留1 h后开始原路返回,6 h时甲、乙距离是160 km,1 h中只有甲在走,所以1 h后甲、乙距离80 km,所以点H的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回,直到在n h时与甲相遇,初始距离80 km,所以相遇时间=80÷(120+80)=0.4,所以n=7.4,故④错误.综上所述,①②③正确,④错误,正确的有3个,故选B.5.B[解析] 由二次函数的顶点式y=(x-h)2+1,可知当x=h时,y取得最小值1.(1)如图①,当x=3,y取得最小值时h=5(h=1舍去);(2)如图②,当x=1,y取得最小值时h=-1(h=3舍去).故选B.6.A[解析] ∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=1,即1,∴b=-2a>0,∴ab<0,2a+b=0,∴①②正确.∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,知抛物线与x 轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c<0,∴③错误.当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点,也是二次函数的最大值.当x=m时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,∴此时有a+b+c≥m(am+b)+c,即a+b≥m(am+b),∴④正确.∵抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,则抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,由图知,当2<x<3时,有一部分图象位于x轴下方,说明此时y<0,根据抛物线的对称性可知,当-1<x<0时,也有一部分图象位于x 轴下方,说明此时y<0,∴⑤错误.故选A.7.(a-b)2=(a+b)2-4ab8.-2<x<2[解析] ∵y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-n-2=-4,解得n=2.∴P点坐标是(2,-4).观察图象知:2x+m<-x-2的解集为x<2.解不等式-x-2<0可得x>-2.-2<x<2.9.110.311.112.1或2[解析] 画出函数解析式的图象,要使y=k成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=k这条直线有3个交点.函数.根据图象知道当y=1或2时,对应成立的x值恰好有3个,∴k=1或2.故答案为1或2.13.解:(1)1+3+5+7=16=42.观察,发现规律,第一个图形:1+3=22,第二个图形:1+3+5=32,第三个图形:1+3+5+7=42,…,第(n-1)个图形:1+3+5+…+(2n-1)=n2.故答案为:42n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第(n+1)行,(n+2)行到(2n+1)行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=[1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1)+[(2n-1)+…+5+3+1]=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.故答案为:2n+12n2+2n+1.14.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a②若a<0,如图,易知抛物线与y轴交于点(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图:综上,a的取值范围是a a=-1.。
中考专题复习数形结合
揭晓
【考点解读】
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何 图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法 (以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质, 解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.这种思想 是近年来中考的热点之一，也是中考的高档题。
数缺形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔裂分家万事非
作业
中考总动员专题
感 谢 各位专家和老师
莅临指导
【考题类型】
(1).利用数轴将代数问题转化为几何图形问题。
(2).利用函数图像将代数问题转化为几何图形问题.
(3).利用几何模型将代数问题转化为几何图形问题.
题型一：利用数轴将代数问题转化为几何图形问 题
例1：下列选项中，（ A、
C
）的解集如图所示。 B、 D、
x4 3 C、 x 4 3
练习1： 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋ c（a≠0)与一次函数y2 ＝kx＋m(k≠0) 的 图 象 相 交 于 点 A( － 2,4) ， B(8,2) （如图所示），则能使y1＞y2成立的 x＜－2或x＞8 x的取值范围是＿＿＿＿＿
y
y2
A －2
O
y1
B
8
x
练习2：丁俊辉在去年的世界台球（中国）公开赛 中获得冠军，这是中国人在这一项目上的首个冠军。 如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能 将7号球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证 ∠1为 ( C)A．30° B．45° C．60° D．75°
解：由图知： 思考：①从图像可看出a,b,c的符号分
别是什么吗？ 当X=-1时，a-b+c>0 即b-a-c<0
对称轴为X=1，即b=-2a, ②你能进一步推出b-a-c,3b-2c,a-b
浙江省杭州市中考数学第一轮复习(课件)题型八 数学思
连接CO，过点C作CE⊥AB于点E，
∵AB=8 cm,∴AO=CO=4cm,
∵ CD 的度数是60°， ∴∠CAD=30°，∠COE=60°，
∴EO=2 cm,则EC＝2 3 cm，
∴阴影部分的最大面积为 1 2 3 + 60π 42 ＝(4 3 + 8π2
AO×EC+S扇形COB＝ ) cm2.
时 ，b 二次函
2a
数y=ax2+bx+c(a≠0)有最大（小）值
4ac
b
2
）
解：∵a=- 1 ＜0，
4a
2
∴y有最大值，
y=- 1 x2+3x=- 1 (x-3)2+ 9 , ∴ 当2 x=3时，y2有最大值29 .
2
类型四 转化与化归思想
典针例对精演讲练
7. (2015杭州模拟)如图，C，D是以AB为
第二部分 题型研究
题型八 数学思想方法
类型一 分类讨论思想
类型二 数形结合思想
类型三 方程与函数思想
类型四 转化与化归思想
类型一 分类讨论思想
典针例对精演讲练
1.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分 别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩 下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别 为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是( C )
解：∵矩形ABCD的周长为12，AB=x,
∴BC= 1 ×12-x=6-x, 2
∵E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点,
∴y= 1 x(6-x)=- 1 x2+3x,即y=- 1 x2+3x(0<x<6);
2
2
2
2021年中考数学热点专题复习：一个数形结合模型及其在解题中的运用
2021年中考数学热点专题复习 一个数形结合模型及其在解题中的运用先介绍一个数形结合模型．代数式29x +可表示成两直角边分别为x 和3的直角三角形斜边长，2(12)4x -+可表示成两直角边分别为12－x 和2的直角三角形斜边长，29x +＋2(12)4x -+表示成两斜边长之和，29x +＋2(12)4x -+的最小值就是两斜边长之和．这里，两个直角三角形各有一条直角边长不变，另一个直角边之和为一个常数．构造图形如图1．CD =29x +、CE=2(12)4x -+，C D ＋CE =29x +＋2(12)4x -+，而C D ＋CE ≥DE ，所以C D ＋CE 的最小值为DE 的长，如图2．而C D ＋CE 的最小值为DE 的长，根据图3可求出DE =22512+=13，此时x 的值可通过△DAC ≌△EBC ，AC BC =ADBE，即12x x -=23，解得x =4．８.我们通过代数式转化为图形 (斜边的边长)，结合图形，运用三角形两边之和大于第三边，两点之间线段最短性质得出最短位置，再根据勾股定理及相似知识进行计算．下面谈谈该模型在解题中的应用． 一、模型应用1．在直线上找一点，到两已知点距离和最小例1 如图4，桌上有一圆柱形玻璃杯，高12 cm ，底面周长18 cm ，ABCD 是它的轴截面，在杯内壁离杯口3 cm 的Q 处 (即BQ =3) 有一滴蜜糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至相对方向离桌面3 cm 的P 处 (即DP =3) 时，突然发现了蜜糖，问小虫至少要爬多少路才能到达蜜糖所在的位置?分析 把圆柱侧面展开，如右图所示．小虫在外壁P ，一定要通过杯口即展开图中线段BC 上一点H 到内壁Q ，要求PH+HQ 的最小值．按照上述模型解题思路，第一步求出PH 、HQ 的代数式，第二步画出对应图形，第三步根据图形运用勾股定理知识解决． 解 设CH=a ，∵ BC =9，∴ BH =9－a ；又BQ =3，CP =9．∴ PH =229a +,HQ =22(9)3a -+∴ P H+H Q =229a ++22(9)3a -+．根据代数式构造图形如图5． PH+HQ 的最小值为 PQ=22912+=15．2．在一条直线上找一定长线段，使它两端分别到两已知点距离和最小例2 如图6，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点．若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．分析 先在OA 上任意找两点E 、F ，连结DE 、CF ，得到四边形CDEF ．分析题目，四边形CDEF 周长等于DE+EF+FC+CD ，而CD 与EF 长不变，故只要DE+CF 和最小．按照上述模型解题思路，第一步求出DE 、CF 的代数式，第二步画出对应图形，第三步根据图形运用相似三角形知识解决．解 设E (a ，0)、F (a +2，0)，故OE =a ，AF =3－(a +2)=1－a ．因为D 是OB 的中点，所以OD =2．又因为AC =4，所以DE+CF=222a ++22(1)4a -+。