第二讲 一个简单的代表性行为人模型

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第二讲：一个代表性行为人模型
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现在，消费者的最优化问题会变得简单起来，我们 可以把消费者的最优化问题用如下一个拉格朗日 方程来表述：
u(c, l ) wh (1 r )k0 wl c
（2.6）
这里， 是拉格朗日乘子。
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y zf (k , n)
(2.1)
我们也假设生产函数满足稻田条件：
lim f1 (k , n) ， lim f1 (k , n) 0 以及 lim f 2 (k , n) ，
k 0 k
n0
lim f 2 (k , n) 0 。
n
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出于习惯，经济学家一般愿意用消费品作为 记价物，在这里，我们也秉承这一传统。市 场上共有三种可交易的对象：消费品、闲暇 和资本服务的租金。闲暇的价格用消费品衡 量记为 w ，资本的租金用消费品衡量记为r 。
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消费者把 w 和 r 视为给定，在预算约束下寻求自己 的效用最大化。也就是说，每个消费者都在求解如 下这样一个最优化问题：
《中级宏观经济学》
主讲:何樟勇博士
浙江大学经济学院
2016年春
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在本讲中，我们将介绍一个最简单的宏 观经济模型。在这个简单的模型里，我 们把所有经济行为人之间的异质性问题 和分配问题均抽象掉了。我们假定经济 就是由一个代表性的企业和一个代表性 的消费者所组成。这看起来似乎实在是 太离谱了，但在一般情况下，这与一个 假设有许多本质相同的企业和许多本质 相同的消费者所组成的经济是相同的。
(2.18)
其中，k k ，n n 。 而且， 由于有规模报酬不变的假设， (2.18) 式对于任何 k k 和 n n （ 0) 也成立，因而厂商的最优 规模是不确定的。这一特性使我们可以不考虑厂商的数目，因为 厂商的数目与竞争均衡解无关。
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在我们的模型里，有三个市场：劳动市场、消费品市场和资本 租赁市场。在一个竞争均衡中，下述条件将成立：
h l nd
yc
(2.19) (2.20) (2.21)
k s k0 k d
也就是说，每个市场的供给都等于需求。
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术
企业根据如下的生产函数进行消费品的生产：
y zf (k , n) 。其中，y 是产出，k 是资本投入，n 是
劳动投入，z 是全要素生产率参数。这里，生产函 数是一个严格准凹、二次可微、一次齐次、对每一 个变量都是严格递增的函数。
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这意味着生产函数是规模报酬不变的，因此下 式对任意的 0 均成立：
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一、决策环境： 偏好、禀赋与技术
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基本环境

经济活动只进行一期，经济中只有一个 代表性消费者和一个代表性的企业。代 表性消费者将决定最优的资本供给数量 和劳动供给数量；代表性的企业将决定 最合适的资本和劳动的使用数量。消费 者和企业的行为是竞争性的，也即他 （她）们都是在视市场价格为既定的情 况下来做决策的。消费者拥有企业。
如果我们把每个市场中需求超过供给的部分称为超 额需求，并把每个市场的单位统一起来，也即都用实际价 格表示出来，那么，整个市场的超额需求就为：
c y w[nd (h l )] (1 r )(k d k0 )
c 0
lim u1 (c, l ) 0 以及 lim u 2 (c, l ) ； lim u2 (c, l ) 0 。 这里，
c l 0 l
ui (c, l ) 是效用函数 u(c, l ) 对第 i 个变量的偏导数。
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我们已经对效用函数作了一系列限定， 这可以确保产生一个惟 一的最优解，这个最优解可以通过如下的一阶条件得到描述：
u1 0 c u2 w 0 l wh (1 r )k 0 wl c 0
（2.7） （2.8） （2.9）
max zf (k d , nd ) (1 r )k d wnd
kd ,nd
(2.14)
最优解的一阶条件就是两个边际产出条件：
zf 1 1 r zf 2 w
(2.15) (2.16)
这里， zf i 表示的是生产函数对第 i 个变量的偏导数。
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劳动供给函数
方程（2.11）实际上是以隐函数的形式给出了消费者的闲暇需求函 数，若定义 l ( w, r ) 为闲暇需求函数，那么，我们可以进一步得到消费 者的劳动供给函数：
ns (w, r ) h l (w, r )
（2.12）
总结一下，通过对消费者最优化行为的分析，我们实际上得到了两个重 要的函数：一个是资本供给函数（这个函数非常简单，由公式（2.3）直 接给出了。 ） ；另一个是劳动的供给函数，这个函数是从行为人的最优化 行为中被推导出来的。
max u (c, l )
c ,l , k s
s.t.
c w(h l ) (1 r )k s 0 k s k0
0lh c0
(2.2) (2.3) (2.4) (2.5)
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这里， k s 是消费者租给企业的资本数量。(2.2)式是 预算约束方程；(2.3)式说明消费者租给企业的资本 数量必须是正的， 并且不能超过自己初始拥有的数 量；(2.4)式闲暇的约束条件；(2.5)式是对消费所强 加的一个非负约束。
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在一个没有货币的经济中，所有价格都是相 对价格，因此，我们可以任意地选出某一种 商品，把它的价格标准化为 1，这并不会对分 析结果产生任何影响。我们把这一价格被标 准化为 1 的商品称为记价品。
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因为生产函数是一次齐次的，因此，欧拉定律（ Euler ’s law）将成立。因为通过让(2.1)式对 求偏导数，并令 ＝1， 我们可以得到：
zf (k , n) zf 1k zf 2 n
(2.17)
这样，方程(2.15)、(2.16)和(2.17)就意味着最大化的利润 等于零。
(2.13)
其中，k d 和 n d 分别代表厂商的资本需求和劳动需求， 出于简单化考虑， 在这里， 我们假定 1， 代表折旧率， 也即资本使用后完全报废。
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每个厂商在把 w 和 r 视为既定的情况下， 通过选择一个恰 当的劳动和资本的投入数量来最大化利润。也就是说，厂商 在求解如下一个最优化问题：
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我们的模型虽简单，但其所使用的分析方 法与我们在后面几讲将要介绍的更为复杂 的模型却是一样的，都是首先关注经济行 为人的最优化问题，也即考察行为人在面 临一些约束的情况下如何去最大化自己的 目标函数。然后再分析不同行为人的自利 行为交互作用会产生怎样的结局。 一般地说，在处理这样一种最大化问题时， 我们需要知道消费者的偏好，企业的生产 技术以及消费者与企业所能获得的资源禀 赋。
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三、企业的最优化 问题
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厂商的利润函数为：
zf (k d , nd ) (1 r)k d (1 )k d wnd
zf (k d , nd ) (1 r )k d wnd
u2 w u1
（2.11）
也就是说， 闲暇与消费的边际替代率等于工资率。 我们可以借助图 1.1 来更直观地看这一结果。
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c 预算线斜率 ＝－w
A
无差异曲线在 E 点
· E
u2 斜率＝－ u1
B
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l
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禀赋
代表性消费者拥有 k0 单位的资本， 这些资本 与消费品是一对一可转换的， 但我们规定初 始资本只能租给企业而不能直接用于自己 消费。 同时，代表性消费者也拥有 h 单位的 时间禀赋， 它们既可以用于劳动也可以用于 闲暇。
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二、消费者的最优 化行为
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因为效用会随消费的增加而增加，因此，必然有
k s k 0 ，也即(2.2)式将取等号。事实上，我们对效
用函数的限制本身就可以确保我们对消费和闲暇 所作的限制，在均衡时，闲暇永远不会取 l h ，因 为那样的话，将没有什么被生产出来。因此，我们 可以忽略(2.4)和(2.5)两个约束条件。