曲线运动小船渡河问题分析

曲线运动——小船渡河问题分析1．一人以垂直河岸不变的速度（相对水）向对岸游去，若河水流动速度恒定。

下列说法中正确的是A．河水流动速度对人渡河无任何影响B．游泳者渡河的路线与河岸垂直C．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置将向下游方向偏移D．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同答案：C正确的是A．小船过河所需的最短时间是40sB．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸C．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50sD．如果水流速度增大为6m/s，小船过河所需的最短时间将增大答案：AA、下落时间越短B、下落时间越长C、落地时速度越小D、落地时速度越大答案：D4．小船匀速横渡一条宽120m的河流，当船头垂直于河岸方向航行时，30s到达河对岸下游60m处，则船在静水中的速度为；若船头保持与河岸上游成α角航行，恰好到达正对岸，则α= 。

答案：5．一小船在静水的速度为3m/s，它在一条河宽150m，水流速度为4m/s的河流中渡河，则该小船（）A．能到达正对岸 B．渡河的时间可能少于50sC．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200mD．以最短位移渡河时，位移大小为150m答案：C6．小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河中心时，河水流速增大，则渡河时间将（）A. 不变B.减小C.增大D.不能确定答案：A7．若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。

现假设河的宽度为120m，河中心水的流速大小为5m/s，船在静水中的速度大小为3m/s，则下列说法中正确的是（）A．船渡河的最短时间是40sB．船在河水中航行的轨迹是一条直线C．要使船渡河时间最短，船头应始终与河岸垂直D．要使船渡河行程最短，船头应与上游河岸成53°行驶答案：AC8．一条河宽100m，水流速度为3m/s，一条小船在静水中的速度为5m/s，关于船过河的过程，下列说法不正确的是：A．船过河的最短时间是20s B．船要垂直河岸过河需用25s的时间C．船的实际速度可能为5m/s D．船的实际速度可能为10m/s答案：D9．某船在静水中的速率为4m/s, 要横渡宽为40m的河, 河水的流速为5m/s、下列说法中不正确的是A、该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸B、该船渡河的速度最小速度是3m/sC、该船渡河所用时间至少是10sD、该船渡河所经位移的大小至少是50m答案：B10．一只船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，船在静水中的航速是4m/s，欲使小船以最短时间渡过河去，则应使船头方向_________河岸（填“垂直”或“不垂直”）行驶，最短的时间是_________ s.答案：垂直5011．一艘船以相对于静水恒定的速率渡河，水流速度也恒定（且小于船速），若河的宽度一定，要使船到达对岸航程最短，则（）A．船头指向应垂直河岸航行B．船头指向应偏向下游一侧C．船头指向应偏向上游一侧D．船不可能沿直线到达对岸答案：C12．一只小船在静水中的速度为3m/s，它要渡过一条宽度为30m的河，河水的流速为4m/s，则下列说法正确的是( )A．船不能渡过河 B．船过河的速度一定为5m/sC．船运动的轨迹不可能垂直河岸D．船过河的最短时间为10s答案：CD13．王聪同学，为了测量某河流的水速，找来一条小船，他首先保持小船对水以恒定的速度行驶．第一次，保持船头始终垂直河岸划行，经10min到达正对岸下游120m处；第二次，船头始终保持指向与上游河岸成θ角划行，经12.5min到达正对岸。

由此，你帮王聪同学计答案：12m/min；20m/min；200m解析：根据运动的合成与分解，船两次运动的情况如图甲、乙，由甲得：，，由乙得：由此得v=20m/s,L=200m.14．某人以一定速率垂直河岸向对岸游去，当水流运动是匀速时，他所游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是（）A．水速大时，路程长，时间长B．水速大时，路程长，时间短C．水速大时，路程长，时间不变D．路程、时间与水速无关答案：C15．某船在静水中的速率为3m/s，要横渡宽为30m的河，河水的流速为5m/s。

则下列说法中正确的是A．该船不可能渡过河去B．该船渡河的最小距离为30mC．该船渡河所用时间至少是10sD．该船渡河所经位移的大小至少是50m答案：CD16．一只小船在静水中的速度为5m/s,它要渡过一条宽为50m的河，河水流速为4m/s，则（）A.这只船过河位移不可能为50mB.这只船过河时间不可能为10sC.若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变D.若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变答案：C17．如图所示，直线AB和CD是彼此平行且笔直的河岸，若河水不流动，小船船头垂直河岸由A点匀速驶向对岸，小船的运动轨迹为直线P。

若河水以稳定的速度沿平行河岸方向流动，且整个河流中水的流速处处相等，现仍保持小船船头垂直河岸由A点匀加速驶向对岸，则小船实际运动的轨迹可能是图中的（）A．直线P B．曲线QC．直线R D．曲线 S答案：D答案：100s、125s19．某小船在静水中的速度大小保持不变，该小船要渡过一条河，渡河时小船船头垂直指向河岸．若船行至河中间时，水流速度突然增大，则（）C．小船渡河时间增加D．小船到达对岸地点不变答案：A20．如图6—4所示，河宽为L，船对水的速度为V船，水的流速为V水，试分析：（1）船怎样渡河，所需时间最短？最短时间为多少？（2）当V船>V水时，船怎样渡河位移最小？最小位移是多少？（3）当V水<V船时，船怎样渡河位移最小？最小位移是多少？解析：（1）船渡河的时间t取决于V船垂直于河岸的分量V y和河宽L，而与V水无关。

设船头与河岸的夹角为θ，则渡河时间可以表示为可见，当sinθ=1，θ=90??即船头垂直河岸时，如图6—5所示渡河时间最短（2）如图6—6所示，当V船>V水时，船的合速度v垂直河岸时，渡河位移最小，且等于河宽，即S min=L，所以船头应斜对上游，且河岸的夹角为（3）如图6—7所示，当V水<V船时，以V水末端为圆心，以V船大小为半径画半圆，船的实际速度为以V水的始端为始端，以圆周上一点为末端的矢量。

其中与河岸的夹角最大的方向，即沿图示切线方向时，渡河路径最短。

21．某人乘船横渡一条小河,船在静水中的速度和水速一定，且船速大于水速. 若渡河最短时间为t1，用最短位移渡河时间为t2，则船速与水速之比为多少？解析：设小河河宽为d，则当船以最短的时间渡河时：t1＝……①当船以最短的位移渡河时t2＝……②得：22．已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1,下面用小箭号表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图示依次是（）A．①②B．①⑤ C．④⑤D．②③答案：C解析：设两岸距离为d。

小船在最短时间过河，如图1，应对应于分运动是垂直河岸的，但小船的实际航线是沿合运动方向，即图1中v的方向，即有。

所以正确答案为④。

小船在最短位移过河，如图2，小船的合运动是垂直于河岸的，即v的方向，而船头是沿上游即v2的方向，有最短位移S=d。

所以正确答案为⑤。

综合得答案C正确。

23．河水的流速随与河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（）A．船渡河的最短时间是60 sB．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C．船在河水中航行的轨迹是一条直线D．船在河水中的最大速度是5 m／s答案：BD解析：因为船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直24．一只小船在静水中的速度大小始终为8m/s，在流速为4m/s的河中航行，则河岸上的人能看到船的实际航速大小可能是（）A．1m/s B．4m/s C．8m/s D．14m/s答案：BC解析：河岸上的人能看到船的实际航速大小范围是，所以只有BC符合。

25．某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了5．T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（）(A) (B)(C) (D)答案：A解析：设船速为，水速为，河宽为d ，则由题意可知：①当此人用最短位移过河时，即合速度方向应垂直于河岸，如图所示，则②联立①②式可得：，进一步得26．河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?解析：(1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间(2)渡河航程最短有两种情况：①船速v2大于水流速度v1时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速v2小于水流速度v l时，即v2<v1时，合速度v不可能与河岸垂直，只有当合速度v 方向越接近垂直河岸方向，航程越短。

可由几何方法求得，即以v1的末端为圆心，以v2的长度为半径作圆，从v1的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。

设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则，最短行程，小船的船头与上游河岸成600角时，渡河的最短航程为120m。

技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。

1．(四川绵阳南山中学09～10学年高一下学期期中)如果两个不在同一直线上的分运动都是初速度为零的匀加速度直线运动，则()A．合运动是直线运动B．合运动是曲线运动C．合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动D．只有当两个分运动的加速度大小相等时，合运动才是直线运动2．(云南昆明三中、滇池中学08～09学年高一期中)雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下列说法中正确的是()A．风速越大，雨滴下落的时间越长B．风速越大，雨滴着地时的速度越大C．雨滴下落时间与风速无关D．雨滴着地时的速度与风速无关3．(湖南长沙一中09～10学年高一下学期期中)一人游泳渡河，以垂直河岸不变的划速向对岸游去，河水流动速度恒定．下列说法中正确的是()A．河水流动速度对人渡河无任何影响B．人垂直对岸划水，其渡河位移是最短的C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置向下游方向偏移4．一架飞机沿仰角30°斜向上做初速度为100m/s、加速度为10m/s2的匀加速直线运动．则飞机的运动可看成是竖直方向v0y＝________、a y＝________的匀加速直线运动，与水平方向v0x＝________、a x＝________的匀加速直线运动的合运动．在4s内飞机的水平位移为________、竖直位移为________．5．飞机在航行测量时，它的航线要严格地从东到西，如图所示，如果飞机的速度是80km/h，风从南面吹来，风的速度为40km/h，那么：(1)飞机应朝哪个方向飞行？(2)如果所测地区长达803km，所需时间是多少？6．如图所示，有一条渡船正在渡河，河宽为300m，渡船在静水中的速度是v1＝3m/s，水的流速是v2＝1m/s，求下列条件渡船过河的时间．(1)以最短的时间过河；(2)以最短的位移过河．7．一人一猴在玩杂技．如图所示，直杆AB长12m，猴子在直杆上由A向B匀速向上爬，同时人用鼻子顶着直杆水平匀速移动．已知在10s内，猴子由A运动到B，而人也由甲位置运动到了乙位置．已知x ＝90m，求：(1)猴子对地的位移．(2)猴子对人的速度，猴子对地的速度．(3)若猴子从静止开始匀加速上爬，其他条件不变，试在图中画出猴子运动的轨迹．能力提升1．(宣昌市09～10学年高一下学期期中)如图所示，在玻璃管的水中有一红蜡块正在匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的()A．直线P B．曲线QC．曲线R D．无法确定2．某人骑自行车以10m/s的速度在大风中向东行驶，他感到风正以相对于车同样大小的速率从北方吹来，实际上风的速度是()A．14m/s，方向为南偏西45°B．14m/s，方向为东偏南45°C．10m/s，方向为正北D．10m/s，方向为正南3．如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A 与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d ＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做()A．速度大小不变的曲线运动B．速度大小增加的曲线运动C．加速度大小方向均不变的曲线运动D．加速度大小方向均变化的曲线运动4．民族运动会上有一骑射项目如图，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d.要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则()A ．运动员放箭处离目标的距离为d v 2v 1B ．运动员放箭处离目标的距离为d v 21＋v 22v 2C ．箭射到靶的最短时间为dv 21＋v 22 D ．箭射到靶的最短时间为dv 22－v 215．(河北正定中学08～09学年高一下学期月考)某河水的流速与离河岸距离的变化关系如图所示．河宽300，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示．若要使船以最短时间渡河，则( )A ．船渡河的最短时间是75sB ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C ．船在河水中航行的轨迹是一条直线D ．船在河水中的最大速度是5m/s6．一密度为0.5×103kg/m 3的木球自水面5m 高处自由落下，河水流速为2m/s ，不计水的阻力，并设木球接触水面后即完全浸入水中，则木球第一次落入水中的落点位置与浮出水面位置的距离是________m. 7．有一小船欲从A 处渡河，如图所示，已知河宽为400m ，其下游300m 处是暗礁浅滩的危险水域，水流速度恒为5m/s ，欲使小船能安全到达对岸，求：船相对静水的最小速度应是多少？此时船头的指向与河岸的夹角又是多大？8．质量m ＝2kg 的物体在光滑平面上运动，其分速度v x 和v y 随时间变化的图线，如图所示，求：(1)物体受到的合力；(2)物体的初速度；(3)t＝8s时物体的速度；(4)t＝4s时物体的位移；(5)轨迹方程．1答案：A解析：两个运动的初速度合成、加速度合成．当a和v共线时，物体做直线运动；当a和v不共线时，物体做曲线运动．2答案：BC3答案：D解析：河宽一定，过河时间只与垂直河岸的速度有关，与水速无关；但水速越大，合速度与垂直河岸方向夹角越大，过河位移越大．4答案：v0y＝v0sin30°＝50m/s；v0x＝v0cos30°＝503m/s；a y＝a sin30°＝5m/s2；a x＝a cos30°＝53m/s2；x ＝v x t ＋12a x t 2＝2403m ；y ＝v 0y t ＋12a y t 2＝240m.5答案：(1)与正西成30°偏南 (2)2h解析：飞机实际运动为合运动，风速为一分运动．(1)如图所示：由合速度与分速度的关系可得飞机飞行速度方向与正西方向夹角θ的正弦值为(v 1是风速，v 2是飞机速度)：sin θ＝v 1v 2＝12，得θ＝30°(2)飞机的合速度v ＝v 2cos30°＝403km/h ，据s ＝v t 得t ＝s t ＝803403h ＝2h.6答案：(1)100s (2)106.1s解析：(1)当渡船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中的速度v 1方向垂直于河岸时，过河时间最短，则t min ＝d v 1＝3003s ＝100s.(2)因为v 1＝3m/s ，v 2＝1m/s ，则v 1>v 2，故当渡船合速度方向垂直河岸时，过河位移最短，此时合速度如图所示，则渡河时间为t ＝d v ＝dv 21－v 22＝30032－12s ＝752s ≈106.1s.7答案：(1)90.8m (2)1.2m/s,9.08m/s(3)见下图．解析：(1)猴子对地的位移为猴子相对人的位移与人的位移的矢量和，所以为x 2＋h 2＝90.8m(2)猴子相对人的速度v 1＝1210m/s ＝1.2m/s ，猴子相对地的速度v 2＝90.810m/s ＝9.08m/s.(3)如图所示．1答案：B解析：红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动这两个分运动，实际运动的轨迹即是合运动的轨迹．由于它在任意一点的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合初速度和合速度之间有一定夹角，故轨迹是曲线．又因为物体做曲线运动的轨迹曲线总向加速度方向偏折(或加速度方向总指向曲线的凹向)，本题选B.2答案：B解析：人感觉到的风速是风相对车的速度，是风的一个分速度v 2，大小是10m/s ，方向向南，风还有一个与车速相同的分速度v 1，方向向东，大小为10m/s ，这个分速度相对车静止，所以人感觉不到．实际的风速是v 1和v 2合成的：v ＝v 21＋v 22＝102＋102m/s ≈14m/s其方向tan θ＝v 2v 1＝1010＝1，θ＝45°.3答案：BC解析：物体B 参与了两个方向上的运动：水平方向上和小车A 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动．在竖直方向上，由于A 、B 之间的距离以d ＝H －2t 2(SI)(SI 表示国际单位制，式中H 为吊臂离地面的高度)规律变化，所以物体与地面之间的竖直距离关系式为s ＝2t 2＝12×a ×t 2，所以物体在竖直方向上以4m/s 2的加速度做匀加速直线运动，则物体做加速度大小方向均不变的曲线运动，且速度在不断地增加．4答案：B解析：要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v 2必须垂直于v 1，并且v 1、v 2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到靶的最短时间为dv 2，C 、D 均错误；运动员放箭处离目标的距离为d 2＋x 2，又x ＝v 1t ＝v 1·dv 2，故d 2＋x 2＝d 2＋(v 1d v 2)2＝dv 21＋v 22v 2，A 错误，B 正确． 5答案：BD 6答案：4解析：木球的运动可分两个过程．一个是在空中的自由落体运动．另一个是在水中的匀变速曲线运动，这个曲线运动可分解成两个分运动，一个是水平方向的匀速运动．另一个是竖直方向的匀减速运动．在空中：v 2＝2gH ；v ＝2gH ＝10m/s在水中：mg －F 浮＝ma 即ρ木gV －ρ水gV ＝ρ木Va 代入数值得a ＝－10m/s 2木球落入水中到浮出水面所需时间t ＝2va ＝2s.故所求距离为：L ＝v 水t ＝4m.7答案：4m/s 37°解析：小船要想在到达危险区域之前恰好到达对岸，则其合位移必为OA ，如图所示，设水速为v 1，小船速度为v 2，由平行四边形和几何知识知v 2⊥v 时v 2有最小值，方向如图所示，由图知v 2＝v 1cos θ，cos θ＝4003002＋4002＝0．8，即θ＝37°v 1＝4m/s.8答案：(1)1N (2)3m/s 沿x 方向 (3)5m/s ，与x 轴成53.13° (4)12.6m ，与x 轴成18.4° (5)x 2＝36y 解析：(1)由甲图和乙图得： a x ＝0，a y ＝4－08＝0.5m/s 2，由牛顿第二定律物体所受合外力为： F ＝ma y ＝2×0.5＝1N(2)t ＝0时，v x ＝3m/s ，v y ＝0， 所以初速度v 0＝3m/s ，沿x 方向． (3)t ＝8s 时，v x ＝3m/s ，v y ＝4m/s ，v ＝v 2x ＋v 2y ＝32＋42＝5m/s ，v 与x 轴的夹角为θ，tan θ＝v y v x ＝43，θ＝53.13°；(4)t ＝4s 时：x ＝v x ·t ＝3×4m ＝12m ，y ＝12at 2＝12×0.5×42m ＝4m ，合位移s ＝x 2＋y 2＝122＋42m ＝12.6m ，s 与x 轴夹角tan α＝y x ＝412，得α＝18.4°(5)位移公式x ＝v x t ＝3t 和y ＝12a y t 2＝12×0.5t 2＝14t 2消去t 得轨迹方程x 2＝36y .。